PPENDULOS ACOPLADOS Y RESONANCIA.

MOVIMIENTO DE PROYECTILES

I. TITULO: MOVIMIENTO DE PROYECTILES.

II. OBJETIVOS:

1. Estudiar los modos de oscilación de péndulos acoplados por un resorte.2. Estudiar el fenómeno de resonancia.

III. FUNDAMENTO TEORICO

PÉNDULOS ACOPLADOS.

Un sistema físico real es normalmente capaz de vibrar de muchos modos diferentes y puede resonar a muchas frecuencias distintas. Denominamos a estas diversas vibraciones características modos o modos normales del sistema.

Para determinar los modos normales al sistema podemos tener en cuenta condiciones de simetría. Por ejemplo, consideremos el sistema de la fig. 1 si separamos A y B lateralmente cantidades iguales y luego lo dejamos en libertad, A y B oscilaran en fase y con amplitudes iguales, manteniendo siempre la misma separación; cada uno oscila con su frecuencia natural libre : ω0=√ g/ l.

¿Cuantos modos normales podemos hallar? Existe solamente otro; que corresponde a desplazar A y B lateralmente en cantidades iguales pero en sentidos opuestos. El muelle de acoplamiento esta deformado, la simetría del dispositivo nos dice que los movimientos de A y B serán las imágenes especulares uno del otro. En este caso la frecuencia angular resulta.

ω0=√(ω02+2ωc

2) Donde ωc=√k /m

Fig. 1.a Fig. 1.b Fig. 1.c

Física I-Ing. Civil Página 1


Un péndulo “en solitario” oscila libremente, con una frecuencia característica. Dos péndulos están acoplados cuando el movimiento de uno afecta al otro; es

decir, las oscilaciones de cada péndulo se ven “perturbadas” por las del otro. El acoplamiento es óptimo (máxima “perturbación”) cuando los dos péndulos

son “iguales” (en el sentido de que tienen la misma frecuencia). ¿Cómo se acoplan los osciladores?: mediante el hilo que une los péndulos (figura izquierda), mediante el campo magnético de los imanes (figura derecha1).

Si hacemos oscilar sólo uno de los péndulos, veremos que poco a poco se va parando y el otro cada vez oscila con mayor amplitud. El proceso de alternancia entre las oscilaciones se repite hasta que, debido al amortiguamiento, ambos osciladores quedan en reposo.

MOVIMIENTO FORZADO – RESONANCIA.

Para mantener las oscilaciones en un sistema amortiguado, se debe introducir energía en el sistema; en este caso el oscilador se denomina forzado.

En el estado estacionario la energía introducida en el sistema por la fuerza impulsora durante un ciclo es igual a la disipada en un ciclo debido al amortiguamiento. La amplitud y por tanto, la energía en un sistema en estado estacionario, depende no solo de la amplitud del sistema impulsor sino también de la frecuencia. Si la frecuencia impulsora es igual a la frecuencia natural del sistema, este oscilara con una amplitud mucho mayor que la propia amplitud de la fuerza impulsora. Este fenómeno se denomina resonancia. En este caso la energía absorbida por el sistema es máxima.

En la figura se muestra la respuesta en amplitud de la oscilación forzada, en el estado estacionario. Como podemos observar a partir de la fórmula o la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye



rápidamente cuando la frecuencia de la oscilación forzada se hace mayor o menor que la frecuencia propia del oscilador.

La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración coincide con el periodo de vibración característico de dicho cuerpo.

En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza.

Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse

ONDAS ESTACIONARIAS.


http://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_de_resonancia

http://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADodo_de_oscilaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADodo_de_oscilaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza


Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos movimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. Pero la onda estacionaria NO ES una onda viajera, puesto que su ecuación no contiene ningún término de la forma kx−wt . Por sencillez, tomaremos como ejemplo para ilustrar la formación de ondas estacionarias el caso de una onda transversal que se propaga en una cuerda sujeta por sus extremos en el sentido de izquierda a derecha (→); esta onda incide sobre el extremo derecho y se produce una onda reflejada que se propaga en el sentido de derecha a izquierda (←). La onda reflejada tiene una diferencia de fase de radianes respecto a la incidente. La superposición de lasπ dos ondas, incidente y reflejada, da lugar, en ciertas condiciones, a ondas estacionarias.

