Pllblicacion Tecnica N2 10

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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

U T I LI Z A C ION DEL A F U N el o N MI T S CHE R L 1 C H

EN LA DESCRIPCION DE

PROCESOS DE CRECIMIENTO (1)

* * * * * * * * * * * * * * * * * * ~ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Félix BELTRAMINO (2)

José OTERO (3)

(1) Trabajo realizado en oportunidad del Primer Curso Internacional de Postgrado en Simulación y Sistemas, organizado por el Programa de Producción Animal, Escuela para Graduados en Ciencias Agropecuarias de la Repúbl ica Argentina, en la E.E.R.A. BALCARCE, INTA, 1975.

(2) M.S., técnico de la E.E.R.A. RAFAELA, INTA.

(3) M.S., profesor de la Universidad Federal de Santa María, R.S., República Federativa de BRASIL.

RESUMEN * * * * * * * * * * *

Se plantea la conveniencia de la utilización de la función MITSCHERLICH en la descripción de ciertos procesos de crecimiento. Luego de un análisis matemático de esta función y de las formas que puede adoptar su representación gráfi ca según los signos de sus componentes, se muestran los resultados de un programa de com­putación en lenguaj e FO RTRAN IV, que permite obtener los valores a emplear en la ecuación, previa linealización de la misma, a partir de los valores observados de las variables dependientes e independientes y comprueba la bondad de ajuste. Para solucionar la ecuación se usa el método interativo.

El programa se prueba con:

a) gran número de datos

b) poco número de datos

i) las tasas de crecimiento no siempre son decr~ cientes.

i i) I as tasas de creci mi ento son si empre decre­cientes.

Los resultados logrados indican que el programa desarrollado satisface los objeti vos del presente trabajo.

SUMMARY * * * * * * * * * * *

I 2> ~ j i i i ¡ ('-" ',-, ' ....

The use of descriptive functions of groNth biological processes are frequently used in the simulation production systems. The matematical analysis of the Mitscherlích functíon isrealizedand theshapes thatit graphicrepresentation can take according to the symbols of there component is studied. The utilization and functionof a Fortran program is described for: 1) it estimates the parameters of the fundíon from the observed values of the dependent and independent variables, and 2) it proves with a predetermined precision that a better estimation does not existo The iterative method to solve the ecuation is used. The program is tested with: a) a large number of data, and b) a small number of data, with growth rates that are always decreasing and not always decreasing. The results ShON that the program satisfi es the objectives of the present work.

- 3-

-1 1

•

INTRODUCCION ***************

La utilización de funciones que describan procesos biológicos de crecimiento son de uso muy frecuente en la simulación de sistemas de producción agrícola-ganad!. ros.

OTERO y SELTRAMINO ( 1976) discuten las limitaciones de las ecuaciones lineal simple y exponencial al enfocar el. proceso de crecimiento desde el punto de vista de simu loción. En el mismo trabajo se presenta un programa que permite resolver la ecuación logística de crecimiento; el desarrollo de esta ecuación describe una cur va sigmoidea que representa el comportamiento del crecimiento de plantas (a par=­tir del estado de plántula ), yren forma bastante aproximada el de animales a par­tir de su concepción ( MO RLEY, 1973). En este tipo de ecuación, la tasa de cre­cimiento es proporcional al valor de la función, pero afectado por un factor desa­celerador que expresa, además, una condición de máximo.

La ecuación logística. es,. sin embargo, bastante ineficiente para describir proce­sos de crecimiento en animales recién nacidos o de algunas semanas de edad.

