PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL

INTERNACIONAL

Tulcán – Ecuador

DOCENTE: MSC. JORGE POZO

INTEGRANTES:

Verónica Marisol Imbacuán Gordón

MARZO 2012- AGOSTO 2012

1

INTRODUCCION

La estadística inferencial es necesaria cuando queremos hacer alguna afirmación

sobre más elementos de los que vamos a medir. La estadística inferencial hace que

ese salto de la parte al todo se haga de una manera “controlada”. Aunque nunca

nos ofrecerá seguridad absoluta, sí nos ofrecerá una respuesta probabilística. Esto

es importante: la estadística no decide; sólo ofrece elementos para que el

investigador o el lector decidan. En muchos casos, distintas personas perciben

diferentes conclusiones de los mismos datos.

El proceso será siempre similar. La estadística dispone de multitud de modelos que

están a nuestra disposición. Para poder usarlos hemos de formular, en primer lugar,

una pregunta en términos estadísticos. Luego hemos de comprobar que nuestra

situación se ajusta a algún modelo (si no se ajusta no tendría sentido usarlo). Pero

si se ajusta, el modelo nos ofrecerá una respuesta estadística a nuestra pregunta

estadística. Es tarea nuestra devolver a la psicología esa respuesta, llenándola de

contenido psicológico.

La estadística descriptiva, como indica su nombre, tiene por finalidad describir. Así,

si queremos estudiar diferentes aspectos de, por ejemplo, un grupo de personas, la

estadística descriptiva nos puede ayudar. Lo primero será tomar medidas, en todos

los miembros del grupo, de esos aspectos o variables para, posteriormente, indagar

en lo que nos interese. Sólo con esos indicadores ya podemos hacernos una idea,

podemos describir a ese conjunto de personas.

2

OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICA

La estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la recolección,

organización, análisis e interpretación de datos. Los datos pueden ser cuantitativos,

con valores expresados numéricamente, o cualitativos, en cuyo caso se tabulan las

características de las observaciones. La estadística sirve en administración y

economía para tomar mejores decisiones a partir de la comprensión de las fuentes

de variación y de la detección de patrones y relaciones en datos económicos y

administrativos.

JUSTIFICACIÓN

El presente portafolio tiene como justificación recolectar todo el trabajo dado en

clases como portafolio de apoyo del estudiante y además ampliar mas el

contenido con investigaciones bibliográficas de libros ya que esto nos permitirá

analizar e indagar de los temas no entendidos para auto educarse el estudiante y

así despejar los dudas que se tiene con la investigación y el análisis de cada uno de

los capítulos ya que la estadística inferencial es amplia y abarca problemas que

estas relacionados con el entorno para poder sacar nuestras propias decisiones ya

que la estadística inferencial nos ayudara a la carrera en la que estamos siguiendo

como lo es comercio exterior ampliar mas nuestros conocimientos y utilizar más el

razonamiento y sacar conclusiones adecuadas según el problema que se presente

en el entorno ay que las matemáticas y la estadística nos servirá a futuro para así

poderlos emplear a futuro .

3

CAPITULO I

EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Las unidades del sistema internacional de unidades se clasifican en fundamentales

y derivadas. Las unidades fundamentales no se pueden reducir. Se citan las

unidades fundamentales de interés en la asignatura de ciencias e ingenierías de os

materiales.

Las unidades derivadas se expanden en función de las unidades fundamentales

utilizando signos matemáticos de multiplicación y de división. Por ejemplo las

unidades de densidad del sí son el kilogramo por metro cubico algunas unidades

derivadas tienen nombres y símbolos especiales.

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del

kilogramo (Diaz, 2008)

Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la

radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles HIPERFINOS del

estado fundamental del átomo de cesio 133. (Diaz, 2008)

Unidad de intensidad de corriente eléctrica El ampere (A) es la intensidad de

una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos,

rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una

distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2·10-7

newton por metro de longitud. (Diaz, 2008)

4

Unidad de temperatura termodinámica El kelvin (K), unidad de temperatura

termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto

triple del agua. (Diaz, 2008)

Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un

sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012

kilogramos de carbono 12. (Diaz, 2008)

Unidad de intensidad luminosa La candela (CD) es la unidad luminosa, en una

dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de

frecuencia 540·1012 HERTZ y cuya intensidad energética en dicha dirección es

1/683 WATT por estereorradián. (Diaz, 2008)

Peso: es una magnitud derivada se considera como una unidad vectorial. (Diaz,

2008)

Escalar: aquel que indica el número y la unidad. (Diaz, 2008)

Vector: indica número unidad dirección etc. (Diaz, 2008)

Magnitud derivada: el peso de la unidad newton es una unidad de fuerza. (Diaz,

2008)

Gravedad: es la que permite a los cuerpos caer en perpendiculares según la

gravedad de la tierra (Diaz, 2008)

MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS

Múltiplo

Un múltiplo de un número es otro número que lo contiene un número entero de

veces. En otras palabras, un múltiplo de n es un número tal que, dividido por n, da

por resultado un número entero Los primeros múltiplos del uno al diez suelen

agruparse en las llamadas tablas de multiplicar. (Pineda, 2008)

Submúltiplo

Un número entero a es submúltiplo de otro número b si y sólo si b es múltiplo de a,

(Pineda, 2008).

5

COMENTARIO:

El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene la finalidad de: Estudiar el

establecimiento de un conjunto de reglas para las unidades de medida y como

estudiantes de comercio exterior nos ayuda muchísimo porque con el podemos

obtener los resultados al almacenar una mercancía en el contenedor sin perder el

tiempo que es valioso en la carrera, y también si perder el espacio dentro de dicho

contenedor.

El sistema internacional de unidades es estudiado para obtener datos reales y a su

vez poder dar nuestros resultados sacando conclusiones propias de la carrera Para

una comunicación científica apropiada y efectiva, es esencial que cada unidad

fundamental de magnitudes de un sistema, sea especificada y reproducible con la

mayor precisión posible.

6

ORGANIZADOR GRAFICO:

Sistema Internacional de Medidas y Unidades

Magnitudes fundamentales

Una magnitud fundamental

es aquella que se define

por sí misma y es

independiente de las

demás (masa, tiempo,

longitud, etc.).

Magnitudes derivadas

Para resolver el problema que suponga la utilización de unidades diferentes en distintos lugares del mundo, en la XI

Conferencia General de Pesos y Medidas (París, 1960) se estableció el Sistema Internacional de Unidades (SI). En el

cuadro siguiente puedes ver las magnitudes fundamentales del SI, la unidad de cada una de ellas y la abreviatura que se

emplea para representarla:

Son la que

dependen de las

magnitudes

fundamentales.

Múltiplos Submúltiplos

Un número es un

submúltiplo si otro lo

contiene varias veces

exactamente. Ej.: 2 es

un submúltiplo de 14,

ya que 14 lo contiene

7 veces.= 14 = 2 • 7

Un múltiplo de n es

un número tal que,

dividido por n, da por

resultado un número

entero

7

TRABAJO # 1

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS

MÚLTIPLOS.- Se pueden obtener múltiplos de cualquier número, son aquellos que

se obtiene al sumar el mismo número varias veces o al multiplicarlo por cualquier

número. (son infinitos), (Aldape & Toral, 2005, pág. 94).

Ejemplo:

Múltiplos de 5:

5-10-15-20-25-30-35-405-500-1000

SUBMÚLTIPLOS.- Los submúltiplos son todo lo contrario, son las divisiones

exactas de un número, (Aldape & Toral, 2005).

Por ejemplo:

Submúltiplos de 30:

6, 10, 5, 2, 3, etc.

8

MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS

LAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Una magnitud fundamental es aquella

que se define por sí misma y es independiente de las demás (masa, tiempo,

longitud, etc.).

LONGITUD: Es la medida del espacio o la distancia que hay entre dos

puntos. La longitud de un objeto es la distancia entre sus extremos, su

extensión lineal medida de principio a fin, (Serway & Faughn, 2006).

MASA: Es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo,

(Serway & Faughn, 2006).

TIEMPO: Es la magnitud física que mide la duración o separación de

acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación,

(Serway & Faughn, 2006).

INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA: Se denomina intensidad de

corriente eléctrica a la cantidad de electrones que pasa a través de una

sección del conductor en la unidad de tiempo, (Serway & Faughn, 2006).

TEMPERATURA: Es una magnitud referida a las nociones comunes de

calor o frío. Por lo general, un objeto más "caliente" tendrá una temperatura

mayor, (Serway & Faughn, 2006).

INTENSIDAD LUMINOSA: En fotometría, la intensidad luminosa se define

como la cantidad flujo luminoso, propagándose en una dirección dada, que

emerge, atraviesa o incide sobre una superficie por unidad de ángulo solido,

(Enríquez, 2002).

CANTIDAD DE SUSTANCIA: Su unidad es el mol. Surge de la necesidad

de contar partículas o entidades elementales microscópicas indirectamente

a partir de medidas macroscópicas (como la masa o el volumen). Se utiliza

para contar partículas, (Enríquez, 2002).

MAGNITUDES DERIVADAS.- Son la que dependen de las magnitudes

fundamentales.

VELOCIDAD: Es la magnitud física que expresa la variación de posición de

un objeto en función del tiempo, o distancia recorrida por un objeto en la

unidad de tiempo, (Enríquez, 2002).

9

AREA: Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura

(de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas

superficiales, (Enríquez, 2002).

VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por un

cuerpo, (Enríquez, 2002).

FUERZA: se puede definir como una magnitud vectorial capaz de deformar

los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y

ponerlos en movimiento si estaban inmóviles, (Enríquez, 2002).

TRABAJO: El trabajo, en mecánica clásica, es el producto de una fuerza

por la distancia que recorre y por el coseno del ángulo que forman ambas

magnitudes vectoriales entre sí, (Enríquez, 2002).

La unidad del trabajo es el JOULE.

ENERGIA: Es una magnitud física abstracta, ligada al estado dinámico de

un sistema y que permanece invariable con el tiempo en los sistemas

aislados. La unidad de la energía es el Joule, (Enríquez, 2002).

10

Figura Esquema Área Volumen

Cilindro

Esfera

Cono

Cubo

A = 6 a2 V = a3

Prisma

A = (perim. base •h) + 2 • area

base

V = área base •

h

Pirámid

e

Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos

11

CONCLUSIONES

El sistema internacional de unidades es muy importante porque se involucra

en nuestra carrera permitiendo la relación económica con otros países

mediante comercio internacional y su negociación entre ellos. como también

la práctica de problemas del sistema internacional de unidades nos ayudan

a ver la realidad de nuestro entorno de cómo podemos solucionar problemas

al momento de exportar una mercancía, que cantidad de materia prima,

electrodomésticos, enceres que actualmente se exporta en gran cantidad,

puede alcanzar dentro de un contenedor.

El sistema internacional de unidades nos ayudan a vincularnos en los

negocios, como realizar negociaciones en el exterior porque a través de

este sistema podemos indicar el volumen, área, del tipo de trasporte el cual

se va a exportar la mercancía, que cantidad de cajas por ejemplo podemos

enviar al exterior este sistema es muy fundamental en la carrera de

comercio exterior.

RECOMENDACIONES

Se recomienda saber todas las medidas del sistema internacional de

unidades como también las magnitudes , longitud, masa y volumen de las

figuras geométrica para que nuestro producto o mercancía pueda ser

exportada al exterior, es necesario conocer debido a que nos permitirá

realizar una buena negociación conociendo la cantidad de mercancía que

puede introducirse en el transporte.

Es de mucha importancia, que como estudiantes de la carrera de comercio

exterior conozcamos las unidades básicas más utilizadas que se encuentran

presentes en el Sistema internacional para una correcta aplicación en los

ejercicios propuestos. La utilización de las medidas del Sistema

Internacional se presenta a nivel internacional y por ende son aplicadas en

el los negocios de Comercio Internacional ya que permite una mejor

movimiento e intercambio.

12

13

BIBLIOGRAFÍA

Aldape, A., & Toral, C. (2005). Matemáticas 2. México: PROGRESO S.A.

Altamirano, E. (2007).

Anderson, D. R. (2005). Estadística para Administración y Economía. México:

Cengage Learning.

Diaz, R. G. (2008). Unidades fundamentales .

Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.

Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.

García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N.

J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .

14

Pineda, L. (2008). matematicas.

Rodrígues, M. E. (2001). Coeficientes de Asociación. México: Plaza y Valdés.

Sabadías, A. V. (2001). Estadística Descriptiva e Inferencial . Murcia:

COMPOBELL.

Serway, R. A., & Faughn, J. S. (2006). FÍSICA para bachillerato general. New York:

THOMSON.

Weiers, R. M. (2006). Introducción a la Estadística para Negocios. México: Learning

Inc.

Willliams, T. A. (2008). Estadística para Administración y Economía. México:

Cengage Learning.

LINKOGRAFIA

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm

file:///K:/Tabla-de-Magnitudes-Unidades-Y-Equivalencias.htm

file:///K:/books.htm

file:///K:/volumenes/areas_f.html

file:///K:/cuerposgeoAreaVolum.htm

ANEXOS:

1.- Convertir 2593 Pies a Yardas.

15

2.- Convertir 27,356 Metros a Millas

3.- Convertir 386 Kilogramos a Libras.

4.- Convertir 2,352 Segundos a Año.

5.- Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo.

16

TRANSFORMACIONES

En muchas situaciones tenemos que realizar operaciones con magnitudes que

vienen expresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los cálculos

que realicemos sean correctos, debemos transformar las unidades de forma que se

cumpla el principio de homogeneidad, (Ledanois & Ramos, 2002).

Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un móvil que se mueve a

velocidad constante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30 segundos, debemos

aplicar la sencilla ecuación S = v·t, pero tenemos el problema de que la velocidad

viene expresada en kilómetros/hora, mientras que el tiempo viene en segundos.

Esto nos obliga a transformar una de las dos unidades, de forma que ambas sean

la misma, para no violar el principio de homogeneidad y que el cálculo sea

acertado, (Ledanois & Ramos, 2002).

Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión. Llamamos

factor de conversión a la relación de equivalencia entre dos unidades de la misma

magnitud, es decir, un cociente que nos indica los valores numéricos de

equivalencia entre ambas unidades, (Ledanois & Ramos, 2002).

EJERCICIOS REALIZADOS EN CLASE

Volumen 300 transformar en pulgadas 3

V= 100000

V= 100000

Q= 7200000

17

Vol. Paralelepípedo L x a x h

Vol. Cubo

Vol. Esfera

Vol. Cilindro

Vol. Pirámide

Área cuadrada

Área de un rectángulo B x h

Área de un circulo

Área de un triangulo

En una bodega tiene un largo de 60 m un ancho de 30 m cuantas cadjas de

manzana puede ubicar en esta bodega en estas cajas tiene 60cm de lado y 30 de

ancho y 40 de altura.

Vol. de p bodega = l x a h = 60 x 30 x3 = 5400

Vol. De p caja = 60 x 30 x 40 = 72000

TRANSFORMACIÓN

18

X=

Un tanquero tiene una longitud de 17 m y un radio del tanque de 1.50 m. ¿Cuántos

litros se puede almacenar en dicho tanque?.

RESOLUCION

VOL. CILINDRO =

VOL. CILINDRO= 3.1416 X (1.50 X (17)= 0 120.17

TRANSFORMACIÓN

120.17

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

LONGITUD

1 Km 1000 m

1 m 100 cm

1 cm 10 mm

1 milla 1609 m

1 m 1000 mm

MASA

1qq 100 lbs.

1 Kg 2.2 lbs.

1 qq 45.45 Kg

1 qq 1 arroba

19

1 arroba 25 lbs.

1 lb 454 g

1 lb 16 onzas

1 utm 14.8 Kg

1 stug 9.61 Kg

1 m 10 Kg

1 tonelada 907 Kg

ÁREA

100

1 10000

1 hectárea 10000

1 acre 4050

1 pie (30.48 cm

1 pie 900.29

1 10.76

COMENTARIO EN GRUPO:

Como comentario en grupo podemos decir que las transformaciones nos servirá en

la carrera del comercio exterior y además poder resolver problemas que se

presenten ya que al realizar ejercicios de cilindros y tanque etc., y otras formas

geométricas nos servirá para determinar cuántas cajas o bultos, etc. que pueden

alcanzar en una almacenera o en cada uno de los contenedores esto nos servirá al

realizar prácticas o al momento de emprender nuestro conocimientos a futuro.

20

ORGANIZADOR GRAFICO:

LONGITUD

Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en

la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior, (Riley & Sturges,

2004).

LONGITUD

1 KM 100 M

1 M 100M, 1000MM

1 MILLA 1609M

1 PIE 30,48CM, 0,3048M

1 PULGADA 2,54CM

1 AÑO LUZ 9,46X1015

M

21

TIEMPO.

El tiempo es la magnitud física con la que medimos la duración o separación de

acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación, esto es,

el período que transcurre entre el estado del sistema cuando éste aparentaba un

estado X y el instante en el que X registra una variación perceptible para un

observador (o aparato de medida). El tiempo ha sido frecuentemente concebido

como un flujo sucesivo de situaciones atomizadas, (López, March, García, &

Álvarez, 2004).

