POLINOMIO DE TAYLOR

Jhonatan Chantre Andrade: 20111100845

5 de marzo de 2015

Sea f continua en [a, b] y con derivadas hasta de orden n continuas, tam-bien en este intervalo cerrado; supongase que F (n+1)(x) existe en (a, b), en-tonces se tiene:

F (x) = F (X0) + F (X0) (X X0) + F (2)(X0)2! (X X0)2 + ...

... + F(n)(X0)n!

(X X0)n + En

Cuando en el calculo de lmites usamos L-Hopital o algunos infinitesimos,estamos sustituyendo el comportamiento de la funcion cerca del punto por elde su recta tangente. Esta aproximacion que usamos, coincide con la funcionen su valor y el valor de la derivada en el punto; los polinomios de Taylorque construiremos a continuacion se toman para que coincida con la funcionen todas las derivadas.

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Ejercicio.

Hallar la aproximacion lineal de la funcion f (x) =x + 1 en el punto

a=0, de igual forma obtener la aproximacion lineal para el punto a=1.

Solucion.

F (x) =x + 1

F (0) = 1

F (x) = 12X+1

F (0) = 12

F (x) = 14(x+1)

32

F (0) = 18

F (x) = 38(x+1)

52

F (0) = 116

F (x) = 1516(x+1)

72

F (0) = 5128

F (x) = 10532(x+1)

92

F (0) = 7256

Remplazamos en la formula de el polinomio de Taylor.

P (x) = 1 + x2 x2

8+ x

3

16 5x4

128+ 7x

5

256

2

Para a=1

F (x) =x + 1

F (1) =

2

F (x) = 12X+1

F (1) = x22

F (x) = 14(x+1)

32

F (1) = x248

F (x) = 38(x+1)

52

F (1) = 3x3

832

F (x) = 1516(x+1)

72

F (1) = 15x4384

128

F (x) = 10532(x+1)

92

F (1) = 105x5

3840128

Remplazamos en la formula de el polinomio de Taylor.

P (x) =

2 + x22 x2

48

+ 3x3

832 15x4

384128

+ 105x5

3840128

3

Grafica.

Referencias

www.ma.uva.es

www.matematicasvisuales.com

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