Terminamos esta serie dedicada a las construcciones con regla y

compás con un artículo sobre la relación de éstas con los polígonos

regulares.

La pregunta es sencilla: ¿se pueden construir todos los polígonos

regulares con regla y compás siguiendo las reglas que hemos

establecido para estas construcciones? Vamos a ver la construcción

de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos y

:

Polígono regular de 3 lados: Triángulo equilátero

Es el polígono regular con menor número de lados que podemos

tener. Su construcción es muy sencilla:

Trazamos una circunferencia con centro en y radio y otra con

centro en y mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos

puntos.Tomamos uno de ellos, digamos . Trazando los segmentos

y obtenemos el triángulo equilátero .

Polígono regular de 4 lados: Cuadrado

La construcción del cuadrado también es sencilla:

Trazamos una circunferencia con centro en y radio . Esa

circunferencia corta al eje en dos puntos. Tomamos uno de ellos,

digamos . Trazamos la recta paralela al eje que pasa por y la

recta paralela al eje que pasa por . El punto de corte de las

mismas, digamos , es el vértice que nos faltaba. Trazando los

segmentos , y obtenemos nuestro cuadrado.

Polígono regular de 5 lados: Pentágono regular

La construcción del pentágono es algo más complicada que las

anteriores, pero sigue siendo ciertamente asequible:

Trazamos la paralela al eje que pasa por , digamos . Se traza la

mediatriz del segmento obteniendo el punto como corte con el

eje . Trazamos la circunferencia de centro y radio , digamos

. Obtenemos el punto como corte de con la recta . Con

centro en trazamos la circunferencia de radio , , obteniendo

el punto de corte con el eje . Trazamos ahora la circunferencia de

centro y radio , . Obtenemos el punto al cortar con y el

punto como corte con la mediatriz del segmento . Para obtener

el vértice que nos falta, , simplemente construimos el punto

simétrico a respecto de la mediatriz del segmento . Uniendo los

vértices obtenemos el pentágono regular buscado.

Polígono regular de 6 lados: Hexágono regular

La construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La

vemos:

Con radio trazamos circunferencias con centro y . Tomamos

uno de los puntos de corte, digamos . Ese es el centro del

hexágono. Trazamos ahora la circunferencia de centro y radio .

Obtenemos los puntos y como cortes con las circunferencias

anteriores y como corte con el eje . Trazando la paralela al eje

que pasa por obtenemos el último vértice, , como corte de esta

recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vértices

obtenemos el hexágono regular buscado.

Polígono regular de 7 lados: Heptágono regular

El heptágono regular no es construible con regla y compás. Vamos

a ver por qué:

Viendo las construcciones anteriores de otra forma, mediante la

relación de los puntos del plano con los números complejos, para

construir un polígono regular de lados debe ser construible el

número complejo . En el caso del heptágono

debería ser construible el punto . Tenemos que

el polinomio tiene a como raíz. La descomposición en

polinomios irreducibles en queda así:

. Como no es raíz de debe

serlo del otro factor. Pero el grado del mismo es , y ya vimos que

para que un punto fuera construible el grado de su polinomio

mínimo irreducible en debía ser una potencia de . Por tanto no

podemos construir el número complejo y en consecuencia tampoco

el heptágono regular.

Ya hemos encontrado el primero que no puede construirse con regla

y compás. Si continuáramos nos daríamos cuenta de que el polígono

regular de 8 lados sí es construible pero el de 9 lados no lo es. Y

ahora la pregunta es bastante evidente: ¿sabemos qué polígonos

regulares son construibles con reglas y compás? Por suerte sí. Y

nuestro idolatrado Gauss es uno de los principales culpables,

probablemente el que más. Vamos con el resultado:

Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y

compás)

Un polígono regular de lados es construible con regla y compás en

el sentido expuesto si y sólo si la descomposición en factores primos

de es de la forma

siendo y los primos de Fermat distintos entre sí (recordemos

que un primo de Fermat es un número primo que sea de la forma

).

