Guía de Función Exponencial y Logarítmica-ISGSM

Función Exponencial y Logarítmica Matemática 6° Año A- ISGSM

I. INTRODUCCIÓN A MODELOS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS

Abrimos ahora el estudio a algunos modelos funcionales que son de especial interés tanto para el estudio de fenómenos propios de las ciencia naturales como para contextos económicos o financieros. Para iniciarnos en su estudio, vamos a comenzar presentando y analizando dos situaciones particulares.

Situación 1:En un laboratorio de Biología un investigador estudia la reproducción de un determinado bacilo en un cultivo y observa que la población de bacilos se duplica cada hora. De acuerdo a esta información presentada realiza las siguientes actividades:

a) Completa la tabla y representa gráficamente la situación anterior, suponiendo que inicialmente hay un solo bacilo.

Horas (x) Bacilos(y)

0

1

2

3

b) Identifica la variable dependiente e independiente, explora regularidades en la evolución de la población de bacilos y encuentra una fórmula (un modelo analítico) que te permita calcular la cantidad de bacilos en el cultivo a medida que transcurre el tiempo.

c) ¿Al cabo de cuánto tiempo se llegan a tener 256 bacilos?d) ¿Cuánto tiempo aproximadamente ha pasado cuando se tuvieron 100 bacilos?

Situación 2:Tenemos 6 litros de una sustancia química líquida, que en ciertas condiciones de presión y temperatura, evapora en forma continua la mitad de su volumen por hora.

a) Completa la tabla y representa gráficamente la situación anterior, considerando como variable dependiente (y) el volumen de líquido que va quedando a medida que transcurre el tiempo.

Horas (x) Volumen (y)

0

1

2

3

4

Profesora: Analía Cristante 1


b) Analiza la evolución del volumen de la sustancia analizada (a presión y temperatura constante) y encuentra una fórmula (modelo analítico) que relacione el volumen del líquido con el tiempo transcurrido.

c) ¿Cuántos litros de líquido se tendrán al cabo de 6 horas?d) ¿Cuánto tiempo aproximadamente ha pasado cuando se tuvieron 2 litros de la

sustancia?

Los fenómenos que hemos presentado y analizado en las dos situaciones anteriores, son hechos que pueden ser modelizados por medio de una relación funcional que vincula dos variables reales y que recibe el nombre de función exponencial ya que, como notarás en las expresiones analíticas que construiste, la variable independiente aparece como el exponente de una constante relacionada con el fenómeno.Estudiemos ahora en términos generales el modelo funcional antes mencionado y al que denominamos “Función Exponencial”

II. FUNCIÓN EXPONENCIAL

Llamamos función exponencial a toda función cuya expresión analítica sea de la forma:

En esta expresión y tal como se indica entre paréntesis, k y a son dos constantes que dependen del fenómeno que se estudia, ambas toman valores reales bajo la condición que k no sea cero (¿qué ocurre si es k es 0?) y a debe ser un número positivo distinto de uno (¿por qué se imponen esas condiciones?)

De acuerdo a lo dicho antes podemos indicar que el dominio de estas funciones es y que al representarlas gráficamente, se obtienen curvas crecientes o

decrecientes en todo su dominio, que tienen al eje de abscisas (eje x) como asíntota horizontal. ¿Qué es una asíntota?-Una asíntota es una recta a la cual la curva o gráfico de una función se aproxima indefinidamente, sin llegar a “tocarla”.

Tomando como base lo descripto hasta aquí en relación con modelos exponenciales, realizaremos a continuación un conjunto de ejercicios y problemas que nos permitirán profundizar y ampliar las ideas fundamentales relacionada con estos modelos tan importantes para el estudio de la evolución de poblaciones diversas, el cálculo de capital e interés en situaciones financieras, el estudio del decaimiento radioactivo, etc.

