Polinomios

a) P = x2 - 2 Q = - 3 x2 + 6

b) P = x + 2 Q = x2 + 4 x +4

1) Efectuar P Q ; 3 P + Q ; P2 – Q e indicar su grado cuando esto sea posible

2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los

siguientes polinomios ? a) P Q b) P3 c) P + Q d) P3 + Q3

3) Determinar a

R para : a) P = a x3 - a x + 2

es tal que P(2) = - 1

b) P = x2 + 2 x + a es tal que 0 es una de sus raíces

c) P = a x2 - a x + 6

satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2

Trabajo Práctico Nº 6Polinomios

4) Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada uno de los siguientes casos :

141 4 xP

axxP 23 72 22 2 xQ

2xQ

5) Determinar el valor de k tal que P = 2 x3 + k x2 + 5 x + 3 sea divisible por Q = x2 - x + 3

6) ¿ Para qué valores de a y b el polinomio es divisible por

(x + 4) ; y tiene resto -18 al dividirlo por (x - 2) ?

bxaxxP 234

41

a)

b)

7) Determinar a, b, c R  para que :

a) P = a x2 + b x + c tenga a 1 y a 0 como raíces

b) P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b tengan a 2 como raíz común

8) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios :

122 23 xxxP 47

3 24 xxP

3211

321 23 xxxP 6575 234 xxxxP

xxxxP 44 234 si i es raíz de P

9) Factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que x

= 2 es una raíz doble.

a)

b)

c)

d)

e)

a) P = (x - 1)2 (x2 - 1) (x3 - 1) = 1

b) P = x8 - x6 + 6 x3 = 0

10) Determinar en cada caso la multiplicidad de como raíz de P :

11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el producto de dos de ellas es 1.

b) Dado P(x) = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m en los siguientes casos

 

i) las raíces son opuestas iii) las raíces son reales e iguales.

ii) las raíces son recíprocasc) Hallar las raíces de los siguientes polinomios

reales  i) P(x) = 2 x3 - x2 - 18 x + 9 si 1 + 2 = 0

ii) P(x) = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 si 1 = 2 + 3

Un polinomio es una expresión de la forma

012

22

21

1 axaxaxaxaxaP nn

nn

nn

...............

una sucesión de sumas de términos conformados por un coeficiente ai multiplicado por un factor xi

Podemos escribir

n

i

ii xaP

0donde el coeficiente an se llama coeficiente principal

el mayor exponente de x (n), le da el grado al polinomio

Decimos entonces que el polinomio

02

22

2 axa...............xaxaP nn

nn

es de grado n

Si an 0 y aunque alguno(s) –o todos- los coeficientes ai an sean nulos

el polinomio es de grado n, pero incompleto

P = x3 – 3 x2 + 6 x -1

P = x4 – 3 x2 + 6 x -1

polinomio completo de grado 3polinomio incompleto de grado 4

11 22 33

Faltan los términos de grado

1 y n-1

La suma de polinomios, se efectúa operando solamente entre términos de igual grado

P = x4 – 3 x2 + 6 x –1 Q = x3 – 5 x2 - 2 x + 3

P + Q =

agrupamos los términos de igual grado de cada polinomio;

x4 +

Y luego operamos los términos obtenidos

x3 + + +( - 3 x2 – 2 x2 ) ( 6 x – 2 x )

( -1 + 3 )

P = x4 + x3 – 5 x2 + 4 x + 2

Para multiplicar dos polinomios, se usa la propiedad distributiva (aplicando la regla de los signos) y luego se resuelven cada uno de los términos que resulten

R · S = ( x4 – 3 x2 + 6 x ) · ( x3 - 2 x + 3 ) =

= x4 · x3 + x4 · (-2 x) + x4 · 3 + (-3x2) · x3 + (-3x2) · (-2x)

+ ( -3 x2) · 3 + 6x · x3 + 6x · (-2x) + 6x · 3 =R · S = x7 - 2x5 + 3x4 - 3x5 + 6x3 - 9x2 + 6x4 - 12x2 + 18x =

Luego sumamos los términos de igual grado

R · S = x7 - 5x5 + 9x4 + 6x3 - 21x2 + 18x

P + Q = ( x4 – 3 x2 + 6 x –1 ) + ( x3 – 5 x2 - 2 x + 3 )

