Unidad Nº3: Función Logarítmica

Unidad 3: Función Logarítmica

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Armado y d iseño de la un idad : Prof . Andrea Gando l f i Pág i na web : h t tp : / /acgando l f i .w i x . com/matemat i ca

C a s a S a l e s i a n a J u a n S e g u n d o F e r n á n d e z

Unidad Nº3:

Función Logarítmica

-5to. Año 2021-

CJSF 5to. Año 2021


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deos tutoriales de la unidad Videos tutoriales de la unidad

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0C

Unidad 3: Función Logarítmica Calcular el conjunto de ceros de la siguiente

función exponencial

: / 3 4 xf f x

Estamos buscando el valor exacto de este cálculo, que es un exponente.

Para poder encontrar necesitamos definir logaritmo de un número.

logc

a cb ba

3 4x

Para encontrar la aproximación de dicho número utilizaremos la calculadora. La mayoría de las calculadoras tienen dos teclas relacionadas con logaritmos, y las más modernas tienen una tecla más.

En general:

Definición de logaritmo:

log con 0 y 1caa b b c a a

Se lee: logaritmo en base a de b es igual a c.

loga b lnxe

log10x

Se lo denomina logaritmo decimal.

10log b se escribe lo g b , es decir

no se escribe la base, se asume que el logaritmo es de base 10.

lo ge b se escribe ln b , se lee

logaritmo natural o logaritmo neperiano.

https://youtu.be/oYNci7-C6cg

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Para encontrar la aproximación de 3log 4 utilizaremos una propiedad que se llama cambio de base,

log

logloga

bba

3

log 4

Los logaritmos fueron introducidos por el matemático escocés John Napier (1550-1617) y su idea era la de simplificar cálculos aritméticos. Cuando no existían las calculadoras y ni las computadoras, multiplicar, dividir y calcular potencias, cuando los números implicados eran grandes, era una tarea muy complicada y casi seguro que se cometían errores.

Con los logaritmos, las multiplicaciones se convierten en sumas, las divisiones en restas y las potencias en multiplicaciones, con lo que se facilitaban mucho las operaciones.

Fue Jacobo Bernoulli (1667-1748) el primero en comprender que la función logarítmica se relacionaba con la función exponencial.

Observación Recordar que el resultado de un logaritmo, es un exponente, por lo tanto puede ser un número positivo, negativo o cero y también puede no haber resultado.

Ejemplos:

32log 8 3 2 8 se lee logaritmo en base 2 de 8

0ln1 0 1e se lee logaritmo natural de 1

02log 1 0 2 1

se lee logaritmo en base 2 de 1

4log 1 6

no existe, ya que no es posible encontrar un valor x que verifique la función exponencial 4 1 6x (recordar, el conjunto imagen de la función exponencial está formado únicamente por números reales positivos);

3log 0

no existe, ya que no es posible encontrar un valor x que verifique la igualdad exponencial 3 0x (recordar, el conjunto imagen de la función exponencial está formado únicamente por números reales positivos).

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1. Hallar el conjunto de ceros de las siguientes funciones exponenciales. Verificar la

solución graficando con el

a. 1 1: / 4 5 2xf f x b. 2 2

1: / 32

x

f f x

c.

1

3 32: / 4. 53

x

f f x d. 4 4: / 2.3 1xf f x

Despeje de Fórmulas Despejar la variable t de la siguiente fórmula: 0,1 1 tN c b

https://youtu.be/f2eOIk0CDwE

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2. Despejen t en cada una de las siguientes fórmulas:

a. tCA B w D b. tNP M r W

c.

52 3t

Q k d.

1

tRC

fV V e

Función Logaritmo A partir de la definición de logaritmo en base a, es posible definir, la función logaritmo,

de la siguiente manera: : / . log af A f x k x

Exponencial y logarítmica: funciones inversas 3. Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones, junto con la

recta (punteada)y x , completar la tabla y sacar conclusiones.

a. 1 1: / 2xf f x 2 2 2: / logf f x x

b.

4 41: /2

x

f f x 5 5 12

: / logf f x x

c. 1 1: / xf f x e 2 2: / lnf f x x

d. 1 1: / 10xf f x 2 2: / logf f x x

Im

Dom

0Cejeor

::

AHAV

Im

Dom

0Cejeor

::

AHAV

Im

Dom

0Cejeor

::

AHAV

Im

Dom

0Cejeor

::

AHAV

https://youtu.be/_QkP5lgyQUQ

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i. ¿Qué relación tiene el dominio de la función exponencial y el conjunto imagen de la función logaritmo?

ii. ¿Qué relación tiene el conjunto de ceros de la función exponencial y la intersección con el eje de ordenadas de la función logaritmo?

4. Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones logarítmicas, completar la tabla y responder:

¿Cómo se puede calcular el dominio y la Asíntota vertical de la función logaritmo?

5. Escribe en el comando del la siguiente fórmula; logaf x x b .Analicemos que pasa con la función cuando hacemos variar el valor de b,

a. Como es el crecimiento de la función si :

0 1a 1a

b. ¿Qué indica el valor de b? ¿Sobre qué eje se desplaza la curva cuando hacemos variar el valor de “b”?

c. Si graficamos logaf x c x b , y hacemos variar el valor de c, se va a

mantener el mismo crecimiento?

d. Si graficamos logaf x c x b d , ¿Qué nos va a indicar el valor de d?