Resuelve con cuidado el conjunto de ejercicios y problemas que se presentan a continuación:



II. A Problemas y Ejercicios

1) a) Representa gráficamente cada una de las siguientes funciones exponenciales, en el mismo gráfico cartesiano y con un color distinto.

i)

ii)

iii)

iv)

b) Las funciones............................... son crecientes y las funciones.......................... son decrecientes.

c) Indica para cada una de las funciones Conjunto Dominio y Conjunto Imagen.

d) Las gráficas de las funciones f y g son simétricas con respecto al eje .................

e) Las gráficas de las funciones h y j son simétricas con respecto al eje .................

2) a) Construyan las gráficas de las funciones



b) Indica para cada una: conjunto imagen, puntos de contacto con los ejes y si son crecientes o decrecientes y cuál de los parámetros (a ó k) es el responsable de este comportamiento en cada caso.

3) Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a) La función es creciente.

b) La función tiene una asíntota horizontal que es la recta de ecuación y = 0.c) Todas las funciones del tipo cortan al eje x.

d) Todas las funciones del tipo son decrecientes.

4) Encuentra, en cada caso, la expresión analítica de la función exponencial , que cumple con las condiciones pedidas en cada uno de los ítems:

a) Pasa por el punto (0 ; 3) y a =

b) k= 0,01 y pasa por el punto (2 ; 1)

c) a = y corta al eje de ordenadas en y = -2.

d) k = 2 y pasa por el punto .

5) Dadas las siguientes tablas de valores, identifica cuál o cuáles de ellas corresponden a una función exponencial. Indica la expresión analítica correspondiente para el caso exponencial. Tabla 5-I Tabla 5-II Tabla 5-III Tabla 5-IV

x y x y x y x y0 16 0 0 0 1 0 11 8 1 1 1 4 1 32 4 2 4 2 7 2 93 2 3 9 3 10 3 274 1 4 16 4 13 4 81

6) De una determinada semilla nace una planta. De esta planta se obtienen 5 semillas nuevas. De ellas nacen plantas que, a su vez, dan 5 semillas cada una, y así sucesivamente. Llamamos “generación cero” a la primera semilla.

a) ¿Cuántas semillas corresponden a la generación 6?b) Escribe la fórmula general para esta situación.c) Encuentra una fórmula que te permita expresar la cantidad de semillas correspondiente a la generación x, pero suponiendo que la generación cero está compuesta por 8 semillas.

7) En cierto cultivo se reproducen bacterias que se triplican diariamente. Calcula cuántas habrá al cabo de 5 días:

a) Si inicialmente hay una bacteria.b) Si se comienza con 300 bacterias.



8) Un capital de $1000 se deposita a plazo fijo en un banco que paga un 0,8% mensual de interés compuesto. Sintéticamente esto significa que los intereses se acoplan al capital y también generan intereses.

a) Escribe la fórmula que relaciona el capital acumulado con la cantidad de meses transcurridos.

b) ¿Cuánto dinero se logra acumular luego de un año, si en ese lapso no se produce ningún retiro de dinero?

c) ¿Cuánto tiempo estuvo depositado el dinero, sin que mediara ningún retiro, para que el capital acumulado sea de $1300,76?

9) Julián depositó $2500, a plazo fijo, en una entidad financiera a una tasa de interés de 0,007 mensual.

a) ¿Qué cantidad de dinero retiró al cabo de un año?b) ¿Cuánto tiempo aproximadamente transcurrió cuando podía disponer de $2662?

10) Según cálculos estadísticos estimados realizados por el INDEC, la población de la Argentina en 1999 era de, aproximadamente, 37.031.000 de habitantes, y se espera un crecimiento demográfico promedio de un 1,3% anual.

a) Calcula cuál será, aproximadamente, la población en nuestro país en el año 2009, según esta proyección.

b) ¿Es cierto que el aumento demográfico es directamente proporcional al tiempo transcurrido? ¿Por qué?

11) Una centena de ciervos, cada uno de 1 año de edad, se introducen en un coto de caza. El número N(x) de los que aún quedan vivos después de x años se predice que es:

Estima el número de animales vivos después de:a) 1 año.b) 5 años.c) 10 años.