Es decir, que un polígono regular es construible si el número de

lados del mismo es una potencia de 2, un primo de Fermat o

producto de una cierta potencia de 2 (pudiendo ser ) y varios

primos de Fermat distintos. Y lo mejor del teorema es que es un si y

sólo si, es decir, tenemos totalmente determinados los polígonos

regulares que podemos construir con regla y compás. Así el

triángulo ( ), el cuadrado ( ), el pentágono ( ) y

el hexágono ( ) son construibles con regla y compás pero

el heptágono regular ( ) no lo es. Continuando, el

octógono regular ( ) sí es construible pero el eneágono regular (

) no lo es.

Una de las implicaciones de este teorema fue probada por Gauss y

la otra fue demostrada por Pierre Wantzel.

Una de las construcciones de polígonos regulares con regla y

compás más conocidas es la del heptadecágono (polígono regular

de lados). La primera demostración de que esta construcción es

posible se debe también a Gauss que la encontró cuando contaba

con 19 años de edad, aunque parece ser que la primera construcción

física de este polígono se debe a Johannes Erchinger. Parece ser

que el hecho de encontrar la solución a este problema (que aparece

en la sección VII de Disquisitiones Arithmeticae) hizo que Gauss se

decantara por las Matemáticas en vez de por la Filosofía. Puede ser

que sea ésta la razón por la que mandó que se grabara un

heptadecágono en su tumba, aunque al final el albañil encargado del

asunto, al ver la dificultad de la construcción y que apenas se

distinguiría de un círculo, terminó grabando una estrella de 17 picos

(Fuente: Dios creó los números, de Stephen Hawking). Al final del

artículo tenéis un enlace a una página donde, entre otros, podéis ver

cómo construir un heptadecágono con regla y compás.

De hecho es el tercer primo de Fermat. Los cinco primeros (y los

únicos que se conocen) son y , del cual ya hablamos

hace unos días. La primera construcción que se conoce de este

monstruo de polígono se debe a Johann Hermes y data de 1894,

después de 10 años de trabajo. Si la construcción es correcta valió

la pena tanto esfuerzo.

Y para terminar algo de información para los retos que nos lanzó

Domingo en este comentario del primer post de la serie:

en MathWorld

en MathWorld

Fuentes de los 3 artículos

Mis apuntes de Álgebra II

Regla y compás en la Wikipedia

Construcción de polígonos regulares

Regla y Compás: Zirkel.jar: Programa hecho en Java perfecto

para las construcciones con regla y compás. Es el que he usado

para este artículo. Muy recomendable y libre. Lo encontré en

el blog de Concepción: Muchas gracias.

Polígonos estrellados

Si se une cada vértice del polígono con el siguiente, dando una

sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se

denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de

forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la

circunferencia, se denomina estrellado. Si al dividir una

circunferencia en partes iguales unimos los puntos de división

de dos en dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la poligonal

hemos recorrido la circunferencia un número entero de veces,

obtenemos un polígono regular estrellado.

Para averiguar si un polígono tiene construcción de

estrellados, y como unir los vértices, buscaremos los números

enteros, menores que la mitad del número de lados del

polígono, y de ellos los que sean primos respeto a dicho

número de lados. Por ejemplo: para el pentágono (5 lados), los

números menores que la mitad de sus lados son el 2 y el 1, y

de ellos, primos respecto a 5 solo tendremos el 2, por lo tanto

podremos afirmar que el pentágono tiene un único estrellado,

que se obtendrá uniendo los vértices de 2 en 2 .

Pentágono regular estrellado

El lema de la Escuela Pitagórica

fue todo es número y su

emblema el pentagrama o

polígono regular estrellado. En él

aparece el número áureo.

Si medimos con el transportador

cada uno de los ángulos

correspondientes a cada vértice y

se suman los valores obtenidos,

esta suma es aproximadamente

180º.

Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir

varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un

mismo ángulo, es el caso del falso estrellado del hexágono,

compuesto por dos triángulos girados entre sí 60º.

Heptágonos

regulares

estrellados

Podemos

construir dos

heptágonos

regulares

estrellados

uniendo las

divisiones de 2

en 2 y otro de 3

en 3.

Octógono regular estrellado

Uniendo las divisiones de 3 en 3

obtenemos el octógono regular

estrellado.

Polígonos Estrellados.

Si al dividir una circunferencia en partes iguales unimos los puntos

de división de dos en dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la

poligonal hemos recorrido la circunferencia un número entero de

veces, obtenemos un polígono regular estrellado.