Crece o Decrece Dominio . . :AV

1 1 3: / logf f x x

2 2 3: / log 1f f x x

4 4 3: / log 2 4f f x x

5 5 13

: / log 2 4f f x x

6 6 13

: / log 3 3f f x x

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https://youtu.be/6LXFwsHkOpI

: / logaf f x k x b c

Estudio de las funciones Logarítmicas Encontrar dominio, imagen, conjunto de ceros, conjunto de positividad y negatividad, límite en y en , ecuaciones de la asíntota horizontal y construir un gráfico aproximado de las siguientes funciones.

2: / log 2 1t A t x x

1

3

: / log 1h A h x x

0

ImDom

CCCII

ejeod

0

ImDom

CCCII

ejeod

lim lim . : . :xx AV

f x f x AV AH


f x f x AV AH

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2: / log 2 1 2f A f x x

6. Calcular el dominio y el conjunto de ceros de las siguientes funciones logarítmicas

cuyas formulas son: :

Dom 0C

3log 2 1f x x

2 0 22;

x xDom

31

3

0

0 log 2 1 0log 2 1 3 23 2 5

5

f x xx x

x xC

ln 2 4g x x

13

2log 1 3h x x

4log 1 3j x x

ln 2 3 1f x x

0

ImDom

CCCII

ejeod


f x f x AV AH

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7. Encontrar dominio, imagen, conjunto de ceros, conjunto de positividad y negatividad, límite en y en , ecuaciones de la asíntota vertical y construir un gráfico aproximado de las siguientes funciones.

a. 1 1 3: / log 1f A f x x

b. 2 2 3: / log 1f A f x x

c. 3 3 13

: / log 2 1f A f x x

0

ImDom

CCCII

ejeod

0

ImDom

CCCII

ejeod

0

ImDom

CCCII

ejeod

lim lim . : . :

xx AVf x f x AV AH


f x f x AV AH


f x f x AV AH

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https://youtu.be/yYl4K4UogwA

Propiedades de la función logaritmo 2log 2

3log 3

lne

loga a

32log 2

5

3log 3

2lne

log xa a

2 2log 2 log x

log loga ax y x y

Suma de Logaritmos: Si m, n y a son números reales positivos, con 1a , entonces:

log . log loga a a

yt

mn m n

Esto es cierto dado que:

log 1

log 2

ta

ya

m t a mn y a n

, si multiplicamos (1) y (2)

logy t ytaa a m n a m n m n t y

log . log loga a am n m n

Resta de Logaritmos: De manera similar se puede probar que: con 1a , entonces:

log log loga a a

m m nn

: : : logy t yta

ma a m n a m n t yn

log log loga a am m nn

Potencia del Argumento: ¿Será cierto que 3

2 2log 3logx x ? 3

2 2 2 2 2 2log log . . log log log 3.logx x x x x x x x

log logma an m n

Cambio de base: En las primeras páginas, vimos la propiedad de cambio de base para poder operar

con la calculadora 3log4

log 4 1,26...log3

log

logloga

bba

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En general:

Supongamos que:

Ecuaciones Logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son las que tienen la incógnita en el argumento de algún logaritmo.

Para resolverlas, tendremos presente que:

Para despejar una incógnita contenida en el argumento, se aplica la definición de logaritmo.

Siempre que sea posible, conviene agrupar los logaritmos en uno solo, para lo cual se aplican las propiedades (Pág. 9)

Solo existen logaritmos de números positivos, por lo cual deben descartarse los valores que no pertenecen al dominio.

log log 9 1 x x 3 3log 5 log 2 3 1x x

En general:

Si se quiere calcular lo g a m utilizando logb :

loglog

ra

tb

m r a mm t b m

, luego se verifica que:

r ta b

Demostración:

log log.log .log

.log

log

r tb b

b b

b

b

a br a t b

r a ttr

a

, reemplazamos r, y t

loglog

logb

ab

mma

3log 4 3 4log 3 log 4 . log 3 log 4

log 4log 3

x

x

xx

x

https://youtu.be/YfTeMF4Hn-g

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8. Hallen los valores de x que verifican cada una de las siguientes ecuaciones

a. 2 2log 1 log 2 2 x x b. log 1 log 1 1 x x

c. 3 32log log 2 1 0 x x d. 2log log 6 0 x x

e. ln 1 ln 2 0 x x f. 4 4log 2 3 log 5 2x x

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Repaso para la evaluación

https://youtube.com/playlist?list=PLc6R3WwmADnHykFjPyNnKNPHSA6OwWi34

1. Hallar analíticamente el conjunto de ceros, conjunto de positividad y negatividad (justificando con teoría) de:

a. 113. 2

3

x

f x

b. 12.3 4xf x

2. Despejen t en cada una de las siguientes fórmulas:

a. 2tA B e b. 25 tz B v

3. Encontrar dominio, imagen, conjunto de ceros, conjunto de positividad y negatividad, límite en y en , ecuaciones de la asíntota vertical, intersección con el eje y; y construir un gráfico aproximado de las siguientes funciones.

a. 3: / log 2 1 f A f x x

0

ImDom

CCCII

ejeod

lim lim . : . :

xx AVf x f x AV AH

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b. 1

4

: / log 1 f A f x x

4. Hallen los valores de x que verifican cada una de las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a. log log 9 1 x x b. 5 52 log log 8 3 x x

c. ln 2 1 ln 2 0 x x d. 3 3log 2 5 log 3 0 x x

0

ImDom

CCCII

ejeod


f x f x AV AH

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