Planteo de ecuaciones

Alguien mencionó alguna vez que las ecuaciones son el lenguaje escrito de los problemas numéricos, esto aplicado a nuestra matemática se puede elegir como. Si no todos al menos la mayoría de problemas matemáticos se relacionan siempre a una ecuación.

Procedimiento para plantear una ecuación:

1 Leer bien el enunciado del problema.2 Separar los datos.3 Fijar la incógnita mediante una variable.4 Fijar un plan de solución.5 Resolver la ecuación.

Traducción y RepresentaciónEl doble de un número

El cuádruploe de tu edad

La mitad de un número

Los de tu dinero

El cuadrado de un número Dos veces tu edad

La inversa de un número

El triple del reciproco de b Mi edad disminuida en 12 años

Un número disminuido en 5 La suma de dos números

El producto de dos números n es dos veces x

Un número es a 6

5 es a n como a es b

Los de un número es 10

n es tres veces mas que x

El triple de un número disminuido en 10 Se resta un número a 20 Se resta de un número 20 El doble de un número mas otro

El doble de un número restado de otro El número de peras excede al de manzanas en 10 El producto de dos números pares

consecutivos La suma de tres números

consecutivos El exceso de n sobre x Un número excede en 7 a otro numero Un número es menor en 15 con

respecto al otro El cuadrado de la diferencia de dos

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Planteo de Ecuaciones Alejandro Arenas O.

números Un número excede a 20 Mi edad dentro de 10 años

Mi edad hace 10 años

2

Alejandro Arenas O. Planteo de Ecuaciones

1. El exceso de 8 veces un número sobre 60, equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número ¿calcular dicho número?A) 6 B) 8 C) 10 D) 7 E) 9

Resolución:Sea “x” el número.

Rpta.

2. Aurora recibió tres dólares, tubo entonces tres veces mas de lo que hubiera tenido si hubiera perdido lo recibido ¿Cuánto tenia al comienzo?A) 4 B) 6 C) 8D) 5 E) 7

Resolución:Dinero “x”

Rpta.

3. El triple de la edad que tengo, le quito mi edad aumentado en 8 años; tendría 16 años. ¿Qué edad tengo?A) 11 años B) 10 años C) 15 años D) 13 años E) N.A.

Resolución:Sea mi edad “x” años:Del enunciado:El triple de mi edad 3x… (1)Mi edad aumentada en 8 … (2)Planteando la ecuación:

Rpta.4. Al ser consultado por su edad Giancarlo responde, si el doble de mi

edad le quitan 13 años se obtendrá lo que me falta para tener 50 años ¿Cuál es la edad de Giancarlo?A) 18 años B) 21 años C) 24 añosD) 27 años E) 30 años

Resolución:Sea “x” la edad de Giancarlo.Entonces:

Rpta.

5. Al retirarse 14 personas de una reunión se observa que esta quedo diminuida en sus 2/9. ¿Cuántos quedaron?A) 49 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

Resolución:# de personas “x”

Quedaron: 63–14= Rpta. 6. Cuando se posa una paloma en cada poste hay 3 palomas volando, pero cuando en cada poste se posa 2 palomas quedan 3 postes libres ¿Cuántas palomas hay?A) 12 B) 13 C) 8D) 9 E) 10

Resolución:Sea: Nº de postes: n

Nº de palomas: xDel enunciado:

… (1)

3


… (2)

(1) = (2)

n=9

Remplazando en (1) “n”

Rpta.

7. Si Lucy tiene 3 años más que Pepe, si el duplo de la edad de Lucy menos los 5/6 e la edad de Pepe da 20 años. ¿Qué edad tiene Pepe?A) 16 B) 13 C) 14 D) 15 E) 12

Resolución:Sean las edades:

Lucy: , Pepe: x

Rpta.

8. Tres veces el producto de la edad de Vanesa disminuido en uno con su edad aumentado en dos, es igual a 12 años. Hallar dicha edad.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolución:Sea la edad de Vanesa: xEdad disminuida en uno: Edad aumentada en dos: 3 veces el producto de las edades

Rpta.9. Elías dice a Aurora, si me das S/. 7. Tendré el doble que tu’ y le contesta

Aurora, tu’ tienes más que yo, pues si me das s/. 5 tendríamos cantidades iguales ¿Cuánto tiene Elías?A) 42 B) 53 C) 48 D) 49 E) 41

Resolución:Sea “x” lo que tiene ElíasSea “y” lo que tiene Aurora1ro Elías dice a Aurora.