PIMENTEL GOMES y MALAYOLTA (1949 (a), 1949 (b)) y FERNANDEZ (1975), analizan la curva MITSCHERLlCH, aplicable a fenómenos donde también existe un nivel máximo; en este caso, la tasa de crecimiento es proporcional al valor de la función, pero lo es a tasa decreciente; esta ecuación responde al modelo:

donde:

w = w x max

( 1 - b exp (-k x))

w = crecimiento en el tiempo x-ésimo; x

W = .crecimiento máximo del ente biológi cOi max .' .

b == proporción del incremento máximo que es posible obtener, relativo al valor final W max ; ,

k = . constante, función de todos los otros factores que inciden sobre el crecimiento;

x = variable independiente, en este caso, tiempo;

exp = -potencia en base e.

La función MITSCHERLlCH describe una curva que comienza en el punto de in-: flexión de la curva logística; tal es el caso observado en animales que han sobre­pasado la tasa de crecimiento máximo, en pasturas sometidas a cortes (dentro de cada corte), cuando éste se realiza para tener máxima producción de forraje, o cuando en vaquillonas lecheras de primera parición se intenta explicar el incre­mento en la producción lechera por el peso al parir. También es de utilidad en la descripción de la curva de frecuencias acumuladas de parámetros climáticos, uti­lizada en la generación estocástica de variables climáticas en modelos de simula ción. ( SRA YO, 1975; EDELSTEN, 1975). -

El objeto de este trabajo es explicar la utilización y funcionamiento de un progra ma Fortran que:' -

a) estime los parámetros de la ecuación MITSCHERLlCH a'partir de valores ob servados de las variables dependiente e independiente; -.

b) compruebe con una precisión predeterminada que no existe otra estimación mejor.

- 5-

M ATERIAL Y METODO * * * * * * * * * * * * * * * *

1. Análisis de la curva MITSCHERLlCH.

La derivación y aplicación de esta ecuación ha sido tratada con mucho detalle en los trabajos de PIMENTEL GOMES y MALAVOLTA (1949 (0),1949 (b), 1951. Resumiendo y siguiendo a FERNANDEZ S. (1975), diremos que la ecuación de la curva MITSCHERLlCH puede derivarse haciendo:

dW

dx

. donde:

La tasa de crecimiento así definida, involucra crecimientos rápidos para pequeños valores de WX1 que se hacen paulatinamente más lentos a medida que aumenta WX1

haciéndose igual a cero cuando Wx = Wmax' estando implícita, por ello, la con­

di ción de máximo.

Integrando se obtiene la expresión de la función:

W x = W max ( 1 - b exp (- k x ))

donde:

Wmax - Wo b = , si en do O < b < 1

Wmax

Si representamos gráficamente la curva MITSCHERLlCH (figura 1 ) Y la tasa de cre cimiento relativo obtenida en función de su derivada W' (figura 2), se observa -que la tasa de crecimiento decae a medida que se aproxima a Wmox •

Haciendo coincidir la tasa de crecimiento relativo con la curva de crecimiento, el momento en que latosa de crecimiento es máxima corresponde al valor Wo I y es mínima cuando Wx = Wmax •

----_ ... __ ..... --:.,:-:::;.¡¡¡-.--

w x

x

Figura 2: Tasa de Crecimiento Relativo Figura 1 : Curva Mitscherlich

~ 6-

" .

•

•

Partiendo de la expresi6n de lafunci6n, la curva de respuesta puede adoptar .algu­nas de las sigui entes formas (Figuras 3, 4, 5 y 6) segOn los signos que se den a Jos valores Wmn'ltl , b Y k. .. ..

Wmox -_ . .-.- - - ... - _ ..... --:.,:-::,.11 .... - ...