12) Se tiene una muestra de 128 gramos de una sustancia radiactiva (torio-234), cuya masa se reduce a la mitad en aproximadamente 24 días.

a) Calcula la masa aproximada que quedará al cabo de 100 días y al cabo de 200 días.b) Calcula el tiempo aproximado que habrá transcurrido cuando queden 2 gramos.

13) En un zoológico, un veterinario que debe medicar a una cebra enferma prescribe las siguientes instrucciones: (I) El medicamento debe ser suministrado durante 10 días. (II) el primer día, la dosis debe ser de 200 ml. y (III) cada día subsiguiente se le debe

suministrar de la dosis correspondiente al día anterior. De acuerdo a esta

información responde: a) ¿Cuál es la dosis indicada para el octavo día?



b) ¿Cuántos ml se le habrán dado luego de 5 días de tratamiento?c) Escribe la fórmula de la función o modelo analítico que relaciona el número

de día y la cantidad de medicamento suministrado por día.

14) Un medicamento se elimina del cuerpo a través de la orina. La dosis inicial es de10 mg y la cantidad A(t) que queda en el cuerpo t horas después está dada por

A(t) = 10 · 0,8t. Para que el fármaco haga efecto debe haber en el cuerpo por lo menos 2 mg.a) Determine cuándo quedan sólo 2 mg. b) ¿Cuál es la semivida (o vida media) del medicamento.

15) En un cultivo hay inicialmente 150 amebas (seres unicelulares) que se duplican por bipartición cada 15 minutos.

a) Escribe la fórmula que relaciona la cantidad de amebas en función del tiempo.b) ¿Cuántas amebas habrá al cabo de 2 horas? ¿Y de 5 horas?

16) Dadas las siguientes tablas de valores, correspondientes a funciones exponenciales, escribe la expresión analítica de cada una de ellas y luego completa los valores que faltan en cada tabla: Tabla 16-I Tabla 16-II Tabla 16- III

x y x y x y

0 5 1 300 0 729

20 20 2 240 1 486

40 80 3 192 2 324

60 4 3

80 5 4

17) Une con flechas los pares de expresiones equivalentes:

18) Transforma cada una de las siguientes expresiones en una sola potencia (con base única):



II. B. ECUACIONES EXPONENCIALES

En la situación 1, en el ítem c) de la página 1, tenías que calcular cuántas horas habían transcurrido para que la población de bacilos llegue a 256 bacilos. La fórmula correspondiente a la función , en la que x (variable independiente) es el tiempo que transcurre e y (variable dependiente) indica la cantidad de bacilos que se tiene en cada instante x. A partir de la expresión analítica de la función, fuiste variando al azar el exponente de 2 y con la calculadora calculaste la potencia de 2 correspondiente hasta dar con el valor pedido. Este último proceso se llama “cálculo por tanteo” Sin embargo este proceso se puede mejorar, sistematizar y generalizar ya que, a la operación que realizaste con la calculadora le corresponde la siguiente expresión algebraica: 256 bacilos = 1. 2x(días). En términos generales decimos que esta expresión es una ecuación, ya que se fija el valor de una de las variables (en este caso se fija la independiente y en el valor 256) y a partir de esa igualdad queda como incógnita el valor de la variable independiente x que hace válida la igualdad. Esta ecuación se denomina ecuación exponencial pues la incógnita correspondiente es un exponente.

Comprendido esto queda por responder, ¿Cómo podemos resolverla sin trabajar por tanteo?Para ello, vamos a comenzar por factorizar el 256: Así podemos decir que 256=28 y por lo tanto:

28 = 2x como las bases (2) son iguales, para sea válida, los exponentes deben ser iguales, por lo tanto:

8 = x Así, ¡Hemos resuelto la ecuación!

