Por qué y para qué estudiar cohomología de De Rham p-ádica y su versión Logarítmica.

Por que y para que estudiar cohomologıa de De

Rham p-adica y su version logarıtmica

Congreso de la SMM 2016

Geometrıa Algebraica

Dr. J. Rogelio Perez Buendıa

CONACyT-CIMAT Merida

26 de octubre de 2016

Motivacion: Soluciones de ecuaciones sobre campos finitos

I k un campo finito con q elementos; podemos pensar que

k = Fp.

I k una cerradura algebraica de k que mantendresmos fija.

I kn la extension finita de grado n de k dentro de k.

I X ! Spec(k) una variedad algebraica (proyectiva) sobre k.

I Nn = Nn(X ) := |X (kn)| el numero de puntos kn-racionales de

k = Fp.

La funcion Z de Weil

Weil, A. (1949). Numbers of solutions of equations in finite fields.

Bull. Amer. Math. Soc, 1–12.

ZX (t) := exp

Ns(X )ts

!2 Q[[t]]. (0.1)

Notar que si yo conozco a la funcion Z (X ) entonces podemos

recuperar a los numeros Ns .

La funcion Z del espacio proyectivo

Ejemplo

Si X = Pnk entonces Ns(X ) = qs(n+1)+1

qs�1 =Pn

i=0 qsi

Entonces:

qsi ts

(qi t)s

que usando la identidad: � ln(1� t) =P1

s obtentemos:

ZX (t) =1

(1� t)(1� qt) · · · (1� qnt).

Las Conjeturas de Weil

Supongamos que X es suave y proyectiva sobre el campo finito k.

I Racionalidad: La funcion ZX (t) es una funcion racional en t,

es decir ZX (t) 2 Q(t)

I Ecuacion Funcional: Existe un numero E (la caracterıstica

de Euler) tal que:

◆= ±qnE tEZX (t).

I Analogo a la Hipotesis de Riemann: La funcion Z se puede

escribir de la forma:

ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d�1(t)

P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)

en donde d = dimX , P0(t) = 1� t; P2d(t) = 1� qd t y para

el resto se tiene que Pi (t) =Q(1� ↵ij t), con los ↵ij enteros

algebraicos con valor absoluto igual a qi/2.

de Euler) tal que:

ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d�1(t)

P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)

de Euler) tal que:

ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d�1(t)

P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)

Las Conjeturas de Weil: Los Numeros de Betti

Si hacemos Bi := degPi (t) y lo llamamos el i-esimo numero de

Betti de X . Entonces se cumple que:

(�1)iBi

Recordemos que E aparece en la ecuacion funcional y puede ser

calculado explıcitamente como el numero de autointerseccion de la

diagonal � ⇢ X ⇥ X o como la clase mas grande de Chern del haz

tangente de X .

Si X tiene un levantamiento a caracterıstica cero

Mas aun: Si X se obtiene como la reduccion (en un primo) de una

variedad Y definida sobre un anillo de enteros de un campo

numerico, entonces Bi (X ) coincide con con el numero de Betti de

¿Existe una teorıa de cohomologıa p-adica que tenga estos

numeros de Betti?

Weill sugirio que deberıa de existir una teorıa de cohomologıa para

variedades en caracterıstica p que nos calcule los numeros de Betti

Bi (X ).

I La racionalidad y la ecuacion funcional la demostro Dwork

usando tecnicas de analisis p-adico (1960).

I Es deseable que esta tenga coeficientes en caracterıstica cero.

I El resto de las conjeturas fueron demostradas por Deligne

(1974) usando cohomologıa `-adica y usando las ideas de

Grothendieck.

numeros de Betti?

Bi (X ).

Grothendieck.

numeros de Betti?

Bi (X ).

Grothendieck.

Interpretacion cohomologica: El morfismo de Frobenius

Sea X := X ⌦K k.

I Un campo k de caracterıstica p es perfecto, si su Frobenius

� : k ! k; x 7! xp es suprayectivo. Supongamos entonces que

nuestro campo k es perfecto (campos finitos son perfectos,

tambien su cerradura algebraica).

I El morfismo de Frobenius f : X ! X es definido de tal

manera que en los puntos k racionales de X actua como xxp

(el Frobenious k-lineal). Es decir:

f : X (k) ! X (k); x 7! xp

Interpretacion Cohomologica: Puntos fijos

I p 2 X (k) es un punto fijo de f si, y solo si p 2 X (k).

I Mas generalmente, p 2 X (kn) si, y solo si p es un punto fijo

de f n.

