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La matemtica Medieval y el Renacimiento
Gloria Latino Emilio Garcia 2012
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Se considera el comienzo de esta poca en el siglo VI, con la cada del
Imperio Romano, hasta el siglo XV, con la cada de Constantinopla.
En Occidente, a partir del siglo VI hasta el siglo XII hubo una decadencia
en el desarrollo del conocimiento matemtico, donde este era muy
elemental. En tanto que en el Oriente, se produce una eclosin a travs de
los hindes y de los rabes, enriqueciendo el saber occidental luego de
este perodo.
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Desarrollo del conocimiento matemtico en la poca Oscura. Siglos VI XII
Occidente No hay contribuciones al conocimiento matemtico
Oriente
Hindes
rabes
Inventan el actual sistema de numeracin, el concepto de cero y de los nmeros negativos; e hicieron importantes aportes al rea de la
trigonometra con el estudio de los tringulos rectngulos.
Perfeccionan el sistema de numeracin hind.
Realizan importantes progresos en el lgebra.
Se los consideran los inventores de la trigonometra.
Conservaron y transmitieron a Occidente los trabajos griegos.
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Ubicacin Geogrfica: Imperio Bizantino
En el ao 755 el Imperio Islmico se escindi en dos partes, el reino Occidental, con
capital en Crdoba, y el Oriental en Bagdad.
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Los europeos latinos superaron la barrera lingstica de la cultura rabe durante
el siglo XII, ya que una oleada de traducciones posibilit un renacer en la
transmisin del saber, durante las cruzadas.
Los traductores ms importantes fueron:
Adelardo de Bath (1075 1160). Explic a los lectores latinos los numerales hind
arbigos. Tradujo las tablas astronmicas del matemtico rabe Al-Khowarizmi,
y Los Elementos de Euclides.
Gerardo de Cremona (1114 1187). Super la traduccin de Adelardo de Los
Elementos de Euclides tomada de Thabit Ibn-Qurra.
Roberto de Chester (? - ?) . Hizo la primera traduccin del tratado de Al-
Khowarizmi, llamado lgebra.
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Leonardo de Pisa (1180 1250), matemtico italiano
conocido como Fibonacci o hijo de Bonaccio.
Como su padre era un mercader tuvo la oportunidad
de viajar por el Oriente y aprender el desarrollo de la
matemtica de los rabes, reconociendo la eficacia de
los nmeros indo-arbigos (de Al-Khowarizmi).
Promova el usos de estos nmeros en detrimento de los
nmeros romanos utilizados en toda Europa.
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Con los nuevos conocimientos se entusiasm y viaj a diversos pases rabes,
recibiendo ah lecciones de sabios musulmanes. De vuelta a Pisa, compuso 5 obras:
la primera de ellas en 1.202, revisada y aumentada en 1.228 es Liber Abaci (Libro
del baco). Con ella introduce el uso del cero en Occidente y presenta al mundo la
famosa sucesin que lleva hoy su nombre, mediante un problema referido a los
conejos:
Cuntas parejas de conejos se producirn en un ao, comenzando con una
pareja nica, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce
a su vez desde el segundo mes?
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1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ., un,
Donde un = un-1 + un-2 , para n 3, es decir, cada trmino es la suma de
los dos trminos inmediatamente anteriores.
Se han descubierto muchas propiedades interesantes de esta sucesin,
como por ejemplo:
Dos trminos sucesivos cualesquiera son primos entre s.
El lmite:
Sucesin de Fibonacci
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El Tringulo de Tartaglia o Pascal construido con los nmeros combinatorios o
coeficientes binomiales, tiene una conexin directa con los nmeros de Fibonacci.
La suma de los nmeros situados en las diagonales de menor pendiente forman la
sucesin de Fibonacci.
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Si excluimos una de las diagonales con los unos, las sumas de las diagonales de
Fibonacci aquellas que originaron cada trmino de la sucesin son las sumas
parciales de la sucesin de Fibonacci.
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La sucesin de Fibonacci y la naturaleza.
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Uno de los aportes ms significativo de los
matemticos europeos de la poca medieval fue el
tratamiento de las series infinitas, un tema
esencialmente original y nuevo, que reconoce al
infinito como algo completo.
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Nicole Oresme (1323? 1382) fue un universitario
parisino a quien se le atribuye la primera
demostracin de la divergencia de la serie armnica.
Oresme agrup los sucesivos trminos de tal manera que cada grupo contenga una cantidad
de trminos equivalentes a una potencia de dos.
El grupo m-simo incluye 21 trminos por lo que obtenemos infinitos grupos y la suma de
stos es mayor o igual que 1/2, con lo que
superamos cualquier nmero dado.
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Tuvo sus orgenes en Italia, en el siglo XIV, difundindose por el resto
de Europa durante los siglos XV y XVI.
En este perodo prosper, de forma vertiginosa, la educacin en
general, las artes, la msica, la filosofa, la tica, la moral, la
ciencia
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Durante este perodo el lgebra se caracteriz por su inters en la
resolucin de las ecuaciones. Lo que marca la diferencia entre el
lgebra antigua y esta que se est gestando, es la capacidad de
alcanzar la generalizacin de los resultados que permita aplicarlo
a todos los casos. Motivo que le confiere carcter cientfico.
La introduccin de una terminologa uniforme signific no slo
una unificacin de lenguaje, sino un principio de sistematizacin.
