POLINOMIO CARACTERISTICO

Temas sobre Matrices, combinando lo que

ya se ha aprendido hasta hoy, sobre

Vectores, Rectas y Planos, combinndolos

en espacios vectoriales

Temas de Exposicin T3

Acua Ruiz, Jess Manuel Cabada Quiliche, Jan Jhoel Cceres Vsquez, Ronald Mijail Julcamoro Vsquez, Patricia Maribel Luzn Paredes, Oscar Paul Santiago Ordoez Malaver, Edmir Simon

TEMAS DE EXPOSICIN T3 GEOMETRIA ANALITICA 1

TEMAS DE EXPOSICIN T3

INDICE 1. INTRODUCCION .................................................................................................................... 2

2. RESUMEN .............................................................................................................................. 2

3. OBJETIVOS ............................................................................................................................. 2

4. POLINOMIO CARACTERISTICO ............................................................................................. 2

a. DEFINICION: ...................................................................................................................... 2

b. PROPIEDADES: .................................................................................................................. 3

c. EJEMPLOS: ......................................................................................................................... 3

5. VALORES Y VECTORES PROPIOS (CARACTERISTICOS) ......................................................... 3

a. DEFINICION ....................................................................................................................... 3

b. EJEMPLOS .......................................................................................................................... 4

6. TRANSFORMACIONES LINEALES .......................................................................................... 4

a. DEFINICION ....................................................................................................................... 4

b. EJEMPLOS .......................................................................................................................... 4

7. INVERSA DEUNA MATRIZ 3X3 EN ADELANTE (GAUS Y DIRECTO) ....................................... 4

a. DEFINICION ....................................................................................................................... 4

b. EJEMPLOS .......................................................................................................................... 5

8. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE Y SU APLICACIN EN LA GEOMETRIA ................................. 5

a. DEFINICION ....................................................................................................................... 5

b. EJEMPLOS .......................................................................................................................... 6

9. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................................................ 6



1. INTRODUCCION

El lgebra lineal, tiene una gran variedad de ejercicios en cuanto se refiere a matrices,

vectores, rectas y planos. Que se emplean efectivamente en las construcciones de todo

tipo, Si bien es cierto no haremos estos clculos al detalle, ya que hay software diseado

para los clculos, pero sin embargo es bueno conocer la metodologa que se persigue tras

estos temas, para que de este modo se despierte e incremente la creatividad e imaginacin

como parte de la formacin profesional como Ingenieros Civiles. Para ello se han realizado

los temas en los cuales veremos un poco ms a profundidad esta parte de la matemtica

que se esta llevando en el Curso de Geometra analtica.

2. RESUMEN

En el presente trabajo, hemos realizado de manera resumida, los temas sobre polinomio

caracterstico, matriz inversa, valor propio y vector propio, tratando de hacerlo lo ms

entendible para nosotros, que como estudiantes necesitamos avanzar paso a paso para

poder experimentar y en base a la experiencia ganada, resolver este tipo de problemas ms

adelante se hagan de manera ms rpida y eficaz.

3. OBJETIVOS

Reconocer los temas para tener conocimiento de ellos

Resolver problemas que se encuentran relacionados a estos temas.

Aprender la solucin ms aceptable segn los problemas propuestos.

4. POLINOMIO CARACTERISTICO

a. DEFINICION:

Para cada matriz A de orden m se tiene que el determinante det(A - I) es un

polinomio de grado m que se llama polinomio caracterstico de A y se denota por

pA()y a ecuacin det(A-I) = 0 se llama ecuacin caracterstica de A.

Matriz A DE ORDEN m

= |

11 1

1 |

Matriz Identidad de A

= |1 0 1 0 1

|

Multiplicacin de por un ESCALAR INDETERMINADO

= | 0 0

|



Resta de la Matriz A -

= |11 1 0

1 0

|

Hallamos la Determinante de la Matriz y su resultado es un

POLINOMIO

Det( )= 1 1

Donde E es del Det(A)

Al Polinomio Anterior lo llamaremos Polinomio Caracterstico de la Matriz A

De manera General el Polinomio Caracterstico de una Matriz de grado m,

estar formada de la siguiente manera:

(1) + (1)1(11 + 22 + + )1

+ ( ) + det ()

El nmero 11 + 22 + + se denomina traza: tr(A)

Las relaciones que ligan las entradas de una matriz con los coeficientes del

polinomio caracterstico son muy complicadas. No obstante, ciertos coeficientes

de dicho polinomio son bien conocidos:

el coeficiente lder (1),

el siguiente (1)1(11 + 22 + + )

y el trmino independiente det ()

b. PROPIEDADES:

Sea A una matriz de orden m y (A) = {1, . . . , m} sus autovalores (recordemos que

pueden aparecer repetidos y ser complejos aunque A sea real). Entonces

tr(A) = 1 + . . . + m.

det(A) = Multiplicacin Conocida

NOTA:

Si se conocen frmulas en algunos casos sencillos, como los de segundo grado, races

n-simas y poco ms. Hay frmulas generales para calcular las races de todos los

polinomios de grado 3 y 4. Se sabe que para un polinomio de grado mayor o igual que

5 no pueden existir dichas frmulas, en el sentido de que no pueden obtenerse las

races del polinomio mediante un nmero infinito de sumas, restas, multiplicaciones,

divisiones y radicales de los coeficientes. Esto quiere decir que en la prctica slo se

pueden calcular los auto valores de una matriz mediante mtodos numricos.

