Pr actica 1 Numeros´ realesgalois.azc.uam.mx/mate/LIBROS/matematicas10a.pdfTe oricas de An alisis...

Teoricas de Analisis Matematico (28) - Practica 1 - Numeros reales

Practica 1

Numeros realesEn esta unidad estudiaremos las propiedades de los numeros reales. Si bien en los examenesno suele haber problemas especıficos de este tema, dichas propiedades son las herramientasfundamentales para el resto de los contenidos que conforman la materia y resulta imposibleseguir con el programa si no nos aseguramos de entenderlas.

Hasta el momento conocemos distintos conjuntos de numeros:

Naturales, N = {1, 2, 3, 4, . . .}, que sirven para contar;

Enteros, Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}, que surgen al agregarle los negativos (u opues-tos) a los naturales;

Racionales, Q, que son todos las fracciones con numerador y denominador entero y

denominador distinto de cero:Q ={ a

b/ a ∈ Z; b ∈ Z; b 6= 0

}. Por ejemplo,

12

;−1027

;1

1000y −37

3son numeros racionales.

Cada uno de estos conjuntos resulta estar incluido en el anterior: N ⊂ Z ⊂ Q.

Algunas observaciones sobre los numeros racionales:

Los numeros racionales tienen dos operaciones llamadas suma, +, y producto, ·, quesatisfacen ciertas reglas. Estas reglas se llaman axiomas, son nueve y se pueden ver enla entrada “Axiomas de cuerpo”. Ademas, dados dos numeros racionales x e y siemprepueden compararse, es decir, siempre vale una de las siguientes afirmaciones: o bienx < y, o bien x > y, o bien x = y. Los axiomas y el orden hacen que Q sea un cuerpoordenado.

Cada numero racional admite una expresion decimal finita o periodica y cada expre-sion decimal finita o periodica representa un numero racional. Por ejemplo:

65= 1, 2

23= 0, 6 0, 381 =

378990

¿Como pasar de la expresion decimal de un numero a una fraccion y viceversa? En laentrada “Fracciones y desarrollo decimal” mostramos como hacerlo en algunos ejem-plos.

Area de Matematica - Ciclo Basico Comun - Universidad de Buenos Aires 1

http://www.mate.cbc.uba.ar/


Los numeros racionales pueden representarse en una recta donde se fijan el cero y

la unidad de longitud, es decir el uno. Por ejemplo, los numeros −43

;12

; 2, 2 y 3 serepresentan

−43

•12

•2, 2•

3••

Densidad. Entre dos numeros racionales distintos siempre hay otro racional. Por ejem-

plo, entre9

10y 1, podemos ubicar el numero

1920

, ya que9

10<

1920

< 1 y entre 3, 999 y 4encontramos el 3, 9999;

3, 999 < 3, 9999 < 4.

En realidad, de esta afirmacion deducimos que entre dos numeros racionales siemprehay infinitos numeros racionales (tal vez sea necesario pensarlo un rato y convencersede que es cierto).

Sin embargo, si lograramos marcar todos los numeros racionales en una recta, igual nos que-darıan puntos sin marcar. Por ejemplo, el punto que representa al valor

√2, un numero que

aparece naturalmente si queremos medir el largo de la hipotenusa del triangulo rectangulocuyos catetos miden 1:

1

1

√2

En la entrada “Raız de dos” hay una demostracion de que√

2 no es racional, es decir, de que√2 no puede escribirse como un cociente de numeros enteros.

Si a los numeros racionales les agregamos todos los numeros que se necesitan para no dejaragujeros en la recta, obtenemos los numeros reales. Al conjunto de los numeros reales losvamos a denotar con la letra R.

¿Que podemos decir de los numeros reales?

Cada numero real admite un desarrollo decimal. Los numeros que tienen desarrolloinfinito y no periodico son los numeros ”nuevos”, que no son racionales, y los vamosa llamar irracionales. Por ejemplo, el numero 0, 10110111011110... es irracional.




Densidad. Entre dos numeros reales siempre hay otro numero real. Por ejemplo, entre1, 41 y

√2 podemos ubicar al 1, 41411 ya que

1, 41 < 1, 41411 <√

2.

Como antes, decir que entre dos numeros reales siempre hay otro real, es lo mismo quedecir que entre dos numeros reales hay infinitos reales (como antes, pensarlo un rato).

Los axiomas de cuerpo ordenado que mencionamos anteriormente son comunes tantoa los numeros racionales como a los reales.

A continuacion repasaremos como representar algunos subconjuntos de los numeros reales.

1. Intervalos y otros subconjuntos de la recta real

Aunque ya los usamos cuando estudiamos el dominio y la imagen de funciones, vamos arecordar que son los intervalos y como los escribimos. Un intervalo esta formado por losnumeros reales que corresponden a los puntos de un segmento o una semirrecta de la rectareal. Puede incluir o no a los extremos del segmento o la semirrecta.Por ejemplo, el conjunto A = {x ∈ R/ x ≥ 1} corresponde a los puntos de la semirrectahacia la derecha de x = 1, incluyendo a x = 1:

1[

A este conjunto lo vamos a representar por A = [1,+∞).

El conjunto B = {x ∈ R/ − 1 < x ≤ 2} corresponde a los puntos del segmento compren-dido entre x = −1 y x = 2 (es decir, los puntos que se hallan a la derecha de x = −1 ysimultaneamente a la izquierda de x = 2), incluyendo a x = 2, pero no a x = −1:

−1 2](

En este caso, usamos la notacion B = (−1; 2] para representar a este conjunto.

En general, dado a ∈ R, se escribe

(a;+∞) para representar al conjunto {x ∈ R / x > a}, es decir, la semirrecta a laderecha de a sin incluir a a;




[a;+∞) para representar al conjunto {x ∈ R / x ≥ a}, es decir, la semirrecta a laderecha de a incluyendo a a.

De la misma manera, para representar una semirrecta a la izquierda de a, se escribe

(−∞; a) para el conjunto {x ∈ R / x < a}, que no contiene a a;

(−∞; a] para el conjunto {x ∈ R / x ≤ a}, que contiene a a.

Dados dos numeros reales a y b con a < b, los intervalos que representan segmentos conextremos en a y en b se representan como

(a; b), [a; b), (a; b] y [a; b],

donde el parentesis indica que el extremo correspondiente no pertenece al conjunto y elcorchete, que sı. Siguiendo el lenguaje de los segmentos, a y b se llaman los extremos delintervalo. Veamos algunos ejemplos:

(3; 5) = {x ∈ R/ 3 < x < 5} (ni 3 ni 5 pertenecen al intervalo). A los intervalos queno contienen a ninguno de sus extremos los llamamos abiertos.

[3; 5] = {x ∈ R/ 3 ≤ x ≤ 5} (3 y 5 pertenecen al intervalo). A los intervalos queincluyen a ambos extremos los llamamos cerrados.

(3; 5] = {x ∈ R/ 3 < x ≤ 5} (3 no pertenece al intervalo pero 5 sı).

[3; 5) = {x ∈ R/ 3 ≤ x < 5} (3 pertenece al intervalo pero 5 no).

Al ya saber representar y describir segmentos de la recta real, vamos a presentar algunosejemplos de como podemos describir otros conjuntos de numeros reales como intervalos ocomo union de intervalos.

Ejercicio 1. Graficar el conjunto A = {x ∈ R/ 7 ≤ 2x + 1 ≤ 9}.

SolucionLa condicion

7 ≤ 2x + 1 ≤ 9

que define a A significa que los elementos de este conjunto son los numeros reales quecumplen simultaneamente las dos desigualdades siguientes:




7 ≤ 2x + 1 y 2x + 1 ≤ 9.

Cada una de estas desigualdades se llama una inecuacion. Podemos resolver cada una delas dos inecuaciones por separado y luego ver que valores son soluciones de ambas, peroveamos como resolverlas juntas. Para hacerlo, llevaremos la expresion

7 ≤ 2x + 1 ≤ 9

a otra equivalente, es decir con el mismo conjunto como solucion, y mas simple, tenien-do siempre presente que nuestro objetivo sera llegar a determinar que desigualdades debecumplir el numero x que estamos buscando.Empecemos restando 1 en todos los miembros:

7 ≤ 2x + 1 ≤ 9restando 1−→ 7− 1 ≤ 2x + 1− 1 ≤ 9− 1.

De esta manera, observamos que en el miembro del medio se cancelan dos terminos:

7− 1 ≤ 2x��+1��−1 ≤ 9− 1 −→ 6 ≤ 2x ≤ 8.

Luego dividimos por 2 en todos los miembros, pero atencion:

si dividieramos por un numero negativo, tendrıamos que invertir el sentido de lasdesigualdades,

62≤ 2x

2≤ 8

2

simplificando−→ 3 ≤ x ≤ 4.

Entonces el conjunto A se puede escribir como

A = {x ∈ R/ 3 ≤ x ≤ 4} = [3; 4],

cuya representacion en la recta es

0 1 2 3 4 5][

2




Ejercicio 2. Escribir como un intervalo o una union de intervalos y representar en larecta el conjunto

B = {x ∈ R/ (x− 2)(x + 4) < 0}.

SolucionAntes de resolver, recordemos que, por la regla de los signos, un producto de dos factoreses positivo (es decir, mayor que cero) cuando ambos factores tienen el mismo signo, y esnegativo (o sea, menor que cero) en los otros casos. Por ejemplo:

2 · 3 > 0 ; (−2)(−3) > 0 ; 2 · (−3) < 0 ; (−2) · 3 < 0

Para que (x− 2)(x + 4) sea negativo, hay dos casos posibles

a) x− 2 > 0 y x + 4 < 0

o bien

b) x− 2 < 0 y x + 4 > 0

a) Despejando, vemos que esto ocurre si y solo si

x > 2 y x < −4;

pero estas dos condiciones no pueden cumplirse simultaneamente. Un numero no pue-de ser menor que −4 y al mismo tiempo mayor que 2. El caso a), por lo tanto, noproduce soluciones.

−4 2()

b) En este caso, debe ser x < 2 y simultaneamente x > −4:

−4 2)(

ası, tenemos que si x cumple la desigualdad es porque esta en el intervalo (−4; 2), quese representa en la siguiente figura:




−4 2)(

Al unir lo que obtuvimos en a) y en b), tenemos

B = ∅ ∪ (−4; 2) = (−4; 2).

2


C ={

x ∈ R/2x + 1x + 3

≥ 1}

.

SolucionPrimero llevemos la desigualdad

2x + 1x + 3

≥ 1

a otra equivalente pero donde, en vez de comparar una fraccion con 1, se compara otrafraccion con 0, ya que en este caso podemos apelar a la regla de los signos para resolverla,como hicimos en el ejemplo anterior.

2x + 1x + 3

≥ 1restando 1−→ 2x + 1

x + 3− 1 ≥ 0

Reescribamos el termino que aparece en el lado izquierdo de la desigualdad como una unicafraccion,

2x + 1x + 3

− 1comun denominador

=2x + 1− (x + 3)

x + 3=

2x + 1− x− 3x + 3

y finalmente obtenemos que la desigualdad original es equivalente a

x− 2x + 3

≥ 0.

Por la regla de los signos, para que la fraccionx− 2x + 3

sea mayor o igual que cero, hay doscasos posibles

a) x− 2 ≤ 0 y x + 3 < 0

o bien

b) x− 2 ≥ 0 y x + 3 > 0

Notemos que el denominador nunca puede ser cero.




a) Esto vale si, y solo si,x ≤ 2 y x < −3.

Veamos graficamente cuando se cumplen ambas condiciones en simultaneo:

−3 2])

Nos da el intervalo (−∞;−3).

b) Esta situacion ocurre si y solo si

x ≥ 2 y x > −3.

Observemos en el grafico cuando se cumplen ambas condiciones en simultaneo:

−3 2[(

Esto nos da el intervalo [2;+∞).

Luego, la solucion final, que es la union de las soluciones de los casos a) y b), es

C = (−∞;−3) ∪ [2;+∞)

que representamos graficamente:

−3 2) [

2


D = {x ∈ R/ |x− 3| < 2}.

SolucionEmpecemos estudiando cuales son los numeros reales que satisfacen que |x − 3| < 2. Yavimos que |x− 3| expresa la distancia que hay entre el numero x y el 3, de modo que busca-remos todos los numeros reales que disten del 3 en menos que 2, es decir




1 3 5( )

Algebraicamente, tenemos que

|x− 3| < 2 ←→ −2 < x− 3 < 2sumando 3←→ 1 < x < 5

y, por lo tanto, el conjunto

D = (1; 5).

2

Con este material se puede hacer hasta el ejercicio 6 de la Practica 2.

2. Cotas superiores y supremo

Ya mencionamos que los numeros racionales y los numeros reales satisfacen los axiomas decuerpo ordenado. Sin embargo, los numeros reales satisfacen un nuevo axioma que permitedistinguirlos de los racionales, el axioma de completitud. Finalizaremos esta seccion con elenunciado de este axioma. Para esto, primero necesitamos algunas definiciones.Dado un subconjunto A de numeros reales, decimos que un numero K es cota superior de Asi en la recta todos los elementos de A estan a la izquierda de K. En otras palabra, si todoslos elementos de A son menores o iguales que K: para todo a ∈ A, a ≤ K.Podemos visualizar esta nocion en la recta numerica:

K

A

Si el conjunto A tiene una cota superior, decimos que A esta acotado superiormente.Veamos algunos ejemplos:

el conjunto (−∞; 2) esta acotado superiormente, ya que todo x ∈ (−∞; 2) verifica quex ≤ 3, es decir 3 es una cota superior para (−∞; 2).




)3 7

22

Como marcamos en el dibujo,72

tambien es cota superior de (−∞; 2). Observemos que(−∞; 2) tiene muchas cotas superiores, por ejemplo, 100, π, 37, etc. Entre todas lascotas superiores, 2 es la mas chica posible.

para el conjunto{−1; 0;

52

}, 3 y

72

tambien son dos cotas superiores pero 2 no es cota

superior ya que52> 2

3 72

2−1 0 52

La menor de todas las cotas superiores del conjunto{−1; 0;

52

}es el

52

.

para{

x ∈ R/1x2 >

14

}el 2 es una cota superior y es la menor posible ya que si

1x2 >

14

entonces

x 6= 0 y x2 < 4 entonces

0 < |x| < 2 entonces

x 6= 0 y −2 < x < 4

)(( )30 2

el conjunto (2;+∞) no tiene una cota superior ya que contiene numeros arbitrariamen-te grandes.

otro conjunto que es obviamente no acotado es el de los numeros naturales.

Si el conjunto A es acotado superiormente, la menor de todas las cotas superiores se llamasupremo.




En los ejemplos que vimos recien, tenemos que 2 es el supremo de (−∞; 2) y de{

x ∈ R/1x2 >

14

}y

52

el de{−1; 0;

52

}.

Si s es el supremo de A vamos a escribirlo s = sup(A).Demos una definicion formal de supremo: si A es un conjunto de numeros reales, s es elsupremo de A si verifica las siguientes dos condiciones:

S1) s es cota superior de A y

S2) si t es otra cota superior de A, entonces s ≤ t.

Otra forma equivalente de definir el supremo es

S1) s es cota superior de A y

S2’) si r es un numero real positivo cualquiera, entonces s− r no es cota superior de A,es decir, siempre exite un a ∈ A tal que s− r < a ≤ s.

Ahora sı estamos en condiciones de presentar el

AXIOMA DE COMPLETITUD:Un conjunto de numeros reales no vacıo y acotado superiormente siempre tiene supremo.

El siguiente ejemplo muestra que los numeros racionales no verifican este axioma.Vamos a escribir R>0 por el conjunto de los numeros reales estrictamente mayores que ceroy Q>0 por el de los numeros racionales estrictamente mayores que cero.

Ejemplo. Consideremos los siguientes conjuntos:

A = {x ∈ R>0 : x2 < 2} y B = {x ∈ Q>0 : x2 < 2}.

Ambos conjuntos, A y B, son no vacıos y acotados superiormente. El numero√

2 es el su-premo de A ya que es la menor de las cotas superiores. Por otro lado, si nos restringimosa mirar a B dentro de los numeros racionales, no tiene supremo ya que toda cota superiorracional de B puede ser “mejorada” por otro racional mas cercano a

√2.

Ejercicio 5. Probar que 3 es el supremo del conjunto

C =

{3− 1

n/n ∈ N

}=

{3− 1, 3− 1

2, 3− 1

3, 3− 1

4, . . .

}.




SolucionPara ver que 3 es el supremo de este conjunto necesitamos chequear que es la menor de lascotas superiores. En otras palabras, analizaremos que se cumplen las condiciones S1) y S2’).

S1) Es claro que 3 es cota superior de C ya que todos los elementos de C se obtienen restandolea 3 un numero positivo.S2’) Dado un numero real positivo cualquiera r, queremos ver que 3− r no es cota superiorde C, es decir, que podemos encontrar un elemento de C mayor que 3− r. Por supuesto, ladificultad esta en ver esto cuando r es un numero positivo muy cerca de 0, porque si r esmuy grande, todos los elementos de C cumplen que son mayores que 3− r.Fijemos el numero r positivo pero muy pequeno. Busquemos un numero natural n tal que

3− r < 3− 1n< 3.

Para que esto suceda, n tiene que verificar que

3− r < 3− 1n< 3 o sea que r >

1n

es decir que n >1r

.

Recordemos que r es muy pequeno, o sea que1r

es muy grande pero, no importa que tangrande sea un numero, siempre podemos encontrar un natural que sea mayor dado que,como dijimos antes, los numeros naturales forman un conjunto no acotado. Ası, lo que ne-

cesitamos es tomar cualquier natural n >1r

para conseguir que 3− r < 3− 1n< 3. 2

Ejercicio 6. Decidir si el conjunto D = {x ∈ R/x2 + x− 6 ≤ 0} es acotado superior-mente y en caso afirmativo, encontrar sup(D).

SolucionPara decidir si existe el supremo del conjunto D tenemos que ver si es un subconjunto de Racotado superiormente. Para esto, analicemos si podemos describir a este conjunto como unintervalo o una union de intervalos.Los x ∈ D deben satisfacer que

x2 + x− 6 ≤ 0

es decir, quex2 + x− 6 = (x− 2)(x + 3) ≤ 0.

Ya vimos que, por la regla de los signos, este tipo de desigualdades se resuelven planteandolos dos casos posibles:




a) x− 2 ≤ 0 y x + 3 ≥ 0

o bien

b) x− 2 ≥ 0 y x + 3 ≤ 0

a) Esto vale si, y solo si,x ≤ 2 y x ≥ −3.

Graficamente, ambas condiciones se cumplen en:

−3 2][

Esto nos da el intervalo [−3; 2].

b) Esta situacion ocurre si, y solo si,

x ≥ 2 y x ≤ −3.

Es muy facil ver que estas dos condiciones no se pueden cumplir simultaneamente.

Luego, la solucion final, es la que obtuvimos en el caso a) ya que el caso b) no nos aportaninguna solucion. De este modo, el conjunto D puede escribirse como el intervalo

D = [−3; 2].

Una vez que reescribimos al conjunto D de esta forma, es inmediato responder que D es aco-tado superiormente. La mejor de todas las cotas superiores de D es, claramente, el numero 2ya que es una cota superior y, como pertenece al conjunto D, siempre verifica que cualquierotra cota superior de D es mayor que 2 y, por lo tanto, sup(D) = 2. 2

Comparando los dos ultimos ejemplos observamos que cuando un conjunto es acotado su-periormente, su supremo puede o no pertenecer al conjunto. En el caso en que el supremopertenece al conjunto diremos que es el maximo del conjunto.




3. Cotas inferiores e ınfimo

En forma similar a lo desarrollado en el apartado anterior, podemos introducir las nocionesde cota inferior e ınfimo.Una cota inferior de un conjunto A ⊂ R es un numero k ∈ R que es menor o igual que todoelemento de A. Se dice que el conjunto A ⊂ R esta acotado inferiormente si tiene alguna cotainferior.Por ejemplo, para el intervalo A = (3; 7), algunas cotas inferiores son 2,

52

y 3. Por otro lado,12

, 1 y 2 son cotas inferiores de B = [2;+∞), mientras que C = (−∞; 5) no esta acotadoinferiormente.

2 52

3( )

7

A = (3, 7)

112

2

B = [2,+∞)

C = (−∞; 5))5

Cuando un conjunto esta acotado inferiormente, nos preguntamos por la ”mejor” cota infe-rior posible; en este caso, se trata de buscar la mayor de las cotas inferiores del conjunto. Aesta ultima se la llama el ınfimo del conjunto. Si i es el ınfimo de un conjunto A, escribimosi = inf(A) y si el ınfimo del conjunto A pertenece a A lo llamamos mınimo.Por ejemplo, para los conjuntos A = (3; 7), B = [2;+∞) y C = (−∞; 5) representados en lafigura de arriba, tenemos que inf(A) = 3, inf(B) = 2 y C no tiene ınfimo.