MEDIDAS DEL TIEMPO

1 AÑO 365 DIAS

1 MES 30 DIAS

1SEMANA 7 DIAS

1 DIA 24 HR

1 HORA 60 MIN,3600SEG

1 MINUTO 60 SEG.

MASA Y PESO.

La masa es la única unidad que tiene este patrón, además de estar en Sevres, hay

copias en otros países que cada cierto tiempo se reúnen para ser regladas y ver si

han perdido masa con respecto a la original. El kilogramo (unidad de masa) tiene su

patrón en: la masa de un cilindro fabricado en 1880, compuesto de una aleación de

platino-iridio (90 % platino - 10 % iridio), creado y guardado en unas condiciones

exactas, y que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Seres,

cerca de París, (Hewitt, 2004).

PESO

De nuevo, atención a lo siguiente: la masa (la cantidad de materia) de cada cuerpo

es atraída por la fuerza de gravedad de la Tierra. Esa fuerza de atracción hace que

el cuerpo (la masa) tenga un peso, que se cuantifica con una unidad diferente: el

Newton (N), (Torre, 2007).

22

SISTEMA DE CONVERSION DE

MASA

1

TONELADA

1000 KG

1 QQ 4 ARROBAS, 100 L

1 ARROBA 25 L

1 KG 2,2 L

1 SLUG 14,58 KG

1 UTM 9,8 KG

1 KG 1000 GR

1 L 454 GR, 16 ONZAS

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TRABAJO # 2

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32

CONCLUSIÓN:

La conversión de unidades es la transformación de una cantidad, expresada en una

cierta unidad de medida, en otra equivalente. Este proceso suele realizarse con el

uso de los factores de conversión y las tablas de conversión del Sistema

Internacional de Unidades.

Frecuentemente basta multiplicar por un factor de conversión y el resultado es otra

medida equivalente, en la que han cambiado las unidades.

Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se

pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el

resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos.

Cuando se trabaja en la resolución de problemas, frecuentemente surge la

necesidad de convertir valores numéricos de un sistema de unidades a otro, por lo

cual es indispensable tener conocimientos sobre las equivalencias de los diferentes

sistemas de unidades que nos facilitan la conversión de una unidad a otra,

tomando en cuenta el país y la medida que se emplee en los diferentes lugares.

RECOMENDACIÓN:

En toda actividad realizada por el ser humano, hay la necesidad de medir "algo"; ya

sea el tiempo, distancia, velocidad, temperatura, volumen, ángulos, potencia, etc.

Todo lo que sea medible, requiere de alguna unidad con qué medirlo, ya que las

personas necesitan saber qué tan lejos, qué tan rápido, qué cantidad, cuánto pesa,

en términos que se entiendan, que sean reconocibles, y que se esté de acuerdo

con ellos; debido a esto es necesario tener conocimientos claros sobre el Sistema

De Conversión De Unidades pues mediante el entendimiento de este sistema o

patrón de referencia podremos entender y comprender con facilidad las unidades

de medida las cuales las podremos aplicar en la solución de problemas de nuestro

contexto.

33

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:

MES DE MARZO-ABRIL

ACTIVIDADES M J V S D L M

Investigar sobre el Sistema Internacional de Unidades y la

Áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas

X X

Ejecución del Formato del Trabajo X

Resumen de los textos investigados X X

Finalización del Proyecto X

Presentación del Proyecto X

BIBLIOGRAFIA

Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.

Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.

García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N.

Hewitt, P. G. (2004). Física Conceptual. México: Pearson Educación S.A.

J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .

Ledanois, J. M., & Ramos, A. L. (2002). Magnitudes, Dimensiones y Conversiones

de Unidades. Caracas: EQUINOCCIO.

López, J. C., March, S. C., García, F. C., & Álvarez, J. M. (2004). Curso de

Ingeniería Química. Barcelona: REVERTÉ S.A.

Pineda, L. (2008). matematicas.

Riley, W. F., & Sturges, L. F. (2004). ESTÁTICA. Barcelona: REVERTÉ.

34

LINKOGRAFIA:

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_fundamental#Unidades_en_el_Sistema_Int

ernacional_de_Unidades_.28SI.29

http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29

http://www.quimicaweb.net/ciencia/paginas/magnitudes.html

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/VolumenCilindro.htm

http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/volum1.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm

ANEXOS:

1.- Investigar las medidas de un tráiler, de una mula y de un camión sencillo,

además las medidas de las cajas de plátano, manzanas, quintales de papa y arroz.

Con esa información calcular el número de cajas y quintales que alcanzan en cada

uno de los vehículos.

TRAILER MULA CAMION

SENCILLO

Largo 14.30m Largo 8.27m Largo 10.80m

Ancho 2.45m Ancho 2.50m Ancho 2.60m

Alto 2.6m Alto 1.44m. Alto 4.40m

Medidas de las cajas:

Medidas de las cajas de plátano

LARGO ANCHO ALTO

20cm 51cm 34cm

Medidas de las cajas de manzana

7.5cm 9.5cm 7.5cm

35

DESARROLLO:

36

a.

1 caja de plátano-----------------911*10-05m3

X 91.09m3

b.

1 caja de manzana-----------------5.3*108m3

X 9.11*10-05m3

c.

37

1 qq de papa-----------------0.05m3

X 9.11*10-05m3

d.

1 qq de arroz-----------------0.05m3

X 9.11*10-05m3

e.

1 caja de plátano-----------------911*10-05m3

X 29.77m3

38

f.

1 caja de manzana-----------------5.3*108m3

X 29.77m3

g.

1 qq de papa-----------------0.05m3

X 29.77m3

.

h.

1 qq de arroz-----------------0.05m3

X 9.11*10-05m3

39

i.

1 caja de plátano-----------------911*10-05m3

X 123.55m3

j.

1 caja de manzana-----------------5.3*108m3

X 123.55m3

k.

1 qq de papa-----------------0.05m3

X 123.55m3

.

40

l.

1 qq de arroz-----------------0.05m3

X 123.55m3

.

41

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES DEL PRIMER CAPÍTULO:

Tiempo

Actividades

MARZO ABRIL MAYO

SEMANAS SEMANAS SEMANAS

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

PRIMERA CLASE

Competencia especifica (27-Marzo-2012)

X

Introducción de la Materia (27-Marzo-2012)

x

SEGUNDA CLASE

Sistema Internacional de Unidades (03-Abril-2012)

X

Tarea Sistema Internacional de Unidades. Entregar el 10 de abril del 2012

X

TERCERA CLASE

Aplicación de transformaciones (17 de abril del 2012)

X

Tarea Ejercicios de aplicación acerca del Sistema Internacional de unidades según las transformaciones (24 de abril del 2012)

X

CUARTA CLASE

Evaluación primer capitulo (03 de Mayo del 2012)

x

42

43

44

CAPITULO II

MARCO TEORICO:

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL

La correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre las dos

variables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir, determinar si los

cambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que

suceda, diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entre

ellas.

Una medida estadística ampliamente utilizada que mide el grado de relación lineal

entre dos variables aleatorias. El coeficiente de correlación debe situarse en la

banda de -1 a +1. El coeficiente de correlación se calcula dividiendo la covarianza

de las dos variables aleatorias por el producto de las desviaciones típicas

individuales de las dos variables aleatorias. Las correlaciones desempeñan un

papel vital en la creación de carteras y la gestión de riesgos, (Weiers, 2006).

Comentario:

A una correlación se la puede apreciar con un grupo de técnicas estadísticas

empleadas para medir la intensidad de dicha relación entre dos variables, en

donde se deben identificar la variable dependiente y la independiente.

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

Representación gráfica del grado de relación entre dos variables cuantitativas.

Características principales

A continuación se comentan una serie de características que ayudan a comprender la

naturaleza de la herramienta.

45

Impacto visual

Un Diagrama de Dispersión muestra la posibilidad de la existencia de correlación entre

dos variables de un vistazo.

Comunicación

Simplifica el análisis de situaciones numéricas complejas.

Guía en la investigación

El análisis de datos mediante esta herramienta proporciona mayor información que el

simple análisis matemático de correlación, sugiriendo posibilidades y alternativas de

estudio, basadas en la necesidad de conjugar datos y procesos en su utilización, (García,

2000).

Comentario:

El diagrama de dispersión sirve para una representación gráfica más fácil y útil

cuando se quiere describir el comportamiento de un conjunto de dos variables, en

donde aparece representado como un punto en el plano cartesiano.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN RECTILINEA DE PEARSON

En estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es un índice que mide la relación

lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la

correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.

De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pearson como

un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables siempre y

cuando ambas sean cuantitativas.

El coeficiente de correlación es una medida de asociación entre dos variables y se

simboliza con la literal r; los valores de la correlación van de + 1 a - 1, pasando por

el cero, el cual corresponde a ausencia de correlación. Los primeros dan a

46

entender que existe una correlación directamente proporcional e inversamente

proporcional, respectivamente, (Willliams, 2008).

Comentario:

El coeficiente de correlación de Pearson nos da una idea de que tan relacionadas

están dos variables, este número varía entre 0 y 1; si el coeficiente es > 0.9,

entonces es una buena correlación y cuando un coeficiente es < 0.3 indica que las

variables no están correlacionadas entre ellas y por lo que el 1 representa una

correlación perfecta.

INTERPRETACIÓN DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

El coeficiente de correlación como previamente se indicó oscila entre –1 y +1

encontrándose en medio el valor 0 que indica que no existe asociación lineal entre las dos

variables a estudio. Un coeficiente de valor reducido no indica necesariamente que no

exista correlación ya que las variables pueden presentar una relación no lineal como

puede ser el peso del recién nacido y el tiempo de gestación. En este caso el r infraestima

la asociación al medirse linealmente. Los métodos no paramétrico estarían mejor

utilizados en este caso para mostrar si las variables tienden a elevarse conjuntamente o a

moverse en direcciones diferentes.

Como ya se ha planteado el grado de correlación mide la intensidad de relación

lineal, ya sea directa, inversa o inexistente entre dos variables, se dice que es

directa si tiene signo positivo, inversa de signo negativo y nula cuando el valor sea

aproximadamente igual a cero, (Anderson, 2005).

Comentario:

El coeficiente de correlación mide solo la relación con una línea recta, dos

variables pueden tener una relación curvilínea fuerte, a pesar de que su

correlación sea pequeña; por lo tanto cuando analicemos las relaciones entre dos

variables debemos representarlas gráficamente y posteriormente calcular el

coeficiente de correlación para un mejor entendimiento.

47

FORMULA

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Elegida una de las variables independientes y representadas los valores de la variable

bidimensional, si observamos que la función que mejor se adapta a la forma de la nube de

puntos es una recta, tendremos un problema de regresión lineal. Si hemos elegido el

carácter X como variable independiente, tendremos a la recta de regresión de Y sobre X.

Si elegimos Y como variable independiente, se obtendrá la recta de regresión de X sobre

Y.

Regresión Lineal Simple.- suponga que tenemos una única variable respuesta

cuantitativa Y, y una única variable predictora cuantitativa X. Para estudiar la relación

entre estas dos variables examinaremos la distribución condicionales de Y dado X=x para

ver si varían cuando varia x. (MORER, 2004)

COMENTARIO:

Podemos concluir diciendo que una de las variables independientes y

representadas los valores que mejor se adapta a la forma de la nube de puntos es

una recta, tendremos un problema de regresión lineal. A demás el hecho de

entender de que se trata una regresión lineal y saberla aplicar relacionando dos

variables nos será de mucha ayuda en nuestro futuro ya que nos permitirá aplicar

lo aprendido en problemas reales que se nos presenten en nuestra vida

profesional como por ejemplo el saber que tan buena resulta una relación entre

exportaciones e importaciones que el Ecuador ha realizado y así con esto poder

tomar decisiones.

48

CORRELACIÓN POR RANGOS

Cuando se obtienen datos en parejas, tales como observaciones de dos variables para un

mismo individuo, deseamos conocer si las dos variables están relacionadas o no y de

estarlo, el grado de asociación entre ellas.

Correlación Por Rangos.- Este coeficiente de Sperman, es muy utilizado en

investigaciones de mercado, especialmente cuando no se deben aplicar medidas

cuantitativas para ciertas características cualitativas, en aquellos casos , en donde se

pueden aplicar ambos coeficientes de correlación, encontraremos que sus resultados son

bastante aproximados. (BENCARDINO, 2006)

COMENTARIO:

Son datos en pareja para poder conocer la relación que existe entre ellas para un

solo individuo en común, y medir el grado de asociación entre ellas. Esto es muy

interesante ya que en un futuro nos ayudara en lo que nos vamos a desarrollar

que es un ambiente de negocios, ya que podemos aplicar esta técnica estadística

aprendida, y así poder solucionar problemas que se nos presenten comúnmente y

saber que tan buena es la relación entre las dos variables propuestas es decir nos

ayudara mucho ya que nos dará una idea de que tan relacionadas linealmente

están dos variables y si su relación es positiva o negativa.

RANGO

La diferencia entre el menor y el mayor valor. En {4, 6, 9, 3, 7} el menor valor es 3, y el

mayor es 9, entonces el rango es 9-3 igual a 6. Rango puede significar también todos los

valores de resultado de una función.

Rango.- es una categoría que puede aplicarse a una persona en función de su situación

profesional o de su status social. Por ejemplo: “Tenemos que respetar el rango del

superior a la hora de realizar algún pedido”, “Diríjase a mi sin olvidar su rango o será

sancionado. (MORER, 2004)

49

COMENTARIO:

Rango es el valor que se diferencia entre el menor y el mayor valor. Rango puede

significar también todos los valores de resultado de una función, y se puede así

relacionar y correlacionar a dos variables para obtener resultados que nos ayudan

a la toma de decisiones. A demás un rango es importante ya que nos permite la

obtención de datos más exactos y pues con esto nuestro trabajo se entonara de

forma más real y sobre todo de forma más precisa, y por ende tomaremos

decisiones más acertadas.

COMENTARIO GENERAL:

La correlación y regresión lineal están estrechamente relacionadas entre si las cuales nos

ayudan a comprender el análisis de los datos muéstrales para saber qué es y cómo se

relacionan entre sí dos o más variables en una población que deseemos estudiar para así

poder determinar posibles resultados que nos darán en un estudio de mercado por

ejemplo ya que nuestra carrera de comercio exterior está muy relacionada con ese

ámbito.

La regresión lineal por otro lado nos permitirá graficar las dos variables a estudiar

determinando su situación y si es conveniente o no desarrollar lo propuesto o investigado.

La finalidad de una ecuación de regresión seria estimar los valores de una variable con

base en los valores conocidos de la otra.

Es decir en resumen que nos permitirá tomar decisiones acertadas dentro de un estudio

ya sea en una población que determinara el éxito o fracaso entre dos variables a estudiar,

y facilitara la recolección de información.

50

ORGANIZADOR GRAFICO:

CORRELACION Y REGRESION

LINEAL

ayuda a la toma de decisiones segun lo

resultante en la aplicacion de estos

grupodetécnicasestadísticasusadasparamedirlafuerzadelaasociaciónentredosvariables

se ocupa de establecer si existe una relación así como de determinar su magnitud y

dirección mientras que la regresión se encarga

principalmente de utilizar a la relación para efectuar una

predicción. determinar posibles

resultados como por ejemplo del

exito en un estudi de mercado

permite evaluar decisiones que

se tomen en una poblacion

herramienta basica para estudios y analisis que pueden determinar el

exito o fracaso entre dos opciones

51

TRABAJO Nº 3

Verónica Marisol Imbacuán

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

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76

77

78

79

80

81

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:

Actividad

Días

Responsable Mar,

08

Mié,

09

Jue,

10

Vie,11 Sáb,12 Dom,13 Lun,14 Mar,15 Mié,16 Jue,17

Copias Marisol

Imbacuán

Iniciar

con los

ejercicios

Marisol

Imbacuán

Terminar

los

ejercicios

Marisol

Imbacuán

Prueba Marisol

Imbacuán

82

ANEXOS:

Ejemplo 1:

La siguiente tabla representa las puntuaciones de 7 sujetos en dos variables X e Y.

X: 6 3 7 5 4 2 1

Y: 7 6 2 6 5 7 2

Calcule:

a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y

b. La recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas

c. La varianza de Y ( ), la varianza de las puntuaciones pronosticadas ( ) y la

varianza error (

a)

X Y XY X2 Y2

6

3

7

5

4

2

1

7

6

2

6

5

7

2

42

18

14

30

20

14

2

36

9

49

25

16

4

1

49

36

4

36

25

49

4

28 35 140 140 203

83

b)

c)

Ejemplo 2:

Se tienen los datos conjuntos de dos variables, X e Y, con los valores que se muestran en

la tabla:

X: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13

Y: 1; 4; 6; 6; 7; 8; 10

a. Si utilizamos la variable X como predictora de la variable Y, ¿qué porcentaje de

variabilidad de Y no puede ser explicada por la variabilidad de X?.

b. ¿Qué valor pronosticaríamos en la variable Y, si en la variable X obtenemos un

valor de 10?

c. Suponiendo que no dispusiéramos de la información relativa a la variable X, ¿qué

valor pronosticaríamos para la variable Y? (Razone su respuesta).

