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Colegio Universitario Boston Función Logarítmica

226

Función Logarítmica


227

Función Logarítmica

Una función logarítmica es una función de la forma , donde

representa a la base de la función, y cumple el papel de argumento.

Para que una función se considere logarítmica se debe cumplir que el valor de la

base sea un número positivo y diferente de uno. Es decir y .

Para la función logarítmica se tiene que:

Dominio:

El dominio de una función logarítmica es el conjunto de los números reales

positivos.

Ámbito o Rango:

El ámbito de una función logarítmica es el conjunto de los números reales.

Intersecciones con los ejes.

La intersección con el eje de las no está determinada por lo tanto:

Para el eje de las la intersección viene dada por la siguiente expresión:


228

Monotonía

La monotonía de una función logarítmica, estará determinada por el valor de la base

de la misma, por lo que tenemos que:

Si , se tiene que la función logarítmica es estrictamente decreciente.

Si , se tiene que la función logarítmica es estrictamente creciente.

3

2

1

-1

-2

-3

-2 2 4 6 8

3

2

1

-1

-2

-3

-2 2 4 6 8


229

Cabe agregar que en una función logarítmica de la forma si el

valor de , entonces la monotonía de la función logarítmica cambiará.

Es decir que si la base nos indica que la función es creciente y el valor de , es

negativo entonces la gráfica de la función será decreciente y si la base nos indica

que la función es decreciente y el valor de , es negativo entonces la gráfica de la

función será creciente.

Biyectividad

La función logarítmica es una función de tipo biyectiva es decir sobreyectiva e

inyectiva, al mismo tiempo. Lo que nos indica que la función logarítmica posee

inversa.

Ejemplos

Determine si las siguientes funciones son o no exponenciales y si lo son indique si

son crecientes o decrecientes y además calcule la intersección con el eje de las .

1.

Si es logarítmica, pues la base es , que es un número positivo y diferente

de uno.

La función es estrictamente creciente, pues .

Su intersección con el eje de las es: .

2.

No es logarítmica, pues la base es y es un número negativo.

3.


de uno.




230

4.


de uno.



5.

Si es logarítmica, pues la base es , que un número positivo y diferente de

uno.

La función es estrictamente decreciente, pues .


Práctica

1. La gráfica adjunta corresponde a entonces podemos afirmar con

certeza que pertenece a

A.

B.

C.

D.

2. Si la gráfica adjunta corresponde a entonces con certeza a

pertenece a

A.

B.

C.

D.

x

y

f

x

y

f


231

3. Para la función dada por tal que para se cumple

que es

A. estrictamente decreciente con

B. estrictamente creciente con C. estrictamente decreciente con

D. estrictamente creciente con

4. De acuerdo con los datos de la gráfica la función dada por es

estrictamente

A. estrictamente decreciente con

B. estrictamente creciente con

C. estrictamente decreciente con

D. estrictamente creciente con

5. De las siguientes gráficas ¿cuál puede representar el gráfico de ?

I. II. III. IV.

A. I.

B. II.

C. III.

D. IV.

6. De acuerdo con los datos de la gráfica de la función logarítmica , se cumple que

A. para

B. para

C. para

D. para

x

y

(1,0)

1

y

x

f

1

y

x

f

1

x

y

(0,1)

x

y

(1,0)

x

y

(0,1)


232

7. Si es negativo si se cumple que

A B.

C. D.

8. Si , entonces la gráfica de función interseca al eje en el punto

A.

B.

C.

D.

9. La gráfica de la función dada por interseca al eje en

A.

B.

C.

D.

10. La gráfica de la función dada por interseca el eje x en

A. B. C.

D.

11. Un par ordenado que pertenece al gráfico de corresponde a

A. B. C. D.


233

12. La función dada por es positiva en el intervalo

A.

B.

C.

D.