Si A ⊂ R es un conjunto no vacıo y acotado inferiormente, el ınfimo de A es la mayor de lascotas inferiores de A; en otras palabras, es un numero i ∈ R que cumple las dos condicionessiguientes:

I1) i es una cota inferior de A,

I2) si d es una cota inferior de A, entonces d ≤ i.

Al igual que con el supremo de un conjunto, hay otra forma equivalente de definir el ınfimode un conjunto A: i ∈ R es el ınfimo del conjunto A si

I1) i es una cota inferior de A,




I’2) para cualquier r real positivo, existe un elemento a ∈ A tal que i ≥ a ≥ i + r.

Ejercicio 7. Considerar el conjunto A =

{2 +

1n

: n ∈ N}

. Determinar si A es acota-

do superiormente y/o inferiormente y hallar, si existen, el supremo y el ınfimo de A.

SolucionPara comenzar, escribamos algunos elementos de A e intentemos graficarlos aproximada-mente sobre la recta real.

A =

{2 +

1n

: n ∈ N}

=

=

{2 +

11

; 2 +12

; 2 +13

; 2 +14

; . . . ; 2 +1

10; . . . , 2 +

150

; . . .}

=

=

{3; 2;

73

;94

; . . . ;2110

; . . . ;10150

; . . .}

2 3•

52

•73

•94

•2110

•10150•

El dibujo aproximado que hicimos nos permite intuir que 3 = sup(A) y que 2 = inf(A).Demostraremos que estas dos afirmaciones son verdaderas.Observemos primero que si un elemento a pertenece a A es porque existe un numero natural

n tal que a = 2 +1n

.

Como n es natural,1n

es positivo y

2 +1n> 2.

De esta manera, todos los elementos del conjunto A resultan ser mayores que 2 y, por lotanto, 2 es una cota inferior.Por otro lado, a medida que el valor de n va creciendo, los valores correspondientes a loselementos de A van decreciendo pues

n < n + 1 =⇒ 1n + 1

<1n

=⇒ 2 +1

n + 1< 2 +

1n




Sabemos entonces que los valores de los elementos de A van disminuyendo a medida quetomamos numeros naturales mas grandes. Ası, el elemento mas grande que podemos en-contrar en el conjunto A se obtiene tomando n = 1, es decir 3. Por lo tanto, 3 es una cotasuperior de A.Contamos por el momento con que, cualquiera sea el valor de n,

2 < 2 +1n≤ 3.

Como 3 pertenece al conjunto A y es cota superior, 3 resulta ser el supremo (y el maximo)de A. Nos falta comprobar si 2 es el ınfimo.Ya vimos que 2 verifica la condicion I1) de ınfimo. Veamos si verifica la I’2).Sea r un numero real positivo cualquiera. Queremos encontrar un numero natural n tal que

2 < 2 +1n< 2 + r.

Como los numeros naturales forman un conjunto no acotado superiormente, siempre esposible encontrar (infinitos) valores de n tales que

n >1r

y para estos valores de n se va a verificar la desigualdad buscada.Por lo tanto, 2 = inf(A). Ademas, es claro que 2 /∈ A pues para que esto ocurra necesi-

tarıamos encontrar un valor de n para el cual1n

= 0, lo cual es imposible, por lo tanto,podemos asegurar que el conjunto A no tiene mınimo. 2

Con este material se puede completar la Practica 2.




ANEXO

A. Axiomas de cuerpo

El conjunto de los numeros racionales Q tiene dos operaciones: la suma o adicion, +, y elproducto o multiplicacion, que se indica con un punto, ·. Cada vez que sumamos o multipli-camos dos numeros racionales obtenemos otro racional, es decir, Q es cerrado con la sumay el producto. Estas dos operaciones verifican los siguientes axiomas:

Axiomas de la suma

Para todo x e y, x + y = y + x (la suma es conmutativa);

para todo x, y y z, x + (y + z) = (x + y) + z (la suma es asociativa);

existe un elemento, al que vamos a llamar cero, 0, tal que, para todo x, x+ 0 = 0+ x = x(existencia de elemento neutro para la suma);

para todo x, existe un elemento z tal que x + z = z + x = 0 (inverso para la suma);

para todo x e y, x · y = y · x (el producto es conmutativo);

para todo x, y y z, x · (y · z) = (x · y) · z (el producto es asociativo);

existe un elemento, al que vamos a llamar uno, 1, tal que, para todo x, x · 1 = 1 · x = x(existencia de elemento neutro para el producto);

para todo x distinto de 0, existe un elemento x−1 tal que x · x−1 = x−1 · x = 1 (inversopara el producto);

para todo x, y y z, x · (y + z) = x · y + x · z (el producto es distributivo respecto a lasuma).

Vamos a decir que un conjunto tiene una estructura de cuerpo si es cerrado por dos ope-raciones que verifican los axiomas que acabamos de ver. El conjunto de numeros reales, R,tambien es un cuerpo. Sin embargo, el conjunto de los numeros enteros, Z, no es un cuerpo




ya que no verifica el anteultimo de los axiomas, es decir, no todos los elementos no nulos deZ tienen un inverso para el producto, mas aun, los unicos enteros que tienen inverso son 1y −1.Una propiedad importante que tienen los cuerpos es que en ellos siempre se pueden resolverlas ecuaciones del tipo ax + b = c, para cualquier a 6= 0 y cualquier valor de b y c.

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B. Fracciones y desarrollo decimal

Sabemos que los numeros racionales son los que pueden expresarse de dos maneras: co-mo una fraccion de numeros enteros o como un numero decimal con desarrollo finito operiodico. Vamos a ver algunos ejemplos de como pasar de una forma a la otra.Para encontrar el desarrollo decimal de una fraccion, solo tenemos que dividir el numeradorde la fraccion por el denominador, es decir, hacer la division que expresa la fraccion. Ası, porejemplo:

52= 5 : 2 = 2, 5

56= 5 : 6 = 0, 3 = 0, 333 . . .

Tengamos siempre presente que no hay una unica fraccion que representa a un numero ra-cional. Solo podemos decir que es unica la fraccion si le pedimos que el numerador y eldenominador sean comprimos, es decir, que no tengan divisores comunes distintos de 1 y

−1. De este modo, las fracciones6

24;

28

;3

12y

14

representan al mismo numero racional.

Veamos como hacemos si tenemos la expresion decimal de un numero racional a y queremosobtener una fraccion

pq

que lo represente. En este caso, lo que en realidad estamos buscando

es un numero entero q tal que el producto q× a de como resultado otro numero entero.En primer lugar, consideremos el caso en que el numero racional a tiene desarrollo decimalfinito. El numero entero q que buscamos puede ser 10 elevado a la cantidad de dıgitos quetiene a detras de la coma y la fraccion que buscamos sera la que tiene en el numerador elnumero que se obtiene al suprimir la coma en a y en el denominador 10 elevado a la cantidadde dıgitos que hay detras de la coma.




Por ejemplo, si queremos encontrar una fraccion que represente al numero a = 72, 305 ve-mos que detras de la coma hay 3 dıgitos y que si multiplicamos

103 × 72, 305 = 72305 ∈ Z

por lo tanto,

72, 305 =72305

103 =723051000

=14461200

Un poco mas de trabajo requiere encontrar una fraccion que represente a un numero a cuyodesarrollo decimal es infinito y periodico. Tengamos siempre presente que lo que buscamoses un numero entero q tal que q× a sea entero. Como en este caso no tenemos finitos dıgitosdetras de la coma, no alcanzara con multiplicar por una potencia de 10. Tratemos de seguirel proceso en un ejemplo y busquemos una fraccion equivalente al numero

a = 0, 381 = 0, 381818181 . . . :

Primero multipliquemos por una potencia de 10 que deje delante de la coma toda laparte no periodica del numero a mas una copia del perıodo (detras de la coma soloquedara la parte periodica). En nuestro caso sera 103:

1000 × 0, 381 = 381, 81

Despues multipliquemos por otra potencia de 10 que deje delante de la coma solo laparte no periodica de a (puede ser 100 si no hay parte no periodica). En nuestro caso:

10 × 0, 381 = 3, 81

En esta instancia, solo tenemos que restar. Como ambas expresiones tienen la mismaparte decimal, al restar obtendremos un numero entero. Lo unico que nos queda esdespejar para encontrar los numeros enteros q y p buscados:

1000 × 0, 381 = 381, 81−

10 × 0, 381 = 3, 81

990 × 0, 381 = 378




Ası,

0, 381 =378990

=2155


C. Raız de dos

Veamos una demostracion de que√

2 no es un numero racional.Supongamos que es falso lo que queremos probar, es decir,

supongamos que√

2 es racional.

A partir de esta suposicion vamos a deducir que vale un absurdo, un enunciado que sabe-mos que es falso y, por lo tanto, nuestra suposicion sera incorrecta.Si√

2 es racional, sabemos que tienen que existir dos numeros enteros p y q, sin divisorescomunes salvo el 1 y el −1, y q 6= 0 tales que

√2 =

pq

.

Al pasar de miembro, nos queda

√2 q = p y elevando al cuadrado, 2 q2 = p2.

Esta expresion nos dice que p2 es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro numero. Y,por lo tanto, p es par, es decir p = 2k para algun k ∈ Z.Pero p2 = (2k)2 es un cuadrado perfecto, o sea es un numero entero al cuadrado, luego siuno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mınimo al cuadrado, o sea dos veces.Por lo tanto, como ya hay un 2 en la igualdad delante de q2, el otro 2 tiene que estar en el q2.Eso quiere decir que q2 tambien tiene que ser par y, por lo tanto q tambien es par.Pero si p es par y q tambien, p y q tienen un divisor comun, el 2, y habıamos supuesto queno.


Cintia Buxton, Lisi D’Alfonso, Flora Gutierrez, Gabriela Jeronimo, Gustavo Massaccesi, Juan Carlos Pedraza y

Juan Sabia (2015), Numeros reales, Teoricas de Analisis Matematico (28).



Teoricas de Analisis Matematico (28) - Practica 1 - Funciones

Practica 1

Funciones

Introduccion

Muchos fenomenos (naturales, economicos o sociales, entre otros) pueden medirse compa-rando distintas magnitudes que intervienen en ellos y se interrelacionan. Por ejemplo:

La posicion de un movil depende del tiempo.

El peso medio de los hombres depende de la edad.

El impuesto a las ganancias a pagar depende de los ingresos de un ciudadano.

Todos sabemos que si compramos nafta, lo que pagamos cambiara en relacion al volumen(cantidad de litros) de nafta que compremos. Las funciones son objetos matematicos que per-miten hacer explıcita dicha relacion expresando la dependencia de una magnitud respecto deotra u otras. Esta relacion puede representarse de diversas formas (por medio de formulas,graficos, diagramas y tablas, entre otras).

En lo que sigue, damos la nocion del concepto de funcion desde el punto de vista ma-tematico, observamos la importancia de sus graficos y propiedades, y fijamos la notacionnecesaria para poder describirlas.A continuacion, estudiamos las funciones mas usuales que son las herramientas con lasque trabajamos en Analisis. Comenzamos por las funciones lineales, las cuadraticas, las po-linomicas y las homograficas. El concepto de composicion y de funcion inversa nos permite,a partir de las funciones exponenciales, definir las funciones logarıtmicas. Tambien se venlas definiciones de las funciones trigonometricas basicas y se estudian la funcion modulo yotras funciones que vienen dadas por una definicion partida.




1. Generalidades

Ejemplo. Un avion viaja desde Buenos Aires hasta Bahıa Blanca sin escalas. El si-guiente grafico describe aproximadamente la altura en metros del avion en funcion deltiempo desde que partio de Buenos Aires hasta que llego a Bahıa Blanca:

60

1000

2000

3000

4000

5000

metros

10 20 30 40 50 minutos

El grafico anterior describe con bastante precision la relacion existente entre el tiempo y laaltura. A partir del grafico podemos, por ejemplo, afirmar lo siguiente:

El viaje total duro 60 minutos.

Durante los primeros 10 minutos, el avion ascendio.

Los siguientes 10 minutos, el avion viajo a una altura constante de 2000 metros.

Los siguientes 10 minutos, el avion siguio ascendiendo.

Entre los 30 y 40 minutos de vuelo, el avion viajo a 4000 metros de altura, que es laaltura maxima que alcanzo en este viaje.

A los 40 minutos comenzo a descender.

Entre los 40 y los 50 minutos el descenso fue mas abrupto que entre los 50 y los 60 mi-nutos (en los 10 minutos que pasaron entre los 40 y los 50 minutos el avion descendio3000 metros y en los siguientes 10 minutos el avion solo descendio 1000 metros).

A los 50 minutos, por ejemplo, el avion estaba a 1000 metros de altura.

Durante el viaje, la altura del avion vario desde 0 hasta 4000 metros.




Observando el grafico, ¿a que altura estaba el avion a los 25 minutos?

A partir de la situacion anterior, podemos dar algunas definiciones y precisiones sobre elconcepto de funcion. Si llamamos f a la funcion que relaciona la altura del avion con eltiempo, podemos decir:

Dominio: el lapso en el que nos interesa conocer la altura del avion es el tiempo queestuvo volando ası que, en este caso, es el conjunto de numeros que va entre 0 y 60,lo que se indica por el intervalo [0; 60] (por definicion, el intervalo [a; b] simboliza elconjunto de numeros reales que son al mismo tiempo mayores o iguales a a y menores oiguales a b). Al intervalo de tiempo en que nos interesa saber la altura del avion, vamosa llamarlo el dominio de la funcion f y lo escribimos Dom( f ). Es decir, en nuestro casoDom( f ) = [0; 60].

Nocion de funcion: en cada instante en [0; 60] el avion estuvo a una unica altura (cla-ramente, un avion no puede estar a dos alturas distintas al mismo tiempo) y esto esalgo que caracteriza a las funciones: para cada valor del dominio, una funcion f tomaunicamente un valor. Por ejemplo, a los 20 minutos la altura era de 2000 metros y nootra, y a los 60 minutos la altura era de 0 metros (estaba sobre tierra) y no otra. Note-mos, sin embargo, que en muchos momentos estuvo a la misma altura: por ejemplo,en todo instante entre los 30 y los 40 minutos el avion estuvo a 4000 metros de altura,pero insistimos en que es imposible que en un mismo instante estuviese a dos alturasdistintas.

Con esta restriccion, podemos dar ejemplos de conjuntos de puntos del plano que seangraficos de funciones y otros que no lo sean:

−3 x

y

g

El grafico anterior corresponde a una funcion g con dominio el intervalo [−3;+∞)

(por definicion, el intervalo [a;+∞) simboliza el conjunto de numeros reales que sonmayores o iguales a a): notemos que a cada elemento x de este conjunto representado




sobre el eje de las abscisas (eje horizontal o eje x), g le asigna un unico valor y sobre eleje de las ordenadas (eje vertical o eje y).

4

y1

y2

El grafico anterior no corresponde a una funcion, ya que no hay un unico valor asignadoa cada valor de x (en el grafico se muestra como, por ejemplo, al 4 sobre el eje x lecorresponderıan dos valores sobre el eje y).

Imagen: durante el vuelo, el avion pasa por todas las alturas que van desde 0 (cuandoesta en el suelo) hasta 4000 metros (que es la altura maxima alcanzada). El conjun-to de todos los valores que toma la segunda magnitud (la que se representa sobre eleje y) se llama imagen de la funcion f y lo escribimos Im( f ). Es decir, en nuestro ca-so Im( f ) = [0; 4000] (el conjunto de todos los numeros reales mayores o iguales a 0 ymenores o iguales a 4000).

A continuacion, damos la notacion que usamos para trabajar con funciones, es decir, hacemosexplıcito como describimos a las funciones con sımbolos matematicos:




Notacion: todas las funciones con las que trabajamos son funciones cuyo dominioes un conjunto A de numeros reales (el conjunto de todos los numeros reales se simbolizacon la letra R) y toman valores tambien reales. Esto lo escribimos de la siguiente forma

f : A→ R

lo que se lee “ f es una funcion que va de A en R”. Por ejemplo, para la funcion f que consi-deramos sobre la altura del avion del primer ejemplo, podemos escribir f : [0; 60] → R ydecir que f va del intervalo [0; 60] en R.Cuando nos queremos referir al valor que toma una funcion f en un valor x del dominio,escribimos f (x) y leemos “ f de x”. Por ejemplo, en el caso de la altura del avion, en vezde decir “a los 50 minutos el avion estaba a 1000 metros de altura” podemos escribirf (50) = 1000 y leer “ f de 50 es 1000”.

Como hemos visto en la situacion anterior, el grafico de una funcion nos permite dar unamuy buena descripcion del fenomeno que estamos estudiando. Por esta razon, uno de losobjetivos del curso es poder graficar funciones a partir de la informacion que se disponga.

Ejercicio 1. Entre todos los rectangulos de perımetro 10, se quiere describir comovarıa el area A del rectangulo en funcion de la longitud de la base b.

SolucionAquı tenemos dos magnitudes que se relacionan: el area del rectangulo y la longitud de labase. Podemos intentar escribir al area como funcion de la longitud de la base y hacer ungrafico.

Si el rectangulo a considerar es

b

h

tenemos que el dato sobre el perımetro se puede escribir como

2b + 2h = 10.




Por otro lado, sabemos que su area es

A = b.h.

Como queremos escribir el area en funcion de la longitud de la base, de la primera ecuacionpodemos obtener, despejando, que

h =10− 2b

2= 5− b.

Si reemplazamos el valor de h obtenido en la otra ecuacion, resulta que

A = b.(5− b) = 5b− b2.

Para distintos valores de b obtenemos distintas areas y, para notar esta dependencia, pode-mos escribir al area A del rectangulo como funcion de la longitud de la base b:

A(b) = 5b− b2.

Notemos que esta formula nos dice que el area es efectivamente una funcion de la longitud dela base ya que, para cada valor de b, A(b) toma un unico valor. Por ejemplo, si la base mide3 (b = 3), resulta que el area vale A(3) = 5.3− 32 = 6.

Analicemos ahora el dominio de la funcion A:

Los valores que puede tomar b son medidas de un lado de un rectangulo, con lo queseguro son numeros positivos (es decir, b > 0).

Como el perımetro es 10, la base b no puede ser tan grande como se quiera, porqueesta condicion sobre el perımetro da una restriccion para la longitud de la base. Pormuy pequena que sea la altura, siempre en el perımetro tenemos que sumar dos vecesla longitud de la base, ası que 2b < 10 o, lo que es equivalente, b < 5.

Por las dos consideraciones previas, podemos afirmar que, para que la situacion geometricaplanteada tenga sentido, b debe satisfacer la condicion 0 < b < 5 (lo que puede escribir-se b∈(0; 5) y se lee ”b pertenece al intervalo (0; 5)”). Esto nos da el dominio natural de lafuncion area A en este caso: Dom(A) = (0; 5).

Podemos resumir lo obtenido hasta ahora para la funcion area A con la notacion de funcio-nes introducida anteriormente:




A : (0; 5)→ R, A(b) = 5b− b2.

Notemos que este caso es diferente a la situacion del avion: ahora tenemos a la funcion Adada por una formula y no por un grafico. Vamos a hacer un grafico aproximado de estafuncion por medio de una tabla de valores para estudiar como se comporta. Para la tabla devalores, debemos tener en cuenta que los valores de b deben estar en el intervalo (0; 5) (losparentesis en el intervalo significan que los extremos no se consideran, los corchetes, que sı):

b A(b) = 5b− b2

0, 1 0, 49

0, 5 2, 25

1 4

1, 5 5, 25

2 6

2, 5 6, 25

3 6

3, 5 5, 25

4 4

4, 5 2, 25

4, 9 0, 49

Graficamos en un sistema de ejes cartesianos los puntos obtenidos:




0.1

0.49

0.5

2.25

1

4

1.5

5.25

2

6

2.5

6.25

3 3.5 4 4.5 4.9 b

A

Si completamos el grafico, nos da una idea de como es la funcion area A en funcion de labase b:

0.1

0.49

0.5

2.25

1

4

1.5

5.25

2

6

2.5

6.25

3 3.5 4 4.5 4.9 b

A

A partir de este grafico podemos determinar varias propiedades de la funcion A:




Crecimiento: La funcion A es creciente en el intervalo (0; 2, 5): a medida que tomamos valoresmas grandes de b en este intervalo, los valores de A(b) crecen cada vez mas.

Decrecimiento: La funcion A es decreciente en el intervalo (2, 5; 5): a medida que tomamosvalores mas grandes de b en este intervalo, los valores de A(b) se hacen cada vez mas pe-quenos.

Maximo: La funcion A toma su valor maximo en b = 2, 5 y el valor maximo que alcanza esA(2, 5) = 6, 25.

Notemos que, cuando la base tiene longitud b = 2, 5, la altura mide h = 5− b = 2, 5, con loque podemos afirmar que:

El area maxima entre todos los rectangulos de perımetro 10 la tiene el rectangulo que cumpleb = h = 2, 5 (que por tener igual medida de base y de altura resulta ser un cuadrado) y dichaarea maxima es igual a 6, 25.