84

a) Completamos la siguiente tabla:

X Y XY X2 Y2

1 1 1 1 1

3 4 12 9 16

5 6 30 25 36

7 6 42 49 36

9 7 63 81 49

11 8 88 121 64

13 10 130 169 100

49 42 366 455 302

El cuadrado del coeficiente de correlación (coeficiente de determinación) se interpreta

como proporción de varianza de la variable Y que se explica por las variaciones de la

variable X. Por tanto: es la proporción de varianza no explicada. Esta proporción

multiplicada por 100 es el tanto por ciento o porcentaje.

b) Aplicamos la ecuación de regresión de Y sobre X: Y= b.X + a. Siendo b la pendiente

y ala ordenada cuyas expresiones aparecen entre paréntesis.

85

c) Le pronosticaríamos la media, porque no disponiendo información de la variable X es

con el que cometemos menos error de pronóstico.

Ejemplo 3:

Elección de la prueba estadística para medir la asociación o correlación. Las edades en

días están en escala de tipo intervalo, tenemos dos variables, entonces aplicamos esta

prueba.

Objetivo: Conocer qué grado de asociación existe entre la edad y peso corporal de niños

de edades desde el nacimiento hasta los 6 meses.

Hipótesis.

Entre las observaciones de edad de los niños y peso corporal existe correlación

significativa.

Ho. Entre las observaciones de edad de los niños y pero corporal no existe correlación

significativa.

86

87

Ejemplo 4:

Se ha evaluado a 7 sujetos su inteligencia espacial (variable X) y sus puntuaciones

fueron: 13, 9, 17, 25, 21, 33, 29. Además se les pidió a los sujetos que reconocieran un

conjunto de figuras imposibles (variable Y). Después de calcular la ecuación de regresión

para pronosticar Y a partir de X, se sabe que para una puntuación típica de 1,2 en X se

pronosticaría una puntuación típica de 0,888 en Y. También se sabe que la desviación

típica de las puntuaciones pronosticadas para Y es 11,1. Con estos datos calcular:

a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y

Sujeto Xi

1 13 169

2 9 81

3 17 289

4 25 625

5 21 441

6 33 1089

7 29 841

Sumatorio 147 3535

88

a. La ecuación de regresión en puntuaciones diferenciales para pronosticar Y a partir

de X

a. La varianza de los errores del pronóstico.

Ejemplo 5:

De dos variables X e Y, y para un grupo de 5 sujetos, se saben los siguientes datos que

se muestran en la tabla:

Calcular:

a) Recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas.

89

b) Coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y

c) La varianza de las puntuaciones pronosticadas.

EJEMPLO 6:

Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El Ecuador

tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis de cual empresa

es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el país de importación.

Empresas

Valor de los

transformadores

x

Unidades

posibles a vender

y

X2

Y2

XY

1

2

3

4

5

1800

1500

1200

900

850

100

98

80

62

58

3.240.000

2.250.000

1.440.000

810.000

722.500

10.000

9.604

6.400

3.844

3.364

180.000

147.000

96.000

55.800

49.300

∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2=8.462.500 ∑y

2=33.212 ∑xy= 528.100

90

Fórmula:

Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la empresa

importadora.

91

EJEMPLO 7:

Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El Ecuador

tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis de cual empresa

es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el país de importación.

Empresas

Valor de los

transformadores

x

Unidades

posibles a

vender

y

X2

Y2

XY

1

2

3

4

5

1800

1500

1200

900

850

100

98

80

62

58

3.240.000

2.250.000

1.440.000

810.000

722.500

10.000

9.604

6.400

3.844

3.364

180.000

147.000

96.000

55.800

49.300

∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2=8.462.500 ∑y

2=33.212 ∑xy=

528.100

Fórmula:

92

Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la empresa

importadora.

EJEMPLO 8:

La empresa MIDECAR ha clasificado como mercancías de mayor responsabilidad las

mercancías peligrosas y frágiles obteniendo así los siguientes datos mensuales sobre

las toneladas de mercancías que ingresan sobre este tipo:

MESES Mercancías

Peligrosas

Mercancías

Frágiles

X Y X^2 Y^2 XY

Enero 189 85 35721 7225 16065,00

Febrero 105 96 11025 9216 10080,00

Marzo 125 78 15625 6084 9750,00

Abril 116 48 13456 2304 5568,00

Mayo 124 98 15376 9604 12152,00

659 405 91203 34433 53615

93

94

La relación que existe dentro de las mercancías frágiles y peligrosas tiende a positiva

como lo demuestra el resultado numérico coma la formula y al grafica respecto al eje x

y eje y.

EJEMPLO 9:

3. De una determinada empresa Exportadora de Plátano se conocen los siguientes datos,

referidos al volumen de ventas (en millones de dólares) y al gasto en publicidad ( en miles

de dólares) de los últimos 6 años:

a) ¿Existe relación lineal entre las ventas de la empresa y sus gastos en publicidad?

95

ANALISIS: En este caso r es 0.304 por tanto existe correlación ordinal positiva y es

imperfecta, es decir a mayor gasto en publicidad mayor volumen de ventas.

96

EJEMPLO 10:

La empresa FERRERO desea importar nueces desde Colombia por lo cual no está

seguro que empresa de transporte contratar para la mercancía de acuerdo a esto esta

empresa decide verificar los rendimientos que han tenido estas empresas en el transporte

por lo cual ha hecho una investigación de mercado y a obtenido los siguientes resultados.

EMPRESAS DE

TRANSPORTE

CALIDAD DE

SERVICIO (X)

RENDIMIENTO (Y) XY

TRANSCOMERINTER

TRANSURGIN

TRANSBOLIVARIANA

SERVICARGAS

19

17

16

14

46

44

40

30

361

289

256

196

2116

1936

1600

900

874

748

640

420

66 160 1102 6552 2682

r

r=

r= 0,038

Es una relación positiva pero se podría decir que la empresa no podrá depender de las

dos variables ya que no son muy dependientes el uno del otro.

97

EJEMPLO 11:

Se está efectuando un proyecto de investigación en una empresa para determinar si

existe relación entre los años de servicio y la eficiencia de un empleado. El objetivo de

estudio fue predecir la eficiencia de un empleado con base en los años de servicio. Los

resultados de la muestra son:

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20 25

EMPLEADOS

AÑOS DE SERVICIO

“X”

PUNTUACIÓN

DE EFICIENCIA

“Y”

XY

X2

Y2

Y

A 1 6 6 1 36 3.23

B 20 5 100 400 25 4.64

C 6 3 18 36 9 3.61

D 8 5 40 64 25 3.77

E 2 2 4 4 4 3.31

F 1 2 2 1 4 3.23

G 15 4 60 225 16 4.30

H 8 3 24 64 9 3.77

61 30 254 795 128

98

r = .3531

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

b = 202 = .0765

2639

a = 3.75 - .0765 (7.625) = 3.16

( y - y )2 ( y - y´ )2

5.0625 7.6729

1.5625 0.0961

0.5625 0.3721

99

1.5625 1.5129

3.0625 1.7161

3.0625 1.5129

0.0625 0.09

0.5625 0.5929

r2 = 15.5 - 13.5659 = 0.1247 = 0.1247

EJEMPLO 12:

Un analista de operaciones de comercio exterior realiza un estudio para analizar la

relación entre la producción y costos de fabricación de la industria electrónica. Se toma

una muestra de 10 empresas seleccionadas de la industria y se dan los siguientes datos:

EMPRESA MILES DE

UNIDADES x

MILES DE

$ y

XY X2

Y2

A 40 150 6000 1600 22500

B 42 140 5880 1764 19600

C 48 160 7680 2304 25600

D 55 170 9350 3025 28900

E 65 150 9750 4225 22500

F 79 162 12798 6241 26244

G 88 185 16280 7744 34225

H 100 165 16500 10000 27225

I 120 190 22800 14400 36100

J 140 185 25900 19600 34225

Σx 777 Σy 1657 Fxy 132938 Σx2 70903 Σy

2 277119

100

r = 1´329,380 - 1´287,489 =

[709030 - 603729][2771190 - 2745949]

r = ___41891 = r= _41891__ = 0.8078

(105301) (25541) 51860.32

DESVIACION ESTANDAR

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160

101

Syx = (277119) - 134.7909 (1657) - (.3978) (132.938)

10 - 2

Syx = 10.53

MARCO TEORICO:

CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL

La correlación y la regresión están muy relacionadas entre sí. Ambas implican la relación

entre dos o más variables. La correlación se ocupa principalmente. De establecer si

existe una relación, así como de determinar su magnitud y dirección, mientras que la

regresión se encarga principalmente de utilizar a la relación. En este capítulo

analizaremos la correlación y más adelante la regresión lineal

Relaciones;

La correlación se ocupa de establecer la magnitud y la dirección de las relaciones.

Analizaremos algunas características importantes generales de estas con las que

comprenderemos mejor este tema.

Relaciones lineales:

Veamos una relación lineal entre dos variable. La siguiente tabla nos muestra el salario

mensual que percibieron cinco agentes de ventas y el valor en dólares de las mercancías

vendidas por cada uno de ellos en ese mes.

102

Agente variable X mercancía vendida ($) Y variable salario ($)

1 0 500

2 1000 900

3 2000 1300

4 3000 1700

5 4000 2100

Podemos analizar mejor la relación entre estas variables. Si trazamos una grafica

trazamos los valores XyY, para cada agente de ventas, como los puntos de dicha grafica.

Sería una grafica de dispersión o de dispersigrama.

La grafica de dispersión para los datos de los agentes de ventas aparece en el cuadro.

Una relación lineal.- entre dos variables, es aquella que puede representarse con la

mejor exactitud mediante una línea recta.

Problema de que ambos tienen escalas muy diferentes. Como mencionamos

anteriormente podemos resolver esta dificultad al convertir cada calificación en su valor Z

transformado, lo cual colocaría a ambas variables en la misma escala, en la escala Z.

Para apreciar la utilidad de los puntajes Z en la determinación de la correlación,

consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que el supermercado de su barrio está

vendiendo naranjas, las cuales ya están empacadas; cada bolsa tiene marcado el precio

total. Ud. quiere saber si existe una relación entre el peso de las naranjas de cada bolsa y

su costo. Como Ud. Es investigador nato, elige al azar seis bolsas y la pesa, de hecho

están relacionadas estas variables. Existe una correlación positiva perfecta entre el costo

y el peso de las naranjas. Asi el coeficiente de correlación debe ser igual a + 1.

Para utilizar esta ecuación primero hay que convertir cada puntaje en bruto en su valor

transformado. Esto puede tardar mucho tiempo y crear errores de redondeo con alguna

algebra, esta ecuación se puede transformar en una ecuación de cálculo que utilice datos

en bruto:

103

Ecuación para el cálculo de la r de PEARSON

r

Donde es la suma de los productos de cada pareja XyY también se llama la

suma de los productos cruzados.

Datos hipotéticos a partir de cinco sujetos:

r

r

SUBJETIVO X Y X2 Y2 XY

A 1 2 1 4 2

B 3 5 9 25 15

C 4 3 16 9 12

D 6 7 36 49 42

E 7 5 49 25 35

TOTAL 21 22 111 112 106

104

PROBLEMA DE PRÁCTICA:

Tenemos una relación lineal imperfecta y estamos interesados en calcular la magnitud y

dirección de la magnitud y dirección de la relación mediante la r Pearson.

# de estudiantes IQ

(promedio de

calificaciones)

Promedio

de datos Y

X2 Y2 XY

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

TOTAL

110

112

118

119

122

125

127

130

132

134

136

138

1503

1.0

1.6

1.2

2.1

2.6

1.8

2.6

2.0

3.2

2.6

3.0

3.6

27.3

12.100

12.544

13.924

14.161

14.884

15.625

16.129

16.900

17.424

17.956

18.496

19.044

189.187

1.00

2.56

1.44

4.41

6.76

3.24

6.76

4.00

10.24

6.76

9.00

12.96

69.13

110.0

179.2

141.6

249.9

317.2

225.0

330.2

260.0

422.4

384.4

408.0

496.8

3488.0

r

r

105

Una segunda interpretación de la r de PEARSON es que también se puede interpretar en

términos de la variabilidad de Y explicada por medio de X. este punto de vista produce

más información importante acerca de r y la relación entre X y Y en este ejemplo la

variable X representa una competencia de ortografía y la variable Y la habilidad de la

escritura de seis estudiantes de tercer grado. Suponga que queremos que queremos

predecir la calificación de la escritura de Esteban, el estudiante cuya calificación en

ortografía es de 88.

Para calcular la r de Pearson para cada conjunto. Observe que en el conjunto B, donde la

correlación es menor, a algunos de los valores

r=

Son positivos y otros son negativos. Estos tienden a cancelarse entre si, lo cual hace

que r tenga una menor magnitud. Sin embargo, en los conjuntos A y C todos los

productos tienen el mismo signo, haciendo que la magnitud de r aumente. Cuando las

parejas de datos ocupan las mismas u opuestas posiciones dentro de sus propias

distribuciones, los productos tienen el mismo signo, la cual produce una mayor

magnitud de r

Calculando r utilizando para el conjunto B, utilizando la ecuación para los datos en bruto

¿Qué quiere utilizar la ecuación de los datos en bruto o la los puntajes z?

Sume la constante 5 de los datos X en el conjunto A y calcule r de nuevo, mediante la

ecuación de datos en bruto ¿ha cambiado el valor?

Construya una grafica de dispersión para las parejas de datos.

Sería justo decir que este es un examen confiable

Un grupo de investigadores a diseñado un cuestionario sobre la tensión, consistente en

quince sucesos. Ellos están interesados en determinar si existe una coincidencia entre

dos culturas acerca de la cantidad relativa de ajustes que acarrea cada suceso. El

cuestionario se aplica a 300 estadounidenses y 300 italianos. Cada individuo debe utilizar

106

el evento “matrimonio” como estándar y juzgar los demás eventos en relación con el

ajuste necesario para el matrimonio recibe un valor arbitrario de 50 puntos. Si se

considera un evento requiere de más ajustes que el matrimonio, el evento debe recibir

más de 50 puntos. El número de puntos excedentes depende de la cantidad de ajustes

requeridos. Después de cada sujeto de cada cultura ha asignado de puntos a todos los

eventos, se promedian los puntos de cada evento. Los resultados aparecen en la

siguiente tabla.

EVENTOS

ESTADOUNIDENSES

ITALIANOS

Muerte de la esposa 100 80

Divorcio 73 95

Separación de la pareja 65 85

Temporada en prisión 63 52

Lesiones personales 53 72

Matrimonio 50 50

Despedido del trabajo 47 40

Jubilación 45 30

Embarazo 40 28

Dificultades sexuales 39 42

Reajustes económicos 39 36

Problemas con la familia

política

29 41

Problemas con el jefe 23 35

Vacaciones 13 16

Navidad 12 10

a. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo y calcule la

correlación entre los datos de los estadounidenses y la de los italianos

b. Suponga que los datos solo tienen una escala ordinal y calcule la correlación entre

los datos de ambas culturas

107

INDIVIDUO EXAMEN CON

LÁPIZ Y PAPEL

PSIQUIATRA A PSIQUIATRA

B

1 48 12 9

2 37 11 12

3 30 4 5

4 45 7 8

5 31 10 11

6 24 8 7

7 28 3 4

8 18 1 1

9 35 9 6

10 15 2 2

11 42 6 10

12 22 5 3

Un Psicólogo ha construido un examen lápiz-papel, a fin de medir la depresión. Para

comparar los datos de los exámenes con los datos de los expertos, 12 individuos “con

perturbaciones emocionales” realizan el examen lápiz-papel. Los individuos son

calificados de manera independiente por los dos psiquiatras, de acuerdo con el grado de

depresión determinado para cada uno como resultado de las entrevistas detalladas. Los

datos aparecen a continuación.

Los datos mayores corresponden a una mayor depresión.

a. ¿Cuál es la correlación de los datos de los dos psiquiatras?

b. ¿Cuál es la correlación sobre las calificaciones del examen de lápiz y papel de

cada psiquiatra?

Para este problema, suponga que Ud. Es un psicólogo que labora en el departamento de

recursos humanos de una gran corporación. El presidente de la compañía acaba de

hablar con Ud. Acerca de la importancia de contratar personal productivo en la sección de

manufactura de la empresa y le ha pedido que ayude a mejorar la capacidad de la

institución para hacer esto. Existen 300 empleados en esta sección y cada obrero fabrica

el mismo artículo. Hasta ahora la corporación solo ha recurrido a entrevistas para elegir a

estos empleados. Ud. Busca bibliografía y descubre dos pruebas de desempeño lápiz y

108

papel, bien estandarizadas y piensa que podrían estar relacionadas con los requisitos de

desempeño de esta sección. Para determinar si alguna de ellas se puede usar como

dispositivo de selección elige a 10 empleados representativos de la sección de la

manufactura, garantizando que un amplio rango de desempeño quede representado en la

muestra y realiza las dos pruebas con cada empleado por semana, promediando durante

los últimos seis meses.