11 22 33

1 ) Si a) P = x2 – 2 y Q = - 3 x2 + 6

P Q = ( x2 – 2 ) ( - 3 x2 + 6 ) =

x2 (- 3 x2) + x2 6 + (– 2 ) (-3x2)+ (-2) 6 =

P Q = -3 x4 + 6 x2 + 6 x2 - 12 =

-3 x4 + 12 x2 - 12

3P Q = 3 ( x2 – 2 ) + ( - 3 x2 + 6 ) =

3 x2 – 6 - 3 x2 + 6 =

0

P2 Q = ( x2 – 2 )2 ( - 3 x2 + 6 ) =

grado 4

( x4 - 4x2 + 4 ) ( - 3 x2 + 6 ) =

= -3x6 + 6x4 + 12x4 - 24x2 - 12x2 + 24 =

-3x6 + 18x4 - 36x2 + 24 grado 6

P Q = ( x + 2 ) ( x2 + 4 x + 4 ) =

x3 + 4 x2 + 4 x + 2 x2 + 8 x + 8 =

x3 + 6 x2 + 12 x + 8

3P + Q = 3( x + 2 ) + ( x2 + 4 x + 4 ) =

(3 x + 6) + (x2 + 4 x + 4) =

x2 + 7 x + 10

P2 Q = ( x + 2 )2 ( x2 + 4 x + 4 ) =

( x2 + 4 x + 4 ) ( x2 + 4 x + 4 ) =

= x4 + 4x3 + 4x2 + 4x3 + 16x2 + 16x + 4x2 + 16x + 16 =P2 Q = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16

grado 4

grado 3

grado 2

b) P = x + 2 Q = x2 + 4 x +4

2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los siguientes polinomios ?

d) P3 + Q4

a) P · QEl grado de un producto de polinomios siempre va

a estar dado por la suma de los grados de los polinomios

Si P es gr(4) y Q es gr(3) P · Q es gr (7)

b) P3 La potencia de un polinomio será otro polinomio cuyo grado es el grado del polinomio base multiplicado por el

exponenteSi P es gr(4) P3 es gr (4 · 3) = 12

c) P + Q El grado de la suma de dos polinomios será igual al grado del polinomio de mayor grado ó eventualmente menos (si los términos

de mayor grado se anulan entre sí)

Si P es gr(4) y Q es gr(3) P + Q es gr (4) ó menor

Si P es gr(4) P3 es gr(12) y si Q es gr(3) Q4 es gr(12)

P3 + Q4 es gr (12) ó menor

3 a) si P = a x3 - a x + 2 para hallar a tal que P(2) = - 1

debemos especializar el polinomio por x = 2

Esto es colocar el valor 2 en cada uno de los lugares que ocupa x en el polinomio

P = a x3 - a x + 2 = a 23 - a 2 +

2 a 8 - a 2 + 2

= 8 a – 2 a + 2

= 6 a + 2

e igualamos a - 1

= - 1

resolvemos despejando a

= - 1

6 a = - 1 - 2

6 a = - 3

a = - 1/2

b) P = x2 + 2 x + a es tal que 0 es una de sus raíces

Las raíces de un Las raíces de un polinomio son los polinomio son los

valores de x que hacen valores de x que hacen el polinomio igual a 0el polinomio igual a 0

P = x2 + 2 x + a =

02 + 2 0 + a = 0

Entonces cuando x = 0 ; P = 0

a = 0

3 c3 c

c) Si P = a x2 - a x + 6 satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2

Para x = - 1

P = a x2 - a x + 6 =

a (-1)2 - a (-1) + 6 =

a 12 + a 1 + 6 =

2 a + 6 = 6

pero . . . 2 a = 6 - 6 a = 0entonces

Si a = 0 P = 0 x2 - 0 x + 6 = 6 y resulta que P no es de grado 2; en consecuencia no existe el valor de a buscado

Algoritmo del cociente de polinomios

5432 2341 xxxxPPara dividir un

polinomio por un polinomio 122

2 xxP planteamos el esquema de la división entre números enteros

5432 234 xxxx 122 xxbuscamos un valor que

multiplicado por el coeficiente principal de P2

2resulte igual en valor absoluto al an de P1 y ése es el coeficiente

principal del polinomio cociente2 1 = 2

y le agregamos como factor x elevado a un valor tal, que

multiplicado por el grado de P2 resulte del mismo grado que P1

x2

Multiplicamos el monomio así formado por cada término de P2 y los resultados encolumnamos debajo de P1 con los

términos de igual grado

234 242 xxx

Luego viene la colocación del signo, operamos en cada caso respetando la regla de los signos, y

luego para restar cambiamos el signo que resulta buscando que al operar el primer término se anule