2

(El cuadradito blanco al final de un renglon denota que la resolucion de un ejercicio o lademostracion de una propiedad que se estaba desarrollando ha finalizado.)

Con este material se puede resolver hasta el ejercicio 7 de la Practica 1.




2. Funciones usuales

En lo que sigue, vamos a repasar algunas familias de funciones conocidas que son las herra-mientas basicas de la materia.

2.1. Funciones lineales

Las funciones lineales son las funciones f : R→ R cuyo grafico es una recta:

f (x) = x4 f (x) = 4

f (x) = −x + 1

Toda funcion lineal tiene una expresion de la forma

f (x) = mx + b

donde m y b son numeros reales fijos. El grafico de esta funcion es la recta de ecuacion

y = mx + b.

Al numero m se lo llama la pendiente de la recta y a b, la ordenada al origen (notemos queb = f (0) es el valor en el que la recta corta al eje y o eje de las ordenadas, de allı sunombre). Por ejemplo, la funcion f (x) = 5x + 1 tiene como grafico una recta de pendientem = 5 y ordenada al origen b = 1.

Ejercicio 2. Hallar la formula de una funcion lineal f que cumpla f (2) = 1 yf (4) = 5 y graficarla.

SolucionResumamos en un cuadro la informacion que nos dan y que nos piden:




DATOS

f funcion lineal

f (2) = 1

f (4) = 5

OBJETIVO

formula de f .

grafico de f .

Como f es una funcion lineal, tiene una expresion de la forma

f (x) = mx + b,

donde m y b son numeros fijos que queremos encontrar.Sabemos que f (2) = 1 y, reemplazando x = 2 en la formula de f , obtenemos que

f (2) = m.2 + b.

En consecuencia, debe ser2m + b = 1.

De la misma manera, como f (4) = 5, al reemplazar x = 4 en la ecuacion de f se obtiene que

4m + b = 5.

Entonces m y b deben cumplir simultaneamente las dos ecuaciones:2m + b = 1

4m + b = 5

Para hallar m y b podemos restar la primera ecuacion menos la segunda y obtenemos ası elvalor de m:

(2m + b)− (4m + b) = 1− 5

2m + ��b− 4m− ��b = −4

−2m = −4

m =−4−2

m = 2.

Para obtener el valor de b, reemplazamos el valor de m en cualquiera de las dos ecuacionesoriginales y despejamos:

2m + b = 1 ⇐⇒ 2. 2 + b = 1 ⇐⇒ b = 1− 4 ⇐⇒ b = −3.




(Noten que si reemplazamos en la otra ecuacion, obtenemos el mismo resultado:

4m + b = 5 ⇐⇒ 4. 2 + b = 5 ⇐⇒ b = 5− 8 ⇐⇒ b = −3.)

Al reemplazar los valores hallados, m = 2 y b = −3, en la expresion de f (x) obtenemos laformula pedida f (x) = 2x− 3.

Todavıa nos falta hacer el grafico. Como sabemos que la funcion obtenida tiene por graficouna recta, bastara dibujar dos puntos para poder determinarla. Por ejemplo, podemos usarlos puntos (2, f (2)) = (2, 1) y (4, f (4)) = (4, 5) que nos dieron originalmente:

2 4

1

5

−3

Con esto, obtuvimos todo lo requerido. 2

Observaciones:

El valor donde el grafico corta al eje y es f (0) = −3 que es el valor de la ordenada alorigen b, como ya observamos.

Como al pedir f (2) = 1 y f (4) = 5, nos dieron dos puntos por donde tenıa que pasarel grafico de f y como dos puntos determinan una recta en el plano, la solucion a nuestroproblema es unica.

La funcion f es creciente (a medida que crece x, el valor de f (x) crece). Todas las rectascon pendiente positiva son graficos de funciones crecientes y las de pendiente negativa songraficos de funciones decrecientes. Las rectas de pendiente 0 corresponden a funcionesconstantes (es decir, funciones para las que f (x) vale siempre lo mismo independiente-mente del valor de x).




Ejercicio 3. Hallar la formula de la funcion f tal que su grafico es una recta de pen-

diente m = −12

que pasa por el punto P = (4, 3) y, luego, graficarla.

SolucionSabemos que:

DATOS

grafico de f es una recta

pendiente m = −12

pasa por P = (4, 3)

OBJETIVO

formula de f .

grafico de f .

Como el grafico de f es una recta, tenemos que f resulta ser una funcion lineal. Como la

pendiente de la recta es m = −12

, la formula de f sera

f (x) = −12

x + b,

para algun numero real b.

Como sabemos que el punto P = (4, 3) esta en el grafico de f ,

f (4) = 3.

Evaluando en x = 4, tenemos

f (4) = −12

. 4 + b = −2 + b.

Entonces−2 + b = 3,

con lo cualb = 5.

La funcion buscada es, entonces, f (x) = −12

x + 5.

Para graficarla, basta dar un par de puntos que esten en el grafico. El punto (4, 3) ya nos fuedado como dato. Evaluando x en cualquier valor distinto de 4, obtenemos otro punto. Porejemplo,




f (0) = −12

. 0 + 5 = 5,

es decir, el punto (0, 5) sera otro punto del grafico de f (notemos que, como se mencionoantes, 5 = f (0) es la ordenada al origen, y por lo tanto, el valor donde la recta corta al eje y).Graficando, obtenemos

4

5

3

con lo que se concluye el ejercicio. 2

Podemos observar que, en este caso, en el grafico se ve que la funcion f es decreciente (lo queconcuerda con el hecho de que su pendiente sea negativa).

Cuando modelamos una situacion, las funciones lineales son las mas sencillas para trabajar(aunque, lamentablemente, no toda situacion satisface una relacion lineal). En el siguien-te ejercicio vemos un caso donde un modelo lineal describe exactamente la situacion quequeremos estudiar:

Ejercicio 4. La boleta mensual de consumo de electricidad tiene un cargo fijo de $25y $0, 02 por cada KWH consumido.

1. Dar la funcion lineal f que dice cuanto se debe pagar (en $) en funcion de los KWHconsumidos.

2. Si Pedro consume en un mes 300 KWH, ¿cuanto debe pagar?

3. Si Pedro debe pagar $40, ¿cuanto consumio?

4. Representar graficamente la situacion.

SolucionResolvamos cada ıtem:




1. Primero, vamos a intentar encontrar la formula de la funcion f .

La ordenada al origen b de la funcion f corresponde al gasto que se hace cuando no seconsume electricidad, es decir, b = 25 (el cargo fijo).

Por cada KWH consumido, el precio aumenta en $0, 02, con lo que el gasto por x KWHconsumidos sera de 0, 02x.

Entonces, el costo total en $ cuando se consumen x KWH estara dado por la funcion

f (x) = 0, 02 x + 25.

Una salvedad a tener en cuenta en este caso es que, como la cantidad de KWH consu-mida siempre es un numero positivo o cero, la funcion f que nos interesa es una fun-cion lineal pero su dominio es Dom( f ) = [0;+∞), es decir todos los numeros realesmayores o iguales que 0.

2. Si Pedro consume 300 KWH en un mes, debe pagar f (300), es decir:

f (300) = 0, 02 . 300 + 25 = $31.

3. Si Pedro paga $40, buscamos la cantidad x de KWH tal que f (x) = 40, es decir

0, 02 x + 25 = 40⇔ 0, 02 x = 40− 25⇔ x =15

0, 02= 750.

Entoncesx = 750 KWH.

4. Representamos lo anterior en el siguiente grafico (en este caso usamos distintas escalaspara el eje x y el eje y porque las cantidades involucradas son de distinta magnitud).Para esto podemos usar los puntos que obtuvimos en los otros ıtems:

750300

31

40

25

$

KWH




Con esto terminamos de resolver el ejercicio. 2

Hay otro tipo de rectas en el plano que no son graficos de funciones (ya que a unmismo valor de x le corresponden distintos valores de y): las rectas verticales. Estas rectastienen una ecuacion del tipo x = a para un numero real a fijo y estan formadas por todoslos puntos del plano cuya primera coordenada es a.

a

x = a


2.2. Funciones cuadraticas

Las funciones cuadraticas son las de la forma f (x) = ax2 + bx + c, con a, b, c ∈ R fijosy a 6= 0.

Ya estudiamos una de estas funciones en el ejercicio donde se describe como varıa el area deun rectangulo de perımetro 10 en funcion de la base.

Ejemplo. Empecemos estudiando la funcion f : R → R definida por f (x) = x2 (esdecir, cuando a = 1, b = 0 y c = 0).

Para hacer un grafico aproximado confeccionamos una tabla de valores:




x f (x) = x2

−3 9

−2, 5 6, 25

−2 4

−1, 5 2, 25

−1 1

−0, 5 0, 25

0 0

0, 5 0, 25

1 1

1, 5 2, 25

2 4

2.5 6.25

3 9

Un grafico aproximado de esta funcion es

0

0, 25

1−1

1

2, 25

2−2

4

6, 25

3−3

9

f (x) = x2

Algunas observaciones:

La imagen de la funcion f , como se ve en el grafico, es Im( f ) = [0;+∞).

La funcion f es decreciente en el intervalo (−∞; 0) y creciente en el intervalo (0;+∞).




La funcion f solo se anula en x = 0. En el resto de su dominio, es decir en (−∞; 0)∪ (0;+∞),es positiva (es decir, para cualquier x < 0 o x > 0, f (x) toma valores positivos).

La funcion alcanza un mınimo en x = 0 y el valor mınimo que toma es f (0) = 0.

La curva obtenida se llama parabola. De hecho, el grafico de cualquier funcion cuadraticaes una parabola y todas las parabolas que son graficos de funciones resultan ser graficosde funciones cuadraticas. Otras funciones pueden tener graficos parecidos pero no sonparabolas.

Todas las parabolas tienen un eje de simetrıa (en este caso, la recta x = 0) y el puntodonde se corta este eje de simetrıa con el grafico se llama vertice de la parabola (en estecaso, el vertice es el punto (0, 0)).

El siguiente calculo auxiliar (sacar a factor comun y luego completar cuadrados) nos permiteescribir a las funciones cuadraticas de una forma util para describir sus propiedades:

ax2 + bx + c = a(

x2 +ba

x +ca

)= a

(x2 + 2

b2a

x +ca

)=

↓ ↓ ↓a 6= 0 factor comun

ba= 2

b2a

sumar y restarb2

4a2

= a(

x2 + 2b

2ax +

b2

4a2 −b2

4a2 +ca

)= a

((x +

b2a

)2

− b2

4a2 +ca

)=

↓x2 + 2

b2a

x +b2

4a2 =

(x +

b2a

)2

= a

((x +

b2a

)2

+4ac− b2

4a2

)= a

(x +

b2a

)2

+4ac− b2

4a

↓ ↓sumando fracciones distribuyendo a

Con esto obtuvimos otra escritura para una funcion cuadratica. Es decir, para constantes xv e

yv (mas precisamente, para xv = − b2a

e yv =4ac− b2

4a), podemos escribir cualquier funcion

cuadratica como




f (x) = ax2 + bx + c = a (x− xv)2 + yv.

Esta escritura nos permitira hacer un analisis detallado de la funcion cuadratica

f (x) = ax2 + bx + c.

Para poder obtener las propiedades de f , separaremos el analisis en dos casos: cuando a > 0y cuando a < 0.

Primer caso: Analicemos primero que pasa con

f (x) = a (x− xv)2 + yv para a > 0 :

Una expresion al cuadrado siempre es mayor o igual que cero (nunca es negativa). Por lotanto, tenemos que

(x− xv)2 ≥ 0

para todo x ∈ R (es un cuadrado) y vale 0 si y solo si x = xv.

Como a > 0,a (x− xv)

2 ≥ 0

para todo x ∈ R (es un producto de numeros no negativos) y vale 0 si y solo si x = xv.

Luego, sumando yv de ambos miembros,

f (x) = a (x− xv)2 + yv ≥ yv

para todo x ∈ R y vale la igualdad si y solo si x = xv.

Por lo tanto, la funcion cuadratica f toma valores siempre mayores o iguales que yv. Estoquiere decir que el valor mınimo que alcanza es yv y lo alcanza en x = xv. Es decir, el punto(xv, yv) es el vertice de la parabola que es grafico de f .

Como la funcion f tiene un mınimo, las ramas de la parabola deben ”ir hacia arriba” y laimagen de f es Im( f ) = [yv;+∞).Todo esto se puede ver en el siguiente grafico:




xv

yv

a > 0

Resumamos toda la informacion obtenida en este caso:

Funcion cuadratica f (x) = ax2 + bx + c con a > 0

El vertice de la parabola es (xv, yv) =

(− b

2a, f(− b

2a

))=

(− b

2a,

4ac− b2

4a

).

El eje de simetrıa de la parabola es la recta vertical de ecuacion x = − b2a

.

f puede escribirse como f (x) = a (x− xv)2 + yv.

El mınimo de f se alcanza en xv = − b2a

y el valor mınimo que toma f es

f (xv) = yv =4ac− b2

4a.

La imagen de f es Im( f ) =[

4ac− b2

4a;+∞

).

f es decreciente en(−∞;− b

2a

).

f es creciente en(− b

2a;+∞

).

Segundo caso: En forma analoga, se puede analizar ahora que pasa con

f (x) = a (x− xv)2 + yv para a < 0

y su grafico resulta




xv

yv

a < 0

La informacion que se obtiene en este segundo caso es:

Funcion cuadratica f (x) = ax2 + bx + c con a < 0

El vertice de la parabola es (xv, yv) =

(− b

2a, f(− b

2a

))=

(− b

2a,

4ac− b2

4a

).

El eje de simetrıa de la parabola es la recta vertical de ecuacion x = − b2a

.

f puede escribirse como f (x) = a (x− xv)2 + yv.

El maximo de f se alcanza en xv = − b2a

y el valor maximo que toma f es

f (xv) = yv =4ac− b2

4a.

La imagen de f es Im( f ) =(−∞;

4ac− b2

4a

].

f es creciente en(−∞;− b

2a

).

f es decreciente en(− b

2a;+∞

).

Por ultimo, podemos encontrar (cuando existan) los ceros o raıces de la funcion f , es decir,los valores de x tales que f (x) = 0. Si utilizamos la escritura anterior, tenemos que

a(

x +b

2a

)2

+4ac− b2

4a= 0⇔

(x +

b2a

)2

= −4ac− b2

4a2 ⇔(

x +b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2




y esta ecuacion tiene solucion cuando el miembro de la derecha es mayor o igual que cero,porque el miembro de la izquierda es un cuadrado. Como el denominador siempre es posi-tivo, basta pedir que b2 − 4ac ≥ 0 (si no, la funcion no tiene ceros y el grafico no toca el ejex). En este caso puede haber dos valores que sirven,

x1 +b

2a=

√b2 − 4ac

2ay x2 +

b2a

= −√

b2 − 4ac2a

con lo cual se deduce la siguiente afirmacion:

Si b2 − 4ac ≥ 0, los valores donde f (x) = ax2 + bx + c vale cero son

x1 =−b +

√b2 − 4ac

2ay x2 =

−b−√

b2 − 4ac2a

,

que son las formulas bien conocidas para calcular los ceros o raıces de una funcioncuadratica. Si b2 − 4ac < 0, la funcion cuadratica no tiene raıces, es decir, nunca vale0.

Ejercicio 5. Dada la funcion cuadratica f (x) = 2x2 − 4x− 6, determinar su imagen,en que intervalo crece, en que intervalo decrece, en que valor alcanza su extremo, en quevalores se anula, donde es positiva y donde es negativa.

SolucionPodemos resumir lo requerido por el ejercicio en un cuadro:

DATOS

Formulaf (x) = 2x2 − 4x− 6

OBJETIVO

Imagen.

Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Extremo.

Ceros.

Conjuntos de positividad y de negatividad.




Un metodo que nos va a resultar muy util a lo largo de todo el curso es obtener informacionde una funcion a partir de su grafico aproximado. En este caso, ya sabemos que, como f esuna funcion cuadratica, su grafico sera una parabola, ası que, en vez de dar una tabla devalores, usamos algunas de las propiedades que ya conocemos de estas funciones (observenque, para todas las cuentas a = 2, b = −4 y c = −6 pues f (x) = 2x2 − 4x− 6).

Primero, podemos calcular las coordenadas del vertice:

xv = − b2a

= −−42.2

= 1

y, entonces,yv = f (xv) = f (1) = −8,

con lo que resulta que el vertice es el punto (1,−8).

Tambien podemos calcular, si existen, las raıces (notemos ademas, que estos valores formanparte de lo que nos piden):

x1 =4 +

√16− 4.2.(−6)

2.2= 3 y x2 =

4−√

16− 4.2.(−6)2.2

= −1,

es decir f (−1) = 0 y f (3) = 0.

Por lo anterior, el grafico de la funcion f dada pasa por los siguientes tres puntos:

1

−8

−1 3

Con estos tres puntos, y sabiendo que el grafico es una parabola de vertice (1,−8), podemoshacer un grafico aproximado de f :




1

−8

−1 3

(notemos que el valor de a = 2 > 0 y las ramas de la parabola van ”hacia arriba” comodijimos anteriormente.)Al estudiar el grafico, sin necesidad de memorizar una larga lista de formulas para funcionescuadraticas (solo calculamos el vertice y las raıces), podemos obtener toda la informacionpedida de la funcion f :

La imagen de la funcion es Im( f ) = [−8;+∞).

La funcion decrece en (−∞; 1) y crece en (1;+∞).

El extremo de la funcion es un mınimo que alcanza en x = 1. El valor mınimo quetoma la funcion es y = f (1) = −8.

Los ceros de la funcion son x = −1 y x = 3.

La funcion toma valores positivos para los x en (−∞;−1) ∪ (3;+∞) y toma valoresnegativos para los x en (−1; 3).

2





2.3. Funciones polinomicas

En las funciones lineales, la variable x aparece elevada a 0 o 1, en la cuadraticas,a 0, 1 o 2. Si generalizamos esta situacion, permitiendo que las potencias de la variable xque aparecen en la formula de una funcion sean numeros naturales o cero y que a estaspotencias solo se las pueda multiplicar por numeros fijos y sumar o restar, las funcionesque se obtienen se llaman funciones polinomicas. Por ejemplo,

f (x) = 5x3 − 3x2 + 2x, g(x) = 3x4 − 7x + 1 y h(x) = x5 + 3

son funciones polinomicas.

El estudio de una funcion polinomica puede ser muy complicado y, en algunos casos, sepodra hacer con herramientas que veamos a lo largo de la materia. Por ahora, como ejemplo,graficamos algunas funciones polinomicas basicas por medio de tablas de valores:

Ejemplo. Funcion f (x) = x3

x f (x) = x3

−2 −8

−1, 5 −3.375

−1 −1

−0, 5 −0, 125

0 0

0, 5 0, 125

1 1

1, 5 3, 375

2 8

0 1

−1

2

−2

8

−8

f (x) = x3

A partir del grafico de f (x) = x3 podemos dar algunas propiedades de esta funcion:

La imagen de f es Im( f ) = R.

La funcion crece en R.




El unico cero de la funcion es x = 0.

La funcion toma valores negativos para los x en (−∞; 0) y toma valores positivos paralos x en (0;+∞).

La funcion no tiene extremos.

Ejemplo. Funcion f (x) = x4

x f (x) = x4

−2 16

−1, 5 5, 0625

−1 1

−0, 5 0, 0625

0 0

0, 5 0, 0625

1 1

1, 5 5, 0625

2 160 1−1 2−2

16

f (x) = x4

Nuevamente, a partir del grafico de f (x) = x4 podemos deducir algunas propiedades deesta funcion:

La imagen de f es Im( f ) = [0;+∞).

La funcion decrece en (−∞; 0) y crece en (0;+∞).

El unico cero de la funcion es x = 0.

La funcion toma valores positivos para los x en (−∞; 0) ∪ (0;+∞) y nunca toma valo-res negativos.

La funcion alcanza un mınimo para x = 0 y el valor mınimo que alcanza es f (0) = 0.




ObservacionLas funciones de la forma f (x) = xn tendran un comportamiento similar dependiendo dela paridad de n:

Si n es par, la funcion f tiene propiedades similares a las funciones g(x) = x2 yh(x) = x4 (la misma imagen, los mismos intervalos de crecimiento y decrecimien-to y conjuntos de positividad y negatividad, el mismo cero, el mismo extremo y ungrafico similar). Esto sucede porque al elevar un numero negativo a un exponente parel resultado da positivo.

Si n es impar, la funcion f tiene propiedades similares a la funcion j(x) = x3 (la mismaimagen, crecimiento en todo R, el mismo cero, los mismos conjuntos de positividad yde negatividad, no tendra extremos y su grafico sera similar). Esto sucede porque alelevar un numero a un exponente impar se mantiene el signo del numero.

