Por qué y para qué estudiar cohomología de De Rham p-ádica
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Por qu´ e y para qu´ e estudiar la cohomolog´ ıa de De Rham p-´ adica Introducci´ on al Seminario Dr. J. Rogelio P´ erez Buend´ ıa CIMAT 20 de octubre de 2015
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Por que y para que estudiar la cohomologıa de
De Rham p-adica
Introduccion al Seminario
Dr. J. Rogelio Perez Buendıa
CIMAT
20 de octubre de 2015
En este Seminario:
Queremos estudiar el artıculo de Zoghman Mebkhout y Alberto
Arabia:
Arabia, A., & Mebkhout, Z. (2010). Infinitesimal p-adic topos of
a smooth scheme I. Annales De L’institut Fourier, 60(6),
1905–2094.
Para:
I Entender la construccion de su cohomologıa para variedades
en caracterıstica p.
I Entender como esta cohomologıa es “mejor” (o diferente) que
las otras cohomologıas p-adicas.
I Aplicar esta teorıa.
Para:
I Entender la construccion de su cohomologıa para variedades
en caracterıstica p.
I Entender como esta cohomologıa es “mejor” (o diferente) que
las otras cohomologıas p-adicas.
I Aplicar esta teorıa.
Para:
I Entender la construccion de su cohomologıa para variedades
en caracterıstica p.
I Entender como esta cohomologıa es “mejor” (o diferente) que
las otras cohomologıas p-adicas.
I Aplicar esta teorıa.
Motivacion: Soluciones de ecuaciones sobre campos finitos
I k un campo finito con q elementos; podemos pensar que
k = Fp.
I k una cerradura algebraica de k que mantendresmos fija.
I kn la extension finita de grado n de k dentro de k.
I X → Spec(k) una variedad algebraica (proyectiva) sobre k.
I Nn = Nn(X ) := |X (kn)| el numero de puntos kn-racionales de
X .
Motivacion: Soluciones de ecuaciones sobre campos finitos
I k un campo finito con q elementos; podemos pensar que
k = Fp.
I k una cerradura algebraica de k que mantendresmos fija.
I kn la extension finita de grado n de k dentro de k.
I X → Spec(k) una variedad algebraica (proyectiva) sobre k.
I Nn = Nn(X ) := |X (kn)| el numero de puntos kn-racionales de
X .
Motivacion: Soluciones de ecuaciones sobre campos finitos
I k un campo finito con q elementos; podemos pensar que
k = Fp.
I k una cerradura algebraica de k que mantendresmos fija.
I kn la extension finita de grado n de k dentro de k.
I X → Spec(k) una variedad algebraica (proyectiva) sobre k.
I Nn = Nn(X ) := |X (kn)| el numero de puntos kn-racionales de
X .
Motivacion: Soluciones de ecuaciones sobre campos finitos
I k un campo finito con q elementos; podemos pensar que
k = Fp.
I k una cerradura algebraica de k que mantendresmos fija.
I kn la extension finita de grado n de k dentro de k.
I X → Spec(k) una variedad algebraica (proyectiva) sobre k.
I Nn = Nn(X ) := |X (kn)| el numero de puntos kn-racionales de
X .
Motivacion: Soluciones de ecuaciones sobre campos finitos
I k un campo finito con q elementos; podemos pensar que
k = Fp.
I k una cerradura algebraica de k que mantendresmos fija.
I kn la extension finita de grado n de k dentro de k.
I X → Spec(k) una variedad algebraica (proyectiva) sobre k.
I Nn = Nn(X ) := |X (kn)| el numero de puntos kn-racionales de
X .
La funcion Z de Weil
Weil, A. (1949). Numbers of solutions of equations in finite fields.
Bull. Amer. Math. Soc, 1–12.
ZX (t) := exp
( ∞∑s=1
Ns(X )ts
s
)∈ Q[[t]]. (0.1)
Notar que si yo conozco a la funcion Z (X ) entonces podemos
recuperar a los numeros Ns .
La funcion Z del espacio proyectivo
Ejemplo
Si X = Pnk entonces Ns(X ) = qs(n+1)+1
qs−1 =∑n
i=0 qsi
Entonces:
∞∑s=1
Nsts
s=∞∑s=1
(n∑
i=0
qsi ts
s
)=∞∑s=1
(n∑
i=0
(qi t)s
s
)
que usando la identidad: − ln(1− t) =∑∞
s=1ts
s obtentemos:
ZX (t) =1
(1− t)(1− qt) · · · (1− qnt).
Las Conjeturas de Weil
Supongamos que X es suave y proyectiva sobre el campo finito k.
I Racionalidad: La funcion ZX (t) es una funcion racional en t,
es decir ZX (t) ∈ Q(t)
I Ecuacion Funcional: Existe un numero E (la caracterıstica
de Euler) tal que:
ZX
(1
qnt
)= ±qnE tEZX (t).