Desempeño

en el trabajo

Examen 1

Examen 2

1

50

10

25

2

74

19

35

3

62

20

40

4

90

20

49

5

98

21

50

6

52

14

29

7

68

10

32

8

80

24

44

9

88

16

46

10

76

14

35

CORRELACIÓN

4.1.1. TÉCNICAS DE CORRELACIÓN

En los capítulos anteriores, ustedes estudiaron las distribuciones de una sola variable. A

continuación abordaremos el estudio de dos variables y no solamente de una.

Particularmente estudiaremos qué sentido tiene afirmar que dos variables están

relacionadas linealmente entre si y cómo podemos medir esta relación lineal.

4.1.2. RELACIONES LINEALES ENTRE VARIABLES

Supongamos que disponemos de dos pruebas siendo una de ellas una prueba de

habilidad mental y otra una prueba de ingreso a la Universidad. Seleccionemos cinco

estudiantes y presentemos en la tabla Nº 4.1.1 los puntajes obtenidos en estas dos

pruebas.

109

Tabla Nº 4.1.1

Estudiantes X

Prueba de habilidad mental

Y

Examen de Admisión

María 18 82

Olga 15 68

Susana 12 60

Aldo 9 32

Juan 3 18

La tabla nos dice que si podemos hacer tal suposición ya que los estudiantes con

puntajes altos en la prueba de habilidad mental tienen también un puntaje alto en el

examen de admisión y los estudiantes con puntaje bajo en la prueba de habilidad mental.

Tienen también bajo puntajes en el examen de admisión. En circunstancia como la

presente (cuando los puntajes altos de una variable están relacionados con los puntajes

altos de la otra variable y los puntajes) afirmaríamos que hay una relación lineal positiva

entre las variables, entonces podemos definir una relación lineal positiva entre ese

conjunto de pares valores X y Y, tal la muestra la tabla N º 4.1.1

Supongamos que en lugar de los resultados de la tabla Nº 4.1.1, hubiéramos obtenido los

puntajes que se muestran en la tabla Nº 4.1.2 ¿podríamos afirmar que en esta situación

los puntajes de la prueba de habilidad mental pueden usarse para pronosticar los puntajes

del examen de admisión? También, aunque en este caso mostramos una relación

contraria a la que ocurre en la realidad ya que los sujetos con puntajes altos en el test de

habilidad mental aparecen con puntajes bajos en el examen de admisión y los sujetos con

puntajes bajos en el test de habilidad mental presentan los puntajes altos en el examen de

admisión, entonces podemos definir una relación lineal negativa entre un conjunto de

pares valores X y Y (tal como en la tabla Nº 4.1.2) es decir, los puntajes altos de X están

apareados con los puntajes bajos de Y y los puntajes bajos de X están apareados con los

puntajes de Y.

110

Tabla Nº 4.1.2

Estudiantes X Prueba de habilidad

mental

Y Examen de Admisión

María 18 18

Olga 15 32

Susana 12 60

Aldo 9 68

Juan 3 82

Tabla Nº 4.1.3

Estudiantes X Prueba de habilidad

mental

Y Examen de Admisión

María 18 18

Olga 15 82

Susana 12 68

Aldo 9 60

Juan 3 32

Examinemos ahora la tabla Nº 4.1.3. En este casi ya no podemos afirmar que los puntajes

de la prueba de habilidad mental sirvan para pronosticar los puntajes del examen de

admisión, ya que unos puntajes bajos del examen de admisión y algunos puntajes bajos

del test de habilidad mental están apareados con otros puntajes altos del examen de

admisión, entonces en este caso, decimos que no existe una relación lineal entre las

variables X y Y.

111

4.1.3. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

En las situaciones que se presentan en la vida real no tenemos solamente cinco parejas

de valores para ambas variables, sino muchísimas parejas. Otra forma alternativa de ver

si existe o no relación lineal entre dos variables seria hacer una grafica de los valores X y

Y en un sistema de coordenadas rectangulares, este tipo de gráfica es conocido con el

nombre de diagrama de dispersión, gráfico de dispersión o nube de puntos. Dibujemos el

diagrama que corresponde a la Tabla N º 4.1.1. Lo haremos haciendo corresponder a

cada valor de la variable independiente X, un valor de la variable dependiente Y, es decir,

para la alumna Susana haremos corresponder du puntaje en la prueba de habilidad

mental (12) con su puntaje de la prueba de admisión (60); al alumno Juan le hacemos

corresponder su puntaje del test de habilidad mental (3) con su puntaje del examen de

admisión (18). Luego ubicaremos los cinco pares de puntajes en el sistema de ejes

rectangulares y obtendremos los gráficos Nº 4.1.1 y Nº 4.1.2

Observemos en el gráfico Nª 4.1.1 que la tabla Nª 4.1.1. Es descrita por el diagrama de

dispersión. Vemos en este gráfico que los cinco puntos dan la sensación de ascender en

línea recta de izquierda a derecha. Esto es característico en datos en los que existe una

relación lineal positiva. Aunque estos cinco datos no configuren una línea recta en forma

perfecta. Se puede trazar una línea recta que describa que estos puntos en forma

bastante aproximada conforme se ve en el gráfico Nª 4.1.2 y por esto decimos que la

relación es lineal.

Si ocurre que todos los puntos de la gráfica de dispersión están incluidos en una sola

línea en forma exacta afirmamos que la relación lineal es perfecta. El grado en que se

separan los puntos de una sola línea recta nos da el grado en que la relación lineal no es

perfecta. Así cuando menos puntos se encuentran en una sola línea decimos que la

relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos se encuentran en una sola línea

decimos que la relación lineal entre las dos variables es menos fuerte y cuando más

puntos queden incluidos en una línea recta afirmamos que la relación lineal es más

fuerte.

112

GRÁFICO Nª 4.1.1.

113

Usando los datos de una tabla Nº 4.1.2 y utilizando la misma forma de razonar empleada

hasta ahora podemos construir el correspondiente gráfico de dispersión, tal como se

muestra en el gráfico Nº 4.1.3.

Podemos observar en el gráfico Nº 4.1.4. Que la nube de puntos de la gráfica pueden

delinearse bien por una línea recta, lo que nos indica que hay una relación lineal entre las

dos variables X y Y Vemos también que la línea desciende de izquierda a derecha (tienen

pendiente negativa) por lo que decimos que la relación lineal entre las dos variables es

negativa.

Si tenemos en cuenta la tabla Nº 4.1.3 podemos obtener una figura como se muestra en

la gráfica Nº 4.1.5 Notamos, en esta situación, que resultará inútil cualquier línea recta

que trate describir adecuadamente este diagrama de dispersión.

Diagrama de Dispersión

Y

80

70

60

50

40

30

20

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X

114

GRÁFICO Nº 4.1.4.

Diagrama de Dispersión aproximado por una línea recta

4.1.4 COEFICIENTE DE CORRELACIONE RECTILINEA DE PEARSON

Con ayuda de las gráficas nos podemos formar una idea si la nube de puntos, o

diagrama de dispersión, representa una reacción lineal y si esta relación lineal es positiva

o negativa, pero con la sola observación de la gráfica no podemos cuantificar la fuerza de

la relación, lo que si conseguiremos haciendo uso del coeficiente r de Pearson.

El coeficiente de correlación r de Pearson, toma valores comprendidos entre 1 y +

pasando por 0. El número -1 corresponde a una correlación negativa perfecta (los puntos

del diagrama de dispersión deben encontrarse formando perfectamente una línea recta).

El numero +1 corresponde a una correlación positiva perfecta. (los puntos del diagrama

de dispersión deben encontrarse formando perfectamente una línea recta). El coeficiente

de correlación r=0 se obtiene cuando no existe ninguna correlación entre las variables.

Los valores negativos mayores que -1 indican una correlación negativa y los valores

positivos menores que 1 indican una correlación positiva.

80

70

60

50

40

30

20

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X

115

Referente a la magnitud de r podemos decir que independientemente del signo, cuando el

valor absoluto de r esté más cercana de 1, mayor es la fuerza de la correlación, es así

que -0,20 y +0.20 son iguales en fuerza (ambos son dos valores débiles) los valores -0.93

y +0.93 también son iguales en fuerza (ambos son dos valores fuertes).

Cálculo del Coeficiente r de Pearson utilizando una máquina calculadora cuando los

datos no son muy numerosos.

Dadas dos variables X y Y con sus respectivos valores. En la Tabla podemos calcular el

coeficiente de Pearson con una máquina calculadora mediante la siguiente fórmula.

Tabla Auxiliar 4.1.4.

(1)

x

(2)

Y

(3)

X^2

(4)

Y^2

(5)

XY

18 82 324 6724 1476

15 68 225 4624 1020

12 60 144 3600 720

9 32 81 1024 288

3 18 9 324 54

∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y2 =16296 ∑XY =3558

En las columnas (1) y (2) se han escrito los valores de X y Y. En la columna (3) se han

elevado al cuadrado los valores de X. En la columna (4) se han elevado al cuadrado los

valores de Y. En la columna (5) se ha efectuado el producto de cada pareja de valores X y

Y. Aplicando los datos en la fórmula 4.1.1., se tiene:

116

INTERPRETACIONES DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

¿Qué tan elevado es un coeficiente de correlación dado? Tofo coeficiente de correlación

que no sea cero indica cierto grado de relación entre dos variables. Pero es necesario

examinar más esta materia, porque el grado de intensidad de relación se puede

considerar desde varios puntos de vista. No se puede decir que un r de 0,50 indique una

relación dos veces más fuerte que la indicada por un r de 0, 25. Ni se puede decir

tampoco que un aumento en la correlación de r = 0,40 a r = 0,60 equivalga a un aumento

de r = 0,70 a r = 0,90. Es de observar que una correlación de 0,60 indica una relación tan

estrecha como una correlación de + 0,60. La relación difiere solamente en la dirección.

Siempre que éste establecido fuera de toda duda razonable una relación entre dos

variables, el que el coeficiente de correlación sea pequeño puede significar únicamente

que la situación medida está contaminada por algún factor o factores no controlados. Es

fácil concebir una situación experimental en la cual, si se han mantenido constantes todos

los factores que o sean pertinentes, el r podría haber sido 1 en lugar de 0,20. Por

ejemplos: generalmente la correlación entre la puntuación de aptitud y el aprovechamiento

académico es 0,50 puesto que ambos se miden en una población cuyo aprovechamiento

académico también es influenciable por el esfuerzo, las actitudes, las peculiaridades de

calificación de los profesores, etc. Si se mantuvieran constantes todos os demás factores

determinantes del aprovechamiento y se midieran exactamente la aptitud y las notas, el r

seria 1 en vez de 0,50.

Una conclusión práctica respecto a la correlación es que ésta es siempre relativa a la

situación dentro de la cual se obtiene y su magnitud no representa ningún hecho natural

absoluto. El coeficiente de correlación es siempre algo puramente relativo a las

circunstancias en que se ha obtenido y se ha de interpretar a la luz de esas circunstancias

y sólo muy rara vez en algún sentido absoluto.

117

Además podemos agregar que la interpretación de un coeficiente de correlación como de

medida del grado de relación lineal entre dos variables es una interpretación matemática

pura y está completamente desprovista de implicaciones de causa y efecto. El hecho de

que dos variables tiendan a aumentar o disminuir al mismo tiempo no implica que

obligadamente una tenga algún efecto directo o indirecto sobre la otra.

A continuación calcularemos con la fórmula antes indicada el coeficiente de PEARSON de

la relación presentada en la tabla.

Cuadro Auxiliar 4.1.5.

(1)

x

(2)

Y

(3)

X^2

(4)

Y^2

(5)

XY

18 18 324 324 324

15 32 225 1024 480

12 60 144 3600 720

9 68 81 4624 612

3 82 9 6724 246

∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y2 =16296 ∑XY =2382

Vemos que la correlación es fuerte y negativa.

118

Ahora calculemos con la misma fórmula de Pearson Nº 4.1.1. El Coeficiente de

Correlación lineal con los datos de la tabla nº 4.1.3.

Cuadro Auxiliar Nº 4.1.6

(1)

x

(2)

Y

(3)

X^2

(4)

Y^2

(5)

XY

18 18 324 324 324

15 82 225 6724 1230

12 68 144 4624 816

9 60 81 3600 540

3 32 9 1024 96

∑X=57 ∑Y=260 ∑X2=783 ∑Y2=16296 ∑XY=3006

La correlación es muy débil y positiva.

119

CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS EN CLASES

El presente tema nos conduce a calcular el coeficiente de correlación r, que nos

proporciona información de la fuerza de la relación que existe entre dos conjuntos.

Ejemplo: calcular el grado de correlación entre las puntuaciones obtenidas en inventario

de hábitos de estudio y los puntajes obtenidos de un examen matemático, aplicados a un

total de 134 alumnos de un colegio de la localidad.

^-^X Hábitos de Y ^\estudio

Matemáticas^

20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 Total fy

70 -* 80 3 2 2 7

60 -> 70 1 0 4 5 10

50 ~» 60 2 6 16 3 27

40 50 4 14 19 10 47

30 >-'■» 40 7 15 6 0 28

20 M 30 8 2 0 1 t 1

10 20 1 1 2 4

Total f. 23 40 48 23 134

Podemos notar que el problema no es tan simple, como el casa anterior, dado, que ahora

los datos se han clasificado en una tabla de doble entrada N" 4.1.7. Este): cuadro

muestra, en la primera columna del lado izquierdo los intervalos de clase 0» la variable Y,

los que cubren todos los posibles datos acerca de las puntuaciones! alcanzadas por los

estudiantes en la prueba de Matemática. Nótese que los in t e r va l os los crecen de

abajo hacia arriba. En la fila superior se presentan les intervalos <%

Dentro del cuadro en los casilleros interiores o celdas de la tabla, se encuentran las

frecuencias de celda que correspondan a puntajes que pertenecen tanto a un intervalo

de la variable Y como un intervalo de la variable X.

La fórmula que utilizaremos es la siguiente

120

Para obtener los datos que deben aplicarse en la formula vamos a construir el cuadro

auxiliar al mismo tiempo que se explica el significado de los símbolos de esa formula

Lo primero que hacemos es reemplazar los intervalos horizontales y verticales por sus

respectivas marcas de clase a continuación adicionalmente al cuadro N4.1.7 cinco

columnas por el lado derecho, cuyos encabezamientos son : f para la primera.

1) Para determinar las frecuencias marginales que se deben colocar en la columna f

sumamos las frecuencias de las celdas que están en la misma fila de la marca de

clase 75, obtenemos 3+2+2=7, numero que se escribe en el primer casillero o

celda de la columna f. en la fila de la marca de clase 65 sumamos 1+4+5=10

numero que se escribe debajo del 7.

2) Ahora vamos a determinar las frecuencias marginales de la variable x: en la

columna encabezada con la marca de clase 25 sumemos verticalmente las

frecuencias 1+2+4+7+8+1=23

3) Centremos nuestra atención en la columna encabezada u, este signo significa

desviación estándar y procedemos a la misma forma en las tablas. Recuerden

que las desviaciones unitarias positivas: +1+2 y negativas: -1-2 y -3 corresponden

a los intervalos menores.

4) Luego vamos a determinar las desviaciones unitarias horizontales de la variable

X. el origen de trabajo es la marca de clase 45 que se halla en la fila superior del

cuadro, por esa razón, escribimos cero debajo de la frecuencia marginal 48.

5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse en la

columna encabezada. Para obtener los valores de la cuarta columna encabezada

debemos tomar en cuenta que por lo tanto basta multiplicar cada valor de la

segunda columna por su correspondiente valor de la tercera columna así se

obtiene el respectivo valor de la cuarta columna. En efecto:

(3)(21)=63 (20)(20)=40(+1)(27)=27; 00*00=0; (-1)(-28)=28; (-2)(-22)=44 y (-3)(-

12)=36

La suma 63+40+27+28+44+36=238

121

Ahora nos fijamos horizontalmente en la tercera fila. Tenemos que (f)(u)=fu por

consiguiente basta multiplicar verticalmente un valor de la primera fila por su

correspondiente valor de la primera fila por su correspondiente valor de la segunda

fila para obtener el respectivo valor de la tercera fila.

(23)(-2)=-46; (40)(-1)=-40; (48)(0)=0 y (23)(+1)=23

Sumando horizontalmente:

(-46)+ (-40)+ (23)=-86+23=-63

Vamos por la cuarta fila vemos que u (fu)= Fu2 luego basta multiplicar cada elemento

de la segunda fila por su correspondiente elemento de la tercera fila por su

correspondiente elemento de la tercera fila para obtener el respectivo elemento de la

cuarta fila así:

(-2)(-46)=9; (-1)(-40)=40; 0*0=0y (+1)(23)=23

Para obtener valores de la quinta columna observamos que hay tres factores el 1 es

la frecuencia f de la celda o casillero que se está considerando el segundo factor es

la desviación unitaria u, el tercer factor es la desviación unitaria, por lo tanto el

procedimiento será el siguiente: tomemos el número 3 que es la frecuencia de la

celda determinada por el cruce de los intervalos que tienen la marcha de la clase 75

horizontalmente y 35 verticalmente.