13. Dada la función definida por con se cumple que

A. la gráfica de f no interseca al eje x.

B. la gráfica de f interseca el eje y.

C. tiene por dominio máximo .

D. tiene por ámbito

14. Dada la función definida por con entonces es cierto

A. la gráfica de f interseca al eje y.

B. la gráfica de f interseca el eje x en el punto .

C. f tiene por dominio máximo .

D. f tiene por ámbito .

15. Una función creciente corresponde a

A.

B.

C.

D.

16. El ámbito de es

A.

B.

C.

D.


234

17. Para la función dada por , si entonces pertenece a

A.

B.

C.

D.

18. Para la función dada por analice las siguientes proposiciones

I. para todo

II. para todo

De ellas son verdaderas

A. solo la I.

B. solo la II.

C. ambas.

D. ninguna.

19. La función con , si , cumple que entonces,

m puede ser cualquier elemento del intervalo

A.

B.

C.

D.

20. Si f es una función dada por con y , entonces

es un número que pertenece a

A.

B.

C.

D.


235

21. Para la función dada por analice las siguientes proposiciones.

I. La gráfica de f interseca al eje x en

II. El ámbito de f es .


A. solo la I.

B. solo la II.

C. ambas.

D. ninguna.

22. En la función cuyo criterio es se cumple que

A. la gráfica de f interseca el eje y en un punto.

B. f es estrictamente decreciente.

C. el dominio de f es

D. el ámbito de f es

23. Considere las siguientes proposiciones respecto a la función

I.

II.

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

A. Ambas.

B. Ninguna.

C. Solo la I.

D. Solo la II.


236

24. Considere las siguientes proposiciones referidas a la función

I. La gráfica interseca al eje x en

II.

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

A. Ambas.

B. Ninguna.

C. Solo la I.

D Solo la II.

25. La gráfica de la función interseca al eje en

A.

B.

C.

D.

26. Si f es una función logarítmica de base a y para , entonces se

cumple que

A.

B.

C.

D.

27. Si entonces el ámbito de es

A.

B.

C.

D.


237

28. Considere las siguientes afirmaciones. Si

I. es estrictamente creciente.

II. es cóncava hacia abajo.

III. interseca al eje de las abscisas en el punto

De las anteriores proposiciones son verdaderas con certeza

A. la I y la II.

B. la I y la III.

C. la II y la III.

D. solo la III.

29. Si entonces es igual a

A.

B.

C.

D.

30. Para la función con , el ámbito es

A.

B.

C.

D.

31. Para la función dada por , entonces se cumple que

A. B.

C.

D.


238

32. Para la función , la preimágen de 2 es

A.

B.

C

D

33. Si el ámbito de la función es , entonces el dominio de

es

A.

B.

C.

D.

34. Si la función es asintótica al semieje negativo, entonces

podemos afirmar que esta función es:

A. Constante

B. Estrictamente decreciente

C. Estrictamente creciente

D. Decreciente.

35. Una función logarítmica que es estrictamente creciente tiene el siguiente

criterio:

A.

B.

C.

D.


239

36. De las siguientes gráficas ¿cuál puede representar la gráfica de

?

A. I

B. II

C. III

D. IV

37. Para la función dada por , si entonces pertenece a

A.

B.

C.

D.

38. Si f es una función tal que y su criterio es ,

entonces el ámbito de esa función corresponde a

A.

B.

C.

D.

39. El conjunto al que pertenece k para que la función

sea

creciente corresponde a

A. 1,

B.3

1,

C. ,3

1

D. ,1


240

40. Si la función es tal que entonces puede ser el

siguiente valor:

A.

B.

C.

D.

Propiedades de los Logaritmos

Para iniciar este apartado debemos comenzar conociendo las propiedades que nos

permiten trabajar con los logaritmos.