Ecuación de la onda incidente, sentido (→): y1=A cos (kx−wt ) [1a]

Ecuación de la onda reflejada , sentido (←):y2=A cos (kx+wt+π ) [1b]

En las ecuaciones [1a] y [1b], k representa el número de ondas k = 2 / π λ y ω es la frecuencia angular = 2 /Tω π , siendo y Tλ la longitud de onda y el periodo, respectivamente. El resultado de la propagación simultánea de ambas ondas, incidente y reflejada, es el siguiente:

y= y1+ y2=A cos (kx−wt )+A cos ( kx+wt+π )=A senkx sinwt [2]

El término senwt representa la dependencia temporal, mientras que 2 A sen kx es la amplitud, la cual obviamente depende de la posición x. Es decir, los distintos puntos de la cuerda vibran con la misma frecuencia angular pero conω diferentes amplitudes.

Significado físico de la superposición expresada por la ecuación [2].

Como los puntos extremos de la cuerda están fijos por hipótesis, la vibración en ellos tiene que ser nula; es decir, si la cuerda donde se propagan las ondas tiene longitud L, en los extremos x = 0 y x = L han de verificarse en cualquier instante las condiciones siguientes:

y|x=0=A sen 0=0 , y|x=L=A senkL=0 [3]

De la condición expresada por la ecuación [3] se deduce que:

kL = n (n = entero) → π2πλ

L=nπ → L=nλ2

[4]

La ecuación [4] quiere decir que aparecen ondas estacionarias sólo en aquellos casos que cumplan la condición de que la longitud de la cuerda sea un múltiplo entero de la semilongitud de onda.



En una onda estacionaria se distinguen los puntos nodales (o simplemente nodos), que son aquellos puntos en que la amplitud es nula, es decir, posiciones donde no hay vibración; los vientres o antinodos de la onda estacionaria, por el contrario, son los puntos en donde la vibración se produce con la máxima amplitud posible. La distancia entre dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda. En efecto, un nodo cualquiera, situado en la posición xm, cumple la condición

senk xm=0 → k xm=mπ → xm=mλ2

Donde m toma todos los valores sucesivos m = 1, 2,..., n-1.

La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de longitud L es la que corresponde a n = 1 en la ecuación [4]. Ésta se denomina frecuencia fundamental, y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodos intermedios entre sus dos extremos. La siguiente posibilidad en la ecuación [4], el caso n = 2, se llama segundo armónico, y presenta un nodo intermedio. En la figura 1 aparece una representación de diversos armónicos.

Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda

En una cuerda de densidad lineal µ (masa por unidad de longitud) sometida a la tensión T, la velocidad de propagación de una onda viene dada por:



v=√ μT

Considerando además la relación entre la velocidad de propagación, la frecuencia y la longitud de onda, v=fλ , puede demostrarse que las frecuencias para las que se observarán ondas estacionarias en una cuerda están dadas por:

f n=n

2L √ μT

IV. MATERIALES E INSTRUMENTOS

Resorte y pesas



Papel carbón Billa Regla patrón Accesorios del soporte universal Accesorios del soporte universal



V. PROCEDIMIENTO

Movimiento parabólico

1. Se dispone de una rampa con canal guía que permite lanzar una billa en caída parabólica, con velocidad inicial horizontal.



2. El proyectil debe ser colocado en la parte superior del canal guía de modo que se deslice por su propio peso, evitando en lo posible impulsarlo con la mano.

fig.1

3. La disposición de la rampa se muestra en la fig.1

4. Coloque en el piso un papel blanco y sobre ella papel carbón.



5. Con una plomada establezca el pie de la vertical del punto final del canal guía.

6. Deje caer la billa y determine para diferentes alturas Y, (por lo menos 8), distancia horizontal X que se desplaza. Repita en cada caso tres veces (tres impactos) y anote el promedio en la TABLA I.

VI. DATOS EXPERIMENTALES



TABLA I

VII. RESULTADOS

1. Grafique Y con X. Determine su fórmula empírica ,interprete y compare con el resultado esperado


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0f(x) = − 0.0745557363828357 x² − 0.141926909779585 x + 0.127577370200983R² = 0.988963491780592

GRAFICA HALTURA (Y)- DISTANCIA(X)

Series2

Polynomial (Series2)

DISTANCIA (X)

ALTU

RA =

(Y)

y(cm) x(cm) Vy(cm/s)

90 34.0 80 31.4 70 29.5 60 28.0 50 25.6 40 20.2 30 19.7 20 16.7


a) La ecuación de la trayectoria obtenida en forma experimental es: y = -0.0746x2 - 0.1419x + 0.1276, que representa la ecuación de una trayectoria parabólica. y = -0.0746x2 - 0.1419x + 0.1276 y - 0.1951 = -0.0746(x + 0.9511)⇒ 2

donde el vértice es (-0.9511; 0.1951)

COMENTARIO: Teóricamente el vértice de la parábola debería ser (0; 0), ya que el punto de inicio del eje de coordenadas se ha considerado en el punto final del canal guía. De la ecuación obtenida observamos que el vértice de la parábola no coincide con el inicio de los ejes coordenados, esta pequeña distorsión se pudo haber ocasionado por el error sistemático de los instrumentos y materiales utilizados (de la regla), y de errores estadísticos (estimación de las cifras), además de factores atmosféricos del lugar donde se realiza la experiencia etc.