Puede probarse que para obtener un polígono regular estrellado de n

lados (la circunferencia estará dividida en n partes iguales) uniendo

las divisiones de a en a, es necesario (y suficiente) que a y n sean

primos.

Como unir divisiones de a en a es igual que dividirlas de n - a en n - a

(es decir de a en a en sentido contrario), se podrán construir

polígonos estrellados considerando los números menores que n/2, que

sean primos con n.

Pentágono regular estrellado El número primo con 5 menor que 5/2 es 2;

podemos construir el pentágono estrellado

uniendo las divisiones de dos en dos.

Obtenemos de esta forma el más popular de

los polígonos estrellados y, posiblemente, el

emblema de la escuela pitagórica. En él el

número áureo aparece por doquier.

No existen polígonos estrellados de 6 lados, ya

que no existe ningún número primo con 6

menor que 6/2.

Heptágonos

regulares estrellados Existen dos números

primos con 7 menores

que 7/2, el 2 y el 3.

Podemos, por tanto,

construir dos

heptágonos regulares

estrellados uniendo

las divisiones de 2 en

2 y otro de 3 en 3.

Octógono regular estrellado 3 es el único número primo con 8 menor que

8/2. Uniendo las divisiones de 3 en 3

obtenemos el octógono regular estrellado.

Eneágonos

regulares estrellados 2 y 4 son primos con

9 menores que 9/2.

Podemos construir

dos polígonos

regulares estrellados

de 9 lados uniendo

las divisiones de 2 en

2 y de 4 en 4.

Decágono regular estrellado Por último, uniendo de 3 en 3 obtenemos el

decágono regular estrellado. En él también

"aparece" el número áureo.

El Pentagrama y el Número Áureo

El lema de la Escuela Pitagórica fue todo es número y su emblema el

pentagrama o pentágono regular estrellado. En el pentágono

estrellado figura el número áureo infinidad de veces.

Veamos qué relación existe entre el

pentágono regular y el pentágono

regular estrellado.

Si consideramos el lado del pentágono

la unidad, basta aplicar el teorema del

coseno al triángulo ABC y resulta que

AC es igual al número áureo.

El teorema del coseno afirma que en

todo triágulo un lado al cuadrado es

igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos lados menos el doble producto

de ellos por el coseno del águlo

comprendido.

En nuestro caso, aplicando dicho

teorema al triángulo ABC, tendremos:

AC 2

= AB 2

+ BC 2

- 2 AB. AC. cos

(108)

y como AB = BC = 1, efectuando

operaciones resulta:

AC 2 = 2 - 2 cos (108)

Extrayendo la raiz cuadrada:

AC = 1,6180340...

Considerando el lado del pentágono

regular la unidad, (AG = 1), pueden

obtenerse de forma inmediata las

siguientes expresiones:

¿ Qué pudo hacer que los

pitagóricos sintieran tanta

admiración por el número áureo ?.

Casi con toda seguridad, para la

escuela pitagórica la consideración

del irracional 5 1/2

, de cuya

existencia tuvieron conciencia

antes que de 2 1/2

, tuvo que causar

una profunda reflexión en las

teorías de la secta.

Si tienes alguna duda de las

relaciones del número áureo con el

pentágono estrellado ... ¡mira!, y

así hasta el infinito. Siempre que

encuentres un pentágono regular

podrás hacer lo mismo.

Dado un segmento AB, se dice que está dividido en media y

extrema razón, cuando: "[...] si hay de la parte pequeña a la parte

grande la misma relación que de la grande al todo" (Vitrubio). A

partir del Renacimiento recibió el nombre de Divina Proporción.

La Proporción Áurea fascinó como ideal de belleza a los griegos, a los renacentistas y perdura en nuestros días. Los pintores y escultores del Renacimiento la tuvieron muy en

cuenta ... y también los impresores. En el gráfico de la izquierda se puede apreciar el diseño de la caja y los márgenes de un libro según la normas de la Divina Proporción. En el de la derecha aparece la reproducción de un incunable impreso en Venecia (1495), según dichas normas. Se trata del libro de Pietro Bembo De Aetna (Sobre el Etna). Exquisita tipografía romana, calidad de papel y tinta, proporciones divinas. Una joya.