W

x

Figura 3:Wmox·(+) ¡b(+)¡ k(+)

x

Figura 4: W max ( + ) ¡ b ( + ) ¡ k ( - )

W

W~a

x

Figura 5: Wmax ( +)¡ b (-)¡ k (-)

.~ v

W

- - - - - - ... - ..... - --;:-~_!!"IIII,,-, ...

x Figura 6:: W mox ( +)¡ b ( - ) ¡. k ( + )

-7-

2. Resolución de la ecuación MITSCHERLICH.

Para ajustar esta curva, 'utilizaremos los algoritmos de regresJón lineal. En este ca so particular, el procedimiento a seguir es el siguiente: -

W x = W max ( 1 - b exp (- k x X),

es igual a

Wx = Wmax - Wmax b exp (- kx)

Sobre esta ecuación con tres incógnitas (Wmax , b Y k), realizamos la primera e transformación haci endo:

Xl = exp (- k x )

y luego una segunda que surge de:

b l = Wmax b

Dando un valor inicial a k ( = ka), obtenemos entonc~s un modelo lineal con dos parámetros a estimar:

Wx = Wmax - bl Xl I que responde a una ecuación de regresión lineal del tipo:

El problema de resolución de la ecuación se presenta entonces en Xl , dado que es función de otra incógnita (k); para solucionar esta ecuación se usa el método ite­rativo, descripto por FERNANDEZ S. ( 1975) I hasta que los valores obtenidos e~ tre iteraciones sucesivas sean iguales dentro de una precisión dada, lo que se mi­de por los valores de R2 logrados; en este caso el proceso se interrumpe, escribien do los valores de Y, Bo, Bl' X Y R2. Este aspecto del problema ha sido adecuada": mente desarrollado en el trabajo de OTERO y BELTRAMINO (1976).

3. Obtención de una primera estimación del valor k.

Partiendo de la función MITSCHERLlCH y asignando valores a Wmax = l. ya b= 1 ( BRAVO, 1975), tenemos que: .

W x = 1 - exp (- k x )

Si representamos g ráfi comente ( Figura 7) tenemos:'

X( w=w{ i))- X( w=.9}

w ." 11'0(

X( w=l.) X

Fig. 7: Curva Mitscherlich donde X es función de W.

-8-

",'

.'

•

"

•

partiendo de un valor W:= 0,9 tenemos

0,'9:::: 1 .... exp ( .... k x

1 - 0 / 9 :::o exp ( - k x

O 1 11

~-'-exp ( k x )

exp (k x) =_'_ ;::; 10 O, 1

k x :::o 1 n 1 O ;::; 2 .3026

k = 2 .3026 / X(W= 0,9 )

Este último algoritmo puede ser uti lizado para ahorrar tiempo de computación, re curriendoa un artificio que permite encontrar rápidamente un valorde k bastante próx imo al real; para ello:

a) se establece la diferencia entre Wmax y Wo en los datos proporciona . .

dos: W max .... Wo :::o .!::. W

b) .!::. W se compensa por el coefi dente 0,9 que surge de lo planteado anteriormente; .!::. W 0,9= b, WI

c) Se adi dona b. WI . a W o,Y se encuentra el valor más próximo de la

variable independiente x que corresponde a este valor.

d) El valor de k ¡ni dal ( :o:: ko ) se hace igual a

ko =2,3026/x( Wo +b.WI)

4. Estadísticas utilizadas para comprobar la bondad del ajuste.

Para comprobar ta bondad del ajuste, se siguiÓ el procedimi ento descripto por POLY y POUTOUS (1967) para comparar la exactitud de distintos sistemas de control lechero. .

Llamando W (i) a los valores estimados de W , y . y ( i) a los valores observados de \f¡ x' tenemos que:

el DESVIO DE LAS DIFERENCIAS , .. _. .._.~-~~-~ .. ~-_. ~'--~ .. 2 , f ( y i - W ¡) - Y¡ - W i) 1 ~!' -'-"-"~---.~-- 1 L N J

;=

N - 1

que en este caso especial se transforma en:

"\ r ~lYJil~(i) J2 V . N - 1

donde N ;::; número de observaciones.

Se calculó .además la VARIANCIA DEL ERROR según:

VARIANCIA DE LAS DIFERENCIAS VARIANCIA DEL ERROR =: ----~--~-~-~­

VARIANCIA DE LAS OBSERVACIONES -9 ...

x 100.