- -+ +

+

+ + = + para restar coloco -

+

-

+ - = - para restar coloco +

+

+

+ + = + para restar coloco -

44 55

Ahora sumamos

5432 234 xxxx 122 xx

2 x2

234 242 xxx- + -23 37 xx

Bajamos el término de mayor grado de P1 que

todavía no se operó, con su signo

x4

Y empezamos de nuevo el procedimiento 7 x

xxx 7147 23 +

+

- -

xx 311 2 5

11

+

112211 2 xx- -+

1619 x

Resultado :

1172 2 xxC

resto 1619 xR

De manera que: C P2 + R = P1

4) Para dividir axxP 23 72 22 2 xQpor

Hacemos el esquema del cociente entre polinomios

Examinamos P y Q, y hallamos que ambos son polinomios incompletos entonces los completamos con términos de coeficientes nulos

axxxP 072 23 202 2 xxQ

202 2 xxaxxx 072 23

y operamos

xxxx 202 23

colocamos los signos de manera que al cambiar para restar, el primer

término del resultado se anule

- - -

sumamos . . .

xx 27 2

bajamos a con su signo

a

Y empezamos a operar nuevamente

27

707 2 xx

+

- - -

72 ax

27

xC

72 axR

+

4) Para dividir 1

41 4 xP 2xQpor

Hacemos el esquema del cociente entre polinomios

Examinamos P y Q, y hallamos que P es un polinomio incompleto entonces lo completamos con términos de coeficientes nulos

100041 234 xxxxP 2xQ

2x100041 234 xxxx

y operamos

3

41

x34

21

41

xx

colocamos los signos de manera

que al cambiar para restar, el primer término del resultado se

anule

- +

sumamos . . .

3

21

xbajamos 0x2 con su signo

20x

Y empezamos a operar nuevamente

2

21

x

23

21

xx

+

- -2x

221

41 23 xxxC

3R

+

x0

x

xx 22

-

+ -1x2

otra vez . . .

2-

42x+ -- 3

352 23 xkxxP

32 xxQsea divisible por por

Hacemos el esquema del cociente entre polinomios

buscaremos el cociente P / Q, y al resto lo igualamoa a cero. Entonces podremos decir que P es divisible por Q

32 xx352 23 xkxx

y operamos

x2xxx 622 23- + -

xx)k( 22bajamos 3

3 Y empezamos a operar nuevamente

)k( 2

)k(x)k(x)k( 2322 2

+

- + -

)k(x)k( 331

+

5) para determinar k tal que

Para que P sea divisible por Q, el resto debe ser 0

0331 )k(x)k( 0131 )k(x)k(

Ambos términos deben ser 0; y esto se logra con

01 )k( 1k

es divisible por (x + 4) ; entonces bxaxxP 234

41

6)

Si P es divisible por (x+4); -4 es raíz del polinomio; luego si especializo el polinomio por –4, tendrá resultado 0

0441

44 234 b)()(a)(P 0464256 baentonces

Si al dividir por (x-2) se obtiene resto -18 18241

22 234 baP

181816 baP entonces 181816 ba

Con los resultados obtenidos componemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

0464256 ba Se puede escribir 25264 ba

181816 ba Se puede escribir 181816 ba

El sistema será:

338

25264

ba

ba

En el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,

Verificamos que las ecuaciones estén ordenadas, de manera que las

incógnitas queden encolumnadas y los términos independientes en el 2º

miembroY resolvemos por cualquiera de los métodos conocidos (determinantes, sustitución, etc.)