Para ubicar el tercer factor corremos la vista del numero 3 hacia su derecha hasta

llegar a la columna de las desviaciones unitarias u y ubicamos el numero +3

formemos el producto de estos tres números: (3)(--1)(+3)=-9 encerrado de un

semicírculo lo escribimos en la celda elegida

En la misma fila tomamos la celda siguiente: (2) (0)(+)

Continuando hacia la derecha (2) (+1)(+3)=6

122

X hábitos estudio Y matemática 25 35 45 55 Fy Uy FyUy FyU^2y

suma de los # en semicírculos

75 2 3 2 2 7 3 21 63 -3

65 1 0 4 5 10 2 20 40 6

55 2 6 16 3 27 1 27 27 -7

45 4 14 19 10 47 0 0 0 0

35 7 15 6 0 28 -1 -28 23 29

25 8 2 0 1 11 -2 -22 44 34

15 1 0 1 2 4 -3 -12 36 0

∑FxUx =

6

∑FxUx^2=

238

∑FxyUxUy=

59

Fx 23 40 48 23 134

Ux -2 -1 0 1

FxUx -46 -40 0 23 ∑FxUx=-63

FxUx^2 92 40 0 23 ∑FxUx^2=155

La fórmula del paso (9) lleva el signo ∑para indicar que se deben sumar horizontalmente

los números que están encerrados en los semicírculos de esa primera fila elegida así: -

9+0+6. Este número se escribe en la quita columna.

Trabajemos con la segunda fila: (1) (-2)(+2)= -4 se encierra en un semicírculo.

(0)(-1)(+2)= 0

(4)(0)(+2)= 0

(5)(+1)(+2)= 10

Sumando 0 + 0 + 10 = 10

Ahora con la tercera fila:

(2)(-2)(+1)= -4

(6)(-1)(+1)= -6

(16)(0)(+1)= 0

123

(0)(+1)(+1)= 3

Sumando: (-4) + (-6) + 0 + 3 = -7

Cuarta fila

(-4) + (-2) + 0 = 0 todos los productos vales cero, luego la suma = 0

Quinta fila

(7)(-2)(-1)= 14

(15)(-1)(-1)= 15

(6)(0)(-1)= 0

(0)(+1)(-1)= 0

La suma es: 14+15= 29

(8)(-2)(-2)= 32

(2)(-1)(-2)= 4

(0)(0)(-2)= 0

(1)(+1)(-2)= -2

La suma es: 32 + 4 -2 = 34

Séptima fila:

(1)(-2)(-3)= 6

(1)(0)(-3)= 0

(2)(1)(-3)= -6

Sumando: 6 + 0 – 6 = 0

Sumando los valores de la columna quinta.

Reuniendo los resultados anteriores, se tienen los datos para aplicar en la formula

124

n= 134

∑ = 59

∑ = -63

∑ = 6

∑ = 155

∑ = 238

r=

r=

r= 0,358

Ejercicio Resuelto N° 2 de Cálculo de Coeficiente de Correlación Entre Conjuntos de

Datos Agrupados

Calcular el coeficiente de correlación lineal de las puntuaciones en matemáticas y físicas

de 100 estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad MN

X Puntuación matemáticas Y Puntuación fisica 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 TOTAL

90 - 100 0 0 0 2 5 5 12

80 - 90 0 0 1 3 6 5 15

70 - 80 0 1 2 11 9 2 25

60 - 70 2 3 10 3 1 0 19

50 - 60 4 7 6 1 0 0 18

40 - 50 4 4 4 0 0 0 11

TOTAL 10 15 22 20 21 12 100

125

PUNTACIÓN EN MATEMÁTICA

SUMA DE LOS NÚMEROS

ENCERRADOS EN

SEMICÍRCULOS EN CADA FILA

45 55 65 75 85 95 Fy Uy Fy Uy Fy U2y

PU

NT

UA

CIO

N E

NF

ISIS

CA

Y

95 2 5 5 12 2 24 48 54

85 1 3 6 5 15 1 15 15 30

75 1 2 11 9 2 25 0 0 0 0

65 2 3 10 3 1 19 -1 -19 19 2

55 4 7 6 1 18 -2 -36 72 28

45 4 4 3 11 -3 -33 99 36

fx 10 15 22 20 21 12 100 -3 -49 253 150

Ux -2 -1 0 1 2 3 3 Σfy Uy Σfy U2

y Σ fxy Ux Uy

FxUx -20 -15 0 20 42 36 63 Σfx Ux

Fx U2

x 40 15 0 20 84 108 267 Σfx U2

x

126

En este problema tenemos que calcular el confidente de correlación lineal r para dos

conjuntos de datos constituidos por los calificativos en una escala de 0 a 100, en

matemáticas y en física para 100 estudiantes de la facultad de Ciencias de cierta

universidad

Los datos se muestran en el cuadro N° 4.1.9 Notemos que a lo largo de la línea horizontal

superior se encuentran los intervalos que contienen los calificativos de matemáticas

desde 40 hasta 100.

Igualmente en la primera columna vertical izquierda, se encuentran los calificativos para

física de los mismos estudiantes, desde el calificativo 40 hasta 100. Nótese que en la

columna de los calificativos de física los datos crecen de abajo hacia arriba y para la fila

horizontal superior vemos que los calificativos en matemáticas crecen izquierda a

derecha.

A continuación procederemos a calcular el confidente de correlación r para estos datos

aplicando el mismo método que utilizaremos en el problema anterior.

1) Traslademos los datos del cuadro N° 4.1.9. Llamaremos xy a cualquiera de las

frecuencias de los casilleros interiores del cuadro N° 4.1.9. En el cuadro N° 4.1.10.

podemos observar que se han agregado cinco columnas por el lado derecho y

cuatro filas por la parte interior

Observemos en el cuadro N° 4.1.10 que los intervalos para la puntuación en matemáticas

y para la puntación en física se han remplazado por las marcas de clase

correspondientes. Así en la fila horizontal superior se han remplazado el primer intervalo

40 50 por su marca de clase45, el segundo intervalo 50 60 por su marca de clase 55

y de esta manera se han remplazado los demás intervalos por sus marcas de clases en el

cuadro N° 4.1.10.

De igual forma para la columna primera de la izquierda vemos que los intervalos se han

remplazado por sus respectivas marcas de clase así para la puntuación en física el primer

intervalo superior 90 100 se han remplazado por su marca de clase 95, el segundo

intervalo superior 80 90 se ha remplazado por su marca de clase 85 y así

sucesivamente hasta llegar al intervalo inferior 40 50 que se ha remplazado por su

marca de clase 45.

127

Ahora vamos a realizar los pasos siguientes

1) Para las frecuencia marginales fy sumemos todos los valores fxy de la primera fila

que tiene la marca de clase 95. De esta forma tenemos: 2+5+5= 12 Para la

segunda fila que corresponde a la marca de clase 85 obtenemos: 1+3+6+5= 15

que escribimos en el segundo casillero de fy.

2) Dediquemos nuestra atención a las frecuencias marginales fx. el primer resultado

de fx lo obtenemos sumando las frecuencias fxy para la colunia que tiene la marca

de clase 45, de esta forma tenemos: 2+4= 10 que se escribe en el primer casillero

de fx para el segundo casillero tenemos el número 15 que se obtiene verticalmente

de las frecuencias fxy de la columna que tiene de marca de clase 55. Continuando

con las sumas de las f de las demás columnas llenamos las frecuencias

marginales fx.

3) Atendamos la columna Uy la columna Uy tiene en total 6 casilleros arbitrariamente

escogemos uno de estos casilleros como origen de trabajo y le asignamos el

numero 0. Aquí hemos escogido el tercer casillero contando de arriba hacia abajo.

Observamos ahora la primera columna de la izquierda en donde están las marcas

de clase de los puntajes de física. Aquí observamos que las marcas de clase

crecen de abajo hacia arriba entonces las desviaciones unitarias en la columna Uy

crecerán de abajo hacia arriba entonces del 0 hacia abajo, las desviaciones

unitarias son números negativos que van decreciendo hacia abajo.

Desde el 0 hacia arriba las desviaciones serán positivas y crecientes.

De manera que podemos observar que la columna Uy está conformada por los

siguientes números que crecen del 0 hacia arriba: 1,2 y desde el 0 hacia abajo

decrece: -1,-2,-3.

4) Veamos la fila Ux

Notamos que el fila horizontal superior las marcas de clase crecen de izquierda a

derecha de igual forma las desviaciones unitarias crecerán de izquierda a derecha.

Elegiremos como origen de trabajo arbitrariamente uno del casillero Ux el tercero

contando de izquierda a derecha, y vamos asignando números positivos

crecientes hacia la derecha del 0, así tenemos 1, 2,3 ya hacia la izquierda, a partir

del cero, tendremos:-1y-2.

128

5) Expliquemos la columna fy Uy. Multipliquemos cada valor de fy por su

correspondiente valor de Uy y se obtiene un valor Fy Uy. Por ejemplo el numero 24

se obtiene multiplicando la frecuencia marginal fy = 12 por su correspondiente

desviación unitaria Uy = 2esto es, 12*2= 24. Para el segundo casillero

multiplicamos 15*1=15; para el tercero 25*0=, así hasta terminar con 11*(-3)= -33.

6) Observemos la columna Fy U2

y. L primera celda de esta columna tiene el número

48 que se obtiene de multiplicando el valor Uy =2 de la segunda columna por su

correspondiente valor Fy Uy = 24 de la tercera columna, es decir, 2*24= 48. Para el

segundo casillero de la columna fy U2

y , tenemos 15 que es igual a 1 por 15. De

esta forma continuamos llenando los demás valores de la columna Fy U2

y.

7) Veamos ahora la fila fx ux. El número -20 del primer casillero de esta fila se obtiene

multiplicando la frecuencia marginal fx = 10 por su correspondiente desviación

unitaria Ux = -2 es decir: 10 (-2)= -20.

Para el segundo casillero de FX UX, multiplicamos (-1)*(-15)= 15 y así

sucesivamente 12*3= 36.

8) Veamos Fx U2

x. El primer casillero de esta fila es 40 y es el resultado de multiplicar

-2 del primer casillero de la fila Fx Ux por menos 20 de su correspondiente primer

casillero de la fila Ux esto es, (-2)* (-20)= 40. Para el segundo casillero de fx U2

x

multiplicamos -1 del segundo casillero de Ux por -15 de su correspondiente

segundo casillero de FX UX, luego obtenemos (-1) *(-15)=15 .Así continuamos

multiplicando los valores de los casilleros Ux por sus correspondientes valores de

la fila Fx Ux hasta llegar a (3) (36)= 108.

9) Interesa ahora obtener los números encerrados en semicírculo, por ejemplo ahora,

el numero 4, que corresponde a la marca de clase 75 para la puntuación en

matemáticas y a la marca de clase 95 de la puntuación en física.

10) Para saber cómo se obtiene este numero 4, corramos nuestra vista hacia la

derecha dirigiéndonos hacia la columna UY y obtenemos el numero 2. Del numero

4, encerrado en semicírculo, bajemos la vista con dirección a la fila Ux y

obtenemos 1. La frecuencia del casillero donde esta el 4, encerrado en

semicírculo, es fxy = 2. Multiplicando estos 3 factores tendremos fxy Ux Uy = (2) (1)

(2) = 4.

129

Podemos anunciar la siguiente regla:

Para obtener los valores encerrados en semicírculos en los casilleros interiores del cuadro

N°4.1.10 multiplicamos el valor de la frecuencia fxy del casillero para el cual estamos

haciendo el cálculo, por los valores de las desviaciones unitarias Uy y Ux , obtenidas

corriendo la vista hacia la derecha hasta columna Uy y también hacia abajo hasta legar a

la fila Ux.

Así por ejemplo, para el casillero que corresponde a las marcas de clase 75 en

matemática y 85 en física, tenemos la frecuencia de la celda Fxy = 3, los otros dos factores

son: Uy =1 y Ux = 1.

Luego (3) x (1) x (1) = 3 que es el valor encerrado en semicírculo.

Para el casillero correspondiente a la marca de clase 55 en matemáticas marca de clase

45 en física, tenemos:

fxy = 4, Uy = -3, Ux = -1

fxy Ux Uy = (4) (-3) (-1) = 12 que es el valor encerrado en semicírculo. Así podemos

proceder para obtener todos los demás valores encerrados en semicírculos.

Sumando las frecuencias marginales de la columna fy, se tiene ∑ fy =100. Sumando los

valores de la tercera columna se obtiene ∑fy Uy = - 49. Sumando los valores de la cuarta

columna, tenemos ∑fy U^2y = 253. La suma de los valores de la quinta columna:

∑fxy Ux Uy = 150

Para todas las filas, en el último casillero de la derecha se tiene la suma de los valores de

la fila. Así, por ejemplo, ∑fx = 100; ∑fy = 100.

Para la tercera fila: ∑fx Ux = 63

Para la cuarta fila: ∑fx U^2x = 267

Estos totales de filas y columnas reemplazaremos en la fórmula.

130

Vemos que el coeficiente de correlación en este caso es 0.79.

Ejercicio Propuesto Nº 1 del Cálculo del Coeficiente de Correlación entre dos

Conjuntos Agrupados de Datos.

Supongamos que tenemos 30 sujetos a los que hemos aplicado una prueba de

conocimientos de Psicología General (variable x) y un test de inteligencia (variable y).

Aplicando los datos tomados del Cuadro Auxiliar en la fórmula tenemos:

Resultado:

131

Ejemplo propuesto N°2 del cálculo del coeficiente de correlación entre dos conjunto de

datos agrupados. Supongamos que se tienen 50 vendedores de cierta compañía. Estos

vendedores durante un año 1985 han realizado ventas tal como lo muestra el cuadro

N°4.1.13, el que también muestra el número de años de experiencia que tiene como

vendedores.

Para dicho cuando, se pide calcular el coeficiente de correlación lineal r.

0 2

2 4

4 6

6 8

8 10

TOTAL

15 18 1 1

12 15 2 3 4 9

9 12 7 3 2 12

6 9 6 9 4 19

3 6 5 2 7

1 3 2 2

TOTAL 2 11 18 12 7 50

Tomando los datos obtenidos n el cuadro Auxiliar N°4.1.14 apliquemos en la formula N°

4.1.12, se tiene.

Años de

experiencia

X

Monto de

ventas Y

132

133

PROGRESIONES LINEALES SIMPLES

4.2.1. Regresión lineal simple

Al comenzar a estudiar las técnicas de correlación afirmamos que estudiaríamos

dos variables y no solamente una. Llamamos a esa ocasión X a una de las

variables Y a la otra. En el tema que nos ocuparemos ahora, estudiaremos la forma

de predecir v valores de Y conociendo primero los valores de X. Es así que viendo

la tabla N 4.2.1, similar a la que utilizamos cuando estudiamos correlación,

conociendo el puntaje en la prueba de habilidad mental (variable X) para un alumno

determinado, podemos anticipar el puntaje del examen de admisión (variable Y) del

mismo alumno.

Consideraremos la relación lineal expresada por el cuadro N4.2.1 si

dibujamos esa relación, obtenemos el grafico N4.2.1. Como podemos observar

todos los puntos se alinean exactamente. En una sola línea recta, la que recibe el

nombre de línea de regresión. Teniendo en cuenta esta línea, podemos predecir

cualquiera d los valores de Y conociendo el valor de X; para X=25, según la recta,

correspondiente de Y=35, para X=20 corresponde Y=30. Etc. En este caso se trata

de una correlación positiva perfecta cuyo coeficiente de correlación es +1.

Prueba de habilidad

mental X

Examen de Admisión

Y

SUSANA 5 15

IVAN 10 20

LOURDES 15 25

ALDO 20 30

JUAN 25 35

MARIA 30 40

CESAR 35 45

OLGA 40 50

134

Recordemos ahora el grafico N 4.1.2 que dibujamos cuando estudiamos

correlación, en este grafico observamos el diagrama de dispersión aproximado por

una línea recta, la recta que mejor se ajuste a los puntos del diagrama de

dispersión, es decir, en la mejor medida procure dejar igual número de puntos del

diagrama de dispersión por encima de ella que igual número de puntos debajo, se

llama línea de regresión.

ECUACION DE LA REGRESION RECTILINEA

La ecuación que describe la línea de regresión es:

GRÁFICO

Serie 1

f(x)=1*x+10; R²=1

-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

-5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

x

y

= media de la variable X en la muestra.

X = un valor de la variable X

r = coeficiente de Pearson, de la correlación lineal entre las variables X y Y.

SY = desviación estándar de Y en la muestra.

r = 1,00

135

SX = desviación estándar de X en la muestra.

Yr = Valor Y resultado del cálculo de la fórmula.