5. Especificaciones del programa.

Llamando X, a la variable independiente e Ya la variable dependiente W,

La primera tarjeta de datos a ser leida corresponde al número de pares de obser­vaciones ( N) I con formato 14; las siguientes tarjetas corresponden a las varia­bles X e Y, en ese orden y un par de datos por tarjeta, con formato F 6.0. DI­MENSIO N determinado por el valor N.

6. Diagrama de Flujo del programa.

N = nOpares observo Xi=: varo independiente Vi= varo dependiente

Obtiene valores poro trans­formación de lo ecuación MITSCHERLlCH en ecuación de REGRESION LINEAL

Fijo valor K

Realizo R~esión y obtiene R

Vi = varo dependo calculado

Tablas Residuales

Desvios Diferencias

Variancia del Error

Imprime

Valores

- 10 -

no Do valor o

~K

FIGURA 8.

DIAGRAMA LOGICO

DEL PROGRAMA ******************

"

..

9

[1

RESULTADOS Y DISCUSION *******************

.. '

El programa se probó con:

a) gran número de datos

b) poco número de datos con las variantes:

i) las tasas de crecimiento no eran si empre decrecí entes.

<, ji) las fosas de ~recimiento eran si empre decrecientes. , . .

En a) se analizó la producción de leche (kg) en función del peso post~parto (kg) en vaquillonas Holand~ Argentino de primera parición; para ello s~ contó con 99 pares de datos provenientes de la E.E.R.A. Rafaela ( INTA). Análisis prevías ha­bían indicado que esta función era curvilínea (BELTRAMINO; 1975J:

En b) se estudió el peso en función de edad (meses) en terneros de raza Holstein ( USA) I según datos de promedios proporcionados por BRODY ( 1969), representa dos en la figura 9 (40 45 meses de edad)¡ b.i) incluye el total de la información a partí r de los 4 meses de edad (19 datos). Por lo contrario, en b.ií) se descarta la información previa a los 8 meses de edad, como osi también la correspondiente a las edades de 24 y 27 meses, quedando para análisis 14 datos.

"(kg)

550

500

450

400

350

o 300 v>

w 250 Q.

200

150

100

Í-,,¡. •

Fíg.9

o Datos usados en b.i )

X = Da.tos usados en b.ii )

_ = Curva Mitscherlich estimada en b.ii)

i , , ¡ , ¡ i , i i , , i , i » , , ¡ , ...

4 6 8 10 12 14 161 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

EDAD (mese.)

PESO EN fUNCION DE EDAD (DATOS BRODY - U.S.A.)

En los tres casos (a, b.í y b.j¡) se utílizó una sensibilídad s¡milar

( Rf - R? == O! 0025 ) 1 1-1

En el caso el) .., (tabla N2 1 ) el valor obtenido en la primera estimación del va­lor K fue el definitivo; siguiendo las órdenes, el programa practica una segunda estimación, donde

En la tercera estimación, vuelve al valororiginal , y dado que el nuevo valor de R2 no supera a la sensibil ¡dad establecida, fija los valores definitivos de K, Bo y B . . 1 •

El poco trabajo del programa se atribuye al gran número de datos que permite de­tectar un valor de variable independiente muy próximo al teórico y al bajo valor abso luto del R2.

- 11 -

TABLA N2 1 Producción de leche' ( kg )en función del peso post-parto (kg ) . . -,':,

Vaquillonas primiparas. Salida parcial del programa.

=. . . . ..

Estimación N~ Y Máximo = 4931 ,00 Y Mínimo = 1348,00

~. - ..