2. A partir del resultado anterior, determine la velocidad inicial horizontal.

a) Comparando la ecuación teórica de la trayectoria de un proyectil (billa) con la ecuación de la trayectoria obtenida con el graficador de la hoja de cálculo Excel.

Ecuación teórica: y=xtgθ−g sec2θ2V o

2 x2

Ecuación empírica obtenida:

y=−0.1419x−0.0746 x2−0.1276

En teoría, para nuestra experiencia, el ángulo θ=0 ° y g=9.8m /s2, pero en el experimento dicho ángulo ha variado debido a los errores ya antes mencionados, 0.1276 es el margen de error que tiene a cero.

b) De las ecuaciones anteriores se obtiene:

i. Tgθx=−0.1419 x

θ=Arctg (−0.1419)

θ=−8.1 °



ii. 0.0746 x2=−gsec2θ2V o

2 x2

−0.0746 x2=−(9.81)(sec(−8.1°))2

2V o2 x2

0.0746=(9.81)(sec(−8.1 °))2

2V o2

V o=√(9.81)(sec(−8.1° ))2

2 (0.0746)=8.19m /s

c) Por lo tanto hallamos la velocidad inicial horizontal (V ¿¿ox )¿:

V ox=V o cosθ

V ox=(8.19)cos (8.1 °)

V ox=8.11m/ s

3. Complete en la TABLA II, calcule para cada caso la velocidad vertical final con Vy=(2gy)1/2.

Para gravedad: g=9.81=981cm/s2

TABLA II

y(cm) x(cm) Vy(cm/s)

90 34.0 420.21

80 31.4 396.18

70 29.5 370.59

60 28.0 343.10

50 25.6 313.21

40 20.2 280.14

30 19.7 242.61

20 16.7 198.10



4. Interprete el resultado anterior y caracterice el movimiento.

De la TABLA II podemos apreciar que la velocidad vertical final es directamente proporcional a la altura desde donde cae el objeto es decir, a medida que la altura desde donde cae el objeto aumenta, la velocidad final del mismo aumentara.

Este comportamiento se debe porque es un movimiento rectilíneo uniformemente variado con aceleración = gravedad, constante que actúa en el mismo sentido del movimiento, esto hace que a mayor altura recorrida la velocidad final aumente.

Pero debemos advertir que esta tendencia solo se cumple hasta cierta altura del área de influencia de la gravedad.

VIII. CUESTIONARIO

1. Un grifo deja caer gotas de agua a intervalos iguales de tiempo. Cuando una determinada gota B empieza a caer libremente, la gota precedente A ha descendido ya 0.3m .Determinar la distancia que habrá descendido la gota A durante el tiempo en que la distancia entre A y B haya aumentado en 0.9m

IMAGEN I



a) Analizando en la IMAGEN I se obtiene:

0.3− y+x=1.2

x− y=0.9………………….(1)

b) Hallamos las alturas x e y aplicando la fórmula de caída libre:

h=va t+12g t 2

Para (∆x)

x=v A t+12

(9.81 ) t 2…………………(2)

Para (∆y)

y=0+12g t 2

y=12

( 9.81 ) t 2……………………… ..(3)

c) Hallando la velocidad de A

v f2=v i

2+2 gh

vA2=0+2 (9 .81 )(0 .3)

vA❑=2.43m/s

d) Remplazando la ecuación (2) y (3) en (1) para obtener (t)

vA t+12

(9.8 ) t 2−12

(9.8 ) t 2=0.9

vA t=0.9m /s

(2.43) t=0.9

t=0.37 s

Entonces de la ecuación (2), la distancia X ser a:

x=(2.43 ) (0.37 )+ 12(9.81)(0.37)2

X=1.57m



2. Un hombre de pie en una ladera que forma un ángulo α con la

horizontal lanza una piedra con una rapidez vo con un ángulo θ sobre la horizontal.