Se pueden encontrar una multiplicidad de ecuaciones exponenciales. Sin embargo, por ahora, vas a poder resolver ecuaciones exponenciales sólo cuando las bases, en ambos


256 2128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1


miembros de la igualdad, son iguales tal como sucede en el ejemplo anterior y se ilustra en los ejemplos a) y b) desarrollados aquí:

Ejemplo a) Ejemplo b)

En el caso que se muestra en el ejemplo a), como en uno de los miembros de la igualdad, está expresado un producto de potencias de igual base, primero aplicamos las propiedades correspondientes y luego resolvemos la ecuación. En el caso del ejemplo b) lo indicado como adición (+) o sustracción (-) tratamos de expresarlo como multiplicación de potencias de igual base, sacando factor común y luego buscamos de resolver la ecuación.

Más adelante veremos cómo resolver ecuaciones exponenciales si las bases no son iguales.

Resuelve los siguientes ejercicios. En caso que tengas dudas recuerda mirar los ejemplos anteriores II. C. Ejercicios

19) Resuelve las siguientes ecuaciones, correspondientes al ejemplo a) y luego verifica la solución obtenida:



20) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales, correspondientes al ejemplo b) y verifica la solución obtenida:

III. LOGARITMO



En la situación 1, en el ítem d) de la página 1, tenías que calcular cuánto tiempo aproximadamente había transcurrido para que la población de bacilos llegue a 100 bacilos. Según las condiciones dadas en el problema, éste se podía modelizar con la expresión analítica correspondiente a la función exponencial , en la que la variable independiente x, representa el tiempo.De esta manera, para resolver el problema, debías resolver la ecuación .En este caso, De este modo, tendremos que pero, como las bases no son iguales, no podemos aplicar los procedimientos ya utilizados para la resolución de algunas ecuaciones exponenciales. Es claro que necesitaremos nuevos medios, relaciones o procedimientos que nos permitan determinar la solución para este tipo de ecuaciones, esto es, ecuaciones en las que la incógnita se encuentra como exponente. En la historia de las ciencias, éste ha sido un problema que preocupó a varios científicos matemáticos y no matemáticos. Este problema lo lograron resolver creando una nueva relación u operación a la que denominaron Logaritmo. Veamos ahora de qué se trata el Logaritmo y qué nos permite hacer o resolver. Comencemos explorando su definición.

Definición de Logaritmo

El exponente x al que hay que elevar una base b para obtener un determinado número a se llama logaritmo de dicho número a en esa base b.

Simbólicamente decimos que (recuerda que la flecha con doble sentido en matemática se lee “si y sólo si”)En la expresión anterior, a, b y x son números reales cualesquiera. Pero sobre b se agregan las siguientes condiciones:

Analicemos algunos ejemplos y exploremos las condiciones impuestas a los números reales b y a

Decimos que: . De este modo verificamos que

efectivamente

De la misma manera podemos indicar que ya que En

este mismo sentido podemos indicar que (recuerda que la flecha con doble sentido en matemática se lee “si y sólo si”) Así, podemos indicar que el valor de x que satisface la primer igualdad es 5 ya que se verifica que . De manera similar si (se lee entonces) el valor de es el que verifica la primer igualdad.

Haciendo uso de la definición y ejemplos dados, resuelve ahora los ejercicios propuestos a continuación:

21) Calcula los siguientes logaritmos cuando sea posible y verifica los resultados que obtengas aplicando la definición.



22) Analiza los ejemplos y la definición y responde a las preguntas:

a) ¿Por qué se establece que el número a debe ser positivo?

b) ¿Por qué se establece que el número b debe ser positivo y distinto de uno?23) Completen las siguientes expresiones generales, teniendo en cuenta que b es un número real positivo y distinto de 1. Escribe las conclusiones en cada caso.

III. A. LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NATURALES

Como dijimos antes, los logaritmos representaron un problema importante para los científicos que los crean y comienzan a utilizar aproximadamente en 1600. Pero, por una cuestión de falta de “calculadoras”, los científicos se centraron en dos tipos de logaritmos, aquellos con base 10 y con base e. A partir de éstos, lograron generalizar para otras bases. Comencemos entonces, explorando esos dos logaritmos con base 10 y con base e.