1. Propiedad de Nulidad.

El logaritmo en cualquier base de uno nos dará como resultado cero. Es decir:

2. Propiedad de la unidad.

El logaritmo cuya base y argumento posean el mismo valor nos dará como

resultado uno. Es decir:

3. Propiedad de la potencia

Cuando se presenta en el argumento de un logaritmo una potencia el

exponente pasara a multiplicar al logaritmo, es decir:

4. Propiedad del producto.

En un logaritmo cuando en el argumento es un producto, este lo podemos

expresar como una adición, de la siguiente forma:


241

5. Propiedad del cociente.

En un logaritmo cuando en el argumento es un cociente, este lo podemos

expresar como una resta, de la siguiente forma:

6. Propiedad exponencial.

Si un número tiene como exponente, un logaritmo cuya base sea el mismo

número, el resultado de esta expresión, es la expresión que se encuentre en el

argumento del logaritmo.

7. Propiedad del cambio de base.

Dado un logaritmo en base cuyo argumento es , este lo podemos expresar

como el cociente del logaritmo de entre el logaritmo de , de la siguiente

forma:

Ejemplos.

1. El resultado de simplificar – es el siguiente:

Para obtener el resultado tenemos que:

Aplicando la propiedad del cociente.

Ahora aplicando la propiedad del producto.

Por lo tanto:


242

2. El resultado de simplificar es el

siguiente:

Aplicando la propiedad del producto.

Ahora aplicando la propiedad de la potencia obtenemos:

Si multiplicamos la expresión en el primer logaritmo tenemos que:

Finalmente aplicamos la propiedad del cociente:

Por lo tanto:

Práctica

41. La expresión es equivalente a

A.

B.

C.

D.


243


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.

44. El valor de la expresión es

A.

B.

C .

D.


A.

B.

C.

D. 16

1


A.

B.

C.

D.


244


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.

49. La expresión es igual a

A.

B.

C.

D.

50. La expresión – – es equivalente a

A. –

B. –

C.

D.


A.

B.

C.

D.


245


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


246

56. La expresión escrita en base equivale a

A.

B.

C.

D.

57. La expresión es igual a

A. –

B.

C.

D.

58. Una expresión equivalente a es igual a

A.

B.

C.

D.


247

59. El valor de la expresión es:

A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.

61. Considere las siguientes proposiciones:

I.

II.


A. ambas.

B. ninguna.

C. solo I.

D solo II.


248

62. Considere las siguientes proposiciones:

I.

II.


A. ambas.

B. ninguna.

C) solo I.

D) solo II.

63. La expresión es igual a:

A.

B.

C.

D.

64. La expresión es igual a:

A.

B.

C.

D.


249

Ecuaciones Logarítmicas

El procedimiento para resolver ecuaciones logarítmicas se encuentra basado en el

mismo procedimiento que utilizamos para trabajar las propiedades logarítmicas, por

lo que es de suma importancia manejar cada una de las propiedades para facilitarnos

la compresión. Además las soluciones deben comprobarse, ya que el argumento de

un logaritmo debe ser un número mayor que cero y ciertas soluciones no lo

cumplen.

Ejemplos.

1. La solución de la ecuación , es el siguiente conjunto.

Dada la ecuación tenemos que si utilizamos la propiedad del cambio de base.

Despejamos la y obtenemos que:

Por lo tanto:

2. La solución de la ecuación , es el siguiente conjunto.

Dada la ecuación tenemos que si utilizamos la propiedad del cambio de base.

Resolvemos la ecuación que nos queda plantea.

Por lo tanto


250

3. La solución de la ecuación , es el

siguiente conjunto.

Dada la ecuación tenemos que si utilizamos la propiedad del producto.

Como la base del logaritmo es 5 entonces tomemos esa misma base y

planteamos a ambos lados de la ecuación una potencia cuya base sea 5 es

decir:

Aplicamos la propiedad de la potencia y obtenemos que:

Finalmente resolvemos la ecuación:

Resolviendo esta ecuación cuadrática y tenemos que:

Verificamos las soluciones y tenemos que:

Por lo cual no puede ser solución de la ecuación.

Por lo cual no puede ser solución de la ecuación.

Por lo tanto


251

Práctica

65. El valor de en la expresión es

A.

B.