c. EJEMPLOS:

I. AQU VA EL EJEMPLO 1

II. AQU VA EL EJEMPLO 2

5. VALORES Y VECTORES PROPIOS (CARACTERISTICOS)

a. DEFINICION

Sea A una matriz m-cuadrada y un escalar



Se denomina un Valor Propio de A si existe un vector no nulo (que al

multiplicarse en forma de columna) para el que :

= Donde:

= :

: ( )

Se denomina un Vector Propio de A a todo vector que satisfaga AV=V

perteneciente al valor propio

b. EJEMPLOS



6. TRANSFORMACIONES LINEALES

a. DEFINICION

Sea una Funcin T con Dominio en Rn que va hacia Rm entonces T es una

trasformacin lineal si y solo s:

Los vectores con denominacin cualquiera pertenecen al Dominio de T

,

La Transformacin aplicada a la Suma de los Vectores, sea igual a la suma de

las Transformaciones de cada uno de los Vectores

( + ) = () + ()

( + ):

() + ()

La Transformacin aplicada a la Multiplicacin de un Escalar por un Vector,

sea igual la Multiplicacin de un Escalar por la Transformacin del Vector.

() = ()

b. EJEMPLOS



7. INVERSA DEUNA MATRIZ 3X3 EN ADELANTE (GAUS Y DIRECTO)

a. DEFINICION

METODO DE GAUS: Consiste en Obtener la Inversa de una Matriz, es decir,

de tener la MATRIZ A, se va a obtener la Matriz Inversa, es decir A-1. A partir

de la Matriz Identidad de grado 3 que se coloca al lado derecho de la matriz

A se va reemplazando las filas de la Matriz A con ciertas operaciones, hasta

que se obtenga en su lugar la Matriz Indentidad, y en lugar de la Matriz

Identidad Inicial (lado derecho) se obtiene la Matriz Inversa

A|I = |

11 12 1321 22 2331 32 33

|1 0 00 1 00 0 1

|

Luego de Operaciones con Filas en las Matrices, se obtendr

I|1 = |1 0 00 1 00 0 1

|11 12 1321 22 2331 32 33

|

Donde 1 .



1 = |11 12 1321 22 2331 32 33

|

MTODO DIRECTO: Consiste en la aplicacin matemtica de forma bsica, de

encontrar el elemento neutro de la multiplicacin de matrices que es en

definitiva la Matriz identidad( cuyos elementos de la matriz se encontraran

en un sistema de ecuaciones, o si se prefiere, se aplica matriz a ese sistema

de ecuaciones con el mtodo de Gauss), segn la siguiente relacin:

1 = Donde son los elementos conocidos A y I.

A 1 = |

11 12 1321 22 2331 32 33

| |P S T V X Y

|

= |11 + 12 + 13 11 + 12 + 13 11 + 12 + 1321 + 22 + 23 21 + 22 + 23 21 + 22 + 2331 + 32 + 33 31 + 32 + 33 31 + 32 + 33

|

= |1 0 00 1 00 0 1

|

De donde obtenemos las siguientes relaciones 11 + 12 + 13 = 1 11 + 12 + 13 = 0 11 + 12 + 13 = 021 + 22 + 23 = 0 21 + 22 + 23 = 1 21 + 22 + 23 = 031 + 32 + 33 = 0 31 + 32 + 33 = 0 31 + 32 + 33 = 1

Luego de solucionar este sistema de ecuaciones, se encontrarn los valores

de P, Q, R, S, T, U, V, X, Y que formaran parte de la Matriz Inversa

b. EJEMPLOS



8. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE Y SU APLICACIN EN LA GEOMETRIA

a. DEFINICION

Es aquella matriz que nos permite convertir o expresar cualquier Vector expresado

en la Base Cannica con respecto a Otra Base.

= {, , } = {(; ; ); (; ; ); (; ; )}

Puede ser R2 o R3

= {, , } = {(; ; ); (; ; ); (; ; )}

, = |

|

Mtodo a seguir:

PRIMERO: Hallar sucesivamente las coordenadas de cada uno de los vectores

que se encuentran en la Base Cannica con respecto a la Otra Base. Es decir

cada vector en la Base Cannica es igual a la expresin lineal de la Otra Base.

De esta manera se hallan los valores de los coeficientes lineales que hemos

agregado (Ver Expresin Lineal en el espacio Vectorial)

Hacemos esto con el Primer Vector ( PARA LOS DEMAS ES IGUAL)



(; ; ) = (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) Donde los Vectores U, P, Q, R son conocidos, Y se halla A, B, C.

La expresin de U en Base Cannica en la Otra Base es:

(; ; ) = (; ; )

SEGUNDO: Los coeficientes que hemos hallado en el paso uno, de cada uno

de los vectores, los vamos ordenando en una matriz, en forma de columna y

siguiendo el mismo orden en el que los colocamos en la matriz de Cambio de

Base.

, = |

|

b. EJEMPLOS



9. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

http://rodas.us.es/file/665f06c8-05e6-612a-b8ba-

ecdd0235c46f/2/aa_SCORM.zip/page_03.htm

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/policar.htm

http://www.ditutor.com/matrices/multiplicacion_matrices.html

https://www.youtube.com/watch?v=NYA9PNPgDHA

https://www.youtube.com/watch?v=TbIE7ncn8Ag

https://www.youtube.com/watch?v=wGl-E5LRvac

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