Veamos, por ejemplo, los graficos de las siguientes funciones:

1

1

f (x) = x5

1

1

f (x) = x6




1

1

f (x) = x9

1

1

f (x) = x10

Analizar la monotonıa de una funcion es decidir para que valores de x la funcioncrece y para que valores decrece.


2.4. Funciones homograficas

Las funciones homograficas son las de la forma

f (x) =ax + bcx + d

con a, b, c, d ∈ R fijos y tales que c 6= 0 y ad− bc 6= 0 (estas condiciones aseguran que lafuncion no sea lineal).

Estas funciones tienen una restriccion natural en su dominio, ya que NO SE PUEDE DIVI-DIR POR CERO. Por esta causa,

cx + d 6= 0⇔ cx 6= −d⇔ x 6= −dc

y la funcion resulta no estar definida cuando x = −dc

. Por esto, tenemos que:




El dominio de f (x) =ax + bcx + d

es Dom( f ) =(−∞;−d

c

)∪(−d

c;+∞

)= R−

{−d

c

}.

Ejemplo. Empecemos estudiando la funcion f : R−{0} → R definida por f (x) =1x

(es decir, cuando b = c = 1 y a = d = 0).

Para hacer un grafico aproximado, damos una tabla de valores:

x f (x) = 1x

−4 −14

−3 −13

−2 −12

−1 −1

−12 −2

−13 −3

−14 −4

x f (x) = 1x

14 4

13 3

12 2

1 1

2 12

3 13

4 14





−4 −3 −2

−1

−1

−2

−3

−4

432

1

1

2

3

4

Algunas observaciones:

La imagen de la funcion f , como se ve en el grafico, esIm( f ) = (−∞; 0) ∪ (0;+∞) = R− {0}.

La funcion f es decreciente en los intervalos (−∞; 0) y (0;+∞). Sin embargo, no esdecreciente en todo su dominio ya que si tomamos un valor de cada intervalo, porejemplo −1 < 2, resulta que f (−1) = −1 < f (2) = 0, 5. Por esta razon, decimos quelos intervalos de decrecimiento son (−∞; 0) y (0;+∞) y no los escribimos como una union(es decir, no usamos el sımbolo ∪).

La funcion f no se anula nunca, es negativa en (−∞; 0) y es positiva en (0;+∞).

La funcion no tiene extremos.




La curva obtenida se llama hiperbola. De hecho, el grafico de cualquier funcion ho-mografica es una hiperbola y es similar, salvo corrimientos o escala, a este o al de

g(x) = −1x

:

g(x) = − 1x

Notemos que, cuando x se acerca a cero por izquierda y por derecha, el grafico de lafuncion se va acercando cada vez mas a la recta vertical de ecuacion x = 0. Tambien,cuando x se hace muy grande (cuando en el grafico nos vamos a la derecha) o muychico (cuando en el grafico nos vamos a la izquierda), el grafico de la funcion se acercacada vez mas a la recta horizontal de ecuacion y = 0. Estas rectas se llaman asıntotas algrafico de f y su definicion precisa se presentara mas adelante en el curso.

Dada la funcion homografica f (x) =ax + bcx + d

, la asıntota vertical a su grafico esta

dada por la ecuacion x = −dc

, es decir que es la recta vertical que pasa por el valor queno esta en el dominio de f .

El siguiente calculo nos permite escribir a las funciones homograficas de una forma util paraencontrar su asıntota horizontal:

ax + bcx + d

=ax +

adc− ad

c+ b

cx + d=

ac(cx + d)− ad

c+ b

cx + d=

↓ ↓sumo y resto

adc

ac

factor comun




=

ac ��(cx + d)

��cx + d+− ad

c+ b

cx + d=

ac+

bc− adc(cx + d)

↓ ↓distribuyo denominador operando

Como la funcion f es homografica, ad− bc 6= 0 y entonces su opuesto bc− ad 6= 0. Esto nosasegura que

bc− adc(cx + d)

6= 0

y por lo tanto

ax + bcx + d

=ac+

bc− adc(cx + d)

6= ac

.

De esta cuenta, podemos deducir lo siguiente:

Sea f la funcion homografica f (x) =ax + bcx + d

.

La imagen de f es Im( f ) = R−{ a

c

}.

La ecuacion de la asıntota horizontal es y =ac

.

Ejercicio 6. Dada la funcion homografica f (x) =3x− 12x + 1

, determinar su dominioy su imagen, indicar en que intervalos es creciente o decreciente y realizar un graficoaproximado.

SolucionPodemos resumir lo requerido en el ejercicio en un cuadro:




DATOS

Formula:

f (x) =3x− 12x + 1

OBJETIVO

Dominio.

Imagen.

Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Grafico aproximado.

Para calcular el dominio, recordemos que la unica restriccion presente es que no se puededividir por cero. Por lo tanto, el denominador de la expresion de f no puede ser cero:

2x + 1 6= 0⇔ 2x 6= −1⇔ x 6= −12

Por lo tanto Dom( f ) = R−{−1

2

}.

Por lo calculado en general anteriormente, tenemos que el unico valor que no esta en la

imagen es32

.

Luego Im( f ) = R−{

32

}.

Ya conocemos las ecuaciones de las asıntotas al grafico: x = −12

e y =32

. Esto nos aseguraque el grafico aproximado de f es alguno de los siguientes:

− 12

32

− 12

32




Para verificar cual de los dos graficos es el correcto, basta calcular f (x) para algun valor dex. Por ejemplo,

f (0) =3.0− 12.0 + 1

= −1.

En el unico caso en que f (0) puede ser negativo es en el primero. Por lo tanto, el graficoaproximado de f sera

− 12

32

−1

A partir del grafico, podemos contestar la pregunta sobre la monotonıa de f :

Los intervalos de crecimiento de f son(−∞;−1

2

)y(−1

2;+∞

). La funcion f no decrece

en ningun intervalo.

2





2.5. Funcion raız cuadrada

Dado un numero real a ≥ 0, se llama raız cuadrada de a (lo que se nota√

a) al uniconumero positivo o cero que elevado al cuadrado da a.

Ejemplo. Si queremos calcular√

4, buscamos un numero x tal que x2 = 4. Hay dosnumeros reales que cumplen esta ecuacion: 2 y −2, pero en la definicion se aclara que laraız cuadrada debe ser mayor o igual que 0, por lo que

√4 = 2.

¿Por que nos quedamos solo conel valor positivo?Porque queremos que la raız cua-drada sea una funcion y, por la de-finicion de funcion, la raız cua-drada de un numero debe serunica.

¿A que numeros podemos sacarle raızcuadrada?Cuando elevamos un numero al cua-drado, el resultado siempre es posi-tivo o cero. Por lo tanto, solo se lespuede calcular raız cuadrada a losnumeros mayores o iguales que 0.

Con la notacion de funciones ya usada, podemos escribir entonces

f : [0;+∞)→ R f (x) =√

x.

Para hacer un grafico aproximado de esta funcion, damos una tabla de valores, teniendo encuenta que los valores de x deben ser mayores o iguales a 0:

x f (x) =√

x0 0

1 1

4 2

9 3

16 4





1

1

2

40

3

9

4

16

Sea f (x) =√

x.

El dominio de la funcion f , como ya se discutio antes, es Dom( f ) = [0;+∞).

La imagen de la funcion f , como se ve en el grafico, es Im( f ) = [0;+∞).

En cuanto a la monotonıa, la funcion f es creciente en todo su dominio, es decir en[0;+∞).

La funcion f se anula en x = 0 y es positiva en (0;+∞).

La funcion alcanza un mınimo en x = 0 y el valor mınimo alcanzado es 0 = f (0).

Notar que la curva obtenida es una rama de parabola ya que si intercambiamos losejes, tenemos una rama del grafico la funcion g(x) = x2.

Ejercicio 7. Hallar el dominio de la funcion f (x) =√

3x2 − 3.

SolucionRecordemos que el dominio de una funcion es el conjunto de valores donde esta definida.En nuestro caso, como la funcion involucra una raız cuadrada, la funcion estara definidasiempre y cuando lo que este dentro de la raız sea mayor o igual que 0.

En sımbolos:x ∈ Dom( f )⇔ 3x2 − 3 ≥ 0.




Con este razonamiento, hemos reducido nuestro problema a calcular donde la funcion cuadraticag(x) = 3x2 − 3 es positiva o cero.

Para contestar esta ultima pregunta, podemos hacer un grafico aproximado de g:

El vertice del grafico tiene primera coordenada xv = − b2a

= − 02.3

= 0 y segundacoordenada yv = g(xv) = g(0) = −3.

Las raıces son los puntos donde 3x2 − 3 = 0. Para hallarlas podemos usar la formulade las raıces de una cuadratica, pero en este caso, puede hacerse despejando:

3x2 − 3 = 0⇔ 3x2 = 3⇔ x2 = 1

luego las raıces son x1 = 1 y x2 = −1.

Con la informacion anterior, un grafico aproximado de g serıa

−1 1

−3

A partir del grafico de g, podemos afirmar que

g(x) ≥ 0⇔ x ∈ (−∞;−1] ∪ [1;+∞)

y este es el conjunto que estabamos buscando.

Por lo tanto,

Dom( f ) = (−∞;−1] ∪ [1;+∞).2




Observacion importante.

¿Cuanto da√

x2?

Antes de contestar, veamos algunos ejemplos:

Si x = 0√(0)2 =

√0 = 0

Si x = 1√(1)2 =

√1 = 1

Si x = −1√(−1)2 =

√1 = 1

Si x = 2√(2)2 =

√4 = 2

Si x = −2√(−2)2 =

√4 = 2

Si x = 3√(3)2 =

√9 = 3

Si x = −3√(−3)2 =

√9 = 3

Cualquiera sea el valor de x que tomemos, al elevarlo al cuadrado queda positivo o cero. Alsacarle raız cuadrada nos da por definicion un numero positivo o cero , ası que:

El valor de√

x2 es:

Si x ≥ 0,√

x2 = x.

Si x < 0, x es negativo y el resultado debe ser positivo (el opuesto de x) ası que√x2 = −x.





3. Composicion de funciones - Funcion inversa

3.1. Composicion de funciones

Ejemplo. La relacion entre la escala Kelvin (K) y la escala Celsius (ºC) esta dada porla funcion f (x) = x− 273. Por ejemplo, a 273K le corresponde f (273) = 273− 273 = 0ºC,con lo cual 273K y 0ºC son la misma temperatura medida en distintas escalas.

Por otro lado, la funcion g(x) = 1, 8 x + 32 expresa la temperatura en grados Fahrenheit(ºF) si x es la temperatura en grados Celsius. Por ejemplo, 30ºC equivalen ag(30) = 1, 8 . 30 + 32 = 86ºF.

¿A que temperatura en la escala Fahrenheit corresponden 300K?

Con los datos que tenemos podemos pasar de la escala Kelvin a la escala Celsius y, luego,de la escala Celsius a la escala Fahrenheit:

300K f (300) = 300− 273 = 27ºC g(27) = 1, 8 . 27 + 32 = 80, 6ºF.

Con los datos anteriores, ¿es posible obtener una formula directa para relacionar laescala Kelvin y la Fahrenheit sin necesidad de pasar cada vez por la escala Celsius?

La respuesta es sı: supongamos que el valor en la escala Kelvin es x. Sigamos el mismocamino anterior pero para este x generico. Primero aplicamos la funcion f :

x f (x) = x− 273.

Ahora la temperatura en la escala Celsius es x− 273 y a esta temperatura la queremos pasara la escala Fahrenheit, por lo que le aplicamos la funcion g

x− 273 g(x− 273) = 1, 8 (x− 273) + 32 = 1, 8 x− 459, 4

con lo cual la formula para pasar de la escala Kelvin a la escala Fahrenheit resulta

h(x) = 1, 8 x− 459, 4.

Notemos que, partiendo de x, aplicamos primero la funcion f para obtener f (x) y, luego, aeste valor, le aplicamos la funcion g y obtenemos h(x) = g( f (x)).




Esta operacion entre funciones (aplicar primero una y luego la otra) es muy usual y se llamacomposicion de funciones:

Si f y g son funciones reales, se define la composicion de g con f (tambien llama-da g compuesta con f ) a la funcion que se nota g ◦ f y cuya formula viene dada por(g ◦ f )(x) = g( f (x)); es decir, dado un valor de x, primero se le aplica la funcion f yal valor obtenido se le aplica la funcion g.

Ejercicio 8. Dadas las funciones f (x) =1

2xy g(x) = x2 − 3, hallar las formulas de

g ◦ f y de f ◦ g. ¿Son la misma funcion?

SolucionPodemos resumir lo que nos piden en un cuadro:

DATOS

f (x) =1

2x

g(x) = x2 − 3

OBJETIVO

Formula de g ◦ f .

Formula de f ◦ g.

Decidir si son la misma funcion.

Obtengamos primero las formulas pedidas. Si x es un valor cualquiera, por la definiciontenemos que

(g ◦ f )(x) = g( f (x)).

Ahora podemos reemplazar f (x) por su formula1

2xy obtenemos

g( f (x)) = g( 1

2x

).

El proximo paso es aplicar la funcion g a la expresion1

2x. Aplicar la funcion g a un numero

por definicion es elevarlo al cuadrado y restarle 3. Entonces, si se la aplicamos a la expresion1

2x, hay que elevar la expresion al cuadrado y restarle 3:




g( 1

2x

)=( 1

2x

)2− 3.

Entonces, operando, tenemos

(g ◦ f )(x) =1

4x2 − 3.

Para calcular la otra composicion pedida, la definicion nos dice que apliquemos las funcio-nes en el otro orden:

( f ◦ g)(x) = f (g(x))

Como antes, podemos reemplazar g(x) por su formula x2 − 3 y obtenemos

f (g(x)) = f (x2 − 3).

El proximo paso es aplicar la funcion f a la expresion x2− 3. Por definicion, aplicar la funcionf a un numero es multiplicarlo por 2 e invertirlo. Entonces, si se la aplicamos a la expresionx2 − 3, hay que multiplicar esta expresion por 2 e invertirla:

f (x2 − 3) =1

2(x2 − 3).

Entonces, operando, tenemos

( f ◦ g)(x) =1

2x2 − 6.

Lo unico que falta decidir es si las funciones (g ◦ f )(x) =1

4x2 − 3 y ( f ◦ g)(x) =1

2x2 − 6son la misma funcion.

A simple vista las formulas son distintas, pero habrıa que asegurarse que, operando, nose pueda transformar una en la otra. Para eso, podemos evaluar las dos funciones en unnumero fijo: si los resultados no coinciden, entonces las funciones son distintas (observarque, si dan lo mismo, lo unico que podemos decidir es que valen lo mismo en ese punto).

Elijamos por ejemplo x = 1:

(g ◦ f )(1) =1

4.(1)2 − 3 =14− 3 = −11

4




( f ◦ g)(1) =1

2.(1)2 − 6= −1

4

Como los dos valores son distintos, las funciones g ◦ f y f ◦ g NO son la misma funcion. 2

Como consecuencia de lo obtenido en el ejercicio anterior, podemos afirmar:

La composicion de funciones NO es conmutativa (es decir, en general, g ◦ f 6= f ◦ g).


3.2. Funcion inversa

Ejemplo. Sabemos que la funcion g(x) = 1, 8 x + 32 expresa la temperatura en gra-dos Fahrenheit (ºF) si x es la temperatura en grados Celsius.¿A que temperatura en grados Celsius corresponden 113ºF?

Notemos que, en este caso, no podemos reemplazar la x por 113, porque x es la tempe-ratura en ºC. Nuestro problema ahora se traduce en averiguar que valor de x hace que latemperatura en ºF sea 113. Es decir, buscamos x tal que

1, 8 x + 32 = 113.

Para esto, despejamos y obtenemos

x =113− 32

1, 8= 45

con lo cual 113ºF corresponden a 45ºC.




Con los datos anteriores, ¿podemos obtener una formula directa para, dada unatemperatura en la escala Fahrenheit, obtener su equivalente en grados Celsius sin necesi-dad de despejar cada vez?

La respuesta nuevamente es sı. Supongamos que el valor en la escala Fahrenheit es y y suequivalente en la escala Celsius es x. Sigamos el camino anterior pero para estos valoresgenericos, teniendo en cuenta que ahora y es el valor conocido y x es el valor buscado.Sabemos que

g(x) = y⇔ 1, 8 x + 32 = y.

Como queremos hallar x, despejamos y obtenemos

x =y− 32

1, 8.

Es decir, la funcion que, dada una temperatura y en la escala Fahrenheit, devuelve la tempe-ratura equivalente en grados Celsius es

h(y) =y− 32

1, 8.

Por una cuestion de convencion, las variables de las funciones se notan con la letra x, ası queescribimos

h(x) =x− 32

1, 8.

A esta funcion h se la llama la funcion inversa de g:

Si g es una funcion real, se define la funcion inversa de g a la funcion que se nota g−1

y cuya formula viene dada por g(x) = y ⇐⇒ g−1(y) = x.

Observacion: No cualquier funcion tiene inversa. Sin embargo, siempre que se pue-da despejar x en funcion de y de manera unica, la funcion inversa existe.




Ejercicio 9. Dada la funcion f (x) = 2x − 3, hallar su funcion inversa f−1. Luegograficar ambas funciones en un mismo sistema de ejes coordenados.

SolucionComo siempre, sinteticemos el ejercicio en un cuadro:

DATOS

f (x) = 2x− 3

OBJETIVO

Formula de f−1.

Graficos de f y de f−1 en un mismo sistemade ejes.

Para hallar f−1 podemos escribir la formula de f como y = 2x− 3 y despejar x en funcionde y:

x =y + 3

2.

Por la definicion de f−1, tenemos que

f (x) = y ⇐⇒ f−1(y) = x =y + 3

2=

12

y +32

Luego, la formula buscada es (despues de reemplazar y por x)

f−1(x) =12

x +32

.

Ahora grafiquemos las dos funciones en un mismo sistema de ejes coordenados. Como am-bas son funciones lineales, basta encontrar dos puntos en cada grafico y trazar las rectascorrespondientes.

x f (x) = 2x− 3

1 −1

0 −3

x f−1(x) =12

x +32

−1 1

−3 0




Entonces, los graficos pedidos son los siguientes:

−1

1

−3

0

1

−1−3

f−1

f

y = x

y con esto concluye la resolucion del ejercicio. 2

A partir del ejercicio anterior, realizamos la siguiente observacion:

Como los puntos (x, y) e (y, x) son simetricos con respecto a la recta de ecuaciony = x y f (x) = y ⇔ f−1(y) = x, los graficos de f y f−1 tambien son simetricos conrespecto a esta recta (es decir, esta recta funciona como “espejo” cuando queremos graficarf−1 a partir del grafico de f ). Esto vale para cualquier funcion f y su inversa f−1.

Por ejemplo, si el grafico de f es




f

entonces, el grafico de f−1 sera

f

y = x

f−1

Ejercicio 10. Hallar la funcion inversa de f (x) = x2 − 4x + 3 con x ≤ 2. Luegograficar f y f−1 en un mismo sistema de ejes coordenados.

SolucionComo siempre, sinteticemos el ejercicio en un cuadro:




DATOS

f (x) = x2 − 4x + 3

Dom ( f ) = (−∞; 2]

OBJETIVO

Formula de f−1.

Graficos de f y de f−1 en un mismo sistemade ejes.

Para obtener la formula de f−1 a partir de la de f , consideramos y = x2 − 4x + 3 e intenta-mos despejar x en funcion de y. El problema aquı es el despeje. Para poder hacerlo, podemosusar la formula de la funcion cuadratica que involucra a las coordenadas del vertice que yavimos:

f (x) = a(x− xv)2 + yv

Como, en este caso, a = 1, xv = − b2a

= 2 e yv = f (2) = −1, tenemos que

y = (x− 2)2 − 1.

Ahora sı podemos despejar x pero teniendo en cuenta que los valores de x que nos interesandeben ser menores o iguales que 2 y que una raız cuadrada siempre es mayor o igual que 0:

y + 1 = (x− 2)2 ⇔√

y + 1 = −(x− 2) ⇔ 2−√

y + 1 = x↓

x− 2 ≤ 0

Entonces, la funcion inversa de f es f−1(x) = 2−√

x + 1.

Para graficar ambas funciones en un mismo par de ejes, grafiquemos primero f . Esta funciones cuadratica, con vertice en el punto (2,−1) y sus raıces son 1 y 3. Como su dominio es(−∞; 2] el grafico es solamente una rama de parabola:




f

−1

21

Como el grafico de f−1 debe ser simetrico al de f respecto de la recta y = x, tenemos quelos dos graficos en un mismo sistema de ejes son

f

−1

21

y = x

f−1

2

−1

1

Con esto concluimos la resolucion del ejercicio. 2

Observacion:Noten que si consideramos f (x) = x2− 4x + 3 con dominio R, esta funcion no tiene inversa:graficamente podemos ver que si existe la supuesta inversa habrıa valores de x para loscuales el valor de f−1(x) no serıa unico y esto contradice la definicion de funcion.




x

Por esta razon, en el ejercicio anterior se pide hallar la inversa de la funcion cuadratica f conun dominio restringido donde sı tiene inversa.