………….. (1)2do Aurora contesta.

………….. (2)

De (2) ………….. (3)(3) en (1) tenemos:

Rpta.

10. A Mario le preguntan la hora y responde. Quedan del día 9 horas menos que las ya transcurridas. ¿Qué hora es?A) 4:15 B) 3:50 C) 3:45 D) 4:20 E) 4:30

Resolución:Total de horas (24)

Rpta.

11. Al preguntarle un padre a su hijo ¿Cuánto había gastado de los S/. 350 que le dio?. Este respondió he gastado las 3/4 partes de lo que no gaste’ ¿Cuánto gastó?A) 120 B) 160 C) 140

4

Alejandro Arenas O. Planteo de EcuacionesD) 150 E) 180

Resolución:Gasté: x, No gasté:

Rpta.

12. Lo que tengo más lo que debo es 2200. Si pagara lo que debo me quedaría 1000 soles ¿Cuánto debo?A) 400 B) 500 C) 600 D) 700 E) 800

Resolución:Lo que tengo: x, lo que debo: y

Rpta.

13. Un artículo cuesta 240 soles más 4/7 de su valor. ¿Cuánto cuesta el artículo?A) 480 B) 540 C) 560 D) 520 E) 460

Resolución:Precio del artículo “x”

Rpta.

14. Hallar un número entero positivo, sabiendo que el exceso del cuadrado de dicho número sobre 119 es igual al décuplo del exceso del número sobre 8.A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

Resolución:Sea el # “x”

Rpta.

15. Si se forman filas de 7 niños sobran 5, pero faltarían 7 niños para formar 3 filas mas de 6 niños c/u. ¿Cuántos niños son?A) 45 B) 49 C) 50 D) 60 E) 70

Resolución:# de niños=x# de filas=n

… (1)

… (2)

: … (3)

Rpta.

16. Al comprar 20 naranjas me sobran 480 soles, pero al adquirir 24 naranjas me faltan 120 soles ¿Cuánto cuesta cada naranja?A) S/. 150 B) S/. 30 C) S/. 300 D) S/. 15 E) S/. 120

Resolución:Precio de cada naranja=xTotal de dinero=T

… (1)… (2)

Rpta.

17. En un grupo de conejos y gallinas,

5


el número de patas excede en 28 al doble, del número de cabezas. Los conejos son:A) 15 B) 13 C) 14D) 16 E) 18

Resolución:# de conejos=x# de gallinas=y

Rpta.

18. La razón de 2 números es 3/8, su suma 2497. Hallar el menor número.A) 681 B) 621 C) 647 D) 658 E) 510

Resolución:Considerando: b>a

Rpta.

19. En un juego de “n” cartas se sacan primero “x” cartas y una más; luego se saca la mitad de lo que resta si todavía quedan 5 cartas ¿Cuántas cartas saco la primera vez?A) n–9 B) n–10 C) n–5 D) n–7 E) N.A.

Resolución:

Rpta.

20. Hallar un número, cuyo duplo aumentado en 5 es a su cuádruplo disminuido en 5 como 5 es a 7.A) 8 B) 20 C) 30 D) 48 E) 10

Resolución:

Rpta.

21. Dividir 260, en dos partes tales que el duplo de la mayor dividido entre el triple de la menor nos da 2 de cociente, 40 de residuo. Hallar el mayor de ellos.A) 200 B) 500 C) 300 D) 600 E) 350

Resolución:Sean los números: x, y

, luego del enunciado:

Rpta.22. Giancarlo dice a Ibethe, si tu’ me

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Alejandro Arenas O. Planteo de Ecuacionesdas tres de tus figuritas ambos tendríamos la misma cantidad, entonces Ibethe responde pero si tu’ me das 3 de las tuyas entonces yo tendría el doble de lo que te quedaría. ¿Cuántas figuras tienen en total?A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 36

Resolución:Giancarlo=xIbethe=y

(1) En (2)

Rpta.

23. Ciento cuarenta y cuatro manzanas cuesta tantos soles como manzanas dan por 169 soles, ¿Cuánto cuestan dos docenas de manzanas?A) s/.26 B) s/.15 C) s/.25 D) s/.13 E) s/.12

Resolución:Sea “x” el número de manzanas.

Rpta.