Veamos cómo podemos predecir los valore de Y a partir de los valores de X. como

el gráfico de este cuadro es una línea recta ascendente sabemos que su coeficiente

de correlación de Pearson r = +1. Además tenemos los siguientes resultados:

X = 22,5 SX = 11,46 Y= 32,5 SY = 11,46

Estos resultados se pueden calcular a partir de los datos del cuadro. Apliquemos

estos datos a la fórmula, obtenemos la siguiente expresión:

Simplificando términos obtenemos:

Escojamos cualquier valor de X, por ejemplo para María x = 30, reemplazando este

valor en (b).

Vemos en le cuadro el valor que corresponde a María efectivamente es 40, es decir

podemos usar la ecuación para predecir los valores de Y conociendo los valores de

X.

Esta fórmula de regresión se puede aplicar par dos variables X y Y, entre las cuales

no es obligatorio que exista una correlación lineal perfecta, es decir, no es

obligatorio que el r para la correlación entre X y Y sea siempre igual a 1. Este valor

de r para otras aplicaciones de la regresión, puede tomar cualquier valor distinto de

1.

136

Ejercicios Resueltos de Regresión Lineal Simple

Al aplicar un test de inteligencia a una muestra representativa constituida por 800

alumnos, se obtuvo la puntuación media de 30,4 puntos, con la desviación estándar

de 12,6 puntos.

La edad media de la muestra fue de 14,5 años, con la desviación estándar de 3,2

años.

El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre la variable Y, edad de los

sujetos estudiados y la variable X, rendimiento mental de los mismos sujetos, fue r

= 0,89.

Con estos datos se pide determinar la ecuación de regresión rectilínea de edad en

base del puntaje del rendimiento mental.

¿Qué edad corresponde a los sujetos que alcanzan puntuaciones de:

X1 = 18 Puntos X4 = 50 Puntos

X2 = 25 Puntos X5 = 60 Puntos

X3 = 45 Puntos X6 = 80 Puntos

Datos:

= 14,5 SY = 3,2 r = 0, 89

= 30,4 SX = 12,6

Aplicando estos datos en la fórmula se tiene:

Es la ecuación de regresión buscada.

137

Respuesta de la 1ra. Pregunta

X1 = 18

YR = 7,63 + 0,226 (18) = 7,63 + 4,07

YR = 11,7 años

Segunda pregunta

X2 = 25

YR = 7,63 + 0,226 (25) = 7,63 + 5,65

YR = 13,28 años

Tercera pregunta

X3 = 45

YR = 7,63 + 0,226 (45) = 7,63 + 10,17

YR = 17,8 años

Cuarta pregunta

X4 = 50

YR = 7,63 + 0,226 (50) = 7,63 + 11,3

YR = 18,93 años

Quinta pregunta

X5 = 60

YR = 7,63 + 0,226 (60) = 7,63 + 13,56

YR = 21,19 años

Sexta pregunta

X6 = 80

YR = 7,63 + 0,226 (80) = 7,63 + 18,08

YR = 25,71 años

138

Este cuadro contiene la primera columna los nombres de los alumnos, en la

segunda están los rangos de esos alumnos en la variable, en la tercera se hallan

los rangos de los alumnos en la variable Y. En la cuarta columna están las

diferencias de los rangos correspondientes de las variables X y Y. en la quinta

columna se colocan las cuadros de las diferencias, ya calculadas.

CUADRO AUXILIAR Nº 4.3.4

ALUMNOS RENGO DE

X

RANGO DE

Y

D=

DIFERENCIA

Rodríguez 3 3 0 0

Fernández 4 5 -1 1

Córdova 2 1 1 1

Flores 1 2 -1 1

Lema 5 4 1 1

APLICANDO LOS DATOS EN LA FORMULA Nº 4.3.1, SE TIENE

P= 0.08

Es una correlación positiva. Su valor es muy alto y poco común puesto que la

práctica enseña que en la correlación de la inteligencia con el rendimiento escolar

en las asignaturas, casi siempre se alcanza un valor próximo a 0.5.

139

EJEMPLO 2

Supongamos el siguiente cuadro nº 4.3.5. Queremos calcular el coeficiente de

correlación por rangos.

CUADRO Nº 4.3.5

EXAMINADOS PRUEBA DE HABILIDAD

MENTAL

X

APTITUD ACADÉMICA

Y

Susana 49 55

Iván 46 50

Lourdes 45 53

Aldo 42 35

Juan 39 48

maría 37 46

cesar 20 29

Olga 15 32

Observamos que los examinados están ordenados con respecto a la prueba de

habilidad mental de mayor a menor; podemos afirmar que la posición o rango que

se podría asignar a Susana es el primero, a Iván le correspondería el segundo, para

Lourdes el tercero tal como se muestra en el cuadro Nº4.3.6.

De igual forma podríamos ordenar la posición o rango de los postulantes según los

resultados de la prueba de aptitud académica Y del examen de admisión, lo que se

muestra en el cuadro Nº4.3.6 es así como Susana también ocupa el número de

orden o rango primero y Lourdes ocupa el segundo lugar o rango dos en esa

prueba, así podemos continuar ordenando los alumnos según su rango en la

pruebe de aptitud académica y terminaremos con cesar que ocupa el rango 8 en tal

prueba.

140

CORRELACIÓN POR RANGOS

Es el orden que posee o se asignan a cada miembro de un conjunto de de

elementos de acuerdo a una escala ordinal dada. El rango ubica el elemento en un

punto de esa escala.

Por ejemplo: podemos establecer un ordenamiento de los alumnos de acuerdo a los

puntajes alcanzados en un examen. Así tenemos en el cuadro Nº 4.3.1 que sigue:

CUADRO Nº 4.3.1

ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo Lora

PUNTAJES 40 65 52 70 76 56

Ordenándolos de acuerdo a la magnitud del puntaje, establecemos los rangos

siguientes en el cuadro Nº 4.3.1.

CUADRO Nº 4.3.2

ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo Lora

RANGOS 6 3 5 2 1 4

4.3.2 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS

La correlación por rangos se refiere a la correspondencia en el ordenamiento de los

elementos de dos conjuntos dados. La fuerza de la correlación se mide por medio

del coeficiente por rangos de spearman, cuya fórmula es:

En donde.

P= letra griega rho, designa el coeficiente de correlación por rangos.

D= diferencias de rangos correspondientes entre si pertenecientes a dos variables

X y Y. Por ejemplo d=

n= numero de pares correspondientes.

141

EJEMPLOS Nº 1

En la primera columna de la izquierda del cuadro Nº 4.3.3 se presenta un grupo de

5 estudiantes; en la segunda columna están sus niveles mentales que se

consideran como categorías de la variable X, en la tercera columna se indican los

resultados de una prueba de matemáticas aplicadas al grupo, cuyas puntuaciones

son valores de la variable Y.

CUADRO Nº 4.3.3

ALUMNOS NIVEL MENTAL

X

MATEMÁTICAS

Y

Rodríguez medio 35

Fernández interior al promedio 17

Córdova superior al promedio 48

flores muy superior al promedio 42

lema muy inferior al promedio 20

Calcular el coeficiente de correlación por rangos.

ESTUDIANTES CLASIFICACION

DE LOS RANGOS

CLASIFICACION

DE LOS RANGOS

D= DIF D2

RANGO X RANGO Y

SUSANA 1 1 0 0

ESTEBAN 2 3 -1 1

LOURDES 3 2 1 1

ALDO 4 6 -2 4

JUAN 5 4 1 1

MARIA 6 5 1 1

CESAR 7 8 -1 1

OLGA 8 7 1 1

∑D2 = 10

142

En la descripción de este cuadro la columna X corresponde a los rangos en las

pruebas de habilidad mental, la columna Y corresponde a los rangos de las pruebas

de los estudiantes de actitud académica. La columna D corresponde a la diferencia

del rango de un elemento de la columna X menos el rango de su correspondiente

elemento en la columna Y. en la columna D2 se halla el cuadrado de la diferencia

anotada en la columna D.

Ahora para medir la correlación entre los resultados de la prueba de habilidad

mental y del examen de admisión, tomamos los datos del cuadro anterior en el que

los datos están transformados en rangos.

Conforme ya mencionamos en el ejemplo 1 la fuerza de la correlación en este tipo

de problemas, se determina por el coeficiente p (rho) de correlación de rangos de

spearman. Aplicamos la formula N° 4,3,1 en donde

N= 8 pares

∑D2 = 10, este número es el resultado de la suma de los números D elevados al

cuadrado que figuran la columna D2.

Vemos que existe una correlación positiva fuerte entre las puntuaciones de la

prueba de la habilidad mental y los puntajes de la actitud académica del examen de

admisión.

143

Caso de rangos empatados o repetidos

Examinemos el caso N° 4.3.7 y supongamos que en el examen de admisión de

Susana y Esteban obtuvieron el mismo puntaje 55 y por lo tanto a cualquiera de los

dos le corresponde los rangos primero o segundo para romper esta

indeterminación, convenimos en asignar a cada uno de ellos el promedio de ambos

Rangos, o sea = 1.5 entonces tanto Susana como esteban tendrán el rango

Tratemos ahora los rangos del VI Ciclo vemos que los profesores L Y P están

empleados o igualados en puntaje por lo que a cualquiera de los dos le

corresponde el rango 5 o el rango 6.el rango que le asignemos serán el resultado

de promedio 5 y 6 que son los dos rangos empatados, luego (5+6) / 2 =5.5 será el

número que le asignamos como rango.

Los profesores Fy Z tienen en el VI ciclo los rangos 3 y 4 a cualquiera de estos dos

les corresponde el tercer o cuarto lugar. El número que les asignaremos será (3+4)

/2 = 3.5.

Luego elaboramos una columna para los nuevos rangos Y en donde a los

profesores L y P les asignaremos el rango 5.5 y a los profesores F Y Z les

asignaremos el rango 3 Y 5. Los profesores J Y K seguirán con los rangos 1 y 2

respectivamente.

En La Columna D se colocan las diferencias X – Y

Nos ocuparemos ahora de la columna D2. En esta columna se encuentran valores

de la columna D elevados al cuadrado, luego sumamos los valores de la columna

D2 y obtenemos = 17.

Ahora aplicaremos la formula número 4.3.1.

Aquí = 17.

N= 6

P= 1- = 0.5

6 (17) 6 (36 -1)

6 (36 – 1)

144

Luego la correlación entre los puntajes asignados a los 6 pro0fesores por el V ciclo

y los puntajes asignados por el VI ciclo es positiva, pero su magnitud no es ni muy

fuerte ni muy débil.

2º EJERCICIO

Cinco niños se someten a una pruebe de habilidad mental y los resultados de estas

se ordenan por rangos en la columna X. también se muestran en la columna Y los

rangos de estos mismos 5 niños respecto al tiempo que gastan al mirar la tv.? (Ver

cuadro Nº 4.3.1)

¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que gastan

mirando tv?

Calculando los nuevos rangos para la columna Y teniendo en cuenta rangos

igualados obtenemos:

ALUMNOS x Y

A 1 4 o 5

B 2 4 o 5

C 3 2 o 3

D 4 1

E 5 2 o 3

¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que gastan

mirando tv?

145

Calculando los nuevos rangos para la columna Y. teniendo en cuenta los rangos

iguales obtenemos:

X Y D

X - Y

D2

A 1 4.5 -3.5 12.25

B 2 4.5 -2.5 6.25

C 3 2.5 0.5 0.25

D 4 1 3 9

E 5 2.5 2.5 6.25

2 = 34.00

Para Obtener Los Rangos Correspondientes A Los Niños A Y B Hemos Sumado

Los Lugares Que Podrían Ocupar Cualquiera De Los Dos Y Que Son 5 Y 4 Y

Luego Esta Suma La Dividimos Entre El Numero De Rango Igualados Que Son

Dos, Esto Es: (4+5)/ 2= 4.5 Luego Rango Que Les Corresponda A A Y B Es 4.5

DE IGUAL FORMA PROCEDEMOS PARA LOS RANGO C Y E obteniendo para

ellos como nuevo rango 2.5.

Ahora añadiremos una nueva columna D, en esta columna escribiremos diferencia

entre uno de los rangos de x menos el correspondiente rango de Y.

Elevamos al cuadrado cada valor de y y escribimos cada resultado en la columna

del cuadrado. Luego sumamos los valores de la columna de D2 y obtenemos 2

=34.00

P= 1 – 1.7=+0.7

Luego obtenemos una correlación negativa cuya magnitud es 0.7 que es un valor

fuerte para este tipo de situación.

146

EJERCICIO PROPUESTO DE CÁLCULO DE COEFICIENTE DE SPEARMAN

La tabla muestra siete estudiantes que ordenados alfabéticamente obtuvieron su

número de orden según sus calificaciones en teoría y práctica académica en un

curso de lenguaje. Calcular el coeficiente de correlación de SPEARMAN.

ALUMNOS PRACTICA X TEORIA Y

A 7 6

B 4 7

C 6 5

D 3 2

E 5 1

F 2 4

G 1 3

2º EJERCICIO

El cuadro muestra las correspondientes alturas en centímetros de grupo de padres

y de sus hijos primogénitos.

1) calcular el coeficiente de correlación de espermas

2) calcular también el coeficiente de Pearson

3) son parecidos?

ALTURA PADRE X ALTURA HIJOS Y

172 178

164 154

180 180

190 184

164 166

164 166

165 166

180 175

RESPUESTA 1 p= 0.89

147

3º EJERCICIO

En la tabla los cinco siguientes individuos se han colocado por rangos de 1 a 5

sobre X e Y. calcular el coeficiente de correlación.

X Y

A 2 3

B 1 2

C 3 1

D 5 5

E 4 4

RESPUESTA 1 p= 0.7

EJERCICIO

El gerente del personal una empresa agroindustrial estudia la relación entre la

variable dependiente Y y la variable independiente X de su personal obrero. Recoge

una muestra aleatoria de 10 trabajadores y se obtuvieron los datos en dólares por

semana.

a) Determinar el diagrama de dispersión

b) De su comentario sobre el valor de la pendiente

La relación es positiva e imperfecta porque al pasar la recta no cruza por

todos los puntos, sin embargo el valor de la pendiente se aproxima a uno.

148

c) Estime el gasto que correspondería a un salario semanal de 90USD.

Salario

(x)

Gasto

(y)

X2 Y2 XY (xi -Ẋ) (xi - Ẋ)^2 (Yi -Ῡ) (Yi -Ῡ)^2

28 25 784 625 700 -17,8 316,84 -13,4 179,56

25 20 625 400 500 25 625 20 400

35 32 1225 1024 1120 35 1225 32 1024

40 37 1600 1369 1480 40 1600 37 1369

45 40 2025 1600 1800 45 2025 40 1600

50 40 2500 1600 2000 50 2500 40 1600

50 45 2500 2025 2250 50 2500 45 2025

35 30 1225 900 1050 35 1225 30 900

70 55 4900 3025 3850 70 4900 55 3025

80 60 6400 3600 4800 80 6400 60 3600

ƩX=458 ƩY=384 ƩX2=23784 ƩY2=16168 ƩXY=19550 Ʃ(xi -

Ẋ)

=412,2

Ʃ(xi -

Ẋ)^2=

23316,84

Ʃ(Yi -Ῡ)

=345,6

Ʃ(Yi-Ῡ)^2=

15722,56

149

Desviación Estándar (X)

Sx = Sx = = 48,28

Ẋ = Sy = = 39, 65

Ῡ =

+

+

+

+

+ = 73, 54 gasto de un salario semanal

150

r = -0.005

COMENTARIO.- Vemos que los vehículos de 20 toneladas no tienen relación con

los de 40 toneladas, ya que a los de 20 se los utiliza más para las importaciones

que los de 40 debido a que son más ligeros al transportar las mercancías.

151

152

153

154

155

156

157

PRUEBA DE HIPÓTESIS

Hipótesis Estadística

Se llama hipótesis, a una suposición o conjetura; que se formula, con el propósito

de ser verificada. Cuando se establece la veracidad de una hipótesis, se adquiere el

compromiso de verificada en base a los datos de la muestra obtenida. La hipótesis

estadística es fundamentalmente distinta de una proposición matemática, debido

que al decidir sobre su certeza podemos tomar decisiones equivocadas, mientras

que en la proposición matemática podemos afirmar categóricamente si es

verdadera o falsa.

Hipótesis Nula

Es una hipótesis que afirma lo contrario de lo que se quiere probar. En ella se

supone que el parámetro de la población que se está estudiando, tiene determinado

valor. A la hipótesis nula, se le representa con el símbolo Ho, y se formula con la

intención de rechazarla.

Ejemplo: Para decidir que una moneda está cargada, suponemos lo contrario, es

decir, que la moneda es legal, esto es, que tiene igual probabilidad o proporción de

salir cara, que de salir sello. Llamamos P (proporción poblacional de cara) y Q

(proporción poblacional de sello), P +Q = 1 (proporción del total o 100% de los

casos); pero la moneda es legal, entonces esperamos que P = Q, reemplazando P

por Q, P + P = 1, 2P = 1 y P = 0.5, es decir, la proporción poblacional de éxito

(cara), para todas las monedas legales es 0.5. Sobre esta base, durante la

ejecución del experimento, aceptamos que actúan únicamente las leyes del azar,

descartando la influencia de cualquier otro factor.