721816418

164

2191331252133

1252

)(a

412825283364338

25264

)()()(b

aa

bb

338

25264

ba

ba

2473

a3

172b

2473

72219

3172

181032

724128

El polinomio es:

bxxxP 234

3172

2473

7) P = a x2 + b x + c tiene a 1 y a 0 como raíces

Si 1 y 0 son raíces del polinomio; si especializo el polinomio por 1 y 0 respectivamente, tendrán resultado 0

0002 cbaP entonces 000 c 0c

0112 cbaP entonces 00 bacba ba

Se verifica la condición siempre que c= 0 y a=b pero tienen signos diferentes

b) Si P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b para hallar valores de a y b que tengan a 2 como raíz común

0222 abP 023 baQ

Conformamos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

08

42

ba

ba

Y resolvemos el sistema aplicando sustitución

08

42

ba

basi 08 ba ba 8

Sustituimos este resultado en la primera ecuación y tenemos

482 )a(a 416 aa 415 a entonces 15

4a

Ahora que conocemos el valor de a, podemos buscar el valor de b, haciendo:

ba 8 b)( 154

81532

b

Los polinomios buscados resultan ser:

154

15322 xxP

1532

154 3 xQ

Regla de RuffiniAl dividir un polinomio

012

22

21

1 axaxaxaxaxaP nn

nn

nn

...............

por un polinomio Q de grado 1 de la forma x -

xQEl resultado será un

polinomio C de grado n – 1

012

22

21

1 cxcxcxcxcC nn

nn

...............

Aplicamos la siguiente regla : Se trazan dos rectasse escriben los coeficientes del polinomio P en orden de grado

decreciente

an an-

1

an-2 a2 a1 a0. . . . . . .

Se ubica convenientemente el valor

y se procede con el siguiente algoritmoBajamos el coeficiente principal an como

cn-1

cn-1

multiplicamos cn-1 x y colocamos debajo de an-1

cn-1

Sumamos an-1+

cn-1

cn-2

y multiplicamos ese resultado cn-2 x y colocamos debajo de an-2

cn-2

cn-3

c2 c1 c0

c1 c0 r

Y repetimos sucesivamente el procedimiento hasta terminar de operar los coeficientes

8a8a

99

8b8b

8c8c

1010

8e8e

En el esquema a2 a1 a0

. . . . . . .

cn-1

cn-1

cn-2

cn-2

cn-3

c2 c1 c0

c1 c0 r

an an-

1

an-2

Los ci son los coeficientes del polinomio cociente

012

22

21

1 cxcxcxcxcC nn

nn

...............

Y r es el resto que resulta de dividir P / QP

r

Q

C

Observe que si P es divisible por Q, r = 0

y también que si r = 0 ; es raíz del polinomio

. . . . . . .

. . . . . . . 8a8a

99

8b8b 8c8c

10108e8e

Teorema de Gauss01

22

22

11 axaxaxaxaxaP n

nn

nn

n

...............

Sea

Si P admite raíces racionales, éstas raíces serán de la forma q

p

donde p es divisor de a0

Si P = x3 - 2x2 – x + 2

a0 = 2 y an = 1

p: divisores de 2 son 2 ; 1q: divisores de 1 son 11

11

111

21

22

12

qp

posibles raíces son: 2 ; 1

Es claro que los valores p/q hallados no son necesariamente las raíces, sino que pueden ser

raíces, porque, si el polinomio admite raíces racionales, entonces esas raíces son de la forma

p/q pero . . .

No todos los p/q tienen que ser necesariamente raíces del polinomio P

Si las raíces no son racionales; son irracionales o complejas, en ese caso no estarán entre los valores hallados de la

forma p/q

y q es divisor de an

99

8a8a

8b8b

8c8c

Para comprobar cuales son raíces y cuales no, una alternativa es especializar en el Polinomio cada uno de los

valores de p /q que son posibles raíces.

y las posibles raíces son: 2 ; 1

Si P = x3 - 2x2 – x + 2

Para x = 2 P = 23 – 2 22 – 2 + 2

= 8 – 8 – 2 + 2 =

0 x = 2 es raíz

Para x = -2

P = (-2)3 – 2 (-2)2 – (-2) + 2

= - 8 – 8 + 2 + 2 =

-12 x = - 2 no es raíz

Para x = -1

P = (-1)3 – 2 (-1)2 – (-1) + 2

= - 1 – 2 + 1 + 2 =

0 x = -1 es raíz

Para x = 1 P = 13 – 2 12 – 1 + 2

= 1 – 2 – 1 + 2 =

0 x = 1 es raíz

P es polinomio es de grado 3 y tiene entonces tres raíces; por ser las tres raíces racionales, pudieron ser encontradas mediante el Teorema