24. Si compro dos pantalones gastaría 20 soles más que si compro 3 chompas, pero si compro 5 chompas gastaría 20 soles más que si compraría 2 pantalones ¿Cuánto cuesta 6 chompas

más 6 pantalones?A) 360 B) 340 C) 320 D) 520 E) N.A

Resolución:Sea “x” el precio del pantalón.Sea “2y” el precio de la chompa.

Rpta.

25. Se pesan 2 patos y 3 pollos; luego 3 patos y 2 pollos, la balanza marca 14, 16 Kg. Respectivamente. ¿Cuánto más pesa un pato que un pollo?A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

Resolución:Peso de pato: xPeso de pollos: y

Rpta.

26. Entre dos personas tienen 600 soles si uno de ellos diera 100 soles al otro, ambos tendrían la misma cantidad ¿Cuánto tiene uno de ellos?A) 350 B) 250 C) 400 D) 300 E) 450Resolución:

7


Sea “x” plata del primero, “y” del segundo.

Rpta.

27. Se han comprado por 6000 soles cierto número de escritorios, si se hubiera comprado 30 más con la misma cantidad de dinero cada uno hubiera costado 180 soles mas barato. Calcular el número de escritorios.A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

Resolución:Número de escritorios=xValor de c/escritorio=y

Rpta.

28. En una fiesta infantil a Ibethe le invitaron galletas y le preguntaron por las galletas que comió, lo que ella respondió, comí como tres veces no comí menos 40 galletas ¿Cuánto comió si se ofrecieron 60 galletas? A) 35 B) 20 C) 30 D) 45 E) 37

Resolución:Sea “x” lo que comió.Sea “y” lo que no comió.

En (1) por (-1) entonces:

Comió: Rpta.

29. Juan tiene los 5/6 de lo que tiene Pedro. Si Juan recibe 80 de Pedro este tiene los 2/5 de lo que tiene Juan ¿Cuánto tendrá Pedro?A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

Resolución:

Pedro tendrá:

Rpta.

30. Un hombre se entera que el precio de un producto se incrementa en 200 soles por lo que decide comprar una cantidad determinada de barriles por un valor de s/.30000 si hubiera comprado con el nuevo precio hubiera adquirido 5 barriles menos. Hallar el precio de cada barril (nuevo precio).A) 1500 B) 1000 C) 1200 D) 2100 E) 900

Resolución:Sean:

8

nfichas


Luego: …(1)

…(2)De (2):

De (1)

Rpta.

31. Lo que Jaime gana en 8 días, Rolando lo gana en 3 días. Si Jaime trabajo 40 días y Rolando 10 días y entre ambos cobraron s/.2000. Diga a cuanto mas haciende lo que cobra Jaime en un día?A) 30 B) 50 C) 20 D) 60 E) 45

Resolución:Jaime gana en un día “x”Rolando gana en un día “y”

Jaime: Rpta.

32. Se quiere armar un cuadrado con cierta cantidad de fichas. Se arma el cuadrado sobrando 16 fichas si se le aumenta una ficha a cada lado faltarían 9 fichas ¿Cuántas fichas hay?A) 144 B) 180 C) 160 D) 156 E) 120

Resolución:Se colocan “n” fichas por lado y sobran 16 fichas.

# de fichas= (1)Pero si colocan 1 ficha mas por lado faltan 9 fichas.

# de fichas= (2)Luego: (1) = (2)

Resolviendo:

# de fichas: Rpta.

33. Se ha calculado que el número de hombres y mujeres ha aumentado en 2005 con respecto al año anterior en 2,5% el numero de hombres disminuyo en 5,3% mientras que el numero de mujeres aumento en 10,5% se pide dar la relación entre el numero de hombres y mujeres en 2004?

A) B) )

D) E)

Resolución:Para el problema de los datos en 2004:

9


En 2005:

Rpta.

34. Por resolver cierto número de problemas usted recibió 420 puntos por cada problema resuelto le asignan 7 puntos mas para obtener el mismo puntaje tendría que resolver 2 problemas menos, según esto, el puntaje que recibió por cada problema resuelto es.A) 35 B) 42 C) 28 D) 70 E) 21

Resolución:Sean inicialmente.n: número de problemas.P: puntaje asignado.

… (1)

… (2)De (1) y (2)

Rpta.

35. En una reunión el número de hombres es el triple del número de mujeres. Se retiran 8 parejas y el número de hombres que aún quedan es 5 veces el de mujeres que quedan.

¿Cuántas personas quedaron en la reunión?A) 64 B) 48 C) 72D) 58 E) 90Resolución:Sean: Varones:

Mujeres:

Se retiran 8 parejas, entonces:

Entonces el número total de personas que quedan es:

Rpta.