Si la base del logaritmo es 10, se llama logaritmo decimal y se puede escribir simplemente log , sin indicar la base.Si la base es el número e ( e = 2,718281828.....) se denomina logaritmo natural o logaritmo neperiano y se escribe ln. Se denomina “neperiano” en honor de John Neper (1550-1617), matemático escocés a quien se le atribuye el concepto de logaritmo.Actualmente, tanto los logaritmos naturales como los decimales aparecen en las calculadoras científicas.

Cálculos de Logaritmos decimales y naturales con calculadora

24) Utiliza las teclas log y ln de tu calculadora científica para obtener los siguientes logaritmos. Escribe los valores redondeados a los milésimos.

a) log 9,8 = e) ln 2,5 =

b) log 98 = f) ln 25 =

c) log 980 = g) ln 250 =

d) log 9800= h) ln 2500 =



Analiza los valores obtenidos y enuncia una conclusión que te permita relacionar los valores numéricos dados y sus logaritmos............................................................................................................................................................................................................

25) Calcula, sin calculadora los siguientes logaritmos (las conclusiones a las que arribaste en el ejercicio 23) pueden serte de ayuda):

26) Las siguientes son ecuaciones logarítmicas, pues son igualdades en las que figura el logaritmo. En estos casos, sólo aparece el logaritmo una sola vez. En ellas, se puede aplicar la definición de logaritmo de un número para resolverlas. Resuelve las siguientes ecuaciones y luego verifica las soluciones obtenidas:

27) Plantea y resuelve la siguiente ecuación logarítmica:

“Encuentra el número entero x tal que: la mitad del logaritmo en base tres, del consecutivo de ese número, más seis, es igual a siete”.

III. B. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Los logaritmos verifican las siguientes propiedades (siempre que a y b sean positivos):



28) Resuelve aplicando propiedades de los logaritmos y sin usar la calculadora:

29) En cada uno de los siguientes ejercicios exprésalo como un solo logaritmo, utilizando las recíprocas de las propiedades y luego resuelve sin usar la calculadora.

30) Sabiendo que log 2 = 0,301, halla los siguientes logaritmos descomponiendo convenientemente para la aplicación de propiedades y el logaritmo conocido:

a) log 6,4 = c) log 0,08 =

b) log 16 = d) log 25 =

A continuación aparecen nuevamente ecuaciones logarítmicas. Pero en ellas el logaritmo figura más de una vez. En estos casos, primeramente debemos lograr que en cada expresión el logaritmo esté expresado sólo una vez y luego resolvemos aplicando la definición tal como hicimos en el ejercicio 26).

31) Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica las soluciones que obtengas:



32) Dada la expresión ; en la que log m = 0,5; log a = -1,5; y log

u = 2,5. ¿Cuánto vale A?

33) Sabiendo que log m = -2, calcula

III. C. CAMBIO DE BASE

La propiedad del cambio de base nos permite transformar un logaritmo dado en cierta base en otro logaritmo expresado en una base que nos convenga, por ejemplo, aquellas que aparecen en las calculadoras científicas.Supongamos que queremos calcular un logaritmo que no es exacto, como por ejemplo:log 5 2 , lo escribimos como potencia: Aplicamos a ambos miembros un logaritmo dado por la calculadora: log o ln , luego aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia en

el primer miembro:

Y entonces

34) Calcula los siguientes logaritmos aplicando un cambio de base

35) Ahora que hemos visto las propiedades que cumple el logaritmo y el cambio de base, vas a poder resolver una multiplicidad de situaciones que anteriormente, sólo podías estimar.

a) Como por ejemplo la ecuación: 2x = 10

b) Ó la ecuación:

c) Ó calcular con mayor exactitud los ítems d) de las dos situaciones iniciales y los ítems c) del ejercicio 8, b) del ejercicio 9 y b) del ejercicio 12).



d) Ó usarla como instrumento para validar los resultados obtenidos en el ejercicio 29).