C. 16

1

D. 4

2

1

66. El valor de en la expresión

es

A. 3

B. 3 2

C.

D.

67. El valor de para que se cumpla que es

A. 32

1

B. 25

1

C.

D.


A. 3

3

1

B. 3 3

C. 27

1

D. 3

3

1


252


A. 2

3

B. 3

2

C. 8

1

D. 4

3


A. 9

1

B. 3

1

C. 9

D. 3

71. El valor de en la expresión

es

A. 2

1

B. 8

3

1

C. 512

1

D. 6561

1


253


A. 8

B 16

C. 4 8

D. 4 512

73. Analice las siguientes proposiciones.

I. Si 5log5

y entonces 0y .

II. Si 1loga

y entonces 0y .

III. Si 1loga

y entonces 1ya .


A. solo la I y la II.

B. solo la I y la III.

C. solo la II y la III.

D. todas.

74. El conjunto solución de 1log)12(log 33 xx la ecuación es

A.

B. 3

2

C. 2

1,1

D. 2

3,1

75. El conjunto solución de 1)1(log29

x corresponde a

A. .

B.

C.

D.


254

76. El conjunto solución de corresponde a

A. 4

3

B. 2

1

C. 11

D. 9

77. La solución de corresponde a

A.

B.

C. 2

3

D. 4

21


A.

B. 2

1

C. 3

1

D. 3

2

79. La solución de la ecuación es

A

B. 2

1

C. 4

3

D. 31

20


255


A.

B. 9

5

C. 2

5

D.


A.

B.

C. 6

D.


A.

B.

C.

D.

83. La solución de es

A.

B. 5

1

C. 3

4

D. 3

1


256


A.

B.

C.

D.


A. 3 9

B. 3 2

C. 3

D. 1


A. 2

B. 3

C. 6

D. 1


A. 40

B. 48

C. 256

D. 512


A. 4

B. 5

C. 8

D. 10


257

89. La solución de la ecuación es

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6


A.

B. 3

7

C.

D. 3

19

91. El conjunto de solución de es

A.

B.

C.

D.


A. 512

B. 36

C. 81

D. 9

93. Una solución de es

A. 3

B. 5

C.

D.


258

94. El conjunto solución de es

A.

B.

C.

D.


A. 3

2

B. 3

1

C. 3

10

D. 3

1


A. 3

B. 4

1

C. 3

1

D. 3

97. El conjunto solución de 1)12log(log2

x es

A. 2

3

B. 2

11

C. 2

21

D. 2

101


259

98. El conjunto solución de 02loglog 2

32xx es

A.

B.

C.

D.

99. El conjunto solución de 0)31log(3log x es

A. 1

B. 3

1

C. 3

4

D. 9

2

100. El conjunto solución de 1)3log()25log( xx es

A. -1

B. 2

11

C. 5

32

D. 4

5

101. La solución de es:

A.

B.

C.

D.


A.

B.

C.

D.


260

Soluciones.

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

1 A 26 C 51 D 76 D

2 D 27 B 52 A 77 D

3 D 28 D 53 B 78 B

4 D 29 A 54 B 79 D

5 B 30 C 55 A 80 D

6 B 31 B 56 B 81 D

7 B 32 A 57 D 82 C

8 D 33 B 58 D 83 B

9 A 34 C 59 D 84 C

10 D 35 C 60 C 85 A

11 B 36 C 61 A 86 C

12 B 37 D 62 C 87 D

13 D 38 C 63 D 88 A

14 C 39 D 64 C 89 D

15 C 40 A 65 A 90 D

16 A 41 C 66 D 91 B

17 D 42 C 67 A 92 C

18 A 43 B 68 A 93 A

19 A 44 D 69 C 94 A

20 A 45 A 70 A 95 C

21 D 46 A 71 A 96 D

22 C 47 D 72 B 97 D

23 A 48 A 73 C 98 B

24 C 49 B 74 A 99 C

25 A 50 C 75 B 100 D


261

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

101 A

102 B

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