36. Del total de asistentes a una fiesta, se retiran primero 15 varones, quedando dos mujeres por cada varón. Después se retiran 45 mujeres, quedando 5 varones por cada mujer. ¿Cuántas mujeres había al inicio de la fiesta?A) 40 B) 45 C) 48D) 47 E) 50Resolución:Varones: Mujeres:

Reemplazando:

Finalmente: Rpta.

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1. Se ha pagado una deuda de 265 soles con monedas de 5,00 y de 2,00 soles. El número de monedas de 2,00 soles es mayor que el de 5,00 soles en 17 monedas ¿Cuántas suman las monedas de 5 y de 2 soles?A) 82 B) 81 C) 80 D) 83 E) 79

2. El jardinero A planta rosas mas rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3 cuando B planta “x”

rosas en una hora, A planta “ ” rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas?A) 6 B) 8 C) 32 D) 24 E) 123. Dos negociantes en vinos ingresan por una de las fronteras del Perú, portando uno de ellos 64 botellas de vino y el otro 20. Como no tienen suficiente dinero para pagar los derechos de aduana, el 1ro paga con 5 botellas de vino y 40,00 soles y el segundo con 2 botellas de vino pero este recibe de vuelto 40,00 soles ¿Cuál es el precio de cada botella de vino?A) 120,00 B) 80,00 C) 110,00 D) 105,00 E) 95,00

4. Tres niños se han repartido una bolsa de caramelos tomando el primero la mitad de los caramelos y uno más, el segundo la tercera parte de lo que quedo y el tercero el resto. ¿Cuántos caramelos hubieron en la bolsa?A) 26 B) 32 C) 38 D) 14 E) N.A.

5. De un juego de 32 cartas se sacan primero “x” cartas y tres más; luego se saca la mitad de lo que resta. Si todavía quedan 10 cartas. ¿Cuántas cartas saco la primera vez?A) 9 B) 14 C) 12

D) 8 E) 10

6. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero volvió al juego y perdió 1/2 de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera vez y cuarta vez después de la cual le quedaron 6 soles. ¿Cuánto dinero tenia al comenzar el juego?A) 84 B) 72 C) 94 D) 96 E) 86

7. En el año 1932, Pedro tenia tantos años como expresan las dos ultimas cifras del año de su nacimiento, al poner en conocimiento a su abuelo esta coincidencia, se quedo pasmado cuando el abuelo le responde que con su edad también ocurría lo mismo. ¿Cuál es la edad del abuelo?A) 66 B) 63 C) 64 D) 65 E) 67

8. Los ahorros de un niño consta de:

, y monedas de 5, 10 y 20 soles respectivamente. ¿A cuanto asciende sus ahorros, si al cambiarlo en monedas de 25 soles, el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 centavos?A) 900 B) 455 C) 345 D) 400 E) 360

9. En la actualidad la edad de Pedro es el doble de la edad de Romel más 2 años. Hace 3 años la relación de sus edades era como 3 es a 1. Dentro de 5 años la suma de sus edades de Romel y Pedro será:A) 36 años B) 30 años C) 26 años D) 20 años E) 18 años

10. Se reparten s/. 3000 entre cuatro personas de tal manera que a la

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primera le corresponda 400 soles mas que en la segunda; a esta 3/5 de lo que le corresponde a la tercera, y esta 6000 soles mas que a la cuarta persona.¿Cuánto recibió la segunda persona?A) 500 B) 490 C) 575 D) 600 E) 800

11. Un deportista apuesta a tirar al blanco con la condición de que por cada tiro que acierte recibirá “a” soles y pagara “b” soles por cada uno de los que falle. Después de “n” tiros a recibió “c” soles. ¿Cuántos tiros dio en el blanco?