I Analogo a la Hipotesis de Riemann: La funcion Z se puede
escribir de la forma:
ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d−1(t)
P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)
en donde d = dimX , P0(t) = 1− t; P2d(t) = 1− qd t y para
el resto se tiene que Pi (t) =∏
(1− αij t), con los αij enteros
algebraicos con valor absoluto igual a qi/2.
Las Conjeturas de Weil
Supongamos que X es suave y proyectiva sobre el campo finito k.
I Racionalidad: La funcion ZX (t) es una funcion racional en t,
es decir ZX (t) ∈ Q(t)
I Ecuacion Funcional: Existe un numero E (la caracterıstica
de Euler) tal que:
ZX
(1
qnt
)= ±qnE tEZX (t).
I Analogo a la Hipotesis de Riemann: La funcion Z se puede
escribir de la forma:
ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d−1(t)
P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)
en donde d = dimX , P0(t) = 1− t; P2d(t) = 1− qd t y para
el resto se tiene que Pi (t) =∏
(1− αij t), con los αij enteros
algebraicos con valor absoluto igual a qi/2.
Las Conjeturas de Weil
Supongamos que X es suave y proyectiva sobre el campo finito k.
I Racionalidad: La funcion ZX (t) es una funcion racional en t,
es decir ZX (t) ∈ Q(t)
I Ecuacion Funcional: Existe un numero E (la caracterıstica
de Euler) tal que:
ZX
(1
qnt
)= ±qnE tEZX (t).
I Analogo a la Hipotesis de Riemann: La funcion Z se puede
escribir de la forma:
ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d−1(t)
P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)
en donde d = dimX , P0(t) = 1− t; P2d(t) = 1− qd t y para
el resto se tiene que Pi (t) =∏
(1− αij t), con los αij enteros
algebraicos con valor absoluto igual a qi/2.
Las Conjeturas de Weil: Los Numeros de Betti
Si hacemos Bi := degPi (t) y lo llamamos el i-esimo numero de
Betti de X . Entonces se cumple que:
E =∑
(−1)iBi
Recordemos que E aparece en la ecuacion funcional y puede ser
calculado explıcitamente como el numero de autointerseccion de la
diagonal ∆ ⊂ X × X o como la clase mas grande de Chern del haz
tangente de X .
Si X tiene un levantamiento a caracterıstica cero
Mas aun: Si X se obtiene como la reduccion (en un primo) de una
variedad Y definida sobre un anillo de enteros de un campo
numerico, entonces Bi (X ) coincide con con el numero de Betti de
YC.
¿Existe una teorıa de cohomologıa p-adica que tenga estos
numeros de Betti?
Weill sugirio que deberıa de existir una teorıa de cohomologıa para
variedades en caracterıstica p que nos calcule los numeros de Betti
Bi (X ).
I La racionalidad y la ecuacion funcional la demostro Dwork
usando tecnicas de analisis p-adico (1960).
I Es deseable que esta tenga coeficientes en caracterıstica cero.
I El resto de las conjeturas fueron demostradas por Deligne
(1974) usando cohomologıa `-adica y usando las ideas de
Grothendieck.
¿Existe una teorıa de cohomologıa p-adica que tenga estos
numeros de Betti?
Weill sugirio que deberıa de existir una teorıa de cohomologıa para
variedades en caracterıstica p que nos calcule los numeros de Betti
Bi (X ).
I La racionalidad y la ecuacion funcional la demostro Dwork
usando tecnicas de analisis p-adico (1960).
I Es deseable que esta tenga coeficientes en caracterıstica cero.
I El resto de las conjeturas fueron demostradas por Deligne
(1974) usando cohomologıa `-adica y usando las ideas de
Grothendieck.
¿Existe una teorıa de cohomologıa p-adica que tenga estos
numeros de Betti?
Weill sugirio que deberıa de existir una teorıa de cohomologıa para
variedades en caracterıstica p que nos calcule los numeros de Betti
Bi (X ).
I La racionalidad y la ecuacion funcional la demostro Dwork
usando tecnicas de analisis p-adico (1960).
I Es deseable que esta tenga coeficientes en caracterıstica cero.
I El resto de las conjeturas fueron demostradas por Deligne
(1974) usando cohomologıa `-adica y usando las ideas de
Grothendieck.
Interpretacion cohomologica: El morfismo de Frobenius
Sea X := X ⊗K k.
I Un campo k de caracterıstica p es perfecto, si su Frobenius
σ : k → k; x 7→ xp es suprayectivo. Supongamos entonces que
nuestro campo k es perfecto (campos finitos son perfectos,
tambien su cerradura algebraica).