PropiedadSi f es una funcion y f−1 es su inversa, resulta que

( f ◦ f−1)(x) = x y ( f−1 ◦ f )(x) = x.





4. Funciones exponenciales y logarıtmicas

4.1. Funciones exponenciales

En esta seccion, vamos a estudiar funciones que tienen a la variable x en el exponente.

Ejemplo. Grafiquemos las funciones exponenciales f (x) = 2x y g(x) =(

12

)x. Luego,

determinemos su dominio y su imagen y analicemos su monotonıa.

A partir de tablas de valores, es posible hacer los graficos aproximados pedidos:

x f (x) = 2x

−318

−214

−112

0 1

1 2

2 4

3 8

x g(x) =(

12

)x

−3 8

−2 4

−1 2

0 1

112

214

318

Los graficos, entonces, son




1 2 3−1−2−3 0

12

1

2

4

8

f (x) = 2x

1 2 3−1−2−3 0

12

1

2

4

8

g(x) =(

12

)x

A partir de los graficos, podemos analizar el comportamiento de estas funciones:

Funcion Dominio Imagen Monotonıa

f (x) = 2x R (0;+∞) creciente

g(x) =(

12

)xR (0;+∞) decreciente

Este es el comportamiento general de las funciones exponenciales del tipo h(x) = ax, depen-diendo de si la base a es mayor o menor que 1. Las funciones exponenciales estan definidaspara a > 0 y, tambien, pedimos que a 6= 1 pues de lo contrario la funcion serıa constante.Entonces, si resumimos, tenemos que:




Si a > 1, h(x) = ax satisface

Dominio Imagen Monotonıa

R (0;+∞) creciente

y el grafico aproximado es de laforma siguiente:

0

1

Si 0 < a < 1, h(x) = ax satisface


R (0;+∞) decreciente

y el grafico aproximado es de laforma siguiente:

0

1

La funcion exponencial de base e, h(x) = ex, es de particular interes por susaplicaciones y propiedades. El numero e es una constante cuyo valor aproximado ese ∼= 2, 718281 y cuya definicion precisa se dara mas adelante.


4.2. Funciones logarıtmicas

Las funciones logarıtmicas son las funciones inversas de las funciones exponenciales. A lainversa de la funcion f (x) = ax se la nota con f−1(x) = loga(x) lo que se lee ”logaritmo enbase a de x”.

Por definicionloga(x) = y ⇐⇒ ay = x




Por ejemplo, log4(64) = y es lo mismo que decir que 4y = 64. Como 43 = 64, resulta quelog4(64) = 3.

Como las funciones logarıtmicas son las inversas de las exponenciales, podemos obtenersus graficos como los simetricos de los de las funciones exponenciales con respecto a la rectay = x. Entonces, para la funcion h(x) = loga(x) tenemos que:

Si a > 1, el grafico aproximado deh(x) = loga(x) es de la forma

0

1

y entonces,


(0;+∞) R creciente

Si 0 < a < 1, el grafico aproximadode h(x) = loga(x) es de la forma

0

1

y entonces,


(0;+∞) R decreciente

Como, para a fijo, la funcion f−1(x) = loga(x) es la inversa de f (x) = ax, resultaque

aloga(x) = x y loga(ax) = x.

Notacion: en el caso en que la base del logaritmo sea el numero e, el logaritmo sellama logaritmo natural y se nota loge(x) = ln(x).




Ejercicio 11. Dada la funcion f (x) = ln(6x− 3), determinar su dominio, hallar todoslos valores de x para los que f (x) = 0 y calcular la formula de su funcion inversa f−1.

SolucionComo antes, resumamos el ejercicio en un cuadro:

DATOS

f (x) = ln(6x− 3)

OBJETIVO

Dominio de f .

Conjunto de ceros de f .

Formula de f−1.

En primer lugar, calculemos el dominio de la funcion. Cualquier funcion logarıtmica puedecalcularse, como vimos antes, en valores positivos. Entonces se debe pedir que el argumentoal que aplicamos el logaritmo natural sea positivo:

6x− 3 > 0 ⇐⇒ 6x > 3 ⇐⇒ x >12

Esto nos dice que Dom( f ) =(

12

;+∞)

.

Para decidir cuando ln(6x− 3) = 0, podemos aplicar la definicion del logaritmo natural:

ln(6x− 3) = 0 ⇔ eln(6x−3) = e0 ⇔ 6x− 3 = 1↓ ↓

definicion de ln propiedad de la composicion

y despejamos:

6x− 3 = 1⇔ 6x = 4⇔ x =23

por lo cual

ln(6x− 3) = 0⇔ x =23

.




Lo unico que falta hacer es calcular la funcion inversa de f . Para eso, como antes, partimosde la igualdad y = f (x) y despejamos x en funcion de y:

y = ln(6x− 3) ⇔ ey = eln(6x−3) ⇔ ey = 6x− 3↓ ↓

aplicamos exponencial propiedad de la composicion

y seguimos despejando,

ey = 6x− 3⇔ ey + 3 = 6x ⇔ ey + 36

= x.

Por lo anterior, resulta que

f−1(x) =ex + 3

6.

2

Ejercicio 12. Hallar la inversa de la funcion f (x) = ex+1 − 2.

SolucionNuevamente llamamos y = f (x) y despejamos x en funcion de y:

y = ex+1 − 2⇔ y + 2 = ex+1 ⇔ ln(y + 2) = ln(ex+1)⇔

⇔ ln(y + 2) = x + 1⇔ ln(y + 2)− 1 = x.

Entonces, en este caso, f−1(x) = ln(x + 2)− 1. 2





5. Funciones trigonometricas

Radianes. En lo que sigue, vamos a trabajar con angulos. Por las buenas propieda-des que tiene desde el punto de vista del analisis, la unidad de medida de angulos quese utiliza es el radian. La medida de un angulo en radianes equivale al recorrido del arcode dicho angulo en una circunferencia de radio 1. Por ejemplo, si queremos medir en ra-dianes un angulo de 360◦, su arco recorre toda la circunferencia que tiene longitud 2π . 1(pues el radio es 1) con lo cual

360◦ = 2π.

Con esta equivalencia y por proporcionalidad directa, estamos en condiciones de calcularcuanto vale en radianes cualquier angulo dado en grados. Por ejemplo:

Radianes 0π

6π

4π

3π

2π

32

π 2π

Grados 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

Consideremos un triangulo rectangulo como el de la siguiente figura:

A B

C

α

Para el angulo agudo α se definen los valores del seno y del coseno de α de lasiguiente manera:

sen(α) =BCAC

y cos(α) =ABAC

.




Estos valores dependen unicamente de la medida del angulo α y no del tamano del triangulorectangulo. Es decir, si cambiamos el triangulo rectangulo por otro con angulo α, los cocien-tes anteriores valen lo mismo.

Si calculamos

sen2(α) + cos2(α) =BC2

AC2 +AB2

AC2 =BC2

+ AB2

AC2 =︸︷︷︸por Pitagoras

AC2

AC2 = 1.

La identidad sen2(α) + cos2(α) = 1 vale para cualquier valor que tome α y se llamala identidad pitagorica.

A continuacion damos algunos valores del seno y del coseno:

α 0π

6π

4π

3π

2

sen(α) 012

√2

2

√3

21

cos(α) 1

√3

2

√2

212

0

Notemos que, cuando dos angulos α y β son complementarios (es decir, sumanπ

2), el seno

de uno es el coseno del otro y viceversa, pues son los dos angulos agudos de un triangulorectangulo:

A B

C

α

β




Por ejemplo, en la figura, sen(β) =ABAC

= cos(α).

Extension del seno y del coseno a angulos en el intervalo [0; 2π] y luego a cualquier valorreal:

Consideremos primero el seno. Dibujamos una circunferencia de radio 1, y en cada caso,la medida del segmento vertical es el valor de sen(α), ya que la hipotenusa del triangulocoincide con el radio, que vale 1. En los dos primeros casos, el seno sera positivo y en losultimos dos, sera negativo:

+

α

sen(α)+

α

sen(α)

−

α

sen(α)−

α

sen(α)

De esta manera, se puede definir el seno de cualquier angulo entre 0 y 2π, y para los numerosmayores o menores, se considera el valor del seno del angulo que forman sin contar lasvueltas de mas que se den en sentido horario o antihorario. Entonces, tenemos la funcionsen : R→ R que podemos graficar usando la circunferencia de radio 1 como auxiliar:

0 π4

π2

56 π

π54 π 3

2 π 116 π

1

−1

y = sen(x)

La funcion sen : R→ R dibujada arriba en rojo tiene por dominio a Dom(sen) = R,su imagen es Im(sen) = [−1; 1] y es periodica de perıodo 2π, es decir que la funcion serepite cada 2π o, escrito mas formalmente, sen(x) = sen(x + 2π) para todo x ∈ R.

Un estudio similar al hecho con la funcion seno puede hacerse con la funcion coseno y seobtiene el siguiente grafico:




0π2 π

32 π

2π

1

−1

y = cos(x)

La funcion cos : R→ R, dibujada arriba en rojo tiene por dominio a Dom(cos) = R,su imagen es Im(cos) = [−1; 1] y tambien es periodica de perıodo 2π.

Ejercicio 13. A partir del grafico de f (x) = cos(x), graficar g(x) = cos(x +π

2).

SolucionLa consigna del ejercicio nos pide que, a partir del grafico conocido de la funcion coseno,hallemos el grafico de la funcion g(x) = cos(x +

π

2). Para eso, podemos comparar dos

tablas de valores:

x f (x) = cos(x)

0 1

π

4

√2

2π

20

34

π −√

22

π −1

32

π 0

2π 1

x g(x) = cos(x +π

2)

−π

21

−π

4

√2

2

0 0

π

4−√

22

π

2−1

π 0

32

π 1




Notemos que la funcion g(x) = cos(x +π

2) toma los mismos valores que f (x) = cos(x),

pero los tomaπ

2unidades antes, con lo cual, el grafico de g va a ser similar al de f pero

corridoπ

2unidades a la izquierda:

y = cos(x)

π2

y = cos(x +π

2)

0

Luego, el grafico pedido es

y = cos(x +π

2)

π2

−1

2

Ejercicio 14. A partir del grafico de f (x) = sen(x), graficar g(x) = sen(2x).

SolucionNuevamente, podemos comparar dos tablas de valores:




x f (x) = sen(x)

0 0

π

4

√2

2π

21

34

π

√2

2

π 0

32

π −1

2π 0

x g(x) = sen(2x)

0 0

π

8

√2

2π

41

38

π

√2

2π

20

34

π −1

π 0

De esta forma, notamos que la funcion g(x) = sen(2x) toma los mismos valores que lafuncion seno, pero los toma en el angulo que vale la mitad, con lo cual, el grafico de g va aser similar al de f pero oscilando el doble de veces:

y = sen(x)

π2

y = sen(2x)

π4

34

π32

π

Luego, el grafico pedido es

y = sen(2x)

π4

1




2

Ejercicio 15. Determinar todos los valores de x ∈ R tales que sen(2x) =√

22

.

SolucionComo la funcion seno es periodica de perıodo 2π, una estrategia para encontrar los valores

pedidos es empezar encontrando todos los valores 0 ≤ α < 2π tales que sen(α) =

√2

2.

Por tabla, sabemos que sen(π

4) =

√2

2. En un dibujo, tenemos que

+

π

4

√2

2

+

− −

En el unico otro cuadrante donde el seno es positivo es en el segundo, ası que buscamos elangulo en ese cuadrante cuyo seno valga lo mismo:

+

π

4

√2

2

+

34

π

− −

Luego, los unicos valores de 0 ≤ α < 2π tales que sen(α) =

√2

2son

α =π

4y α =

34

π.




Usando la periodicidad de la funcion seno tenemos que todos los valores de α ∈ R tales que

sen(α) =

√2

2son

α =π

4+ 2kπ o α =

34

π + 2kπ

con k un numero entero (el conjunto de los numeros enteros se simboliza con Z, ası quepodemos escribir k ∈ Z). Si k es positivo, 2kπ significa k veces 2π, es decir, k vueltas enterasen el sentido antihorario. Si k es negativo, 2kπ significa −k veces −2π, es decir, −k vueltasenteras en el sentido horario. Esta es una forma de escribir que las funciones trigonometricasno varıan cuando damos vueltas enteras en un sentido o en el otro.

Ahora bien, el enunciado nos pide hallar los valores de x ∈ R tales que sen(2x) =

√2

2.

Entonces, tenemos que todos los x que sirven son los que satisfacen

2x =π

4+ 2kπ o 2x =

34

π + 2kπ con k ∈ Z.

Luego, despejando, las soluciones de la ecuacion pedida son todos los x ∈ R que satisfacen

x =π

8+ kπ o x =

38

π + kπ con k ∈ Z.

2

Algunas formulas que pueden ser utiles para resolver ecuaciones que involucranfunciones trigonometricas son las formulas del seno y del coseno de una suma que valenpara cualquier par de numeros reales α y β:

sen(α + β) = sen(α) cos(β) + cos(α) sen(β)

cos(α + β) = cos(α) cos(β)− sen(α) sen(β)

Si se aplican cuando α = β dan

sen(2α) = 2 sen(α) cos(α)

cos(2α) = cos2(α)− sen2(α)




A continuacion, vamos a definir las funciones inversas del seno y del coseno.

Comencemos con la funcion seno. Si dibujamos en un par de ejes la funcion y su dibujosimetrico con respecto a la recta de ecuacion y = x, tenemos

y = sen(x)

y = x

π2

1

1

π2

−π2

−1

−1

−π2

El grafico de color azul no corresponde a una funcion, ya que a un valor de x le correspondenmuchos valores de y.Sin embargo, si restringimos la funcion sen :

[−π

2;

π

2

]→ [−1; 1], nos queda

y = sen(x)

y = x

π2

1

1

π2

−π2

−1

−1

−π2




La funcion dibujada en azul resulta ser la funcion inversa desen :

[−π

2;

π

2

]→ [−1; 1] que se llama la funcion arcoseno.

Entonces, tenemos que arcsen : [−1; 1]→[−π

2;

π

2

]cumple

arcsen(x) = y ⇐⇒ sen(y) = x para y ∈[−π

2;

π

2

].

Si usamos la misma idea, puede restringirse la funcion cos : [0; π]→ [−1; 1] y obtenemos

y = cos(x)

y = x

π

1

1

π

−1

−1 0

La funcion dibujada en azul resulta ser la funcion inversa de cos : [0; π] → [−1; 1]y se llama la funcion arcocoseno.Entonces, tenemos que arccos : [−1; 1]→ [0; π] cumple

arccos(x) = y ⇐⇒ cos(y) = x para y ∈ [0; π].





6. Otras funciones

6.1. Funcion modulo

Otra funcion usual que es util es la funcion que a cada numero real le calcula ladistancia del numero al cero. Esta funcion se llama modulo o valor absoluto y se simbolizacon la variable entre dos barras verticales (|x| que se lee modulo de x ).

Por ejemplo, |3| = 3 pues la distancia del 3 al 0 es 3 y | − 5| = 5 pues la distancia del −5 al 0es 5.

Podemos pensar, entonces, que la funcion modulo ”le saca el signo” al numero que se lacalculamos.

Si queremos dar una definicion precisa de esta funcion, es facil ver que, para los numerospositivos o cero (es decir, para x ≥ 0), vale que |x| = x.Sin embargo, a los numeros negativos la funcion les cambia el signo, y una forma de cam-biarle el signo a un numero es poniendole un signo − adelante. Entonces, para x < 0, valeque |x| = −x.

La definicion de la funcion modulo es la que sigue:

|x| =

x si x ≥ 0

−x si x < 0

Esta definicion significa que, si nos dan un valor x para aplicarle la funcion, lo primero quedebemos observar es cual condicion cumple, es decir si x ≥ 0 o si x < 0. De acuerdo a estacondicion, aplicamos la formula correspondiente.

Por ejemplo, para calcular | − 4|, lo primero que vemos es que −4 < 0, luego debemos usarel segundo renglon de la definicion y resulta que | − 4| = −(−4) = 4.

Notemos que la funcion modulo coincide con la recta y = x para los x ≥ 0 y con la rectay = −x para los x < 0, por lo que su grafico resulta




y = |x|

0 1

1

Ejercicio 16. Representar graficamente la funcion f (x) = | ln(x)|.

SolucionPara resolver este ejercicio, tengamos en cuenta que el modulo no cambia a los numerospositivos o al cero pero que sı les cambia el signo a los negativos.

Ası, como el grafico de la funcion logaritmo natural es

01

y = ln(x)




entonces, el grafico de la funcion f (x) = | ln(x)| es

y = | ln(x)|

01

porque el modulo cambia el signo de ln(x) cuando el valor de ln(x) es negativo. 2

6.2. Funciones partidas

Ası como sucede con la funcion modulo que definimos antes, una funcion puede estar defi-nida por distintas formulas, dependiendo el valor de x al que se la aplicamos.

Ejemplo. Consideremos la funcion

f (x) =

3x + 5 si x ≤ −2

x2 si − 2 < x < 2

−x + 3 si 2 ≤ x

.

Resulta que

f (−4) = 3(−4) + 5 = −7 pues −4 ≤ −2

f (−1) = (−1)2 = 1 pues −2 < −1 < 2

f (5) = −5 + 3 = −2 pues 2 ≤ 5




Si queremos hacer un grafico de esta funcion, coincidira con la recta y = 3x + 5 para x ≤ −2,con la parabola y = x2 para −2 < x < 2 y con la recta y = −x + 3 para 2 ≤ x. Luego seraaproximadamente ası:

0−2 2

4

1

−1

y = f (x)

Ejercicio 17. A partir del grafico anterior de f , calcular su imagen y determinar lacantidad de soluciones de la ecuacion y = f (x) dependiendo del valor de y.

SolucionA partir del grafico puede verse que la imagen de f es

Im( f ) = (−∞; 4)

(o lo que es lo mismo, los valores de y tales que la ecuacion y = f (x) tiene solucion son losy estrictamente menores que 4).Dependiendo de los valores de y, podemos ver la cantidad de soluciones x en el graficosiguiente:




0−2 2

4

1

−1

y = 5

y = 3

y = 0, 5

y = −0, 5

y = −2

y = f (x)

Luego, la ecuacion y = f (x)

no tiene solucion si y ≥ 4.

tiene solucion unica si −1 < y < 0.

tiene dos soluciones si y ≤ −1, y = 0 o 1 < y < 4.

tiene tres soluciones si 0 < y ≤ 1.

2

Con este material se puede resolver toda la Practica 1.


Juan Sabia (2015), Funciones, Teoricas de Analisis Matematico (28).



Teoricas de Analisis Matematico (28) - Practica 4 - Lımite de funciones

Practica 4 - Parte 1

Lımite de funciones

En lo que sigue, veremos como la nocion de lımite introducida para sucesiones se extiendeal caso de funciones reales. Esto nos permitira estudiar el comportamiento de una funcionf ”en el infinito” (es decir, los valores f (x) para x ”grandes” en valor absoluto) y en los”bordes” de su dominio de definicion, de manera de obtener informacion util para la cons-truccion del grafico de f .

1. Lımites en el infinito - Asıntotas horizontales

Comenzaremos estudiando el comportamiento de una funcion de variable real x para valo-res ”grandes” de x, ya sean positivos o negativos.

Consideremos la funcion f cuyo grafico es el siguiente:

y = f (x)2

7

x → +∞−∞← x

Cuando x toma valores positivos muy grandes, f (x) toma valores cercanos a 2; mas preci-samente, los valores de f (x) se acercan tanto como se desee a 2 si se consideran valores dex positivos suficientemente grandes. Se dice, entonces, que f tiende a 2 cuando x tiende a masinfinito o que el lımite cuando x tiende a mas infinito de f (x) es 2, y se nota:

limx→+∞

f (x) = 2.

Ademas, se dice que la recta de ecuacion y = 2 es una asıntota horizontal para f .Por otra parte, cuando x toma valores negativos suficientemente grandes en valor absoluto,f toma valores tan cercanos a 7 como se quiera; es decir, el lımite cuando x tiende a menosinfinito de f (x) es 7. Esto se nota:

limx→−∞

f (x) = 7.




En este caso, se dice tambien que la recta de ecuacion y = 7 es una asıntota horizontal para f .

Para la funcion g cuyo grafico es

y = g(x)

x → +∞−∞← x

tenemos que, cuando x tiende a mas infinito y a menos infinito, g(x) toma valores arbitra-riamente grandes, es decir:

limx→−∞

g(x) = +∞ y limx→+∞

g(x) = +∞ .

En este caso, no hay asıntotas horizontales.