A) B) C)

D) E)

12. La inscripción como socio de un club de natación cuesta 150 soles para las 12 semanas de la temporada de verano. Si un socio ingresa después de comenzada la temporada, sus derechos se fijan proporcionalmente. ¿Cuántas semanas después de iniciada la temporada ingresaron 2 socios al mismo tiempo si pagaron juntos 175 soles?A) 276 B) 245 C) 120 D) 189 E) 164

13. La edad en años de una tortuga es mayor en 20 que el cuadrado de un numero N; y menor en 5 que el cuadrado del numero siguiente a N. ¡Cuantos años tiene la tortuga?A) 276 B) 245 C) 120 D) 189 E) 164

14. Un fabricante puede producir focos de luz a un costo unitario de 5 soles .Si los vende a “x” soles cada uno, podrá

vender aproximadamente focos al mes. La utilidad mensual del

fabricante depende del precio de venta de los focos. Calcule la utilidad mensual si vende a 8 soles cada foco.A) 2037 B) 35976 C) 45601 D) 5386 E) 14075

15. En un juego de azar una persona apuesta la primera ven en soles, y se propone triplicar la apuesta anterior cada vez que el éxito no lo favorezca, cuando obtiene éxito gana una cantidad igual a su apuesta. En su novena apuesta obtiene por primera vez un éxito y luego se retira. Si ingreso al juego con 10000 soles ¿con cuanto dinero se retira?A) 6720 B) 13122 C) 6719 D) 13280 E) 13261

16. Un obrero trabajo durante 2 meses con su hijo en una misma fabrica. El primer mes, por 14 días del padre y 24 del hijo recibieron 118 soles; el segundo mes por 21 días del padre y 19 del hijo recibieron 143 soles. ¿Cuál es la diferencia de jornales diarios del padre y del hijo?A) 3 B) 1 C) 4 D) 5 E) 2

17. Hace muchos años podían comprarse pavos a 10,00 soles, patos a 5,00 soles y pollos a 0,50 soles. Si pudieran comprarse 100 animales con 100,00 soles entre pavos, patos y pollos. ¿Cuántos fueron los pollos?A) 78 B) 86 C) 90 D) 80 E) 75

18. La suma, diferencia y producto de 2 números, están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. Hallar los números.A) 8 y 14 B) 4 y 16 C) 2 y 8 D) 6 y 12 E) 6 y 1819. Tres jugadores convienen que el que pierda duplicara el dinero de los

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Alejandro Arenas O. Planteo de Ecuacionesotros dos; juegan 3 partidos, pierden uno cada uno y se retiran con 20 soles cada uno. ¿Cuánto tenia cada jugador al principio?A) 42,50; 35,00 y 20,50B) 45; 30 y 20C) 32,50; 17,50 y 10,00D) 30,50; 20,50 y 11,00E) N.A.

20. Un padre tiene “x” años y su hijo “y” años. ¿Dentro de cuantos años tendrá el padre el doble de la de su hijo?

A) B) C)

D) E)

21. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos, pesados sacos. Lamentaba el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: de que te quejas, si yo tomara un saco, mi carga seria el doble que te queda. En cambio si te doy un saco, tu carga se igualara a la que me queda. ¿Cuántos sacos llevaban entre los dos?A) 24 B) 18 C) 16 D) 14 E) 12

22. En una reunión familiar hay 50 varones y 30 mujeres, ¿Cuántos varones más deben de llegar cada uno acompañado de 3 chicas para que el número de mujeres sea ahora el doble de los varones?A) 50 B) 60 C) 40D) 70 E) 85

23. A y B empiezan a jugar con 80 soles cada uno. ¿Cuánto ha perdido A, si ahora B tiene el triple de lo que le queda a A?A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 25

24. Un cierto número multiplicado por 2, por 3 y por 5, da 3 nuevos números cuya suma es 60. Hallar el doble de dicho número, incrementado en 3.A) 18 B) 15 C) 12

D) 16 E) 19

25. El producto de tres números enteros consecutivos es igual a 80 veces el intermedio. Hallar el intermedio:A) 9 B) 7 C) 8D) 11 E) 10

26. Mi enamorado es 22 años menor que yo, dice cierta dama solterona; además entre los dos tenemos 2 años más que el triple de la edad de mi enamorado. ¿Qué edad tiene la dama?A) 40 B) 21 C) 52D) 42 E) 56

27. Si Pedro tuviera 30 soles más, tendría entonces 4 veces lo que le quedaría si perdiera 30 soles. ¿Cuánto dinero tiene?A) 30 B) 40 C) 50D) 60 E) 70

28. Jaimito tiene un cierto número de enamoradas, si tuviera 7 enamoradas más resultaría que tiene el doble de lo que le quedaría si tuviera 4 enamoradas menos. ¿Cuántas enamoradas tiene Jaimito?A) 24 B) 10 C) 14D) 15 E) 18

CLAVES DE RESPUESTAS

1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.

D D C E A D A B C

10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.

D C E E B E A C B

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

C B E D C B A D C

28.

D

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