I Por lo anterior:

Ns(X ) = # {puntos fijos de f s} =: L(f s , X )

I Formula de putos fijos de Lefschetz: Si X una variedad

suave y propia sobre un campo k, y si f : X ! X es un

morfismo con puntos fijos aislados con multiplicidad 1,

entonces el numero de puntos fijos de f se puede calcular

L(f ,X ) =X

(�1)iTr(f ⇤;H i (X ))

Interpretacion cohomologica: En la funcion Z

Ası tenemos que:

ZX (t) =2dY

Tr(f s⇤,H i (X ))

!#(�1)i

Y con un poco de algebra lineal:

ZX (t) =P1(t)P3(t) · · ·P2d�1(t)

P0(t)P2(t) · · ·P2d(t)(0.3)

con Pi (t) = det(1� f ⇤t;H i (X )).

Esto implica que ZX es racional con coeficientes en el anillo de

coeficientes de la cohomologıa. Tambien se puede ver (ver

Hartshorne) que con esto se concluye que E =P

(�1)iBi .

En busca de una buena cohomologıa p-adica

I Cohmologıa de De Rham de X (definida por Grothendieck)

tiene coeficientes en k (No es buena).

I FAC: Las cohomologıas de gavillas coherentes definidas por

Serre no son buenas.

I La cohomologıa de Dwork- Monsky - Washnitzer para

variedades afines suaves: Se tiene una expresion de la funcion

Z en terminos de esta cohomologıa. Tiene coeficientes de

caracterıstica zero. En su tiempo no se sabıa si era de

dimension finita.

La cohomologıa de De Rham p-adica

I La cohomologıa Cristalina (Grothendieck-Berthelot). Funciona

bien para variedades propias y suaves que tienen un

levantamiento a caracterıstica cero.

I La cohomologıa Rıgida (Berthelot). Generaliza a la

cohomologıa cristalina y a la cohomologıa de

Monsky-Washnitzer. Funciona para el caso propio y suave. Es

de naturaleza global y se necesita hacer una compactificacion

para que funcione.

I La cohomologıa de De Rham p-adica de Zoghman Mebkhout

y Alberto Arabia.

para que funcione.

y Alberto Arabia.

para que funcione.

y Alberto Arabia.

Grothendieck dice:

Alexander Grothendieck writes on page 106 of“Recoltes et Semailles”

La“version Mebkhout”dont j’ai voulu me faire l’interprete, me semble

consister pour l’essentiel en les deux theses que voici: 1. Entre 1972 et

1979, Mebkhout aurait ete seul, dans l’indi↵erence generale et en

s’inspirant de mon oeuvre, a developper“la philosophie des D -Modules”,

en tant que nouvelle theorie des“coefcients cohomologiques”en mon

sens. 2. Il y aurait eu un consensus unanime, tant en France qu’au niveau

international, pour escamoter son nom et son role dans cette theorie

nouvelle, une fois que sa portee a commence a etre reconnue. [...] Je

viens d’avoir connaissance de plusieurs faits nouveaux, qui montrent qu’il

y a lieu de nuancer fortement le point 1 ci-dessus.

Estructuras Pre-Logarıtmicas

I X = (X ,OX ) un espacio anillado.

I Una estructura pre-logarıtmica es un par (P,↵) en donde P es una

gavilla de monoides (conmutativos con uno) y

↵ : P ! OX

es un morfismo de gavillas de monoides (con la estructura

multiplicativa en OX ).

Estructuras Pre-Logarıtmicas

I X = (X ,OX ) un espacio anillado.

I Una estructura pre-logarıtmica es un par (P,↵) en donde P es una

gavilla de monoides (conmutativos con uno) y

↵ : P ! OX

es un morfismo de gavillas de monoides (con la estructura

multiplicativa en OX ).

Morfismos de Estructuras pre-logarıtmicas

I Un morfismo � : (P,↵) ! (Q,�) consiste de un morfismo de

gavillas f : P ! Q tal que:

f // Q

�~~OX

conmuta.

I Una estructura pre-logarıtmica (P,↵) es llamada idealizada si esta

dotada de una gavilla de ideales I ⇢ P con la propiedad de que

↵(I) = 0.

I Un morfismo de estructuras logarıtmicas idealizadas (id-pre-log-st)

� : (P,↵, I) ! (Q,�, J)

es un morfismo de pre-log-st tal que f (I) ⇢ J.

Categorıas de Estructuras Logarıtmicas

Denotamos por PreLogSt(X ) y por IdPreLogSt(X ) a las categorıas de

estructuras pre-logarıtmicas y de estructuras pre-logarıtmicas idealizadas

en el espacio anillado (X ,OX ).