Hipótesis Alternativa

Es una hipótesis diferente de la hipótesis nula. Expresa lo que realmente creemos

es factible, es decir, constituye la hipótesis de investigación. Se le designa por el

símbolo . En el ejemplo citado, la hipótesis alternativa sería: : P ≠ 0.5, es decir,

P > 0.5 o P < 0.5, si es que queremos realmente averiguar que la moneda no es

legal.

158

Concepto de significación en una Prueba Estadística

Suponiendo que está formulada una hipótesis y que al realizar un experimento para

someterla a prueba encontramos que el estadístico de la muestra, difiere

marcadamente del valor del parámetro que establece la hipótesis nula , en ese

caso, decimos que la diferencias encontradas son significativas y estamos en

condiciones de rechazar la hipótesis nula o, al menos no aceptarla en base a la

muestra obtenida.

En realidad estamos determinando, si la diferencia, entre el valor del parámetro

establecido en y el valor del estadístico obtenido en la muestra, se debe tan solo

al error de muestreo (en este caso aceptamos ); o si la diferencia es tan grande

que el valor obtenido por el estadístico de la muestra, no es fruto del error de

muestreo, en este caso rechazamos .

Prueba de Hipótesis

Se le llama también ensayo de hipótesis o décima de hipótesis. Son procedimientos

que se usan para determinar, se es razonable o correcto, aceptar que el estadístico

obtenido en la muestra, puede provenir de la población que tiene parámetro, el

formulado en .

Como resultado de la prueba de hipótesis, aceptamos o rechazamos . Si

aceptamos , convenimos en que el error de muestreo (el azar), por sí solo, puede

dar lugar al valor al estadístico que origina la diferencia entre éste y el parámetro. Si

rechazamos , convenimos que la diferencia es tan grande, que no es fruto del

error de muestreo (al azar) y concluimos que el estadístico de la muestra no

proviene de una población que tenga el parámetro estudiado.

El mecanismo para rechazar la hipótesis , es el siguiente: suponemos como

válida la hipótesis nula , la que afirma que el parámetro tiene cierto valor

(supongamos el caso de la media poblacional entonces : ʯ = . Tomamos una

muestra y calculamos el estadístico de la muestra (para el caso de la media el

estadístico es la media muestral x). Como suponemos que es cierta, podemos

suponer que la muestra proviene de la población que tiene como parámetro el de

(es decir, no serán muy diferentes) y la probabilidad de que dicha diferencia

muestral pequeña aparezca, será grande. Si en cambio tomamos una muestra de

159

una población que no tiene como parámetro , en dicho caso el valor de x - , será

grande, (x será muy distinto que ), es decir, dicha diferencia será significativa, y la

probabilidad de obtener dicha diferencia muestral al muestrear, será pequeña.

Necesitamos un estándar, es decir, un valor tal que, al comparar con él la

probabilidad de obtener una diferencia entre x y , nos permita aceptar o rechazar

. Llamemos a este valor α el nivel de significación. Este será tal que, si la

probabilidad de la diferencia entre x y es muy pequeña (menor que α),

rechazaremos y la muestra aleatoria no proviene de la población con parámetro

; si la probabilidad de la diferencia entre x - es grande (mayor que α) aceptamos

y la muestra aleatoria proviene de la población con parámetro .

Cuando se toma la decisión de rechazar o aceptar la hipótesis , se corre el riesgo

de equivocarse (recuerde que nos hemos referido a la probabilidad de obtener una

diferencia entre x y y no de un hecho establecido), es decir, de cometer errores.

Estos posibles errores son:

Error tipo I

Consiste en rechazar la hipótesis , cuando en realidad no debería ser rechazada,

por ser verdadera. La probabilidad de cometer el error tipo I, se llama alfa (α).

Error tipo II

Consiste en no rechazar a hipótesis Ho, cuando debería ser rechazada por ser

falsa. La probabilidad de cometer el error tipo II, se llama beta (β).

Se debe procurar que la probabilidad de los errores tipo I y tipo II, sean las más

pequeñas posibles, sin embrago, para un tamaño de muestra dado, el querer

disminuir un tipo de error, trae consigo, incrementar el otro tipo de error. La única

forma de disminuir ambos errores, es aumentar el tamaño de la muestra.

Nivel de significación de una Prueba Estadística.

En relación a la comprobación de una hipótesis dada, se llama nivel de

significación, a la probabilidad a de cometer el error tipo I, al rechazar la hipótesis

nula Ho.

160

Los niveles de significación más usados en la práctica son: de 0.05 (5%) y de 0.01

(1%).

El nivel de significación de 5% se interpreta de la siguiente manera: en 100 casos,

cabe esperar, que en 5 de ellos se cometa una decisión equivocada, al rechazar la

hipótesis Ho, cometiendo, en consecuencia, un error de tipo I.

Pasos de una Prueba de Hipótesis

1o Formular la Ho y la H1

2o Determinar si la prueba es unilateral o bilateral.

3o Asumir el nivel de significación de la prueba.

4oDeterminar la distribución muestral que se usara en la prueba.

5o Elaborar el esquema de la prueba.

6o Calcular el estadístico de la prueba.

7o Tomar la decisión, para esto, se comparan el esquema de la parte.

5o, con el estadístico del paso 6o.

Ejemplo de una prueba de hipótesis utilizando los pasos anteriores.

Se realiza el experimento aleatorio de lanzar 50 veces una moneda, obteniéndose

34 veces el resultado cara. Al nivel de significación de 5%, se quiere averiguar si la

moneda está cargada.

1) Ho: P= 0.5, la moneda no está cargada.

H1: P≠ 0.5 la moneda está cargada (P>0.5 ó P<0.5).

2) La prueba debe ser bilateral o de dos colas, porque hay dos posibilidades en

la H1:

a) Si se obtiene muchas veces cara, entonces la moneda está cargada de

un lado (P>0.5).

b) Si se obtiene pocas veces cara, entonces la moneda está cargada del

otro lado (P<0.5).

3) Asumimos el nivel de significación de 5%, con lo que estamos aceptando de

que con la probabilidad de 0.05, puede ocurrir que se rechace Ho, a pesar

161

de ser verdadera; cometiendo por lo tanto el error de tipo I. la probabilidad

de no rechazar Ho, será de 0.95.

4) Determinar la distribución muestral que se utilizara en la prueba.

Tenemos por dato muestral la proporción , el parámetro de Ho, es la

proporción poblacional P; entonces utilizaremos la distribución muestral de

proporciones para describir la variación de las muestras por el error d

muestreo. Tamaño de muestra n= 50> 30. (Muestra grande) aproximaremos

la distribución muestral de proporciones, mediante la distribución normal,

porque n=50> 30.

5) Esquema de la prueba: En la distribución normal de probabilidades

estandarizadas, para el nivel de significación de 5%, el nivel de confianza

será de 95%, entonces los coeficientes críticos o coeficientes de confianza

para la prueba bilateral serán: -1.96 1.96, es decir -1.96 ≤ z ≤ 1.96.

El esquema correspondiente es:

162

Si al realizar el experimento y calcular el puntaje estandarizado Z, encontramos que

Z cae fuera del intervalo -195 ≤ z ≥ 1.96, esto indicara que se debe rechazar Hʯ

Si por el contrario Z cae dentro del intervalo ya mencionado, eso indicara que no

debemos rechazar Hʯ

Vemos que hay dos regiones e rechazo, por eso la prueba se llama prueba bilateral

o de dos colas.

6) Cálculo de Z. utilizando la fórmula 5.3.2

Donde Xi corresponde en este caso a la producción de la muestra: p`

: es la medida de la distribución muestral de proporciones, igual a la proporción

poblacional P de Hʯ

: es la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones, llamada

también error estándar de la proporción: p`

163

Ejemplo de Prueba de una Cola o Unilateral.

Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene 905 de efectividad para curar

una enfermedad. En una muestra de 200 persona de aliviaron 160. Determinar que

a afirmación no es cierta, es decir, la medicina cura meno del 90% de los casos.

Sea el nivel de significación 0.05.

1) .- Hʯ: P = 0.90 P, proporción poblacional de éxito.

H1: P < 0.90 Es lo que queremos probar.

2) .- Habrá una sola región de rechazo o región crítica y es aquella en la que la

proporción de personas curadas por la medicina es menor que 0.90; luego

se trata de una prueba unilateral, o de una sea cola; en esta caso de cola

izquierda, que es la dirección a la que apunta la desigualdad de H1.

164

3) Asumiendo el nivel de significación de 5% (0.05), en la distribución normal

de probabilidades estandarizada se tiene el coeficiente critico de Z= -1.65.

4) Como el dato es una proporción muestral, y en Ho hay una proporción

poblacional, usaremos la distribución muestral de proporciones.

5) El esquema de la prueba es:

6)

´P = Proporción de la muestra =

P = Proporción de la población P = 0.9

Grados de libertad: el termino libertad se refiere a libertad para variar y recoger

datos de la muestra. Analicemos la fórmula para la desviación estándar corregida

165

Para calcular la desviación estándar es necesario estimar la media poblacional û

mediante x= u, es decir se eta estimando un parámetro poblacional por lo tanto por

grados de libertad serán n-1. Al querer calcular la desviación estándar ha

disminuido en uno la libertad de escoger los datos, por haber estimado un

parámetro, la media poblacional.

En la prueba de student de diferencia de medidas, se estimaran dos medias

poblacionales de cada una de las dos poblaciones de las cuales se toman los

datos, para calcular las dos medias. Los grados de libertad serán n1+n2-2 donde n1

es el tamaño de la muestra 1, tomada de la población 1 y n2 es el tamaño de la

muestra tomada de la población 2.

Los grados de libertad están representados por la siguiente formula

Gl=n-k

N: numero de observaciones independientes

K: numero de parámetros estimados

Distribución de Student

Cuando:

i) el tamaño de la muestra es pequeño y este es menor que 30

ii) la población de donde se obtienen los datos está distribuida normalmente

iii) se desconoce la desviación estándar de la población entonces haremos uso de

la distribución de Student

La distribución de Student está representada por el estadístico t:

166

El estadístico z de la distribución normal era

En el denominador de t tenemos s, que varía de muestra en muestra. En el

denominador de z tenemos o , la desviación estándar de la población que es una

constante; t sigue una distribución de Student con n-1 grados de libertad, los

valores de t se pueden encontrar en la tabla correspondiente en el apéndice de

este libro. Existe un valor específico para cada grado de libertad asociado con un

determinado nivel de significación.

La grafica de la distribución de Student es mas aplanada que la distribución normal

Z.

Ejemplo de prueba de una media utilizando la distribución de student

Se aplico un test de inteligencia a una muestra de 15 alumnos de un salón de clase

de cierto Colegio y se determino un CI promedio de 105.4 con una desviación

estándar de 5.3. Se saber que al estandarizar el mencionado test en los colegios

secundarios de la localidad, se hallo un CI medio de 101. Asumiendo un nivel de

significación de 1% probar que el rendimiento mental del grupo de 15 alumnos, es

más alto que el promedio de estandarización del test.

U= rendimiento mental medio de estandarización = 101

X= rendimiento mental medio de la muestra = 105,4

1) formulación de la hipótesis

Distribución de

student

Distribución

normal

167

H0:µ = 101, no existe diferencias significativas en el rendimiento mental, de la

muestra X y de la población

H1: µ= >101

2) Prueba unilateral de cola derecha, de acuerdo con H1,

3) Nivel De Significación Asumido: 1% = 0.01

4) Distribución aplicable para la prueba

Considerando que los datos son la media de la muestra X y la media poblacional µ,

se debe reutilizar la distribución maestral de medias, además como n <30 (muestra

pequeña) y se desconoce 0 (desviación estándar de la población) se empleara la

distribución de student, ya que ese sabe los valores de CI siguen una distribución

normal.

5) Esquema grafico de la prueba

El nivel de significación es a = 0.01

Los grados de libertad son:

Gi= n-1 = 15 – 1=14g. de lib

En la tabla de distribución de student, con 14gl, a = 0.01 y prueba de 1 cola,

encontramos el t crítica: tc =2.624

168

6) Cálculo del estadístico de la prueba

Datos

X= 105.4 ; µ = 101 ; s= 5.3 ; n= 15

7) toma de decisiones

169

Observamos que t=3.11 se ubica en la región de rechazo por tanto se descarta que

µ = 101 y se acepta la alternativa µ > 101 es decir el grupo de 15 alumnos tiene

rendimiento mental mayor que el promedio de estandarización.

Ejemplo:

Una tableteadora de un laboratorio farmacéutico produce comprimidos de cierto

medicamento, con un peso medio de 2grs. Por comprimido. Para determinar si la

maquina sigue en buenas condiciones de producción, se tomó una muestra de 10

tabletas cuyos pesos en gramos son: 2.04; 1.96; 2.00; 1.98: 2.02; 2.01; 1.97; 1.94;

2.03; 2.01, asumiendo un nivel de significación de 0.01, verificar que la maquina no

está en

Buenas condiciones de producción.

Llamemos:

µ: el peso medio de las tabletas producidas por la máquina.

1) Formulación de hipótesis

H0: µ= 2, la maquinas se halla en buenas condiciones.

H1: µ ≠ 2, la maquina no se halla en buenas condiciones

2) Prueba bilateral porque en H1 hay dos posibilidad

µ>2 o µ< 2

3) Nivel de significación , s4e asume el 1% = 0.01

4) Distribución de probabilidad apropiada para la prueba.

Considerando que las hipótesis se refieren a medios poblacionales, que se da

como dato el valor de la media población µ= 2grs, y que se puede calcular la

media de la muestra, utilizaremos la distribución muestral de las medias para

efectuar la prueba. Siendo la muestra pequeña (n= 10) y la desviación de

student o de la población desconocida, no es aplicable la distribución normal y

por tanto recurridos a la distribución de student, asumiendo que la población.

170

Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene el 90% de

efectividad para curar una enfermedad. En una muestra de 200

personas se aliviaron 160. Determinar que la afirmación no es cierta, es

decir que la medicina cura menos del 90% de los casos. Si el nivel de

significancia (error de estimación) es del 0,05.

171

1.- HALLAR H0 Y HA

2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS

Es unilateral de una cola

3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA

4.- DETERMINAR EL VALOR DE n

5.- GRAFICAR LA CAMPANA DE GAUSS

172

6.- CALCULAR EL VALOR DE Z

= 0,80

173

7.- rechazo de la hipótesis nula y aceptación de la hipótesis alternativa, porque los

medicamentos curan menos del 90% a los pacientes.

Una muestra de 80 alambres de acero producidos por la Fábrica A, da

una resistencia media a la rotura de 1230lobras con una desviación

estándar de 120 libras. Una muestra de 100 alambres de acero

producidos por la Fábrica B da una resistencia media a la rotura de

1190 libras con una desviación estándar de 90 libras. ¿Hay una

diferencia real en la resistencia media de las dos marcas de alambre de

acero, si el nivel de confianza es el 95%?

1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA.

Ho: U1 = U2

Ha: U1 U2

2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS

La campana de gauss es bilateral de 2 colas

3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA

Nivel de significancia o E.E. = 0,05

Z = 1,96 valor estandarizado

4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA

n 1 = 80 n > 30

n 2 = 100 n > 30 Prueba de Hipótesis

174

5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS

6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z

1 = 1230 S1 = 120

2 = 1190 S2 = 90

175

7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. La rotura de los

alambres de la Fábrica A es diferente a la rotura de los alambres de la Fábrica B.

Los salarios diarios de una industria particular tiene una distribución

normal con media de 23,20 dólares y una desviación estándar de 4,50

dólares. Si una compañía de esta industria emplea 40 trabajadores, les

paga un promedio de 21,20 dólares. ¿Puede se acusada esta compañía

de pagar salarios inferiores con un nivel de significancia del 1%?

1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA.

Ho: U = 23,20

Ha: U > 23,20

2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS

La campana de gauss es de una cola

3.- NIVEL DE CONFIANZA = 99%

4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA

176

5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS

6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z

7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. No está pagando a

los trabajadores lo que les corresponde entonces debe entrar a un juicio para

resolver este inconveniente.

177

EJERCICIO PLANTEADO

Según una encuesta realizada se afirma que la exportación de petróleo crudo tiene

el 95% de efectividad para comercializarse en el mercado internacional. En una

muestra de 45 países a los que se envía el petróleo ecuatoriano, se reflejaron que

35 países los más grandes importadores de petróleo tienen ventas elevadas.

Determinar que la afirmación no es cierta, es decir que la exportación de petróleo

se comercializa en menos del 95%. Si se tiene un nivel de significancia del 0,05.

1. Ho: U = 95%

Ha: U < 95%

2. La campana de Gauss es de una cola

3. α = 95%

Error de Estimación: 0,05

Z = -1,65

4. n = 45 n > 30 Prueba de Hipótesis

5. Construir Campana de Gauss

6.