de GaussObserve también que la aplicación del Teorema de Gauss nos proporcionó

una “posible raíz” de la forma p/q; x = -2 que resultó no ser raíz de P

Porque el teorema de Gauss proporciona todas las raíces racionales, pero no todas las expresiones p/q tienen

necesariamente que ser raíces del polinomio

99

8a8a

8b8b

8c8c

Descomposición de un polinomio en un producto de factores

binomiales

012

22

21

1 axaxaxaxaxaP nn

nn

nn

...............Sea

Cuyas raíces son 1; 2; 3; . . . . . n-1; n

El polinomio P puede escribirse

)x()x(...)x()x()x(aP nnn 1321

Observe que si x toma el valor de cualquiera de las raíces iHabrá al menos un factor que será (x - i) = (i - i )

= 0 Haciendo P = 0

Puede suceder que un valor i sea r veces raíz de un polinomioentonces tenemos una raíz múltiple; y suponiendo que 1 es dos veces raíz del polinomio y 2 es tres veces raíz del polinomio y las

restantes raíces son simples, el polinomio factoreado será . . .

)x()x(...)x()x()x(aP jjn 133

22

1

99

8a8a

8b8b

8c8c 8d8d

8e8e

8 a) Para hallar las raíces de 122 23 xxxP

Aplicamos el Teorema de Gauss e identificamos an = 2 y a0 = -1Los divisores de a0 son p = 1

Los divisores de an son p = 1; 2

Las posibles raíces son de la forma 2

121

11 ;;;qp

Podríamos especializar el polinomio con cada uno de estos valores, pero estaríamos solamente comprobando si esos valores son o no raíces del

polinomio; en cambio si aplicamos la Regla de Ruffini, al verificar una raíz, hallamos también un polinomio de grado inferior que es submúltiplo de P y en consecuencia sus raíces son raíces de P; de manera que si las raíces no fueran todas racionales, vamos situándonos en mejores condiciones para

resolver el polinomio, aplicamos entonces Ruffini.

El “sentido” de aplicar Ruffini es que si es raíz del polinomio P, entonces P es divisible por (x - ). Detectamos si es raíz del polinomio P y al mismo

tiempo obtenemos los coeficientes de un polinomio de grado inferior, cuyas raíces son los mismos valores de raíces que nos restan encontrar aún

RuffiniRuffini GaussGauss

8 e8 e8 d8 d8 c8 c8 b8 b

122 23 xxxP

-1

1

2

2

1 3

31

2

2 -1 2

21

21

11 ;;;qp

01 No es raíz del polinomio

-1

-1

2

-2

-3 5

-53

-6

2 -1 2

0 -1 No es raíz del polinomio

-1

2

1

0 2

10

0

2 -1 2

1/2 ES raíz del polinomio

21

RuffiniRuffini GaussGauss

8 e8 e8 d8 d8 c8 c8 b8 b

2

-1

-1

2 0 2

21

0 No es raíz del polinomio

21

Hemos encontrado que 1/2 es raíz del polinomio, entonces es posible escribir

122 23 xxxP como )x)(x(P 2221 2

Buscamos ahora raíces para el polinomio múltiplo

de menor grado21

25

De (2x2 + 2) = 0 despejamos x

022 2x 22 2 x ix 1

Entonces:

122 23 xxxP )ix)(ix)(x( 21

2

Las raíces son 11 = 1/2 ; = 1/2 ; 22 = i ; = i ; 33 = -i = -i Observe que se cumple que: si P tiene raíces racionales, éstas son

de la forma p/q; en este caso existe una raíz racional y dos

raíces complejas asimismo se verifica que: si un número complejo es raíz de un polinomio, su conjugado también es raíz del mismo

polinomio.