3.2. Pentágono dado el lado3.3. Heptágono dado el lado3.4.

Octógono dado el ladodel estrellado (construcción exacta)

Operaremos como en el caso anmedia razón del lado del

estrellado,Como en el caso anterior, trazaremextremo A del lado,

con centro enradio A-1, que determinará elperpendicular, y

trazaremos la medque nos determinará punto medio CA

continuación, con centro ecircunferencia de radio A-C. Uniepunto

C, esta recta determinaráanterior el punto 5, siendo el segconvexo

del pentágono buscado.Completaremos el trazado por trianlos

vértices restantes, y uniéndolos

del convexo (construcción aproximada)

Siendo el segmento 1-2 elcomenzaremos trazando la

meditrazaremos la perpendicular en su eA continuación, en el

extremo 1 co30º, que interceptará a la perpeextremo 2, en el punto

D, la distancircunferencia circunscrita al hecentro en 1 y radio 1-D,

trazamos uque interceptará a la mediatriz delcentro de la

circunferencia circunsc Solo resta construir dicha circunobtener los

vértices restantesconvenientemente unidos, nos debuscado.

el convexo (construcción exacta)

Siendo el segmento 1-2 elcomenzaremos trazando un cuadradel

octógono dado.A continuación, trazaremos la medidiagonal del

cuadrado construidorectas se cortan en el punto C, cecentro en C

trazaremos la circunferecuadrado, dicha circunferencia inter lado 1-

2, en el punto O, centr circunscrita al octógono buscado.Solo resta

construir dicha circunobtener los vértices restantesconvenientemente

unidos, nos debuscado.erior, obteniendo en lael lado del convexo.s

la perpendicular en el, trazaremos un arco depunto B, sobre

dichaiatriz del segmento A-B,.C trazaremos unando el punto 1 con

elsobre la circunferenciamento 1-5, el lado delg

ulación, obteniendo asíconvenientemente.lado del heptágono,atriz de

dicho lado, yxtremo 2.struiremos el ángulo dendicular trazada en

elia 1-D, es el radio de latágono buscado, conn arco de

circunferencialado 1-2 en el punto O,ita.ferencia circunscrita, ydel

heptágono, queterminarán el polígonolado del octógono,o de lado

igual al ladotriz del lado 1-2, y unaanteriormente, ambasntro del

cuadrado. Conncia circunscrita a dichocepta a la mediatriz delde la

circunferenciaerencia circunscrita, ydel octógono, queterminarán el

polígono

3.5. Eneágono dado el lado3.6. Decágono dado el lado3.7.

Decágono dado el ladodel convexo (construcción aproximada)

Dado el lado 1-2 del eneágono, coequilátero con dicho lado,

hallando elA continuación, trazaremos la mediatr triángulo, que

pasará por el vértice 11-2, que pasará por A. Con centtrazaremos un

arco, que determinanterior el punto O, que será el cencircunscrita al

eneágono buscado.Solo resta trazar dicha circunfedeterminar sobre

ella los vértices resconvenientemente unidos nos detebuscado.

del convexo (construcción exacta)

Dividiendo el lado del decágono en(segmentación áurea),

obtendremos el racircunscrita al polígono.Comenzaremos trazando

la perpendicullado, con centro en 2 trazaremos un arcdeterminará

sobre la perpendicular anteriola mediatriz del segmento A-2, que

nomedio B, y con centro en B trazaremos laB-A.Uniendo el punto 1

con el B, en su prolopunto C sobre la circunferencia anterior,

scircunferencia circunscrita al polígono. A cla mediatriz del lado 1-

2, y con centro enque determinará sobre la mediatriz anterila

circunferencia circunscrita.Solo resta trazar dicha circunferencia

cisobre ella los vértices restantesconvenientemente unidos nos

determinará

del estrellado (construcción exacta)