Finalmente, consideremos la funcion h cuyo grafico es el siguiente:

y = h(x)

−1 x → +∞−∞← x

Aunque tenemos quelim

x→−∞h(x) = −1 ,

cuando analizamos el lımite cuando x tiende a mas infinito, no ocurre ninguna de las situa-ciones que hemos visto: los valores de h(x) no se acercan a ningun numero particular ni sevan a mas o menos infinito; por lo tanto, no existe lim

x→+∞h(x). Para esta funcion, la recta de

ecuacion y = −1 es asıntota horizontal.

En la entrada ”Lımites en el infinito” se pueden encontrar las definiciones matematicas pre-cisas de estas nociones. Sin embargo, para poder entender mejor el concepto de lımite, reco-mendamos, en primer lugar, concentrarse en los ejemplos que presentamos a continuacion.




1.1. Lımite en infinito de funciones dadas por formulas

Presentamos ahora algunos ejemplos de calculo de asıntotas horizontales para funcionesdadas por su formula f (x) y la informacion que esto nos provee en relacion al grafico de f .

Ejemplo 1. Consideremos la funcion f (x) =2x2

x2 + 1.

Esta funcion esta definida en todo R. Para calcular su lımite en +∞, podemos proceder enforma analoga a lo visto para sucesiones:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

2x2

x2 + 1= lim

x→+∞

2��x2

��x2(

1 +1x2︸︷︷︸→0

) = 2.

Por otro lado, observamos que, como la variable aparece al cuadrado en la expresion de f ,cuando x tiende a−∞ el comportamiento de la funcion es igual al que tiene cuando x tiendea +∞, de modo que

limx→−∞

f (x) = 2.

Observamos que2x2

x2 + 1< 2 para todo x, con lo que el aspecto del grafico de f en +∞ y en

−∞ es aproximadamente:

y = f (x)

2

x → +∞−∞← x

Ejemplo 2. Sea g(x) = e1x .

El dominio de la funcion g es el conjunto R− {0}. Para calcular los lımites de esta funcion

en +∞ y en −∞, observamos, en primer lugar, el comportamiento del exponente1x

. Vemos




que, cuando x tiende a −∞ o a +∞, el exponente1x

toma valores arbitrariamente chicos, esdecir, tiende a 0. Entonces:

limx→−∞

g(x) = limx→−∞

e

→0︷︸︸︷1x = e0 = 1

y, de la misma manera,lim

x→+∞g(x) = 1.

Ası, la recta de ecuacion y = 1 es una asıntota horizontal para g tanto en −∞ como en +∞.Con el objeto de hacer un grafico aproximado de la situacion, queremos determinar si elgrafico de f se halla por arriba, por debajo o interseca a la asıntota horizontal. Para esto,

analizamos mas en detalle los valores que toma la funcion. Para x > 0, tenemos que1x> 0

y, en consecuencia, e1x > e0 = 1, mientras que para x < 0, tenemos que

1x< 0, con lo cual

e1x < e0 = 1. Ası, el grafico de f estara por arriba de la recta y = 1 cuando x → +∞ y por

debajo de la recta y = 1 cuando x → −∞:

y = e1x

1

x → +∞−∞← x

En los ejemplos siguientes veremos que, cuando una recta y = y0 es asıntota horizontal deuna funcion f , no siempre lo es en +∞ y en −∞ (ver, tambien, los graficos al comienzo).

Ejemplo 3. Consideremos la funcion f (x) = ex.

Esta funcion esta definida en todo R y sabemos que

limx→−∞

ex = 0 y limx→+∞

ex = +∞.

Por lo tanto, la recta de ecuacion y = 0 es asıntota horizontal para f , pero el grafico de f ”seacerca” a esta recta solamente cuando x tiende a −∞:




y = ex

x → +∞−∞← x

Ejemplo 4. Sea g(x) =x

|x|+ 1.

Nuevamente se trata de una funcion definida en todo R.Para calcular el lımite cuando x tiende a−∞, nos interesan los valores de x grandes en valorabsoluto, pero negativos. Para estos valores, tenemos que x < 0 y, por lo tanto, |x| = −x.Entonces:

limx→−∞

g(x) = limx→−∞

x|x|+ 1

= limx→−∞

x−x + 1

= limx→−∞

�x

�x(− 1 +

1x

) = −1

y la recta de ecuacion y = −1 es asıntota horizontal para g en −∞.Por otro lado, cuando estudiamos el lımite cuando x tiende a +∞, nos interesan los valoresde x grandes. Estos valores cumplen que x > 0 y, en consecuencia, |x| = x. Entonces:

limx→+∞

g(x) = limx→+∞

x|x|+ 1

= limx→+∞

xx + 1

= limx→+∞

�x

�x(

1 +1x

) = 1

y la recta de ecuacion y = 1 es asıntota horizontal para g en +∞.De este modo, vemos que g tiene un comportamiento distinto en −∞ que en +∞; mas aun,tiene dos asıntotas horizontales distintas.Con la informacion obtenida y, observando que

x−x + 1

> −1 para x < 0 (lo que nos dice

que el grafico de g esta por encima de la recta y = −1 para x → −∞) y quex

x + 1< 1 para

x > 0 (con lo que el grafico de g esta por debajo de la recta y = 1 para x → +∞), concluimosque el aspecto del grafico de g en −∞ y en +∞ es aproximadamente:




y =x

|x|+ 1

1

−1

x → +∞−∞← x

1.2. Propiedades y mas ejemplos

Las propiedades y tecnicas vistas para el calculo de lımites de sucesiones se extienden al casode lımites de funciones; en particular, el algebra de lımites y las propiedades del ”sandwich”son validas tambien en el contexto de funciones reales.

Ejercicio 1. Para cada una de las siguientes funciones, calcular los lımites cuandox → +∞ y cuando x → −∞ y dar las ecuaciones de las asıntotas horizontales.

f (x) = −3x5 + x2 − 1

SolucionEmpecemos calculando el lımite cuando x tiende a −∞:

limx→−∞

f (x) = limx→−∞

(−3

→−∞︷︸︸︷x5︸︷︷︸

→+∞

+ x2︸︷︷︸→+∞

−1) = +∞.

Al intentar calcular el lımite cuando x tiende a +∞, nos encontramos con una indeter-minacion, ya que

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

(−3

→+∞︷︸︸︷x5︸︷︷︸

→−∞

+ x2︸︷︷︸→+∞

−1).

Para salvarla, sacamos como factor comun la maxima potencia de x que aparece (laidea es que, para valores grandes de x, el termino que determina el comportamientode f es el de la mayor potencia de x):

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

(−3x5 + x2 − 1) = limx→+∞

x5︸︷︷︸→+∞

(− 3 +

→0︷︸︸︷1x3 −

→0︷︸︸︷1x5

)︸︷︷︸

→−3

= −∞.




Como los dos lımites son infinitos, no hay asıntotas horizontales para f . 2

f (x) =√

x2 − x + 2− x

SolucionEl lımite de esta funcion cuando x → −∞ se puede calcular facilmente:

limx→−∞


√x2 − x + 2︸︷︷︸→+∞

− x︸︷︷︸→+∞

= +∞.

Procediendo en forma analoga para calcular el lımite cuando x → +∞, vemos que es-tamos en presencia de una indeterminacion del tipo ”(+∞)− (+∞)”. Como la funciones una diferencia que involucra una raız cuadrada, intentamos salvar la indetermina-cion multiplicando y dividiendo por la expresion conjugada

√x2 − x + 2 + x:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

(√x2 − x + 2︸︷︷︸→+∞

− x︸︷︷︸→+∞

)=

= limx→+∞

(√

x2 − x + 2− x)(√

x2 − x + 2 + x)√x2 − x + 2 + x

=

= limx→+∞

x2 − x + 2− x2√

x2 − x + 2 + x= lim

x→+∞

→−∞︷︸︸︷−x + 2√

x2 − x + 2 + x︸︷︷︸→+∞

=

= limx→+∞

x(− 1 +

2x)√

x2(1− 1

x+

2x2

)+ x

= limx→+∞

x(− 1 +

2x)

√x2

√1− 1

x+

2x2 + x

=

= limx→+∞

�x(− 1 +

2x)

�x(√(

1− 1x+

2x2

)+ 1) = −1

2

La recta de ecuacion y = −12

es asıntota horizontal. 2

f (x) =3x+1 + 43− 2 · 3x

SolucionPara comenzar, recordemos que lim

x→+∞3x = +∞ y lim

x→−∞3x = 0, ya que es una expo-

nencial de base mayor que 1.




En primer lugar, calculemos limx→+∞

f (x).

Como limx→+∞

3x+1 + 4 = +∞ y limx→+∞

3− 2 · 3x = −∞, se trata de una indeterminacion

del tipo ”∞∞

”. Para salvarla, sacaremos factor comun en el numerador y en el denomi-nador:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

3x+1 + 43− 2 · 3x = lim

x→+∞

3x+1(

1 +4

3x+1

)3x( 3

3x − 2) =

= limx→+∞

3 ·��3x(

1 +

→0︷︸︸︷4

3x+1

)��3x( 3

3x︸︷︷︸→0

−2) =

3−2

= −32

En consecuencia, la recta de ecuacion y = −32

es asıntota horizontal para f en +∞ .

Calculemos, ahora, limx→−∞

f (x).

Como limx→−∞

3x+1︸︷︷︸→0

+4 = 4 y limx→−∞

3− 2 · 3x︸︷︷︸→0

= 3, el lımite que queremos calcular es el

cociente de estos dos lımites:

limx→−∞


3x+1 + 43− 2 · 3x =

43

Entonces, la recta de ecuacion y =43

es asıntota horizontal en −∞ . 2

f (x) =sen x

x

SolucionComo no existen lim

x→−∞sen(x) ni lim

x→+∞sen(x) (la funcion oscila entre −1 y 1; por lo

tanto, los valores que toma para x ”grandes” en valor absoluto no se acercan a ningunvalor en particular), no podemos aplicar el algebra de lımites.

Miremos a la funcion f como un producto:

f (x) =1x

. sen(x)

La funcion1x

cumple que

limx→−∞

1x= 0 y lim

x→+∞

1x= 0




y la funcion sen(x) es acotada:

−1 ≤ sen(x) ≤ 1.

Entonces, tanto en−∞ como en +∞, estamos en presencia de una situacion del tipo ”0por acotado”. En consecuencia:

limx→−∞


1x︸︷︷︸→0

. sen(x)︸︷︷︸acot.

= 0 y limx→+∞

f (x) = limx→+∞

1x︸︷︷︸→0

. sen(x)︸︷︷︸acot.

= 0.

La recta de ecuacion y = 0 es asıntota horizontal para f . 2

Con lo visto hasta aquı, se puede resolver los ejercicios 1 y 2 de la Practica 4.

2. Lımite en un punto - Asıntotas verticales

Consideremos la funcion f cuyo grafico es el siguiente:

y = f (x)

1

x → 1− 1+ ← x

Observamos que, cuando x se acerca a 1 por la izquierda (es decir, considerando solo valoresx tales que x < 1), la funcion toma valores positivos arbitrariamente grandes. En este caso,decimos que el lımite de f (x) cuando x tiende a 1 por izquierda es +∞ y escribimos:

limx→1−

f (x) = +∞

(el signo − en 1− indica que la variable se acerca a 1 por izquierda).




Asimismo, a medida que x se acerca a 1 por la derecha (es decir, considerando solo valo-res x tales que x > 1), la funcion toma valores negativos arbitrariamente grandes en valorabsoluto. En este caso, decimos que el lımite de f (x) cuando x tiende a 1 por derecha es −∞ yescribimos:

limx→1+

f (x) = −∞

(el signo + en 1+ indica que la variable se acerca a 1 por derecha).

Consideremos ahora la funcion g cuyo grafico es el siguiente:

y = g(x)

1

2

x → 1− 1+ ← x

De manera similar al ejemplo anterior, observamos en el grafico que, cuando x se acerca a1 por la izquierda, la funcion g toma valores negativos que se hacen tan grandes en valorabsoluto como uno quiera con tal que x este suficientemente cerca de 1. Entonces:

limx→1−

g(x) = −∞.

En cambio, cuando x se acerca a 1 por la derecha, vemos que los valores de g(x) se hacen tancercanos al numero 2 como se quiera. Decimos entonces que el lımite de g(x) cuando x tiendea 1 por la derecha es 2 y escribimos:

limx→1+

g(x) = 2.

Si el lımite de una funcion, cuando x tiende a un valor x0 por izquierda, da infinito (+∞o −∞), o bien el lımite cuando x tiende a x0 por derecha da infinito, o si se dan ambassituaciones simultaneamente, se dice que la recta x = x0 es una asıntota vertical.Por ejemplo, las funciones f y g de los graficos de arriba tienen como asıntota vertical a la rec-ta de ecuacion x = 1 (si bien lim

x→1+g(x) = 2 no es infinito, alcanza con que lim

x→1−g(x) = −∞

para afirmar que x = 1 es asıntota vertical para g).




Los lımites por derecha y por izquierda no necesariamente deben dar distinto, o infinito. Porejemplo, en la funcion h del siguiente grafico

y = h(x)

•

x0

y0

vemos que dado un valor x0, si x esta suficientemente cerca de x0 (ya sea a la derecha o a laizquierda), los valores de h(x) estan arbitrariamente cerca del numero y0 = h(x0). Decimos,entonces, que el lımite de h(x) cuando x tiende a x0 es y0 y escribimos:

limx→x0

h(x) = y0

(la notacion x → x0 significa que x se acerca a x0 tanto por la derecha como por la izquierda).

En la entrada ”Lımite puntual” se puede encontrar la definicion precisa de esta nocion. Nue-vamente, recomendamos, en primer lugar, centrarse en los ejemplos que mostramos en lasproximas secciones.

2.1. Lımite puntual de funciones dadas por formulas

A continuacion, veremos algunos ejemplos de calculo de lımites y asıntotas verticales parafunciones dadas por su formula f (x) y la informacion que esto nos provee en relacion conel grafico de f .

Ejemplo 1. Consideremos la funcion f (x) =1x2 .

El dominio de f es Dom( f ) = R− {0}. Para valores ”cercanos” a 0, tanto si nos acercamospor la derecha como por la izquierda, la funcion toma valores arbitrariamente grandes, esdecir:

limx→0−

f (x) = limx→0−

1x2 = +∞ y lim

x→0+f (x) = lim

x→0+

1x2 = +∞.

Luego, la recta de ecuacion x = 0 es asıntota vertical para f y el grafico de f cerca de 0 esaproximadamente:




y = f (x)

x → 0− 0+ ← x

Ademas, podemos estudiar los lımites en +∞ y en−∞, lo que nos da mas informacion sobreel grafico de f :

limx→−∞

1x2 = 0 y lim

x→+∞

1x2 = 0

De este modo, deducimos que la recta de ecuacion y = 0 es asıntota horizontal para f , loque se refleja en su grafico como muestra la siguiente figura:

y = f (x)

x → +∞−∞← x

Ejemplo 2. Sea g la funcion definida por g(x) = e1x .

El dominio de g es R− {0}. Analicemos su comportamiento para valores cercanos a 0.

Cuando x → 0−, el exponente1x

tiende a−∞, pues toma valores negativos y arbitrariamentegrandes en valor absoluto. Recordando el comportamiento de la funcion exponencial en−∞,deducimos que

limx→0−

g(x) = limx→0−

e

→−∞︷︸︸︷1x = 0.




De manera similar, cuando x → 0+, el exponente1x

tiende a +∞ y, entonces, el comporta-miento de la funcion exponencial en +∞ implica que

limx→0+

g(x) = limx→0+

e

→+∞︷︸︸︷1x = +∞.

Ası, la recta de ecuacion x = 0 es una asıntota vertical para g (pero el grafico de g se apro-xima a esta recta solamente cuando x se acerca a 0 por la derecha). El grafico de g cerca de 0es aproximadamente:

y = e1x

x → 0− 0− ← x

Teniendo en cuenta la informacion que ya habıamos obtenido sobre el comportamiento de gen el infinito:

limx→−∞

e1x = 1 y lim

x→+∞e

1x = 1

y como se refleja en el grafico de g, concluimos que el aspecto del grafico de g es el siguiente:

y = e1x

1

x → +∞−∞← x

2.2. Propiedades y mas ejemplos

Al igual que en el caso de lımites en el infinito, las propiedades basicas que nos permi-ten calcular lımites, tales como el algebra de lımites, ”0 por acotado” y la propiedad del”sandwich´´, se extienden tambien a lımites en un punto.




Ejercicio 2. Para cada una de las siguientes funciones, determinar su dominio y darlas ecuaciones de sus asıntotas verticales y horizontales.

f (x) =2x2 − 3x + 1

x2 − 1

SolucionDado que f es un cociente de polinomios, el dominio de f esta formado por todos losnumeros reales que no anulan a su denominador. Como las soluciones de x2 − 1 = 0son x = 1 y x = −1, resulta que Dom( f ) = R− {−1, 1} .

Los valores de x que son candidatos a dar asıntotas verticales son los ”bordes” deldominio de f , es decir, los x que no pertenecen al dominio pero a los que nos podemosacercar por puntos del dominio; en este caso, x = 1 y x = −1. Estudiemos, entonces,los lımites cuando la variable tiende a estos valores:

limx→1

f (x) = limx→1

→0︷︸︸︷2x2 − 3x + 1

x2 − 1︸︷︷︸→0

Estamos en presencia de una indeterminacion del tipo ”00

”. Para intentar salvarla, co-mo x = 1 es raız del numerador y del denominador de la funcion, podemos factorizara cada uno de ellos (en cada caso, uno de los factores sera x− 1) y simplificar:

limx→1

2x2 − 3x + 1x2 − 1

= limx→1

��(x− 1)

→1︷︸︸︷(2x− 1)

��(x− 1) (x + 1)︸︷︷︸→2

=12

.

En consecuencia, x = 1 no es una asıntota vertical para f . Por otra parte,

limx→−1

f (x) = limx→−1

→6︷︸︸︷2x2 − 3x + 1

x2 − 1︸︷︷︸→0

= ∞.

Esto nos dice que la recta de ecuacion x = −1 es una asıntota vertical para f .

Podemos obtener mas informacion sobre el comportamiento de f cerca de −1 anali-zando los lımites laterales y determinando el signo de los valores que la funcion toma




a la izquierda y a la derecha de −1:

limx→−1−

f (x) = limx→−1−

2x2 − 3x + 1x2 − 1

= limx→−1−

→6︷︸︸︷2x2 − 3x + 1(x− 1)︸︷︷︸→−2

(x + 1)︸︷︷︸→0−

= +∞.

Aquı,→ 0− indica que los valores tienden a 0 por izquierda, es decir, siendo negativos(cuando x → −1−, se consideran valores x < −1, con lo cual x + 1 < 0); luego, porla regla de los signos, los valores que toma la funcion cuando x → −1− son positivos.Analogamente, se obtiene que

limx→−1+

f (x) = limx→−1+

2x2 − 3x + 1x2 − 1

= limx→−1+

→6︷︸︸︷2x2 − 3x + 1(x− 1)︸︷︷︸→−2

(x + 1)︸︷︷︸→0+

= −∞

(donde → 0+ significa que los valores tienden a 0 por la derecha, es decir, que sonpositivos).

Determinemos ahora, si existen, las asıntotas horizontales:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

2x2 − 3x + 1x2 − 1

= limx→+∞

��x2(2− 3x+

1x2 )

��x2(1− 1x2 )

= 2

y, de la misma manera, vemos que

limx→−∞

f (x) = 2.

En consecuencia, la recta de ecuacion y = 2 es una asıntota horizontal para f . 2

f (x) =√

x + 8− 3x2 − x

SolucionEl dominio de f esta formado por aquellos valores de x para los cuales no se hace ceroel denominador y, ademas, el argumento de la raız cuadrada es mayor o igual que 0:

x2 − x 6= 0 y x + 8 ≥ 0

⇐⇒ x(x− 1) 6= 0 y x ≥ −8




⇐⇒ x 6= 0, x 6= 1 y x ≥ −8

por lo que tenemos que Dom( f ) = [−8, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1,+∞) .

Los candidatos a asıntotas verticales son x = 0 y x = 1. Estudiemos los lımites corres-pondientes.

En primer lugar, analizamos el comportamiento de f para x → 0:

limx→0

f (x) = limx→0

√x + 8− 3x2 − x

= limx→0

→√

8−3 (<0)︷︸︸︷√x + 8− 3x2 − x︸︷︷︸→0

= ∞.

Concluimos que la recta de ecuacion x = 0 es asıntota vertical para f .

Por otro lado:

limx→1

f (x) = limx→1

√x + 8− 3x2 − x

=↓

indet. 00

limx→1

(√

x + 8− 3)(√

x + 8 + 3)(x2 − x)(

√x + 8 + 3)

=

= limx→1

(x + 8)− 9(x2 − x)(

√x + 8 + 3)

= limx→1

x− 1(x2 − x)(

√x + 8 + 3)

=↓

indet. 00

= limx→1

��x− 1x��(x− 1)(

√x + 8 + 3)

= limx→1

1x︸︷︷︸→1

(√

x + 8 + 3︸︷︷︸→6

)=

16

por lo que vemos que x = 1 no es asıntota vertical para f .