RuffiniRuffini GaussGauss

FactoreoFactoreo

Como ejercicio te propongo que verifiques los resultados

obtenidos

8 e8 e8 d8 d8 c8 c8 b8 b

8 b) Para encontrar las raíces de

3211

321 23 xxxP

Multiplicamos previamente todo el polinomio por 2, para eliminar los coeficientes con forma de fracción y hallamos un polinomio equivalente

6116 23 xxxP Que este polinomio es equivalente al polinomio dado, significa que sus raíces son las mismas

an = 1 y a0 = -6

p = 1; 2; 3; 6 y q = 1

6321 ;;;qp

-6

1

1

-5 6

6-5

0

1 -6 11

1

entonces

6116 23 xxxP )xx)(x( 651 22

Buscamos ahora las raíces de

)xx( 65 22

Para aplicar el Teorema de Gauss

Aplicando la Regla de Ruffini

RuffiniRuffini GaussGauss

FactoreoFactoreo

8 e8 e8 d8 d8 c8 c

Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado encontramos las raíces

de 065 22 xx

2

1512

61455 2)(x2 = 3

x3 = 2

Las raíces de

Son xx1 1 = 1; x= 1; x2 2 = 2; x= 2; x3 3 = 3= 3

6116 23 xxxP

)x)(x)(x(P 321 Pero recordemos que este es un polinomio equivalente del que realmente nos interesa, y

que hemos comenzado multiplicando por 2 para trabajar “con mas comodidad”; de manera que lo

recomponemos dividiendo todo el polinomio factoreado por 2

)x)(x)(x(P 32121

Comprobamos que las raíces obtenidas son racionales (enteros) y están incluidas entre las posibles raíces de la forma p/q

FactoreFactoreoo

GaussGauss

8 e8 e8 d8 d8 c8 c

8 c) Al polinomio xxxxP 44 234 Le falta el término independiente

Podemos comenzar sacando factor común x

)xxx(xP 4423

Encontramos que la primera raíz xx11 = = 00

(si x = 0 al ser x un factor, se anula toda la expresión)

Buscamos entonces las restantes raíces en

4423 xxx

an = 1 y a0 = -4

p = 1; 2; 4 y q = 1421 ;;

qp

donde

-4

1

1

2 -2

-22

1 1 -4

1

-6 0

1 No es raíz

-4

1

-1

0 -4

40

1 1 -4

-1

0

-1 ES es raíz; xx22 = -1 = -1

p son divisores de a0

q son divisores de an

RuffiniRuffini GausGausss

FactoreFactoreoo

8 e8 e8 d8 d

despejamos 042 x 4x

el polinomio P se puede factorear (transformarlo en un producto de factores binomiales)

)xxx(xP 4423

)x)(x(xP 41 2

)x)(x)(x(x 221

42 x

FactoreFactoreoo

Buscamos ahora las raíces de

42 x

entonces )x)(x(x 41 2 )xxx(xP 4423

xx33 = 2 = 2 yy xx44 = -2 = -2

Con xx11 = 0 = 0 yy x x22 = -1 = -1 hallados

8 e8 e8 d8 d

124

71433 2

ix

21

1 x

ix27

27

3 2

793

243

21

2 x

ix27

27

4

47

3 24 xxP

Puede factorearse como

ixixxxP

27

27

21

21

a = 1; b = 3; c= -7/4a = 1; b = 3; c= -7/4

FactoreFactoreoo

Es posible aplicar la fórmula para la ecuación bicuadrática, que no es otra cosa

que: a la fórmula de la ecuación de segundo grado

aacbb

x2

42

21

Aplicarle nuevamente raíz Aplicarle nuevamente raíz cuadrada,cuadrada, y así

aacbb

x2

42

4321

47

3 24 xxP8 d) Si

Polinomio de grado cuatro con los términos de grado 3 y 1 nulos

8 e8 e

-5

i

1

i

-5 + i

6 - 5i

5 + 6i-1 - 5i

6i

1 -5 7 6

-6

0

-i

-5 6 01

-i 5i -6i )xx)(ix)(ix(P 652

1261455 2

32

)(

x 215

224255

32

x

33 x

24 x

Finalmente

)x)(x)(ix)(ix(P 23

]ix)i(x)i(x)[ix(P 6565 23

RuffiniRuffini FactoreFactoreoo

6575 234 xxxxP8 e) SiSabiendo por la consigna que i es raíz del polinomio

Entonces –i también es raíz del polinomio; aplicaremos Ruffini para esas dos raíces conocidas y el polinomio de

grado 4 quedará reducido a un polinomio de grado 2

Factorear un polinomio es transformar la expresión

012

22

21

1 axaxaxaxaxaP nn

nn

nn

...............