1 K In¡cial ::o; 0,00477 fj K == 0,00048

-Valor K :::: 0,00429

2 Bo ~ 4958,37 .6 K= 0,00048 . '.

81 :;::: -12607,09 R2 ::=: 0,36846

-

K Final =0,00477

3 Bo "'-' 4772,33' .6 K;:;:; 0,00048

Bl :::: ~ 13989,33 R2 :::: 0,36920

-- -- ._ .. - - -DESVIO DE LA DIFERENCIA :::: 565,84

VARIANCIA DELERROR EN PORCENTAJE :::: 63,08

- - ~ --"= .-

El valor del R2 hallado ( R2 ::::; 36,92 %) se considera sin embargo satisfactorio, d~ do que BELTRAMINO (1975) trabajando con los mismos datos, encuentra un R2

aproximadamknte igual al anterior ( R2 :::: 35,28 %) ut; lizando una ecuación de

regresión de segundo grado.

CO'ncordantemente, se registran grandes valores en Desvíos de la Diferencia

(565,84 kg) yen [a Variando del Error en Porcentaje (63,08 %).

En el caso b.l) - (Tabla N~ 2) se observa en detalle como se comporta el mec~.

nismo iterativo del programa. En la segunda estimación del valor K (K 1 ), el

R2.:::: 0,9803; en la tercera estlmación,el valor K vuelve a la cifra original, pe­

ro se observa que el R2 disminuye a 0,9717, como consecuenda de ello, el valor

del incremento b. K se reducea!a mitad con cambio designo y recién a la quin

ta salida con este nuevo valor 6 K, el valordel R2 no supera lasensihilidad es-

tablecida.

- 12 -

•

,

Tabla N22 Peso (kg) en función de edad (meses). Sa!ida parcial de! programa.

. -.~."

Estimación N2 . Y Máximo = 545,71 Y Mínimo = 110,32

1 K Inicial == 0,09595 bK ::; 0,00959

Valor K := 0,08634 áK := 0,,00959 2 Bo == 550,63

B1 == - 666,95 R2 :;::; 0,98037 .. . . . " __ • '"!:7 ~ _' •

Volar K == 0,09594 . .6. K = 0,00959 3 Bo = 537,40

Si =: 685,00 R2 = 0,97173 . - -' .-

Volar K·;;; 0,09114 . .6K== 0,00480 4 B == 543,69 o

B1 == 675,63 R2 - 0,97634 - .

Volar K :::: 0,08634 /} K == 0,00480 5 Bo = 550,33 ,

B1 == 666,96 R2 ::: 0,98037 - - . _.'. -

Volar K = 0,08155 aK == - 0,00480 6 Bo = 558,33

61 - - 659,11 R2 = 0,98375

7 Volar K == 0,07675 ,6.. K = 0,00480 Bo = 566,95

B1 = - 65'2,2'2 R2 = 0,98639 - - . ~ -, ,-. -

K Final. =0,07195 ~ K = - 0,00480 8 Bo := 576,67

Bl := - 646,48 R2 = 0,98821

DESVIO DE LA DIFERENCIA = 16,43 VARIANCIA DEL ERROR EN PORCENTAJE == 1,18

.. -Al K inicial K == 0,09594) le corresponde unR2 := 0,9717 y 01 K final K=O,07195) un R2 == 0,9882. Esto es, o uno disminución del 25% en el valor de K, le corres-ponde un incremento del 1,6% en el R2. .

Lo mayor cantidad de trabajo del programo (8 solidos versus 3 salida·s enel primer: coso) se debe tonto a lo poco cantidad de datos como 01 hecho de que varios de ellos no cumplen -dentro del conjunto- lo conéHción de crecímíentos siempre decre dentes. Lo primero estimación del valor K, hollado en base o los volares. extrer.nos de lo Variable Dependiente, nose ajusta 01 conjunto de datos;. como consecuencia de lo anterior, lo estimación del valor K debe modificarse varias veces antes de es tab ¡tizo rse. . .~

Los altos valores del R2 condicionan bajos Desvíos de lo Diferencio (16,43 kg) y uno Variancio del Error pequeño (1,18%).