Para determinar las asıntotas horizontales de f , debemos estudiar el lımite cuando xtiende +∞ (observamos que, por como es el dominio de f , no tiene sentido el lımite en−∞, ya que x no puede tomar valores menores que −8):




limx→+∞

f (x) = limx→+∞

√x + 8− 3x2 − x

=↓

indet. ∞∞

limx→+∞

√x(

1 +8x

)− 3

x2(

1− 1x2

) =

= limx→+∞

√x.

√1 +

8x− 3

x2(

1− 1x2

) = limx→+∞

��√

x.

(√1 +

8x− 3√

x

)

x�232

(1− 1

x2

) =

= limx→+∞

→0︷︸︸︷1

x32

.

→1−0=1︷︸︸︷(√1 +

8x− 3√

x

)(

1− 1x2

)︸︷︷︸

→1

= 0.

En consecuencia, la recta de ecuacion y = 0 es asıntota horizontal para f en +∞ . 2

f (x) = x sen(1

x

)SolucionEn este caso, como la funcion seno esta definida para todo numero real, el unico valorde x ∈ R que no esta en el dominio de f es el que anula al denominador de la fraccion1x

a la que se le aplica; entonces, tenemos que Dom( f ) = R− {0} .

Analicemos el comportamiento de f cerca de 0. Para esto calculamos el lımite

limx→0

f (x) = limx→0

→0︷︸︸︷x sen

(1x

)︸︷︷︸

acotada

= 0.

Esto nos dice que la recta de ecuacion x = 0 es asıntota vertical para f .

Al intentar determinar si el grafico de f tiene asıntotas horizontales, nos encontramoscon una indeterminacion:

limx→∞

f (x) = limx→∞

→∞︷︸︸︷x sen

(1x

)︸︷︷︸→0

.

Veremos como salvar esta indeterminacion mas adelante. . . 2




2.3. Dos ejemplos importantes

En lo que sigue, nos interesa estudiar el comportamiento de las funciones

f (x) =ex

xy g(x) =

ln(x)x

en los ”bordes” de sus dominios, analizando la existencia de asıntotas horizontales y verti-cales.

f (x) =ex

xEl dominio de esta funcion es Dom( f ) = R− {0}, ya que la funcion exponencial estadefinida en todo R y la division por x puede efectuarse si y solo si x 6= 0.

Para analizar el comportamiento de f cerca de 0, calculamos los lımites laterales cuan-do x → 0+ y x → 0−:

limx→0−

f (x) = limx→0−

→1︷︸︸︷ex

x︸︷︷︸→0−

= −∞ y limx→0+

f (x) = limx→0+

→1︷︸︸︷ex

x︸︷︷︸→0+

= +∞

Concluimos que la recta de ecuacion x = 0 es asıntota vertical para f .

Veamos, ahora, lo que ocurre cuando x → −∞, es decir, para valores de x negativos ygrandes en valor absoluto:

limx→−∞


ex

x= lim

x→−∞

1x︸︷︷︸→0

· ex︸︷︷︸→0

= 0

De esta manera, vemos que la recta de ecuacion y = 0 es asıntota horizontal para f en−∞.

Nos queda por ver que ocurre para valores positivos grandes de x, es decir, cuandox → +∞. En este caso, estamos en presencia de una indeterminacion:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

→+∞︷︸︸︷ex

x︸︷︷︸→+∞

Recordemos que, al estudiar sucesiones en la Practica 3, vimos que

limn→∞

en

n= +∞.




Esto nos lleva a pensar que el lımite que queremos calcular tambien deberıa ser +∞.Apliquemos el resultado sobre la sucesion para ver que, en efecto, esto es ası. La ob-servacion importante es que, para cada numero x ∈ R>0, hay algun numero natural ntal que

n ≤ x < n + 1.

Entoncesen ≤ ex y

1n + 1

<1x

con lo cual,en

n + 1<

ex

x.

Ahora, cuando x → +∞, los valores de n correspondientes tambien tienden a infinitoy, como

limn→∞

en

n + 1= lim

n→∞

en

n︸︷︷︸→+∞

· nn + 1︸︷︷︸→1

= +∞,

de la desigualdad anterior deducimos que

limx→+∞

ex

x= +∞

(y no hay asıntota horizontal en +∞). El hecho de que el cocienteex

xtienda a +∞

cuando x → +∞, puede interpretarse como que la funcion exponencial ”crece mas rapido”que la funcion lineal.

Con la informacion obtenida a partir de los lımites que calculamos, podemos hacer ungrafico aproximado de f cerca de 0 y para valores grandes de x:

y =ex

x




g(x) =ln(x)

xEl dominio de g es Dom(g) = (0,+∞), ya que el dominio del logaritmo es este inter-valo y la division por x puede efectuarse para todo x 6= 0.

Para analizar el comportamiento de g ”cerca de 0” calculamos el lımite de la funcioncuando x tiende a 0 por derecha, pues g no esta definida para x < 0. Recordando elcomportamiento de la funcion logaritmo cerca de cero, tenemos que

limx→0+

g(x) = limx→0+

→−∞︷︸︸︷ln(x)

x︸︷︷︸→0+

= −∞.

De esta manera, vemos que la recta de ecuacion x = 0 es una asıntota vertical para g.

Por otro lado, estudiemos el lımite de la funcion cuando x → +∞. Nos encontramoscon una indeterminacion:

limx→+∞

g(x) = limx→+∞

→+∞︷︸︸︷ln(x)

x︸︷︷︸→+∞

.

Para poder calcular este lımite, haremos un cambio de variables de manera de reducirloa un lımite conocido o mas facil de calcular. En este caso, tomamos y = ln(x). Obser-vemos que cuando x → +∞, resulta que y → +∞. Entonces, en terminos de la nuevavariable y, el lımite que queremos calcular es

limx→+∞

ln(x)x

= limy→+∞

yey .

Aunque seguimos teniendo una indeterminacion del tipo ”∞∞

”, al reescribir la fraccionque aparece, obtenemos la funcion f del ejemplo anterior, cuyo lımite ya conocemos:

limy→+∞

yey = lim

y→+∞

1ey

y︸︷︷︸→+∞

= 0.

Podemos interpretar este resultado como que la funcion logaritmo crece ”mas lentamente”que la funcion lineal.

Finalmente, si observamos tambien que la funcion g(x) =ln(x)

xtoma valores positivos

para valores grandes de x, podemos hacer un grafico que refleja el comportamiento deg en los ”bordes” de su dominio:




y =ln(x)

x

Con lo visto hasta aquı, se puede resolver hasta el ejercicio 7 de la Practica 4.

3. Lımites especiales

Estudiaremos ahora dos lımites especiales que utilizaremos como base para el calculo deotros lımites.En primer lugar, consideraremos el siguiente lımite:

limx→0

sen(x)x

Dado que limx→0

sen(x) = 0, se trata de una indeterminacion del tipo00

. Mediante un razona-

miento geometrico que se puede ver en la entrada ”Calculo de un lımite especial”, se deduceque vale:

Propiedad.

limx→0

sen(x)x

= 1

Mas aun, si hacemos un cambio de variables para reducirlo al caso anterior, resulta que:

Si f es una funcion tal que limx→a

f (x) = 0, entonces limx→a

sen( f (x))f (x)

= 1.




A continuacion, aplicaremos este resultado para el calculo de otros lımites que involucranindeterminaciones con funciones trigonometricas.

Ejercicio 3. Calcular los siguientes lımites.

limx→0

sen(3x)sen(4x)

SolucionEs una indeterminacion del tipo

00

en la que el numerador y el denominador involu-cran la funcion seno. Para calcular el lımite, reescribiremos la funcion en terminos de

funciones del tiposen( f (x))

f (x)con f (x)→ 0.

limx→0

sen(3x)sen(4x)

= limx→0

sen(3x)1

sen(4x)= lim

x→0

34

→1︷︸︸︷sen(3x)

3x1

sen(4x)4x︸︷︷︸→1

=34

2

limx→0

x + sen(x)sen(3x)− x2

SolucionNuevamente se trata de una indeterminacion del tipo

00

. Dividimos numerador y de-nominador por x y aplicamos la propiedad distributiva con respecto a la suma parareescribir la funcion en terminos de otras cuyos lımites podemos calcular y, de estemodo, salvamos la indeterminacion:

limx→0

x + sen(x)sen(3x)− x2 = lim

x→0

x+sen(x)x

sen(3x)−x2

x

= limx→0

1 + sen(x)x

sen(3x)x − x

= limx→0

1 +

→1︷︸︸︷sen(x)

x

3 sen(3x)3x︸︷︷︸→1

−x=

23

2

limx→+∞

x. sen(1

x

)Solucion




Como1x→ 0 cuando x → +∞, tenemos una indeterminacion del tipo ∞ · 0. Reescri-

biendo la funcion resulta:

limx→+∞

x. sen(1

x

)= lim

x→+∞

sen(

1x

)1x

= 1

Podemos, ahora, completar el analisis de asıntotas para la funcion f (x) = x sen(1

x

)que habıamos comenzado en el Ejercicio 2: por el calculo anterior, la recta de ecuaciony = 1 es asıntota horizontal en +∞ para f . De igual manera, se ve que la misma rectaes, tambien, asıntota horizontal en −∞. 2

limx→0

cos(x)− 1x

SolucionNuevamente nos encontramos frente a una indeterminacion del tipo

00

, dado quelimx→0

cos(x) = 1. En este caso, a diferencia de los anteriores, la funcion involucrada

es coseno, en lugar de seno. Recordando la identidad sen2(x) + cos2(x) = 1, valida pa-ra todo x, obtenemos una nueva expresion para el calculo del lımite multiplicandonumerador y denominador por cos(x) + 1:

limx→0

cos(x)− 1x

= limx→0

(cos(x)− 1)(cos(x) + 1)x(cos(x) + 1)

= limx→0

cos2(x)− 1x(cos(x) + 1)

=↓

cos2(x)=1−sen2(x)

= limx→0

− sen2(x)x(cos(x) + 1)

= limx→0

sen(x)x︸︷︷︸→1

−→0︷︸︸︷

sen(x)cos(x)︸︷︷︸→1

+1= 0

2

En base al ejercicio anterior, se puede resolver el ejercicio 8 de la Practica 4.




El segundo de los lımites especiales que nos interesa calcular es el siguiente:

limx→+∞

(1 +

1x

)x

Como limx→+∞

1 +1x= 1, estamos ante una indeterminacion del tipo 1∞.

Recordemos que, al estudiar sucesiones en la Practica 3, vimos que

limn→∞

(1 +

1n

)n= e,

es decir, conocemos el valor del lımite cuando la variable x toma valores en los numeros na-turales en lugar de numeros reales. Sin embargo, de manera similar a lo hecho para calcular

limx→+∞

ex

x, se puede deducir que tambien vale:

Propiedad.

limx→+∞

(1 +

1x

)x= e

y que lo mismo ocurre para x → −∞, es decir:

limx→−∞

(1 +

1x

)x= e

A partir de este resultado, es posible calcular otros lımites en el caso de indeterminacionesdel tipo 1∞; por ejemplo, calculemos

limx→0

(1 + x)1x

(observemos que, en efecto, se trata de una indeterminacion del tipo 1∞). Al hacer el cambio

de variable y =1x

, nos queda:

limx→0

(1 + x)1x = lim

y→∞

(1 +

1y

)y= e.

Ejercicio 4. Calcular los siguientes lımites.




limx→−∞

(1 +

3x + 1

) x2

2x+1

SolucionCalculando los lımites de las funciones que aparecen en la base y en el exponente,

obtenemos que limx→−∞

1 +3

x + 1= 1 y lim

x→−∞

x2

2x + 1= −∞, con lo cual se trata de una

indeterminacion del tipo 1∞.

Al igual que para el calculo de lımites de sucesiones que dan lugar a indeterminacionesdel tipo 1∞, para aplicar la propiedad vista anteriormente, reescribiremos la funcioncomo una potencia de otra de la forma(

1 +1

f (x)

) f (x)con lim

x→−∞f (x) = ∞.

Comenzamos reescribiendo la base de la potencia y, a continuacion, el exponente:

limx→−∞

(1 +

3x + 1

) x2

2x+1= lim

x→−∞

(1 +

1x+1

3

) x2

2x+1=

= limx→−∞

((1 +

1x+1

3

)→−∞︷︸︸︷x+1

3

︸︷︷︸→e

) 3x+1

x2

2x+1

Calculamos, ahora, el lımite de la funcion que aparece en el exponente:

limx→−∞

3x2

(x + 1)(2x + 1)= lim

x→−∞

3(1 + 1

x )(2 +1x )

=32

.

En consecuencia:

limx→−∞

(1 +

3x + 1

) x2

2x+1= lim

x→−∞

((1 +

1x+1

3

) x+13

︸︷︷︸→e

) 3x2

(x+1)(2x+1)︸︷︷︸→ 3

2 = e32

2

limx→3

(2x + 13x− 2

) xx−3




SolucionObservamos que se trata de una indeterminacion del tipo 1∞, ya que

limx→3

2x + 13x− 2

= 1 y limx→3

xx− 3

= ∞.

Entonces, para calcular el lımite, reescribiremos la funcion de manera similar a lo hechoen el ejemplo anterior:

limx→3

(2x + 13x− 2

) xx−3

= limx→3

(1 +

2x + 13x− 2

−1) x

x−3= lim

x→3

(1 +

3− x3x− 2

) xx−3

=

= limx→3

(1 +

13x−23−x

) xx−3

= limx→3

((1 +

13x−23−x︸︷︷︸→∞

)3x−23−x

) 3−x3x−2

xx−3

= limx→3

((1 +

13x−23−x

)3x−23−x

︸︷︷︸→e

) →− 37︷︸︸︷

−x3x−2

= e−37

2

limx→0

ln(1 + x)x

SolucionEn este caso, se trata de una indeterminacion del tipo

00

. Sin embargo, al reescribir lafuncion, nos encontraremos nuevamente en el caso 1∞ conocido:

limx→0

ln(1 + x)x

= limx→0

1x

ln(1 + x) =↓

a ln(b)=ln(ba)

limx→0

ln((1 + x)

1x︸︷︷︸

→e

)= ln(e) = 1

2

limx→0

ex − 1x

SolucionTenemos una indeterminacion del tipo

00

.

Haremos el cambio de variables y = ex − 1 (o sea, x = ln(1 + y)) para transformar ellımite en otro que ya sabemos calcular. En este caso, si x → 0, entonces y→ 0. El lımitequeda:




limx→0

ex − 1x

= limy→0

yln(1 + y)

= limy→0

1ln(1+y)

y︸︷︷︸→1

= 1

2

Con lo visto hasta aquı, se puede resolver hasta el ejercicio 10 de la Practica 4.




ANEXO

A. Definiciones de lımite

Introducimos, a continuacion, las definiciones precisas relacionadas con lımites de funcio-nes, tanto en el caso de lımites en el infinito como en el de lımites puntuales.

A.1. Lımites en el infinito

Se dice que el lımite cuando x tiende a +∞de f (x) es un numero L, y se escribe:

limx→+∞

f (x) = L

si para todo ε > 0, existe K ∈ R tal que six > K, entonces | f (x)− L| < ε.

y = f (x)

LL + ε

L− ε

K x → +∞

Para x > K, el grafico de f esta dentrode la franja celeste.

Se dice que el lımite cuando x tiende a −∞de f (x) es un numero L, y se escribe:

limx→−∞

f (x) = L

si para todo ε > 0, existe K ∈ R tal que six < K, entonces | f (x)− L| < ε.

y = f (x)

LL + ε

L− ε

K−∞← x

Para x < K, el grafico de f esta dentrode la franja naranja.




En cualquiera de los dos casos anteriores, decimos que la recta y = L es una asıntota horizon-tal para f .

y = f (x)

x → +∞K

M

Para x > K, el grafico de f esta dentrodel sector celeste.

Se dice que el lımite cuando x tiende a +∞de f (x) es +∞, y se escribe:

limx→+∞

f (x) = +∞

si para todo M ∈ R, existe K ∈ R tal que six > K, entonces f (x) > M.

y = f (x)

−∞← xK

M

Para x < K, el grafico de f esta dentrodel sector naranja.

Se dice que el lımite cuando x tiende a −∞de f (x) es +∞, y se escribe:

limx→−∞

f (x) = +∞

si para todo M ∈ R, existe K ∈ R tal que six < K, entonces f (x) > M.

De manera analoga, se dice que:

el lımite cuando x tiende a +∞ de f (x)es −∞, y se escribe:

limx→+∞

f (x) = −∞

si para todo M ∈ R, existe K ∈ R talque si x > K, entonces f (x) < M.

el lımite cuando x tiende a −∞ de f (x)es −∞, y se escribe:

limx→−∞

f (x) = −∞

si para todo M ∈ R, existe K ∈ R talque si x < K, entonces f (x) < M.





A.2. Lımite puntual

Presentamos, a continuacion, la definicion precisa de lımite puntual en el caso en que estelımite es un numero real.

Se dice que el lımite cuando x tiende a x0 def (x) es un numero L, y se escribe:

limx→x0

f (x) = L

si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si0 < |x− x0| < δ, entonces | f (x)− L| < ε.

y = f (x)

LL + ε

L− ε

x0 x0 + δx0 − δ

Para 0 < |x− x0| < δ, el graficode f esta dentro del sector verde.

En palabras, la definicion nos dice que limx→x0

f (x) = L cuando, dada una distancia ε > 0

cualquiera, si x esta suficientemente cerca de x0, entonces el valor de f (x) esta a distanciamenor que ε de L.


B. Calculo de un lımite especial

Nos concentraremos, a continuacion, en el calculo del siguiente lımite:

limx→0

sen(x)x

.

Para deducir el valor de este lımite, utilizaremos una visualizacion geometrica. Considere-mos un angulo de x radianes (con 0 < x <

π

2) con vertice en el origen de coordenadas O, un

lado sobre el eje de las abscisas y el otro, en el primer cuadrante. Los lados de este angulo in-tersecan a la circunferencia de radio 1 en dos puntos, P y Q, determinando un sector circularPOQ. Construimos dos triangulos rectangulos, OAP y OQB, como se muestra en la figura:




xO A Q

P B

Graficamente, podemos observar la siguiente relacion entre las areas del sector circular y losdos triangulos rectangulos:

area(4OAP) < area(POQ) < area(4OQB)

Calculemos estas areas en funcion de x:

En el triangulo OAP, tenemos que la medida de su base OA es cos(x), mientras que sualtura AP mide sen(x); luego,

area(4OAP) =12

cos(x) sen(x).

En el triangulo OQB, la base OQ mide 1 (es el radio de la circunferencia). Para calcularla medida h de la altura QB, recordemos que el cociente entre las medidas de los dos

catetos del triangulo, BQ y OQ, es tg(x); o sea queh1= tg(x). Entonces, h = tg(x), y

el area del triangulo resulta ser

area(4OQB) =12

tg(x) =12

sen(x)cos(x)

.

Finalmente, el area del sector circular es proporcional al angulo que lo determina y, te-niendo en cuenta que el area del cırculo (correspondiente a un angulo de 2π radianes)es π, resulta que

area(POQ) =12

x.

Reemplazando los valores calculados en la desigualdad entre areas, obtenemos:

12

cos(x) sen(x) <12

x <12

sen(x)cos(x)




Dividiendo cada miembro de la desigualdad anterior por12

sen(x) > 0, deducimos que

cos(x) <x

sen(x)<

1cos(x)

y, al considerar los inversos, llegamos a que para 0 < x <π

2vale:

1cos(x)

<sen(x)

x< cos(x).

Dado que limx→0+

cos(x) = 1, tambien vale limx→0+

1cos(x)

= 1 y, entonces, aplicando la propie-

dad del ”sandwich”, deducimos que

limx→0+

sen(x)x

= 1.

En forma similar, puede verse que

limx→0−

sen(x)x

= 1.

En consecuencia:

limx→0

sen(x)x

= 1



Juan Sabia (2015), Lımite de funciones, Teoricas de Analisis Matematico (28).



Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 4 – Continuidad

Área de Matemática – Ciclo Básico Común – Universidad de Buenos Aires 1

Práctica 4 – Parte 2

Continuidad

1. Idea de continuidadIntuitivamente una función es continua en un punto x a si está definida en dicho punto y sugráfico puede dibujarse sin tener que levantar el lápiz del papel. Para visualizar este concepto,consideremos las siguientes funciones reales en 2x :

13( )

2f x

x

La función 13( )

2f x

x

no está definida en 2 pues el dominio de la función es

( ) , 2 2,Domf x . Por lo visto al estudiar límite de funciones, sabemos que

12lim ( )x

f x

y observamos que al dibujarla hay que levantar el lápiz del papel, con lo cual

intuimos que esta función no es continua en 2x .