A cada pre-log-st le podemos asociar una id-pre-log-st simplemente

considerando el ideal vacıo: (P,↵) ! (P,↵, ;).

Esta asociacion nos da un funtor que es adjunto izquierdo de el funtor de

la desidealizacıon.

Estructuras Logarıtmicas

Definicion

Una estructura pre logarıtmica (P,↵) es una estructura logarıtmica

(log-st) si

↵-1(O⇤X ) ' O⇤

Es decir si P contiene a O⇤X vıa ↵.

Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logarıtmicas, es un morfismo

de (idealizadas) pre-log-st.

Estructuras Logarıtmicas

Definicion

Una estructura pre logarıtmica (P,↵) es una estructura logarıtmica

(log-st) si

↵-1(O⇤X ) ' O⇤

Es decir si P contiene a O⇤X vıa ↵.

Un morfismo entre (idealizadas) estructuras logarıtmicas, es un morfismo

de (idealizadas) pre-log-st.

A toda Pre-Log-St le corresponde una unica Log-St

El funtor de olvido:

LogSt �! PreLogSt

tiene un adjunto izquierdo de tal manera que a cada pre-log-st (P,↵) le

corresponde una unica log-st (Pa,↵a) con al propiedad de que cualquier

morfismo de pre-log-st:

(P,↵) �! (Q,�)

con (Q,�) una log-st se factoriza por ↵a:

(P,↵) //

(Q,�)

(Pa,↵a)

-a : PreLogSt ! LogSt

Pa esta definido por el producto amalgamado:

Pa := P�↵-1(O⇤X )

y ↵a esta dado por el diagrama cartesiano:

↵-1(O⇤X )

✏✏

X// Pa

↵a// OX

Ejemplos:

I La categorıa LogSt(X ) de estructuras logarıtmicas en X tiene un

objeto inicial, llamada la estructura logarıtmica trivial y esta dada

por la inclusion O⇤X ! O⇤

I La categorıa (st.logX

) tambien tiene un objeto final dado por la

aplicacion OX ! OX .

I De hecho tenemos que la categorıa de esquemas es una subcategorıa

plena de la categorıa de esquemas con estructura logarıtmica (a

definir mas adelante), simplemente dotando a un esquema con su

estructura logarıtmica trivial.

Ejemplos:

Divisor Con Cruzamientos Normales

la estructura logarıtmica MD en X asociada al divisor D como:

MD(U) :=�g 2 OX (U) : g |U\D2 O⇤

X (U \ D) ⇢ OX (U).

El morfismo estructural esta dado por la inclusion, lo que hace de M una

estructuras pre-logarıtmicas. Para ver que es en efecto una estructura

logarıtmica basta notar que toda g 2 O⇤X esta trivialmente incluida en

El caso en que D sea un divisor con cruzamientos normales es especial.

Mas adelante veremos que en este caso el esquema logarıtmico es

log-suave. De hecho, la razon por la que es conveniente usar la

cohomologıa etale (en vez de la de Zariski) es porque el concepto de

cruzamientos normales es en la topologıa etale.

MD(U) :=�g 2 OX (U) : g |U\D2 O⇤

X (U \ D) ⇢ OX (U).

MD(U) :=�g 2 OX (U) : g |U\D2 O⇤

X (U \ D) ⇢ OX (U).

Imagen inversa

Sea f : X ! Y un morfismo de espacios anillados. Si MY es una

estructura logarıtmica en Y , podemos definir una estructura logarıtmica

en X como la estructura logarıtmica asociada a la estructura

pre-logarıtmica:

f -1(MY ) ! f -1(OY ) ! OX

Esta es llamada la estructura logarıtmica imagen inversa de MY bajo f y

es denotada por f ⇤(MY ) = f ⇤MY .

Morfismos de Esquemas Logarıtmicos

Definicion

Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura

logarıtmica) X ! Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas

f : X ! Y

y un morfismo

f b : f ⇤MY ! MX

de estructuras logarıtmicas en X .

Denotamos por LogSch a la categorıa de esquemas con estructura

logarıtmica y son llamados log-sch o esquemas logarıtmicos.

Morfismos de Esquemas Logarıtmicos

Definicion

Un morfismo de log-esquemas (de esquemas con una estructura

logarıtmica) X ! Y consiste de un morfismo de los respectivos esquemas

f : X ! Y

y un morfismo

f b : f ⇤MY ! MX

de estructuras logarıtmicas en X .

Denotamos por LogSch a la categorıa de esquemas con estructura

logarıtmica y son llamados log-sch o esquemas logarıtmicos.

