Potencia de un Punto respecto a un a circunferenciaLeonardo I. Martnez Sandoval

Para poder hablar de la potencia necesitamos un punto P y una circunferencia Z. Tracemos una lnea por el punto de modo que intersecte a la circunferencia en dos puntos A y B. Llamamos a la magnitud PAPB la potencia de P con respecto a la circunferencia Z, o simplemente la potencia de P si el contexto es claro. Lo ms importante de la potencia es que no depende de la lnea que hayamos tomado para elegir los puntos A y B. Demostrars eso y vers algunas de las aplicaciones que tiene la potencia de un punto.Para empezar, tenemos que demostrar que la potencia no depende de la eleccin de la lnea que tomemos. Primero, observa que esta afirmacin es equivalente a lo siguiente.

Teorema. Si A, B, C, D caen sobre una misma circunferencia y AB intersecta a CD en P entonces PA PB = PCPD.

Para demostrar esto considera los siguientes tres casos:

Cuando el punto P se encuentra sobre la circunferencia1. Observa que cualquier lnea que pasa por P corta a la circunferencia en el punto P y entonces alguno de los puntos sobre la circunferencia era P.2. Concluye que en este caso la potencia es cero

Cuando el punto P se encuentra dentro de la circunferencia.1. Utiliza los ngulos que abren arcos en el cuadriltero cclico ABCD para demostrar que los tringulos APD y CPB (en ese orden) son semejantes.2. Utiliza la razn de semejanza para concluir que PA PB = PCPD.

Cuando el punto P se encuentra fuera de la circunferencia.1. Utiliza los ngulos opuestos del cuadriltero cclico ABCD para demostrar que los tringulos APD y CPB son semejantes.2. Utiliza la razn de semejanza para concluir que PAPB = PCPD.

Este es uno de los teoremas bsicos de potencia. A partir de l, cuando consideramos algunas elecciones especiales, obtenemos los siguientes resultados.1. Supn que la distancia de P al centro de la circunferencia es d y que el radio de la circunferencia es r. Demuestra que la potencia est dada por |d2-r2| (Sugerencia: Considera el caso en el que la recta que elegimos para obtener los puntos A y B tambin pasa por el centro de la circunferencia)

2. Supn que P es un punto exterior a la circunferencia y que PT es una tangente a la circunferencia con longitud t. Demuestra que la potencia de P est dada por t2.

Otra de las razones por las cuales es muy importante la teora acerca de la potencia de un punto es que tambin nos permite decidir cundo cuatro puntos son cclicos. El siguiente teorema enuncia un resultado de este estilo.

1. Teorema Supongamos que ABCD es un cuadriltero convexo y que AB y CD se intersectan en un punto P. Si PAPB = PCPD entonces los cuatro puntos yacen sobre una circunferencia.

Para demostrar este teorema, sigue estos pasos:

(a) Considera el circuncrculo Z del tringulo ABC

(b) Considera a D la interseccin de CP con Z

(c) Aplica potencia de un punto para P con respecto a la circunferencia Z para obtener que PA PB = PC PD

(c) Utiliza la igualdad obtenida en el inciso anterior y la hiptesis (PA PB = PC PD) para concluir que D = D y que por tanto ABCD es cclico.

Estos son los hechos ms importantes acerca de la potencia de un punto. A continuacin veremos algunos ejemplos que nos ayudarn a fijar las ideas desarrolladas hasta ahora. En cada ejemplo completa los espacios en blanco.

Ejemplo: ABCD es un cuadriltero cclico en el cual sus diagonales AC y BD se intersectan en O. Si AO = 3, CO = 8 y BD = 10, qu valores puede tomar BO?

Solucin Por un lado, tenemos que BO+DO =______ . Por otro, utilizando la potencia del puntoO sabemos que BO DO = AO CO = 24. De este modo, de esta ltima igualdad obtenemos que . Sustituyendo este valor de DO en la primera igualdad, obtenemos que de modo que al multiplicar por BO de ambos lados e igualando a cero obtenemos una ecuacin cuadrtica en BO, cuyas soluciones son ___ y ___ .

Ejemplo: En un cuadrado ABCD de lado 1 una circunferencia pasa por los vrtices A y B y la tangente desde C mide 2. Encuentra el radio de la circunferencia.

Solucin: Prolonguemos CB para que corte a la circunferencia en el punto Y. Como el ngulo en B es ________tenemos que AY es dimetro de la circunferencia. Obtendremos su medida aplicando el Teorema de Pitgoras al tringulo ABY . Sabemos que uno de sus lados es ___ . El otro lo obtendremos con potencia de un punto. Por el caso en el que tenemos una tangente, en este caso de longitud CH= t =____, tenemos que CB CY = , o bien 1 (1+BY ) = =____. De aqu, despejando obtenemos que BY =___ . De este modo, por Pitgoras AY =___ , y as la medida del radio es ____.

Ejemplo Considera un tringulo ABC y un punto P dentro de l. Sobre los segmentos AP, BP y CP se eligen puntos X, Y y Z respectivamente. Demuestra que si ABY X y CAXZ soncuadrilteros cclicos entonces BY ZC tambin lo es.

Solucin Por potencia del punto P aplicada en ABY X obtenemos que PY PB = PXPA. Por potencia del punto P aplicada en CAXZ obtenemos que _________ . De este modo, PY PB = PZ PC, as, usando ___________concluimos que BY ZC es cclico.

Ejemplo: Teorema de Pitgoras Sea ABC un tringulo con ngulo recto en C.Entonces

Solucin Consideremos las circunferencias Z1 y Z2 de dimetros AC y BC. Demuestra que Z1 y Z2 se cortan sobre la hipotenusa AB y que el punto D donde se cortan es precisamente el _______. Por otro lado, AC es tangente a Z2 pues es perpendicular a su dimetro, de modo que por la potencia de A con respecto a Z2 tenemos que . Anlogamente: . Sumando estas dos igualdades y usando que AD +DB =____ obtenemos el resultado deseado.

Resuelve los siguientes problemas relacionados con la teora desarrollada en esta tarea. Si encuentras otra solucin adems de la que utilice potencia de un punto, tambin puedes escribirla.

Problemas: 1. Est dado un ngulo con vrtice C y una circunferencia inscrita en l, la cual toca sus lados en los puntos E y F. Por el punto E se traza una lnea paralela a CF, la cual intersecta a la circunferencia en el punto G. El segmento CG intersecta la circunferencia en el punto H. Las lneas EH y CF se intersectan en el punto J. Demuestra que CJ = JF.

2. Dada una circunferencia y una magnitud p, cules son los puntos que tienen potencia p con respecto a la circunferencia?3. Dadas dos circunferencias, cules son los puntos que tienen la misma potencia con respecto a ambas?4. Se trazan las tangentes PA y PB desde un punto P a una circunferencia. Por otro punto T en la circunferencia se traza otra tangente, la cual corta a PA en Q y a PB en R. Cul es el permetro del tringulo PQR en trminos de OP y el radio de la circunferencia?5. Considera cuatro puntos alineados A, B, C y D en ese orden. Se trazan las circunferencias con dimetros AC y BD, las cuales se intersectan en P y Q. PQ intersecta a BC en R. Demuestra que . Concluye sugiriendo una construccin con regla y comps que parta un segmento en la misma proporcin en la que estn dos segmentos dados.6. Sean PA, PB y PC las potencias de los vrtices A, B y C respectivamente al incrculo del tringulo ABC y sea p el permetro del tringulo ABC. Demuestra que: .