En otra de tipo

)x)(x.....().........x)(x(aP nnn 121

Donde los i son las raíces del polinomio con 1 i n

Puede suceder que 1 = 2 = 3 entonces diremos que ese valor de 1 es tres veces raíz del polinomio ó lo que es lo mismo 1 es raíz triple de

PEn un polinomio de grado 8 (que tiene n raíces) pueden haber, por ejemplo 2 raíces dobles, una triple y una simple, en ese caso será

)x()x()x()x(aP n 43

32

22

1

1 es raíz doble 3 es raíz triple

2 es raíz doble 4 es raíz simple

Raíces múltiples

99 1010

9) Para factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo

que x = 2 es una raíz doble.

Buscamos las restantes raíces aplicando Ruffini

-8

2

1

2

-2 2

4-4

-4

1 -4 6 8

-8

0

2

0 2 01

2 0 4

Por ser x = 2 raíz doble, volvemos a aplicar Ruffini para x

= 2

Ahora despejamos x de la expresión resultante

022 x 2xix 23

ix 24 Conocidas todas las raíces, factoreamos el polinomio

)ix)(ix)(x)(x(P 2222 Que también se puede escribir

)x()x(P 22 22

)xxx)(x(P 4222 23

)x)(x)(x(P 222 2

RuffiniRuffini FactoreFactoreoo

10 a) determinar la multiplicidad de = 1 en P = (x - 1)2 (x2 - 1) (x3 - 1)

P es un polinomio de grado 7 porque (x - 1)2 y (x2 - 1) son de grado 2 ; y (x3 - 1) es de grado 3; entonces P es de grado 7

Significa que P tiene 7 raíces, que pueden repetirse varias veces; o ser todas iguales ó ser todas diferentes, etc.

Analizamos por separado cada factor

(x - 1)2 = (x - 1) (x - 1)

Acá x = 1 es dos veces raíz del

polinomio(x2 - 1) = (x – 1 ) (x + 1)

acá x = 1 es una vez más raíz del polinomio

En x3 – 1 -1

1

1

1 1

11

0

1 0 0

1Resolviendo x2 + x + 1 = 0 se obtienen las restantes raíces

1 es nuevamente una vez mas raíz del

polinomio

también x = -1 es raíz del polinomio

RuffiniRuffini FactoreFactoreoo

10 b10 b

ixix)x()x()x()x(P

23

21

23

21

1111 2

= 1 es cuatro veces raíz de P; el orden de multiplicidad de =1 es

4

Resolviendo P = x2 + x + 1 = 0 con la fórmula de la ecuación de segundo grado

Para a x2 + b x + c = 0

acabb

x

2

42

21

Resolvemos con a = 1; b= 1; c=1

1211411 2

231

231 i

ix23

21

1

ix23

21

2 P = (x - 1)2 (x2 - 1) (x3 - 1) es

ixix)x()x()x()x()x(P

23

21

23

21

11111

Diferencia de cuadrados

FactoreFactoreoo

10 b10 b

Factoreamos P y obtenemos

Con seguridad el factor

Podemos afirmar entonces que el orden de multiplicidad de la raíz = 0 en

10 b) Para determinar la multiplicidad de = 0 en

Es k = 3Es k = 3

368 6xxxP

)xx(xP 6353

635 xx No tiene raíz 0

)xx(xP 6353

FactoreFactoreoo

Relaciones entre Raíces y Coeficientes

Dado un polinomio

012

22

21

1 axaxaxaxaxaP nn

nn

nn

...............

Con raíces 1; 2; 3; . . . . n-1; n

Es posible establecer relaciones entre las raíces i y los coeficientes ai de

P1 + 2 + 3 + n-1 + n =

1 2 + 1 3 + . . . . + n-1 n =

n

n

aa 1

n

n

aa 2

1 2 3 + . . . . + n-2 n-1 n =

n

n

aa 3

1 2 3 n-2 n-1 n =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

n

n

aa

)( 01

La suma de las raíces es igual al segundo coeficiente cambiado de signo, dividido por el coeficiente

principalLa suma de los productos binarios de

las raíces es igual al tercer coeficiente, dividido por el

coeficiente principal

Análogas reglas valen para las sumas de los productos ternarios, cuaternarios, etc, con signos – ó + alternativamente

El producto de las n raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal, con signo + ó -, según que n

sea par o impar, respectivamente

11a11a 11b11b 11c11c

11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el producto de dos de ellas es 1.