IV. FUNCIÓN INVERSA DE OTRA

Se llama función inversa de f(x) a otra función a la que se designa por f -1(x) y que cumple la siguiente condición: si f(a) = b entonces f -1(b) = aPara obtener la expresión analítica de la inversa de una función se procede del siguiente modo:

1º) Se intercambian la x y la y de la expresión inicial: y = f(x) x = f(y)2º) Se despeja la y de la expresión obtenida y = f -1(x)

Por ejemplo, si queremos obtener la inversa de y = 2x -3- Se intercambian la x y la y: x = 2y -3

- Se despeja la y:

Entonces la inversa de f(x) = 2x – 3 es f -1(x) =

Y representadas ambas en el plano cartesiano, sus gráficas resultan simétricas respecto de la recta y = x

IV. A. FUNCIÓN INVERSA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Queremos obtener la inversa de - Intercambiamos x e y: - Y ahora despejamos y, pero y es el exponente al que hay que elevar a 3 para obtener x. Por lo tanto por definición de logaritmo y es el logaritmo en base tres de x, es decir y = log 3 (x), llamada función logarítmica.

Es decir que la inversa de es f -1(x) = log 3 (x)



Representemos gráficamente estas dos funciones:

x

0 1

1 3

2 9

Completa la tabla de la función logarítmica:

x log 3 (x)

1

3

9

Y se obtienen gráficas que resultan simétricas respecto a la recta y = x , tal como corresponde a funciones que son inversas entre sí.

Observación:En general si tenemos la función exponencial con k = 1, en la que el Conjunto Dominio de dicha función son los Reales y el Conjunto Imagen son los reales positivos, simbólicamente: , la inversa de dicha función es una función logarítmica de la misma base, en la que el conjunto Dominio son los Reales positivos y su Conjunto Imagen son los Reales, en símbolos:

36) a) Considera las funciones:



b) Completa las tablas y representa gráficamente cada una con un color diferente, en el mismo plano cartesiano.

x f(x) x g(x)

1 1

2 2

4 4

c) Responde las siguientes preguntas:¿Cortan al eje de ordenadas (eje y)?.....................................................¿Qué se observa, en ambas gráficas, cuando los valores de x se aproximan a cero?..............................................................................

IV. B. LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Llamamos función logarítmica a toda función cuya expresión es de la forma: El dominio de estas funciones son los reales positivos y al representarlas gráficamente se obtienen curvas crecientes o decrecientes en todo su dominio, que tienen al eje de ordenadas como asíntota vertical.

37) a) Dadas las siguientes funciones logarítmicas, indica la expresión analítica de cada una de ellas: i) ii)



b) Para cada una de ellas indica la expresión analítica de la función que resulta simétrica respecto al eje x, luego represéntalas gráficamente en el mismo gráfico cartesiano con un color diferente38) a) Representa las siguientes funciones logarítmicas:

b) Para cada una de ellas indica la expresión analítica de la función inversa (la que resulta simétrica respecto a la recta y = x), luego represéntalas gráficamente en el mismo gráfico cartesiano con un color diferente.

39) La desintegración de la masa (en gramos) de una sustancia radiactiva en función del tiempo (en años) está dada por la siguiente expresión analítica:

a) ¿Cuál es la masa inicial de la sustancia?b) ¿Cuál es su período de semidesintegración? (Tiempo durante el cual la masa

de la sustancia tarda en reducirse a la mitad. También se lo llama vida media de la sustancia radiactiva)

c) ¿Cuánto tiempo habrá transcurrido cuando se tiene 1 gramo de sustancia?

40) En un laboratorio se observa que las células epiteliales se reproducen en un cultivo por mitosis (división celular en la cual el ADN se reparte exactamente igual entre las dos células hijas). La reproducción de dichas células en función del tiempo (en días) está dada por:

a) ¿Cuántas células tiene inicialmente el cultivo?b) ¿Cuántos días habrán pasado para que el cultivo tenga 19229 células?c) ¿Cuántos días habrán pasado para que el cultivo tenga el triple de las células iniciales?

41) Calcula el tiempo durante el cual estuvo colocado a plazo fijo un capital de $4000, que depositado a una tasa de interés mensual del 0,6 %, se convirtió en $ 4617,55?