Para el tercer coso (b.íl) se incluye una salida completa del programa ... (Tabla N~3) f nuevamente el K ¡ni cial es igual al K final. Ello es posible, a pesar del poco núme ro de datos, o que en su conjunto responden o las condi ciones de credmiento de la ecuación estudiada,ya que los valores dé lo Variable Independi ente están bi en distri- .

. buidos.. '. .' '. .' .

El R2 obtenido (R2 = 0,9971 ) fue algo mayor (+ 0,089) 01 del caso antedor b.i), lo que es lógico debido 01 descarte de dotas que se aportaban dela función (fi~. n2 9) . En consecuencia se observan menores Desvíos de lo Diferencio (6,27 kg) Y de lo Variando del Error (0,29 %). Los altos R2 obtenidos en los dos últimos cosos, comparados con el primero, se atribuye pri ncipalmente o que en éste se trabajaba con dotas individuales, mi entras que en los dos últimos se emplearon promedios de gran número de dotas.

- 13 -

TABLA N2 3 : Peso (kg) en función de edad (mes). Salida total del programa.

y Máximo = 545,71 Y Mínimo = 209,74

K Inicial = 0,06977 6 K = 0,00658 .. Valor K = 0,06280 fj K = 0,00658 Bo = 592,61 , -. Bl = 640,06 R2 = 0,9972

Y Observados X Observados EXP ( - K X ) -- -=~-<=-=~~=-

209,74 8,00 0,5722 250,61 10,00 0,4977 286,93 12,00 0,4329 320,07 14,00 0,3765 355,03 16,00 0,3275 383,63 18,00 0 .. 2848 414,05 20,00 0,2477 439,47 22,00 0,2155 508,48 30,00 O, 1233 513,02 33,00 0/ 1000 528,91 36,00 O .. 0811 533,90 39,00 0,0658 545,71 42,00 0,0533 543,43 45,00 0,0433

K Final = 0,06977 fj K = 0,00698 ...

B -- = 578,78 o 81 = - 663,38 R2 = 0,99713 f

X Observados Y Observados Y Calculados Residuales ~ ~-~_.~-.,,--.,,

8,00 209,74 199,16 10,58 10,00 250,61 248,60 2,00 12,00 286,93 291,60 -4,67 14,00 320,07 329,01 -8,93 16,00 355,03 361,54 -6,51 18,00 383,63 389,83 -6,20 20,00 414,05 414/ 44 -0,39 22,00 439,47 435,84 3 .. 62 30,00 508,48 496,98 11 / 49 33,00 513,02 512,43 01 58 36,00 528,91 524,96 3~94 39,00' 533,90 535, 12 -1,22 42,00 545 1 71 543,36 2,34 45,00 543,43 550,05 -6,62

DESVIO DE LA DIFERENCIA::; 6,2689

VARIANCIA DEL ERROR EN PORCENTAJE = 0,2858

--: 14,~

,

•

•

,/'

C0NCLUSIO NES <",***********

E 1 pro gro m a d e s a r rolla d o s a t i s fa c e los o b i e t i vos del p r~

',$ e n t e t r a b a ¡ o I o b ten ¡en d o los valor e s b u s e a d o s y pro p o..!:

cionando además distintas estimaciones del ajuste de la

ecuación. Es factible aumentar o disminuir la sensibili-

dad del mismo con una pequeña modificación.

2) El mecanIsmo iterativo fue de probada eficiencia, pudiendo ser de aplica-

ción para resolver otros tipos de ecuaciones.

--00000--

8000000000000000000000000000000000000000000000000000g o .' , o 8 AGRADECIMIENTO g o o o o g Los autores desean expresar su agradecimiento a la g o o o Ing. Agr. M. Cristina MIQUEL por su tarea de co- o ° " .. . d 1 b' o g rrecClon y Critica e tra 0(0.- o ° o, o o 00000000000000000000000000000000000000000000000000008

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