Layout

Esquemas Logarıtmicos

Esquemas Debilmente Completos Logarıtmicos

Esquemas Formales logarıtmicos

Esquemas Debilmente Completos

log-Diferenciales y Log-Suavidad

Cartas en Estructuras Logarıtmicas

Estructuras Logarıtmicas Finas

Diferenciales logarıtmicas y Morfismos log-suaves

Morfismo Estricto e Inmersion cerrada estricta

Definicion

Un morfismo f : X ! Y de log-equemas es llamado estricto si el

morfismo respectivo

f b : f ⇤MY ! MX

es un isomorfismo.

Es una inmersion cerrada estricta, si es estricto y el morfismo de

esquemas X ! Y es una inmersion cerrada.

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo de log-esquemas:

� //

✏✏

✏✏T1

�// Y

con j una inmersion cerrada estricta definida por un ideal J tal que

J2 = 0.

Notemos que tanto T0

, como T1

tienen al mismo espacio topologico

subyacente. Ademas ambos tienen al mismo sitio etale.

Logarithmic geometry and moduli

Dan Abramovich, Qile Chen, Danny Gillam, Yuhao Huang, Martin Olsson,Matthew Satriano, and Shenghao Sun

Abstract. We discuss the role played by logarithmic structures in the theory ofmoduli.

Contents

1 Introduction 12 Definitions and basic properties 43 Differentials, smoothness, and log smooth deformations 84 Log smooth curves and their moduli 135 Friedman’s concept of d-semistability and log structures 196 Stacks of logarithmic structures 237 Log deformation theory in general 298 Rounding 339 Log de Rham and Hodge structures 3810 The main component of moduli spaces 4611 Twisted curves and log twisted curves 4912 Log stable maps 54

1. Introduction

Logarithmic structures in algebraic geometry

It can be said that Logarithmic Geometry is concerned with a method of findingand using “hidden smoothness” in singular varieties. The original insight comes fromconsideration of de Rham cohomology, where logarithmic differentials can revealsuch hidden smoothness. Since singular varieties naturally occur “at the boundary”of many moduli problems, logarithmic geometry was soon applied in the theory ofmoduli.

Foundations for this theory were first given by Kazuya Kato in [27], followingideas of Fontaine and Illusie. The main body of work on logarithmic geometry

2000 Mathematics Subject Classification. Primary 14A20; Secondary 14Dxx.Key words and phrases. moduli, logarithmic structures.

Poincaré Duality for Logarithmic CrystallineCohomology

TAKESHI TSUJIResearch Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto, 606-8502, Japan

(Received: 25 March 1997; accepted in final form: 9 March 1998)

Abstract. We prove Poincaré duality for logarithmic crystalline cohomology of log smooth schemeswhose underlying schemes are reduced. This is a generalization of the result of P. Berthelot forusual smooth schemes and that of O. Hyodo for the special fibers of semi-stable families and trivialcoefficients.

Mathematics Subject Classification (1991): 14F30.

Key words: logarithmic crystalline cohomology, Poincaré duality.

Introduction

Let k be a perfect field of characteristic p and letWm be the ring of Witt vectors oflengthmwith coefficients in k for a positive integerm. LetN (resp.Wm(N)) be oneof the following log. structures (in the sense of Fontaine–Illusie) on Spec(k) (resp.Spec(Wm)) ([K1]): (i) The trivial log. structure. (ii) The log. structure associated toN→ k (resp. Wm); 1 "→ 0.We consider an fs log. scheme (X,M) log. smooth ([K1] (3.3)) and univer-

sally saturated (Definition 2.17) over (Spec(k),N) whose underlying scheme isproper over k and of pure dimension n. Denote by f the structure morphism(X,M)→ (Spec(k),N). (In fact, for a smooth morphism of fs log. schemes g :(Y,MY )→ (Spec(k),N), g is universally saturated if and only if Y is reduced([T]). Furthermore, when N is trivial, g is always universally saturated.) In thecase (i) (resp. (ii)), a toric variety (resp. the special fiber of a semi-stable familyover a discrete valuation ring A with residue field k) is a typical example ([K1]Example (3.7)). In this paper, we prove Poincaré duality for the log. crystallinecohomology of (X,M) with coefficients in a locally free OX/Wm -module of finitetype. Since this can be applied to a proper smooth k-scheme with the trivial log.structure, this is a generalization of Poincaré duality for crystalline cohomology ofa proper smooth scheme ([B] VII). For the special fiber of a semi-stable family andtrivial coefficients, Poincaré duality has been proved by O. Hyodo, using de Rham–Witt complexes ([Hyo]). Since we want to treat twisted coefficients, we follow themethod of [B] VII in this paper.

Por qué y para qué estudiar cohomología de De Rham p-ádica y su versión Logarítmica.

Science

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