I El morfismo de Frobenius f : X → X es definido de tal
manera que en los puntos k racionales de X actua como
x 7→ xp (el Frobenious k-lineal). Es decir:
f : X (k)→ X (k); x 7→ xp
Interpretacion Cohomologica: Puntos fijos
I p ∈ X (k) es un punto fijo de f si, y solo si p ∈ X (k).
I Mas generalmente, p ∈ X (kn) si, y solo si p es un punto fijo
de f n.
I Por lo anterior:
Ns(X ) = # {puntos fijos de f s} =: L(f s , X )
I Formula de putos fijos de Lefschetz: Si X una variedad
suave y propia sobre un campo k, y si f : X → X es un
morfismo con puntos fijos aislados con multiplicidad 1,
entonces el numero de puntos fijos de f se puede calcular
como:
L(f ,X ) =∑
(−1)iTr(f ∗;H i (X ))
Interpretacion cohomologica: En la funcion Z
Ası tenemos que:
ZX (t) =2d∏i=0
[exp
( ∞∑s=1
Tr(f s∗,H i (X ))
)](−1)i(0.2)
Y con un poco de algebra lineal:
ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d−1(t)
P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)(0.3)
con Pi (t) = det(1− f ∗t;H i (X )).
Esto implica que ZX es racional con coeficientes en el anillo de
coeficientes de la cohomologıa. Tambien se puede ver (ver
Hartshorne) que con esto se concluye que E =∑
(−1)iBi .
En busca de una buena cohomologıa p-adica
I Cohmologıa de De Rham de X (definida por Grothendieck)
tiene coeficientes en k (No es buena).
I FAC: Las cohomologıas de gavillas coherentes definidas por
Serre no son buenas.
I La cohomologıa de Dwork- Monsky - Washnitzer para
variedades afines suaves: Se tiene una expresion de la funcion
Z en terminos de esta cohomologıa. Tiene coeficientes de
caracterıstica zero. En su tiempo no se sabıa si era de
dimension finita.
En busca de una buena cohomologıa p-adica
I Cohmologıa de De Rham de X (definida por Grothendieck)
tiene coeficientes en k (No es buena).
I FAC: Las cohomologıas de gavillas coherentes definidas por
Serre no son buenas.
I La cohomologıa de Dwork- Monsky - Washnitzer para
variedades afines suaves: Se tiene una expresion de la funcion
Z en terminos de esta cohomologıa. Tiene coeficientes de
caracterıstica zero. En su tiempo no se sabıa si era de
dimension finita.
En busca de una buena cohomologıa p-adica
I Cohmologıa de De Rham de X (definida por Grothendieck)
tiene coeficientes en k (No es buena).
I FAC: Las cohomologıas de gavillas coherentes definidas por
Serre no son buenas.
I La cohomologıa de Dwork- Monsky - Washnitzer para
variedades afines suaves: Se tiene una expresion de la funcion
Z en terminos de esta cohomologıa. Tiene coeficientes de
caracterıstica zero. En su tiempo no se sabıa si era de
dimension finita.
La cohomologıa de De Rham p-adica
I La cohomologıa Cristalina (Grothendieck-Berthelot). Funciona
bien para variedades propias y suaves que tienen un
levantamiento a caracterıstica cero.
I La cohomologıa Rıgida (Berthelot). Generaliza a la
cohomologıa cristalina y a la cohomologıa de
Monsky-Washnitzer. Funciona para el caso propio y suave. Es
de naturaleza global y se necesita hacer una compactificacion
para que funcione.
I La cohomologıa de De Rham p-adica de Zoghman Mebkhout
y Alberto Arabia.
La cohomologıa de De Rham p-adica
I La cohomologıa Cristalina (Grothendieck-Berthelot). Funciona
bien para variedades propias y suaves que tienen un
levantamiento a caracterıstica cero.
I La cohomologıa Rıgida (Berthelot). Generaliza a la
cohomologıa cristalina y a la cohomologıa de
Monsky-Washnitzer. Funciona para el caso propio y suave. Es
de naturaleza global y se necesita hacer una compactificacion
para que funcione.
I La cohomologıa de De Rham p-adica de Zoghman Mebkhout
y Alberto Arabia.
La cohomologıa de De Rham p-adica
I La cohomologıa Cristalina (Grothendieck-Berthelot). Funciona
bien para variedades propias y suaves que tienen un
levantamiento a caracterıstica cero.
I La cohomologıa Rıgida (Berthelot). Generaliza a la
cohomologıa cristalina y a la cohomologıa de
Monsky-Washnitzer. Funciona para el caso propio y suave. Es
de naturaleza global y se necesita hacer una compactificacion
para que funcione.
I La cohomologıa de De Rham p-adica de Zoghman Mebkhout
y Alberto Arabia.