178

7. Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa.

Las exportaciones de petróleo que el Ecuador realiza a diferentes países se

comercializan en más del 95%, por lo que el país puede continuar

realizando sus exportaciones al exterior.

DISTRIBUCIÓN T-STUDENT

En probabilidad y estadística, la distribución t-Student es una distribución de

probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población

normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de t-Student con n grados de

libertad, donde n es un entero positivo, si su función de densidad es la siguiente:

f(t)=

)1(2

12

)1(

)2

(

)2

1(

n

n

t

nn

n

, - t , 0

1)( dxexp xp

siendo p>0

La gráfica de esta función de densidad es simétrica respecto del eje de ordenadas,

con independencia del valor de n, y de forma semejante a la distribución normal.

179

Propiedades:

1. La media es 0 y su varianza 2n

n

, n>2.

2. La gráfica de la función de densidad es en forma de campana.

3. Los datos están más disperso que la curva normal estándar.

4. A medida que n aumenta, la gráfica se aproxima a la normal N(0,1).

5. La gráfica es muy parecida a la de la normal estándar diferenciándose en

que las colas de t están por encima de la normal, y el centro se encuentra

por debajo del de la normal.

6. Cuando los grados de libertad son altos, los valores de t coinciden con los

de la normal.

Ejercicio: La empresa de transporte pesado TRANSURGIR de la ciudad de Tulcán

adquirió camines nuevos que cargan un peso aproximado a 15 toneladas cada

uno para determinar si esta afirmación es verdad se tomo una muestra de 7

camiones con repletos de carga cuya carga pesaba; 15,04tonn, 14,96tonn, 15tonn,

14,98tonn, 15,2tonn, 15,1tonn y 14,96tonn. Asumiendo un nivel de significancia de

0,01 verificar que los camiones si cumplen con el peso establecido.

1) Ho: u=15tonn

Ha: u≠2 u es diferente de dos

2) Bilateral

3) 99% 0,01 gl=n-1

gl= 10-1= 9

t=±3,250

4) nʯ30 T-student

180

5) GRAFICA

6) – –

7) Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa ya que el

peso que puede transportar cada camión se encuentra en la zona de

aceptación.

Ejercicio. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de

500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos

cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra

satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de

25 focos cuya duración fue?:

Xi (Xi-X) (Xi-X)2

15,04 0,006 0,000032653

14,96 -0,074 0,005518367

15 -0,034 0,00117551

14,98 -0,054 0,002946939

15,2 0,166 0,027461224

15,1 0,066 0,004318367

14,96 -0,074 0,005518367

105,24

-

0,000000000000008881784197 0,046971429

181

PRUEBA CHI - CUADRADO

Pruebas Paramétricas. Se llama así a las pruebas de hipótesis que cumplen tres

requisitos fundamentales:

1. La variable de la prueba debe ser la variable cuantitativa.

2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.

3. Los datos deben ajustarse a determinadas distribuciones estadísticas.

Ejemplos.

1. La prueba basada en la distribución normal de probabilidades.

2. La prueba de student.

Pruebas No Paramétricas.- llamadas también pruebas de distribución libre. Son

aquellas que:

1. La variable de la prueba puede ser cualitativa o cuantitativa.

2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.

3. Son independientes de cualquier distribución de probabilidad.

Ejemplo.

La prueba de Chi – Cuadrado (también llamada prueba Ji –Cuadrado).

Las pruebas paramétricas son mas poderosas. Sin embargo cuando la variable es

cualitativa, sólo se puede usar las pruebas no paramétricas.

El Estadístico Chi – Cuadrado

En un estadístico que sirve de base para una prueba no paramétrica denominada

prueba chi – cuadrado que se utiliza especialmente para variables cualitativas, esto

182

es, variables que carecen de unidad y por lo tanto sus valores no pueden

expresarse numéricamente. Los valores de estas variables son categorías que sólo

sirven para clasificar los elementos del universo del estudio. También puede

utilizarse para variables cuantitativas, transformándolas, previamente, en variables

cualitativas ordinales.

El estadísticos chi- cuadrado se define por

En donde:

n= número de elementos de la muestra.

n -1= número de grados de libertad

s2= varianza de la muestra

a2= varianza de la población

Desarrollaremos un ejemplo numérico con la finalidad de fijar el concepto de Chi –

cuadrado.

Ejemplo:

En un estudio de la capacidad de aprendizaje de matemáticas, en los niños de una

población, se tomó una muestra representativa de 40 niños. Se les aplicó una

prueba de diagnostico del aprendizaje en matemáticas y con los datos obtenidos se

calculó la varianza s2=8.4, conociendo que la varianza poblacional es de α2= 12,37,

calcular el valor del estadístico chi-cuadrados.

Datos:

n= 40 S2= 8,4 a2= 12,37

183

Ahora vamos a elaborar el concepto de DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL

ESTADÍSTICO CHI- CUADRADO.

Supongamos que se realiza los pasos siguientes:

1. De una población de N elementos se extrae todas las muestras posibles del

mismo tamaño n.

2. Con los datos de cada muestra se calcula el estadístico chi – cuadrado.

3. Con todos los valores de Chi – cuadrado se forma una distribución de

frecuencias; éstas se denomina distribución muestral del Chi-cuadrado.

Esta distribución muestral se representa gráficamente en un sistema de

coordenadas, colocando en el eje de abscisas los valores del estadístico Chi-

cuadrado.

Cuadrado en el eje vertical se colocan las frecuencias de cada valor del chi-

cuadrado.

El área encerrada bajo la curva y el eje horizontal es igual a uno y representar la

probabilidad de que Chi-cuadrado tome valores mayores que 0.

El área rayada situada a la derecha de la ordenada levantada en la abscisa x2 (gl),

representa la probabilidad de cometer el error tipo l en la prueba de chi-cuadrado.

Esta probabilidad es el nivel de significación de la prueba. El valor x2 (gl) se

llama valor crítico del chi-cuadrado y se determina por medio de una tabla especial,

que representa al final del libro el aprendizaje de tablas.

184

Antes de entrar en el manejo de la tabla debemos tener encuentra que para una

probabilidad dad, por ejemplo =0.05, al aumentar el número de grados de

libertada también aumenta el valor crítico de Chi-cuadrado; esto se ilustra en las

tres figuras siguientes:

Este crecimiento del valor crítico se debe a que el aumentar el número de grados

de libertad, la curva de la distribución muestral de Chi-cuadrado tiende a tomar una

forma más extendida y por tanto el punto crítico se desplaza hacia la derecha.

Descripción y manejo de la tabla.- La tabla de valores críticos de x2 se encuentra

en el apéndice. En la línea horizontal superior encabezando en cada columna se

hayan los valores de .

En la primera columna de la izquierda están los grados de libertad. Los ejemplos

siguientes el manejo de la tabla.

185

1. Ejemplo:

=0.05 y gl= 4 g de l

A partir de gl=4g de l, dirigimos una visual hacia la derecha hasta cortar a la

visual que baja por =0.05; en la intersección se encuentra el valor crítico

2. Ejemplo:

Si

Hallamos x2 (6)=12.592

3. Ejemplo:

Si

Encontramos x2 (10) = 18.307

Con estos 9 valores de la variable de estudio X, vamos a elaborar el cuadro de

frecuencias observadas correspondientes a las 10 categorías establecidas.

Cuadro 11. 3. 2

Intervalos Conteo Frecuencias

Observadas

Menos de 6,26 a 6, 26 IIII - I 6

6 , 26 a 11,62 IIII - I 6

11,62 a 15,51 III 3

15,51 a 18,80 IIII 5

18,80 a 21,96 IIII 4

21,96 a 25,12 IIII - IIII 10

25,12 a 28,41 III 3

28,41 a 32,30 IIII 4

32,30 a 37,66 IIII 4

37,66 a más. IIII 5

A continuación debemos realizar la clasificación y conteo de los 50 datos, es decir,

colocar a cada uno de ellos dentro de su categoría representándolo por una tarja.

La suma de las tarjas de cada clase da la frecuencia observada de esta clase.

186

Para facilitar el cálculo del estadístico chi-cuadrado mediante la fórmula indicada

Agregamos las frecuencias observadas y esperadas en celdas tal como se presenta

a continuación. Recordemos que se fijo la frecuencia esperada de 5 en cada

intervalo, luego:

Frecuencia observada O, y frecuencia esperada E, en la Prueba Chi-cuadrado de

Bondad de Ajuste.

Ei 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Oi 6 6 3 5 4 10 3 4 4 5

7) Toma de decisiones

Observamos que este valor de Chi-cuadrado, en el esquema grafico (figura 11.3.5)

se ubica en la regresión de aceptación, luego aceptamos esto es, que la

muestra se obtiene de una población distribuida normalmente.

Problema

De una investigación demográfica se conoce que los habitantes de ciertos países

se distribuyen en la forma siguiente: 0- 20 años, 25%; 21 – 40 años, 35%; 41 -61

años, 25%; 61 -80 años, 10%; 81 – 100 años, 5%.

Después de transcurridos varios años se quiso probar que la distribución

poblacional de las edades no ha cambiado para lo que se selecciono una muestra

respectiva de 1000 personas y se observo que las frecuencias de las 5 categorías

fueron: 0- 20 años, 200; 21 – 40 años, 300; 41 -61 años, 300; 61 -80 años, 100; 81

– 100 años, 100.

187

1) la distribución actual por edades es igual a la del año de ejecución del

censo

La distribución actual por edades no es igual a la del año de ejecución

2) La prueba es unilateral y de cola derecha

3) Nivel de significación a= 0.10

4) Se utiliza la distribución CHI – CUADRADO

ESQUEMA DE LA PRUEBA

Existen k= 5 celdas, tenemos gl = K-1 = 5-1=4 grados de libertad a = 0.10

en la tabla de CHI – CUADRADO obtenemos

77.14

7.779

188

5) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA

200

300

300

100

100

Las frecuencias observadas nos las proporcionan con la muestra aleatoria de los

1.000 habitantes.

CALCULO DE LAS FRECUENCIAS ESPERADAS

= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 35% = 350

= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 105% = 100

= 1.000 X 5% = 50

CALCULO DEL ESTADISTICO CHI – CUADRADO

= +

= 10+7.14+10+0+50

= 77.14

250 350 250 100 50

189

6) TOMA DE DECISIONES

Vemos que el estadístico calculado CHI – CUADRADO (77.14) es mayor

que el valor critico encontrado en la tabla (7.779) vemos que 77.14 cae en la

región de rechazo por lo tanto rechazamos y aceptamos , es decir la

distribución actual por edades no es igual a la de la investigación

demográfica.

CORRECCIÓN DE YATES

Cuando el número de grados de libertad es igual a la unidad, es necesario realizar

una corrección por continuidad durante el cálculo del estadístico de la prueba. Esta

corrección se denomina de yates y consiste en disminuir en 0.05 al valor absoluto

de la diferencia entre las frecuencias observadas y as frecuencias

esperadas.

El ejemplo siguiente ilustra la aplicación de esta corrección.

PROBLEMA

En el año de 1960, la proporción de hombres y mujeres de cierta institución de

enseñanza superior, fue de 75% y 25%, respectivamente. Con la finalidad de

verificar si el transcurso del tiempo había originado algún cambio en las

proporciones de estudiantes de ambos sexos, en el año de 1970 se tomó una

muestra aleatoria de 100 alumnos de 1º ciclo, obteniendo 60 hombres y 40 mujeres.

Con estos datos realizar la verificación por medio de la prueba de CHI –

CUADRADO, asumiendo el nivel de significación de a= 5%.

1) la distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 también es de

75% y de 25% respectivamente

La distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 no es del 75%

ni del 25% respectivamente

2) La prueba es universal y de cola derecha

3) Nivel de significación a= 0.05

190

4) Emplearemos la distribución muestral de CHI – CUADRADO

5) ESQUEMA DE LA PRUEBA

Existen 2 categorías entonces K= 2 y gl = K – 1 =2-1=1 a= 0.05 con estos

datos vamos a la tabla de CHI – CUADRADO y obtenemos 3.841.

6) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA

60

40

OBTENCIÓN DE LOS VALORES ESPERADOS

Valor esperado para los hombres: 100 x 75% = 75

Valor esperado para las mujeres: 100 x 25% = 25

11.21

3.841

75 25

191

CACULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA

Como gl = 1 utilizaremos la corrección de yates

=2.8+8.41= 11.21

7) TOMA DE DESICIONES

Como el valor de CHI – CUADRADO es de 11.21, mayor que el valor CHI –

CUADRADO afirmamos que 11.21 cae en la región de rechazo, luego

rechazamos la por lo tanto afirmamos que la distribución de hombres y

mujeres no es del 75% ni del 25% respectivamente.

En un estudio realizado en el departamento de investigación del ESAN acerca del

perjuicio étnico hacia el negro. En los universitarios de lima se aplico

Una encuesta a los universitarios según su lugar de procedencia, obteniendo los

resultados que presenta la siguiente tabla.

Lugar de residencia

Grado De Perjuicio

Barriadas Barrios Populares

Intermedios

Barrios Residenciales

Total

Alto 32 225 50 307

Bajo 28 290 79 397

Total 60 515 129 704

192

Al nivel de significación Q=0.05, determinar que las variables perjuicio étnico hacia

el negro y lugar de residencia son independientes

1. Ho: el perjuicio étnico y el lugar de residencia son independientes

H1: existe dependencia entre las variables.

2. La prueba es unilateral y la cola derecha

3. Asumimos el nivel de significación de Q= 0.05

4. Utilizaremos la distribución muestral de chi-cuadrado porque las dos

variables son cualitativas.

5. Esquema de la prueba

Gl =(C-1) (F-1) 1.1.3.4

Gl =(3-1) (2-1) = 2 11.3.4

Gl= 2

Q= 0.05

X2 = (2) = 5.991

C= # de columnas

F= # de filas

6. Calculo del estadístico de la prueba x= 3.54

5.991

Formula

2

X2= 3.54

Ya conocemos las frecuencias observadas para determinar las frecuencias

esperadas emplearemos la misma tabla, manteniendo invariables de frecuencias

marginales de dos variables.

193

Lugar de Residencia

Grado De Perjuicio

Barriadas Barrios Populares

(Intermedios)

Barrios Residenciales

Total

Alto E11 E12 E13 307

Bajo E21 E22 E23 397

Total 60 515 129 704

Cuando las variables X y Y son independientes, las frecuencias de cada celda son

igual al productos de las frecuencias marginales correspondientes dividido por el

tamaño de la muestra.

Las frecuencias esperadas y las asociadas determinan las frecuencias observadas

anteriormente.

26.16

32

224.58

225

33.84

28

290.42

290

72.75

79

56.25

50

194

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

PRUEBA DE HIPÓTESIS

Se le llama también ensayo de hipótesis o décima de hipótesis.

Son procedimientos que se usan para

determinar, se es razonable o

correcto, aceptar que el estadístico obtenido en

la muestra, puede provenir de la población que tiene parámetro, el

formulado en .

Como resultado de la prueba de

hipótesis, aceptamos o rechazamos . Si

aceptamos , convenimos en que el error de

muestreo (el azar), por sí solo, puede dar lugar al valor al estadístico que

origina la diferencia entre éste y el parámetro. Si

rechazamos , convenimos que la diferencia es tan

grande, que no es fruto del error de muestreo (al azar)

y concluimos que el estadístico de la muestra

no proviene de una población que tenga el parámetro estudiado.

Cuando se toma la decisión de rechazar o aceptar la hipótesis

, se corre el riesgo de equivocarse (recuerde que nos hemos referido a la probabilidad de obtener una diferencia entre x̅

y y no de un hecho establecido), es decir, de

cometer errores.

T DE STUDENT

Cuando:

i) el tamaño de la muestra es pequeño y este es menor que 30

ii) la población de donde se obtienen los datos está distribuida

normalmente

iii) se desconoce la desviación estándar

de la población entonces haremos

uso de la distribución de Student

La distribución de Student está

representada por el estadístico t:

CHI CUADRADO

Pruebas Paramétricas. Se llama así a las pruebas de hipótesis que cumplen tres requisitos fundamentales:

La variable de la prueba debe ser la variable

cuantitativa.

Los datos se obtienen por muestreo estadístico.

Los datos deben ajustarse a determinadas

distribuciones estadísticas.

Ejemplos.

La prueba basada en la distribución normal de

probabilidades.

La prueba de student.

Pruebas No Paramétricas.- llamadas

también pruebas de distribución libre. Son

aquellas que:

La variable de la prueba puede ser cualitativa o

cuantitativa.

Los datos se obtienen por muestreo estadístico.

Son independientes de cualquier distribución de

probabilidad.

195

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:

Actividad

Días

Responsable

Mar, 26 Mié, 27 Jue, 28 Vie,29 Sáb,30 Dom,01 Lun,02 Mar,03 Mié,04 Jue,05

Clase 1 Marisol

Imbacuán

Iniciar con

los

ejercicios

Marisol

Imbacuán

Clase 2 Marisol

Imbacuán

Deber

ejercicios

Marisol

Imbacuán

196