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El rabe Al-Khowarizmi (780? - 850) es considerado El padre
del lgebra. Este matemtico descubri que al multiplicar un
nmero por s mismo obtenemos uno ms que si multiplicamos el
nmero anterior por el nmero posterior. Al-Khowarizmi no pudo
separar el lgebra de la geometra.
Ver Video
En 1225 Fibonacci trabaj la ecuacin cbica, pero fue Nicolo Fontana, ms
conocido como Tartaglia, quin encontr el mtodo general de resolucin para las
ecuaciones de la forma:
Lenguaje que explica las normas del comportamiento de los nmeros
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Este importante logro lleg a odos de Gerolamo Cardano,
quien invit a Tartaglia a visitarlo para tratar de convencerlo
de que le contara cmo era el mtodo de resolucin. ste se lo
cont a condicin de que mantuviera el secreto hasta que lo
publicara. Cardano hizo caso omiso de su promesa y public
antes que Tartaglia la solucin de las ecuaciones cbicas en su
libro Ars Magna en 1545. La frmula que en nuestros das es
conocida como de Cardano-Tartaglia es la que aparece en el
siguiente cuadro.
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Exponentes importantes de la poca
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Regiomontano estudi en las universidades de Leipzig y Viena,
donde desarroll su gusto por las matemticas y la astronoma.
En Roma lleg a adquirir un gran conocimiento del griego, con
lo que enlaz el conocimiento clsico preservado en
Constantinopla y el movimiento renacentista.
El trabajo sistemtico de los mtodos para resolver tringulos de Regiomontano: De triangulis omnimodis, es de gran significado para las matemticas, ya que
marc el renacimiento de la trigonometra, plana y esfrica.
Problema: Si se conocen la base de un tringulo y el ngulo opuesto, y si adems
se conoce o bien la altura correspondiente a la base o bien el rea, entonces
pueden calcularse los otros lados.
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Leonardo conect tambin el arte con las
matemticas.
En sus notas se encuentran cuadraturas,
construcciones de polgonos regulares y
razonamientos sobre centros de gravedad pero se
distingui ms por su aplicacin de las matemticas
a la ciencia y la teora de la perspectiva.
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En su Trattato della pittura inicia con la
advertencia:
Quien no sea un matemtico no lea mi trabajo
Diversos estudios muestran como el rostro de
Mona Lisa, tanto en su conjunto como en sus
detalles, se enmarca con precisin en una
elegante sucesin de varios rectngulos
ureos.
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Aunque no se dispone de testimonio directo del uso de la proporcin
urea por parte de Leonardo, la composicin de obras como La ltima
cena se solapa de forma asombrosa con diversas figuras ureas, en
especial, el rectngulo.
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Piero della Francesca en De prospectiva pingendi (1478)
desarroll cmo representar el mundo tridimensional en una
superficie bidimensional con el uso de la perspectiva, lo que
provoc una revolucin matemtica. Escribi tambin De
corporibus regularibus, donde not la divine proportion en la
cual las diagonales de un pentgono regular se cortan unas a
otras.
Su obra maestra es La
flagelacin de Cristo
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Galileo fue un defensor de la Teora de Coprnico, lo que
posteriormente le trajo serios problemas con la Iglesia.
Fue el principal responsable de introducir los mtodos
experimentales y matemticos en todo el campo de la Fsica.
Insisti en la necesidad de hacer medidas sistemticas del
fenmeno estudiado de forma que se pudieran revelar las
regularidades del mismo, de forma cuantitativa y pudieran
ser expresadas posteriormente de forma matemtica. Galileo
es el primer cientfico en el sentido moderno de la palabra.
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Desarrollo del lgebra en Occidente
Chuquet (1500) introdujo importantes sincopaciones en va hacia el lgebra
simblica.
Lo que hoy conocemos como: l lo expresaba
Y
Estudi las ecuaciones de la forma donde los coeficientes
y los exponentes son todos ellos nmeros positivos.
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Pacioli (1445-1515) escribi la Summa donde recopil la aritmtica, el lgebra,
la geometra y la contabilidad de doble entrada. Adems, introdujo el punto para
representar la divisin de un entero por una potencia de diez, anunciando la coma
decimal.
Widman (1460). Aparecen los signos + y para indicar exceso o defecto en las
medidas de mercancas de los almacenes y es Widman quien los adopta para las
operaciones de suma y resta.
Stifel (1487-1567). Usa las fracciones decimales, el smbolo moderno de las races y
el tringulo de Pascal. Trabaj el nmero negativo en las ecuaciones y la notacin
de las potencias negativas como se usan en la actualidad.
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Tartaglia-Cardano. La resolucin de races cuadradas de nmeros negativos
en la ecuacin cbica condujo a la necesidad de crear con mucha resistencia un
nuevo nmero, el imaginario.
Bombelli. Relaciona la geometra con el lgebra. Resuelve la ecuacin cbica
geomtricamente a travs de subdivisiones del cubo.
Werner (1468- 1522). Estaba interesado en la duplicacin del cubo, la parbola y
la hiprbola. Encuentra un mtodo original para graficar parbolas usando un
haz de circunferencias tangentes.
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Durero. Aparece el primer cuadrado mgico en su obra Melancola (1514).
Construccin del pentgono regular y otros polgonos regulares. Anticip el
desarrollo de la cartografa.
Peter Apian (1495- 1552) Public el primer mapa del viejo y del nuevo mundo
nombrndolo Amrica.
Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28