POTENCIACIÓN EN LOS REALES

La Potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales. Dependiendo de la cantidad de veces que se repite el factor se le da nombre a las potencias, así encontramos potencias cuadradas, cubos, cuartas; etc.

En las potencias se observa lo siguiente:

El factor que se repite (a) se llama BASE, el numero de veces que se repite (n) se llama EXPONENTE y el resultado se llama POTENCIA.

54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 5 es la base, 4 es el exponente y 625 es la potencia.

23 = 2 x 2 x 2 = 8 2 es la base, 3 es el exponente y 8 es la potencia.

(– 3)5 = (– 3) x (– 3) x (– 3) x (– 3) x (– 3) = 243 – 3 es la base, 5 es el exponente y 243 es la potencia.

Propiedades de las potencias

1. El exponente se puede distribuir respecto a un producto o una división

(𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛 𝑜 (𝑎

𝑏)

𝑛

=𝑎𝑛

𝑏𝑛

(2𝑥𝑦𝑧)3 = 23𝑥3𝑦3𝑧3 = 8𝑥3𝑦3𝑧3

(𝑥

3𝑦)

4

=𝑥4

34𝑦4

2. Todo número diferente de cero que posea como exponente al número cero, tiene potencia igual a

uno (1 ), es decir, 𝑎0 = 1

3. Exponente negativo:

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

2−3 =1

23=

1

8

𝑥−5 =1

𝑥5

𝑥−1𝑦−3𝑧−2 =1

𝑥1𝑦3𝑧2

3−2𝑎−3𝑏−2 =1

32𝑎3𝑏2

a = a x a x a… x a n veces

n

4. Multiplicación de potencias de igual base: 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 Se coloca la misma base y se suman los exponentes.

53 ∙ 54 = 53+4 = 57

(−2)6 ∙ (−2)5 = (−2)6+5 = (−2)11

3xy. 2 x3y2 = 6x1+3y1+2 = 6x4y3

5. División de potencias de igual base: 𝑎𝑛

𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 se coloca la misma base y se restan los exponentes.

54

53= 54−3 = 51

(−2)14

(−2)5= (−2)14−5 = (−2)9

52𝑥8𝑦3

54𝑥5𝑦2= 5−2𝑥3𝑦 =

𝑥3𝑦

52=

𝑥3𝑦

25

6. Potencia de una potencia: (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∗𝑛 se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.

(55)3 = 55∗3 = 515

⌈(−2)2⌉4 = (−2)2∗4 = (−2)8

[52𝑥8𝑦3]−2 = 5−4𝑥−16𝑦−6 =1

54𝑥16𝑦6

Actividad

(5b2c3)4

(2b4c2d3)2

(–a3b2c3)– 4

3–2a–1

3x–2y3

32x3y5

ab2 3 4y

–2ab2 – 2 4a0b4

(((6x3y4z–2)–1)–2)–3

4𝑎𝑏3

43𝑎−1𝑏−2

[2−3x3y−2

2−2y−5x−1]

−1

Ejemplo Usar las propiedades de las potencias para resolver el siguiente ejercicio. (3𝑥3𝑦−4𝑧−3)−2 ∙ (3−2𝑥4𝑦−2𝑧−1)−1 Se distribuye el exponente de afuera y se multiplica con cada uno de los exponentes de las

potencias

= 3−2𝑥−6𝑦8𝑧6 ∙ 32𝑥−4𝑦2𝑧1

Se suman los exponentes de las potencias de igual base.

= 30𝑥−10𝑦10𝑧7

=𝑦10𝑧7

𝑥10

Otro ejemplo.

[2−5𝑎4𝑏−2

2−3𝑎−2𝑏3]

5

∙ [2−1𝑎−3𝑏2

22𝑎3𝑏−1]

−4

=2−25𝑎20𝑏−10

2−15𝑎−10𝑏15 ∙

24𝑎12𝑏−8

2−8𝑎−12𝑏4

En la división se restan los exponentes, en las potencias del denominador se cambian de signo al

exponente y se hace la operación con ellos.

= 2−25+15𝑎20+10𝑏−10−15 ∙ 24+8𝑎12+12𝑏−8−4

= 2−15𝑎30𝑏−25 ∙ 212𝑎24𝑏−12

Se suman los exponentes de potencias de igual base

= 2−15+12𝑎30+24𝑏−25−12

= 2−3𝑎54𝑏−37

=𝑎54

23𝑏37

Otro ejemplo

([2𝑎−1𝑏−1

3𝑎3𝑏3]

−1

)

2

∙ (2𝑎−4𝑏3)

= [2𝑎−1𝑏−1

3𝑎3𝑏3]

−2

∙ (2𝑎−4𝑏3)

=2−2𝑎2𝑏2

3−2𝑎−6𝑏−6∙

(2𝑎−4𝑏3)

1

=2−2𝑎8𝑏8

3−2∙

2𝑎−4𝑏3

1

=2−1

3−2𝑎4𝑏11

=32

2𝑎4𝑏11 =

9

2𝑎4𝑏11

Actividad 2

Desarrollar

a. 25a-2b–4 – 2 5a–3b-2

b.

125a-2 b–4 – 2. 25a-2b4 – 2

5a–3b-2 53a–3b2

c.

32a-2 b–4 c –3. 8 a-2b4 – 2

2 a–3b-2 23a–3b2

d.

–27a-2 b–4 c –3

5 a–3b-2 – 9 2a-2b4 –2 53a3b -2

e. 2ab2 – 2 –1 4a0b4

f.

23a–2b2 2 3 8a5 b4

g. 3 a6b2 – 2 3 –1 9a6b4