Dividiendo el lado del decágono enobtendremos el radio de la

circunferenciay el lado del convexo.Comenzaremos trazando la

perpendicullado, con centro en 2 trazaremos un arcdeterminará

sobre la perpendicular trazaremos la mediatriz del segmento B-su

punto medio C, y con centro en C trazde radio C-B.A continuación,

uniremos A con C, desobre la circunferencia anterior,

siendcircunferencia circunscrita. Trazando unradio A-D,

determinaremos sobre el ladpunto 1, resultando en 1-2 el

ladocorrespondiente. Con centro en 1 y 2 tr radio igual R, que nos

determinaráncircunferencia circunscrita al polígono.Solo resta trazar

dicha circunferencia cisobre ella los vértices

restantesconvenientemente unidos nos determinar struiremos un

triángulotercer vértice en A.iz del lado A-2, de dicho, y la mediatriz

del ladoro en A y radio A-B,ará sobre la mediatriztro de la

circunferenciarencia circunscrita, yantes del polígono, querminarán

el eneágonoedia y extrema razóndio de la circunferenciar en el

extremo 2 delde radio 1-2, que nosr el punto A,

trazaremosdeterminará su puntocircunferencia de radiongación

obtendremos eliendo 1-C, el radio de laontinuación, trazaremos1 un

arco de radio 1-C,r, el punto O, centro decunscrita, y determinar del

polígono, quen el decágono buscado.edia y extrema

razón,circunscrita al polígonoar en el extremo 2 delo de radio 2-A,

que nosanterior el punto B,2, que nos determinaráremos la

circunferenciaerminando el punto D,o A-D el radio de laarco con

centro en A, ydel estrellado dado elel decágono convexozaremos dos

arcos, deen O, el centro de larcunscrita, y determinar del polígono,

queán el decágono.

3.8. Hexágono dada la dista3.9. Octógono dada la dista3.10.

Construcción por semencia entre caras (construcción exacta)

Comenzaremos trazando dos rectas paralelasperpendicular a ambas

rectas, que nos deter Con vértice en 1, construiremos un

ángdeterminará sobre la recta s el punto 4, por una perpendicular

que nos determinará el pulos segmentos 3-4 y 1-6, habremos

obtenidbuscado, la obtención de los dos vérticessimple

triangulación.Solo nos resta unir todos los vértices, par buscado.

cia entre caras (construcción exacta)

Dada la distancia entre caras d, con dicha discuadrado de vértices A,

B, C y D, mediadiagonales obtendremos su centro en O.Con centro

en los cuatro vértices del cuadr arcos de radio igual a la mitad de la

diagonalpasarán por O, y que nos determinarán sobrelos puntos 1, 2,

3, ... y 8, vértices del polígono Solo nos resta unir todos los vértices,

pabuscado.

anza dado el lado del convexo

Aunque en este caso, se trata de la constel procedimiento es

aplicable a cualquier Comenzaremos por la construcción deuna

circunferencia cualquiera, por el proctema anterior, obteniendo en

este caso, uA partir del vértice 1', y sobre la prolllevaremos la

longitud del lado del decágoel punto G. Prolongaremos los

radiotrazaremos una paralela al radio O-1', qprolongación del radio

O-2', el punto 2,vértices del polígono buscado, y resultaradio de la

circunferencia circunscriTrazaremos dicha circunferencia

coninterceptará a la prolongación del radiovértice del polígono

buscado, obteniendodel polígono buscado.Solo resta determinar

sobre la circunf vértices restantes del polígono, que cnos

determinarán el decágono buscado., r y s, y trazaremos unainará los

puntos 1 y 3.ulo de 30º, que nosdicho punto trazaremosto 6 sobre la

recta r. Eno el lado del hexágonorestantes, se hará por a obtener el

hexágonotancia construiremos unnte el trazado de susdo anterior,

trazaremosdel cuadrado, arcos quelos lados del cuadrado,.a obtener

el octógonoucción de un decágono,tro polígono.n decágono inscrito

enedimiento ya visto en elo de sus lados en 1'-2'.ngación del lado 1'-

2',no buscado, obteniendoO-1' y O-2'. Por Ge determinará sobre

lasiendo este uno de losdo la distancia O-2, ela a dicho

polígono.centro en O, que-1' en el punto 1, otroen la cuerda 1-2 el

ladorencia circunscrita, losnvenientemente unidos

7 of 7

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Caracteres: 400

Taira Alejandra Guevara Bonilla

esta en toda no

reply2 days ago

Dianita MoOxa

m k mal no hay lo q kiero no vale q verga sa qn algo bueni que sirva

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :) ya ok =?¡

reply04 / 24 / 2012

Graciela Castillo

ahhhhhh

reply04 / 18 / 2012

Jorge L Marquez S

que bien

reply02 / 07 / 2011

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Construccion de Poligonos Regulares

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