Los ejercicios que se incluyen en la presente guía de estudio fueron extraídos de la Carpeta de Matemática I de Carlos Abdala, Mónica Real y Claudio Turano–Cuadernillo Nº 5 de Editorial AIQUE ; del texto Matemática 4 de Diana Buteler de Defrancisco y Ana Georgetti de Giubergia y ejercicios elaborados por la profesora.



SOLUCIONES A EJERCICIOS Y PROBLEMAS


1)

2)

3) a) F, es menor que 1.

b) V c) F, el eje x es asíntota. d) F, sólo es verdadero si además k es positivo.

4) a)

b)

c)

d)

5) Tabla 5-I

Tabla 5-IV Opcional: Tabla 5-II y= x2

Tabla 5-III y = 3x+1

6) a) 15625 semillas b) c)

7) a) 243 bacterias b) 72900 bacterias

8) a) b) $ 1100,34c) 33 meses

9) a) $2718,28 b) 9 meses

10) a) 42.136.639 habitantes b) No, corresponde a una función exponencial.

11) a) 90 ciervos. b) 59 ciervos. c) 34 ciervos.

12) a) 100 días—7,127 gr. 200 días—0,397 gr. b) 144 días

13) a) 5,60 ml b) 461,12 ml

c)

14) a) 7 hs aprox. b) 3 hs aprox.

15) a)

b) a las 2 horas 38400 amebas c) en 5 horas 157.286.400

amebas



16) Tabla 16-I Tabla 16-II Tabla 16- IIIx y x y x y0 5 1 300 0 72920 20 2 240 1 48640 80 3 192 2 32460 320 4 153,6 3 21680 1280 5 122,88 4 144

16-I)

16-II)

17)

18)

19) a) x = -1 h) x = 2 b) x = 2 i) x=3/2 c) x = 1 j) x = -3 d) x = - ½ k) x = - 4 e) x = - 1/3 l) x = - 3/2 f) x= 0 m) x = - 6 g) x = 1/3

20) a) x = 1 g) x =

b) x= -2 h) x = -4c) x = 0 i) x = -1d) x = -2 j) x = 1

e) x = k) x = 1

f) x = 3

21)

22)a) Porque ninguna potencia de base positiva da por resultado cero o un número negativo. b) Por las condiciones del número a, b no podía ser negativo o nulo.

23) a) 1 d) 2

b) 0 e)

c) -1 f) 2

24) a) 0,991 e) 0,916b) 1,991 f) 3,218c) 2,991 g) 5,521d) 3,991 h) 7,824

b) En el caso de los logaritmos decimales, al multiplicar por 10 se conserva la parte decimal, lo que no ocurre con los logaritmos naturales

25) a) 1 d) 1

b) -4 e)

c) f) -1

26) a) x = 81 f) x = 5b) x = -1 g) x = 1

c) x = 7 h) x =

d) x = i) x =

e) x = j) x = 8



27) 8

28) a) 8 f) 6

b) 1 g)

c) 18 h) -21d) 3 i) -11

e)-2 j)

29) a) 3 f) 3b) 2 g) 2c) -2 h) 2d) 2 i) -6

30) a) 0,806 c) -1,097b) 1,204 d) 1,398

31) a) x = 17 e) x =

b) x = 32 f) x = 4c) x = 300 g) x = 2

d) x = 2 h) x =

32) A = 0,1

33)

34) a) 5,492 c) 1,977b) 3,696 d) 3,268

35) a) 3,322 b) 5,322c) situación 1 d) 6,644 situación 2 d) 1,5858) c) 7 meses9) c) 9 meses12) b) 144 días

36)

37) a) i) y = log 3 x ii) y = log

b) y = b) y = log 4 x

38)

f(x) = (1/4)x

g(x) = 5 x

39) a) 5 gramosb) 10,48 añosc) 24,33 años

41) a) 75 célulasb) 24 días aprox.c) 4,75 días

Guía de Función Exponencial y Logarítmica-ISGSM

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