A) Probar que la piedra llega a una distancia s, en la parte inferior de la

pendiente, tal que s=

2v°2 sen(θ+α )cosθ

gcos2α

a) Hallamos el tiempo cuando la piedra llega a su altura máxima:

En y ' la gravedad : g=gcosα

Aplicamosla ecuacion:V fy '=V oy '−¿ ,

V fy '=V osen (θ+α )−g (cosα ) tpara la altura max ima : V fy '=00=V o sen(θ+α )−g(cos α )t

t=V o sen (θ+α )g(cos α )

por lo tan to el tiempo total( t t ) es :

t t=2V o sen(θ+α )g(cos α )



b) Hallamos la distancia S aplicando las ecuaciones de MRUV

En X ' la gravedad g=gsenα , X '= SAplicamos la ecuacion: x'=V ox' t+1/2 gt2

S=cos(θ+α )t+12g(sen α )t2

S=V ocos (θ+α )[2V o sen(θ+α )g(cos α ) ]+1

2g( senα )[2V o sen(θ+α )

g(cos α) ]2

S=2V

o2 sen(θ+α )

gcos α [cos(θ+α )+sen (θ+α )sen αcosα ]

S=2V

o2 sen(θ+α )cos θ

gcos2α

B) Mostrar que para valores dados de vo y α , el mayor valor de (S) se

obtiene con θ = 450

-α /2 y viene dado por smax =

v°2 (1+senα )

gcos2α

a) Procedemos a derivar la ecuación de la posición (S), obtenida

anteriormente con respecto al ángulo θ de lanzamiento.



dSdθ

=ddθ

(2V

o2sen (θ+α )cosθ

gcos2α)

dSdθ

=2V

o2

gcos2αddθ

( sen (θ+α )cosθ )

para hallar el angulo θ que max imise S , igualamos :dSdθ

=0

⇒2V

o2

gcos2α

ddθ

( sen(θ+α )cosθ)=0

⇒ddθ

( sen(θ+α )cos θ)=0

⇒ cos(θ+α )cos θ+sen (θ+α ) senθ=0⇒ cos(2θ+α )=0→2θ+α=900→α=900−2θ

⇒θ=45o−α2

b) Para poder hallar smax , reemplazamos la relación de angulos obtenida anteriormente.

Por lo tan to para θ=45o−α2

Smax=2V

o2 sen(θ+900−2θ)cosθ

g cos2α

Smax=2V

o2 sen( 90−θ )cosθ

g cos2α

Smax=V

o22cos2θ

g cos2α=V

o2(1+cos (2θ ))

gcos2 α

Smax=V

o2(1+cos (90−α ))

g cos2α

Smax=V

o2(1+sen α ))

g cos2α



CONCLUSIONES

Esta práctica nos ha ayudado a analizar experimentalmente los conceptos que se aprenden en la teoría y nos ha ayudado visualizar los movimientos de manera directa. y podemos concluir que en la teoría se obvian algunos fenómenos que afectan el movimiento, tales como la masa, el viento, etc.

Para realizar el experimento de un fenómeno de manera correcta, se debe repetir un número de veces, para lograr que los resultados que vamos a obtener sea lo más cercano al valor verdadero , la ubicación, el uso correcto y el estado de los elementos que se están utilizando son muy importantes, para que de esta forma, se pueda obtener el resultado esperado.

SUGERENCIAS

En el experimento, los instrumentos a utilizar estaban incompletas faltaron algunos, como el nivel y la plomada, y esto dificultó el desarrollo adecuado el experimento. Se recomienda contar en lo posible con todos los materiales e instrumentos a utilizar y si es que no hubiera lo suficiente se debería hacer una colecta entre los alumnos para asi comprar algunos instrumentos que hacen falta y si no fuera asi podemos realizar una donación voluntaria


http://www.monografias.com/trabajos12/elorigest/elorigest.shtml


de algún instrumento para ello el profesor deberá darnos un alcance de que instrumentos hace falta en el laboratorio.

IX. BIBLIOGRAFIA

Física general y experimental Física experimental J. Goldemberg. Vol. I Serway-beichner http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/

comp_movimientos/parabolico.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/parabolico/

parabolico.htm http://www.acienciasgalilei.com/public/forobb/viewtopic.php?t=1347


http://www.acienciasgalilei.com/public/forobb/viewtopic.php?t=1347

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/parabolico/parabolico.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/parabolico/parabolico.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/comp_movimientos/parabolico.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/comp_movimientos/parabolico.htm

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