Por ser P de grado 3, sabemos que P tiene 3 raíces

Por relaciones entre raíces y coeficientes

1 2 3 =

26

1 3)(

1 2 3 n-2 n-1 n =

n

n

aa

)( 01

331 ))((3

1 2 3 = 3

1 2 = 1 1 3 = 3

33 = 3 = 3

-6

2

6

-5 2

6-15 0

2 -11

17

3

pero entonces

ahora resolvemos la

ecuación

0252 2 xx

2222455 2

21

x4

354

95

x1 = 2

x2 = 1/2Factoreando

)x)(x)(x(P 21232

Aplicamos Ruffini con la raíz conocida

Te propongo la verificación de los resultados, que consiste en efectuar el producto de los factores binomiales y

obtener el polinomio P11 c11 c11 b11 b

11 b i) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las raíces de P sean opuestas

Si las raíces de P deben ser opuestas 1 = - 2

Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes

1 + 2 =n

n

aa 1

en nuestro caso

1 + 2 = m)m(

817

pero por otro lado, sabemos

que

1 + 2 =- 2 + 2 = 0

Entonces podemos escribir 1 + 2 = 0

817

m

)m(entonces m 0

y 017 )m( 077 m 77 m 1m

Verificamos para m = 1

11178 2 x)(xP 18 2 xP

Igualando el polinomio a 0 y despejando x tengo las raíces

018 2 x81

xix

81

1

ix81

2 11 c11 c

11 b ii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las raíces de P sean recíprocas

Si las raíces de P deben recíprocas

Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes

1 2 =na

a0

en nuestro caso

1 2 = m81 pero por otro

lado, sabemos que

1 2 =

Entonces podemos escribir

1 2 = con m 0

y 18 m

21

1

m811

22

2

2

1m81

81

m Verificamos para

1181

781

8 2 x)(xP 18492 xxP Igualando el

polinomio P a 0 y aplicando la fórmula que resuelve la

ecuación de 2º grado

81

m

12

114849

849

2

21

x

9651 ,x

1702 ,x

11 c11 c

P tiene dos raíces (grado 2) y si las raíces son iguales 1 = 2

En la fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado a

cabb2

42

042 cab Para que al quedar como soluciones solamente a

b2

sean 1 = 2ma 8 )m(b 17 1c

042 cab 018417 2 )m()]m([ 032149 2 m)m(

0321249 2 m)mm( 032499849 2 mmm 04913049 2 mm

Resuelvo ahora la ecuación de 2º grado

492

49494130130 2)(

11 b iii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las raíces de P sean reales e iguales

hacemos

98

7296130

98216130

1

m

98216130

2

m

11 c11 c

11 c i) Para hallar las raíces de P = 2 x3 - x2 - 18 x + 9 sabiendo que 1 + 2 = 0

Planteamos 2

121

321

Pero si 1 + 2 = 0

21

0 3 entonces 21

3

9

2

1

0 -18

-90

0

2 -1 -18

21

Buscamos las restantes raíces

0182 2 x 92182 x

Entonces 11 = 3 y = 3 y 22 = - 3 = - 3Factoreando

21

3329182 23 x)x)(x(xxxP

Aplicamos Ruffini Podemos escribir

)x)(x(xxxP 18221

9182 223

Recuerde que se trata de un polinomio no mónico (an

0 ) El polinomio factoreado tiene como factor el coeficiente principal

11 c) ii) Para hallar las raíces de P = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 sabiendo que 1 = 2 + 3

Planteamos

212

321 Pero si 1 = 2 + 3

211 entonces 22 1

2

1

-1

1 2

-2-1

0

1 2 3Buscamos las restantes raíces

022 xx

Factoreando

ixix)x(P

27

21

27

21

1

luego

11

-1

12

21411 2

2

811

La raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario, que lo resolvemos calculando la raíz cuadrada del valor absoluto y agregamos el

imaginario i

i27

21

2

i27

21

3

Aplicamos Ruffini

Vamos ! ! ! Vamos ! ! !

Que falta menos ! ! !Que falta menos ! ! ! Lo esencial es Lo esencial es invisible a los invisible a los

ojosojosA. De Saint ExuperyA. De Saint Exupery

Así como el hierro se oxida por falta de uso, así Así como el hierro se oxida por falta de uso, así también la inactividad destruye el intelectotambién la inactividad destruye el intelecto.. Leonardo Da Vinci.Leonardo Da Vinci.