23 si 2

2 1 si 2x x

f xx x




La función 2 ( )f x está definida en 2 y 2 (2) 5f , o sea, el punto 2,5 está en el gráfico de 2 ( )f x ,

pero para dibujarla hay que levantar el lápiz, la función da un salto. Al aproximarse a 2 por laizquierda, la función se acerca a 3, es decir, 2

2lim ( ) 3x

f x

; sin embargo al acercarnos por la

derecha se acerca a 5: 22

lim ( ) 5x

f x

. Los límites laterales no coinciden, entonces

22lim ( )x

f x

no existe, sospechamos que la función no es continua en 2x .

2

3

4 si 22

1 si 2

x xf x xx

La función 3( )f x está definida en 2 y 3(2) 1f , es decir, el punto (2;1) está en el gráfico de la

función pero al acercarnos al 2 la función se acerca a 4, es decir, 32lim ( ) 4x

f x

. El valor de la

función no coincide con el límite. Acá, también vemos que la función no es continua.

2

4

4 si 22

4 si 2

x xf x xx

La función 4 ( )f x está definida en 2 y 4 (2) 4f ,o sea, el punto 2;4 está en el gráfico de la

función, y al aproximarse a 2 la función se acerca a 4, es decir, 42lim ( ) 4xf x

. Los valores de la

función y del límite en 2x coinciden. Se puede dibujar la función sin levantar el lápiz del papel.

Conclusión: la función 4 ( )f x es continua, las otras no lo son.




Esto nos hace notar que el concepto de continuidad está estrechamente ligado al concepto de límite.Empecemos definiendo la continuidad de una función en un punto y, después, veremos continuidaden un intervalo y sus consecuencias.

Definición. Una función f es continua en x a , si :1) Existe ( )f a , es decir, ( )a Dom f .

2) Existe lim ( )x af x

, es decir, lim ( ) lim ( )

x a x af x f x

.

3) El límite y el valor de la función coinciden, es decir lim ( ) ( )x af x f a

.

Al volver a los ejemplos, podemos afirmar que 2x :

La función 1( )f x es discontinua porque no cumple la condición 1).

La función 2 ( )f x es discontinua porque no cumple la condición 2).

La función 3( )f x es discontinua porque no cumple la condición 3), esta se conoce como

discontinuidad evitable.

La función 4 ( )f x resulta continua.

2. Funciones continuasUna función es continua si lo es en cada punto de su dominio.

Ejemplo. ( )f x x es continua para todo punto de su dominio. Domf .

Una función es continua en un intervalo, si lo es en cada punto de dicho intervalo.

Ejemplo. ( ) 2 8g x x definida en el intervalo 4 12x es continua.

La suma de funciones continuas es continua, así como también, el producto y el cociente donde eldenominador es no nulo.




Ejemplos. ( ) ( ) ( ) 2 8h x f x g x x x para 4x porque el dominio de ( )g x

( ) ( ). ( ) . 2 8k x f x g x x x también resulta continua.

Como la función ( )f x x es continua y una función polinómica es una combinación deproductos y sumas de estas, todas las funciones polinómicas son continuas.

Ejemplo. 3 2( ) 3 2 4f x x x x es una función polinómica, por lo cual es continua.

Las funciones ,sen( ) cos( ), y ln( )xx x e x son continuas en su dominio.

A las funciones que no son continuas, se las llama discontinuas. Hay discontinuidades como las del

ejemplo 13( )

2f x

x

donde no se puede redefinir la función y no se puede evitar pero otras si son

evitables.

2.1 Discontinuidades evitablesLa función 5( )

4 3xf xx

no está definida en 5x (se anula el denominador).

Con esto alcanza (condición 2) de la definición) para decir que f no es continua en ese punto

(es decir, ( )f x es discontinua en 5x ).

Sin embargo:

5 5 5 5

5 5 4 3lim ( ) lim lim lim( 4 3) 64 3 4 3 4 3x x x x

x x xf x xx x x

(La situación es similar a 3( )f x , ver su gráfico)

Como existe el límite de la función en 5x y es igual a 6 , “redefinimos” la función f“agregando” de esta manera el valor del límite en 5x (obtenemos una función continua).

La nueva función ( )g x definida así:

5 si 4 , 5( ) 4 3

6 si 5

x x xg x x

x

es continua en 5x .




Ejercicio 1. Decidir si 2 4 si 2

24 si 2

x xf x xx

es continua en 2x .

Solución

Para ver si la función es continua, debemos calcular el límite en 2x , reemplazando

2 4 ( 2)( 2)x x x y simplificando 2x , obtenemos2 2

( 2)( 2)lim lim 2 42x x

x x xx

.

Como el límite coincide con el valor de la función en el punto, podemos afirmar que ( )f x es

continua en 2x .

Ejercicio 2. Decidir si1 si 1

3 3( )si 1

6

x xxf xx x

es continua en 1x .

Solución

Para ver si la función es continua debemos calcular el límite en 1x , pero como es una funciónpartida debemos calcular los límites laterales en 1x .

Calculemos1

lim ( )xf x

, por la definición de la función, esto es igual a

1lim

6x

x

16

.

Calculemos1

lim ( )xf x

, por la definición de la función, esto es igual a

1

1lim3 3x

xx

.

Para calcular este límite, multiplicamos y dividimos por el conjugado de 1x o sea, 1x , el

producto da 1x ,11

1 1lim ( ) lim3( 1) 1xx

x xf xx x

y queda así

1

1 1lim63( 1) 1x

xx x

.

Entonces como los límites laterales coinciden, decimos que1

1lim ( )6

xf x y coincide con el valor

de la función en el punto. Podemos afirmar que ( )f x es continua en 1x .

Ejercicio 3. Decidir si sen(3 ) si 0

3 si 0

x xf x x

x x

es continua en 0x .

Solución




Para ver si la función es continua, debemos calcular el límite en 0x y ver si coincide con el valorde la función en dicho punto.

Al ser una función partida, tenemos que calcular los límites laterales y ver que coinciden.

Calculemos0 0

(3 )lim ( ) limx x

sen xf xx

.

Recordemos que0

sen( )lim 1x

axax

, lo utilizamos para calcular este límite, y al multiplicar

numerador y denominador por 3 queda0 0

(3 ) 3 (3 )lim lim 33x x

sen x sen xx x

.

Luego, calculemos0 0

lim ( ) lim 3 3x xf x x

.

Como (0) 3f y como los límites laterales coinciden con el valor de la función, podemos afirmarque la función ( )f x es continua en 0x .

Ejercicio 4. Hallar a para que la función2

3 si 9( ) 7 4

3 si 9

x xf x x

a x

sea continua en 9x .Solución

Por la condición 3), es necesario que 29

lim ( ) (9 ) 3xf x f a

.

Evaluamos el límite lateral de la función en 9x , o sea,9

lim ( )xf x

9

3lim7 4x

xx

multiplicando por los conjugados del numerador y del denominador obtenemos

9

3 3 7 4lim7 4 3 7 4x

x x xx x x

y como 3 3 9 x x x y 7 4 7 4 9 x x x

obtenemos 9

9 7 4lim9 3

x

x xx x 9

7 4 4lim33x

xx

.

Para que f sea continua, el límite debe coincidir con el valor de la función que es 23a , es decir que

24 33

a , por lo tanto, 2 4 2 ,9 3

o sea, a a .




La función resulta continua para 2 2,3 3

a a .

Pueden resolver los ejercicios 11 y 12 de la Práctica 4.

2.2 Propiedades de las funciones continuasComo consecuencia directa de la definición, las funciones continuas tienen las siguientespropiedades:

Conservación de signo. Si una función f es continua en x a y ( ) 0f a , entonces, fpermanece positiva “cerca de a” (o negativa si ( ) 0f a ).

Acotación en un entorno. Si una función f es continua en x a , entonces, ( )f x está acotadasuperior e inferiormente “cerca de a” (ver gráfico).

Demostración:

En la definición de límite de una función en un punto, como

lim ( ) ( )x af x f a

, si ( )

2f a

, mirar “fijo” el gráfico, se

obtienen los dos resultados:

1) ( ) 0f x si a x a .

2) ( )f x está acotada en a x a .

Pueden realizar el ejercicio 14 de la Práctica 4 omitiendo el ejercicio 13.

a a a

( )f a

( )( )

2f a

f a

( )( )

2f a

f a




Teorema de Bolzano. Si : ;f a b es una función

continua, tal que ( ) 0f a y ( ) 0f b (o al revés) entonces

existe ( ; )c a b tal que ( ) 0f c

Demostración :

Consideremos el conjunto

[ , ] : ( ) 0A x a b f x (en el gráfico es el pintado de rojo).

Observemos que A está acotado ( ;A a b ), A ( a A )

Entonces, existe el supremo A c , probaremos que ( ) 0f c .

Para ello, descartamos las otras dos posibilidades.

Si fuera ( ) 0f c :

Entonces a c b . Por la conservación del signo, ( ) 0f x en ( ;c c

para algún suficientemente chico. Luego, el conjunto A está “a laizquierda” de c . En otras palabras, c es una cota superior(menor que c) del conjunto A. Pero esto contradice que c es la menor delas cotas superiores de A.

Si fuera ( ) 0f c :

Entonces a c b . Por la conservación del signo, ( ) 0f x en

; )c c . Por lo tanto el intervalo ( ; )c c A . Es decir, hay

elementos de A “a la derecha” de c. Pero, esto contradice que c es cotasuperior de A.

Luego ( ) 0f c .

Ejercicio 5. Dada la ecuación 3 4 1 0x x demostrar que tiene una solución en elintervalo 0;1 .

Solució:

La función 3( ) 4 1f x x x es continua.

ab

c

Acc

c c

Elementos de A




Además, (0) 1 0f y (1) 1 4 1 2 0f .

El Teorema de Bolzano asegura que existe (0;1)c tal que ( ) 0f c .

Es decir, en el intervalo (0,1) tenemos una solución de 3 4 1 0x x .

Ejercicio 6. Hallar el conjunto de positividad de la función 3 2( ) 2f x x x x .

Solución

La función 3 2( ) 2f x x x x es continua.

Al sacar factor x común 2 2f x x x x y resolver la cuadrática, obtenemos todos los ceros

de ( ) 1 2f x x x x que son 0, 1, 2x x x .

El teorema de Bolzano nos asegura que: entre 2 ceros de la función ella se mantiene toda positiva otoda negativa con lo que basta estudiar el signo de f en los intervalos

; 1 , 1;0 , 0;2 , 2;

Como 2 8 0f entonces 0 en el intervalo ; 1 f .

Como 50,5 08

f entonces 0 en el intervalo 1;0 f .

Como 1 2 0f entonces 0 en el intervalo 0;2f .

Como 3 12 0f entonces 0 en el intervalo 2; f .

( 2)f ( )0,5f (1)f (3)f

negativo positivo negativo positivo

Luego, el conjunto de positividad de f es / 0A x f x = 1;0 2; .

Ejercicio 7. Demostrar que la ecuación 2 1x x tiene una solución en el intervalo 1;2 .

Solución

Llamemos 2( ) 1f x x x .Es fácil ver que la función f es continua en el intervalo 1;2 .

Al evaluar la función en los extremos del intervalo, obtenemos que (1) 1 0f y que

(2) 4 3 0f .




El teorema de Bolzano nos asegura que hay un punto 1;2c donde ( ) 0f c , con lo cual2 1 0 x x para algún 1;2x ,es decir, la ecuación 2 1x x tiene una solución en el intervalo

1,2 .

Ejercicio 8. Hallar en forma aproximada, con un decimal exacto, una solución de la ecuación:5 25 2 0x x .

Solución

Consideremos la función 5 2( ) 5 2f x x x , que es continua.

Además (0) 2 0f y (1) 1 5 2 4 0f .

El teorema de Bolzano asegura que existe (0;1)c tal que ( ) 0f c . Es decir, en el intervalo (0;1)

tenemos una solución de 5 25 2 0x x . En consecuencia, la parte entera de c es 0 (porque estáentre 0 y 1). Para encontrar el primer decimal, estudiamos el signo de 1 ; 0,2 ...f f etc. hasta

(0,8)f y vemos en qué intervalo cambia de signo. Haciendo esto se obtiene

(0,1)f (0, 2)f (0,3)f (0, 4)f (0,5)f (0,6)f (0,7)f (0,8)fnegativo negativo negativo negativo negativo negativo positivo positivo

Usamos el teorema de Bolzano en el intervalo 0,6;0,7 . En este intervalo, la función f pasa de

negativo a positivo, entonces existe un c en ese intervalo tal que ( ) 0f c . Por estar allí, se tieneque 0,6...c

El teorema de Bolzano es un teorema de existencia. Vemos en este ejemplo, que con solo saber queexiste, tenemos una “receta” (algoritmo) que permite encontrar la solución con la precisión que sequiera.

El teorema de Bolzano se generaliza fácilmente al teorema de valores intermedios.

Teorema de los valores intermedios. Sea : ;f a b es una función continua, si y es un

número comprendido entre ( )f a y ( )f b entonces existe ( ; )c a b tal que ( )f c y .

Para ilustrar la potencia de este resultado, planteamos un curioso problema.




Problema. Un automovilista sale de la ciudad A a las 12 hs y llega a la ciudad B a las 16 hstardando exactamente 4 horas en recorrer los 400 kilómetros que separa una ciudad de la otra. Enesas cuatro horas se pudo haber detenido un rato, ir muy despacio o ir muy rápido.Demostrar que, cualquiera haya sido el caso, existe un intervalo de una hora comprendida entre las12 hs y las 16 hs donde recorrió exactamente 100 kilómetros.Solución

Llamemos ( )f t a la cantidad de kilómetros que lleva recorridos a la hora t. Así (12) 0f y

(16) 400f . Asumimos que la función f es continua.

Consideremos, ahora, la función continua ( ) ( 1) ( )g t f t f t definida para 12 15t . La función gmide la cantidad de kilómetros recorridos entre la hora t y la hora 1t . Para resolver el problema,bastaría saber que existe un instante 0 (12,15)t tal que 0( ) 100g t . Veamos que el Teorema de losValores Intermedios puede venir en nuestra ayuda. Se tiene que

(12) (13) (12)g f f

(13) (14) (13)g f f

(14) (15) (14)g f f

(15) (16) (15)g f f

Si se suman estos cuatro números, se obtiene:

(12) (13) (14) (15) (16) (12) 400g g g g f f

En consecuencia los cuatro números no pueden ser todos menores que 100 porque, si así fuera, susuma no llegaría a 400. De la misma manera, no pueden ser todos mayores que 100 porque, en talcaso, su suma sería mayor que 400. Entonces alguno de los cuatro tiene que ser menor o igual que100 y algún otro tiene que ser mayor o igual que 100. (por ejemplo (13) 100g y (15) 100g ocualquier otro).

El teorema de los valores intermedios nos asegura que entre esos dos instantes (entre las 13 hs y las15 hs) hay un instante 0t tal que 0( ) 100g t .

No sabemos cuál es ese instante, pero sí sabemos que existe tal instante.

Se pueden resolver los ejercicios 15 a 19 de la Práctica 4.

Cintia Buxton, Lisi D’Alfonso, Flora Gutierrez, Gabriela Jeronimo, Gustavo Massaccesi, Juan Carlos Pedrazay Juan Sabia (2015), Continuidad, Teóricas de Análisis Matemático (28).


Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 5 – Derivadas


Práctica 5

Derivadas

La noción de derivada nos permitirá distinguir, no sólo los cambios que se producen entremagnitudes relacionadas entre sí, sino también lo más o menos rápidamente que ocurren estoscambios. La necesidad de medir y de cuantificar la variación ocurrida, fue lo que condujo a lanoción de derivada.

Para algunas funciones sucede que, en algún intervalo, al aumentar x aumenta también el valor de( )f x . Esto ocurre, por ejemplo para 2( )f x x y para 3( )g x x cuando [1, )x y tiene sentido

preguntarse cuál crece más deprisa que la otra. La derivada es una herramienta fundamental pararesponder a esta pregunta, así como a todo lo relacionado con el comportamiento de las funciones.

1. Recta tangente a una curva en un punto dado1.1 Idea intuitivaConsideramos una función :f y un punto 0 0( , ( ))P x f x de su gráfico. Queremos

determinar si existe la recta tangente al gráfico de f en el punto P. Para ello, consideramos un puntoQ P del gráfico de f y la recta secante por P y Q. Si el punto Q se acerca a P, moviéndose sobrela curva (gráfico de f ), las rectas secantes correspondientes se aproximarán a una recta queresponde a la idea geométrica de recta tangente a una curva en un punto dado. Así, la recta tangentea una curva en un punto P, surge como el límite de las rectas secantes PQ cuando Q se aproxima aP sobre la curva por derecha o por izquierda.

P

Q

0( )f x

0x




Observamos que alcanza con conocer la pendiente de la recta tangente al gráfico de f para obtenersu ecuación, ya que se conoce un punto de dicha recta: 0 0( , ( ))P x f x .

Con esta idea, y utilizando la noción de límite, calculamos la pendiente de la recta tangente algráfico de f en 0 0( , ( ))P x f x .

Cálculo de la pendiente de la recta tangente en 0 0 ( , ( ))P x f x

Consideramos un punto 0 0( , ( ))Q x h f x h con 0h . La pendiente de la recta por P y Q es

igual a 0 0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) .( )

f x h f x f x h f xx h x h

Para que el punto Q se acerque a P, lo que debe ocurrir es que la abscisa 0( )x h de Q tienda a la

abscisa 0x de P, lo que equivale a que h tienda a 0. Así, si existe 0 0

0

( ) ( )limh

f x h f x mh

,

diremos que m es la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto 0 0( , ( ))P x f x .

Ejemplo del cálculo de la pendiente la recta tangenteHallar, si existe, la pendiente de la recta tangente al gráfico de 2( )f x x en el punto

(2, (2)) (2,4).P f

0x h0x

h

P0( )f x

Q

0 0( ) ( )f x h f x

0( )f x h




Calculamos

0 0 0 0

2 2(2 ) (2) (2 ) 4 4 4 4 (4 )lim lim lim lim 4h h h h

f h f h h h h hh h h h

.

Es decir que la pendiente de la recta tangente en 2x es igual a 4.

Como la recta pasa por el punto (2, (2)) (2,4)f , la ecuación de la tangente es 4( 2) 4y x .

1.2. Derivada

Definición. Cociente incremental

Dada una función f definida en un intervalo ( , )a b y 0 ( , )x a b , al cociente 0 0( ) ( )f x h f xh

se lo

denomina cociente incremental. Hemos visto que, gráficamente es la pendiente de la recta secantepor los puntos 0 0( , ( ))P x f x y 0 0( , ( ))Q x h f x h con 0h .

Definición. Derivada en un puntoSea f definida en un intervalo ( , )a b y sea 0 ( , )x a b . Diremos que f es derivable en 0x si existe y

es finito el 0 0

0

( ) ( )limh

f x h f xh

. Cuando esto ocurre, el valor de dicho límite se denota 0( )f x (se

lee: f prima en 0x ) y se denomina derivada de f en 0x .

En el ejemplo anterior, vimos que 2( )f x x es derivable en x=2, y vale que (2) 4f .

Ecuación de la recta tangenteHemos definido la recta tangente al gráfico de una función f, en un punto 0 0( , ( ))P x f x , como la

recta límite de las rectas secantes PQ cuando 0 0( , ( ))Q x h f x h tiende a P permaneciendo en la

curva. Esta posición límite de las secantes tiene pendiente 0( )f x y esa recta pasa por P, por lo

tanto la ecuación de la recta tangente en 0 0( , ( ))x f x es

0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x .

Ejemplo del cálculo de la derivada en un punto




Sea ( ) 5f x x . Hallar el valor de la derivada en 0 4x y dar la ecuación de la recta tangente en

el punto (4, (4))f .

Calculamos el límite del cociente incremental cuando 0h .

0 0 0 0

(4 ) (4) 4 5 9 9 3 9 3lim lim lim lim 9 39 3h h h h

hh

f h f h h hh h h h

0 0 0

2(9 ) 3 1 1lim lim lim6( 9 3) ( 9 3) 9 3h h h

h hh h h h h

.

Hemos obtenido que f es derivable en x=4 y su derivada es 1(4)6

f .

Además, la ecuación de la recta tangente es 0 0 01( )( ) ( ) ( 4) 36

y f x x x f x x .

Resolver el ejercicio 1 de la Práctica.

Notemos que si en el límite

0 0

0

( ) ( )limh

f x h f xh

,

denotamos 0x h x , entonces que 0h es equivalente a que 0x x . Por lo tanto, el límite

anterior es el mismo que0

0

0

( ) ( )limx x

f x f xx x

y se tiene que

0

0 0 0

00

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim limh x x

f x h f x f x f xf xh x x

.

La primera consecuencia importante de que f sea derivable en 0x es que f es continua en 0x . Es

decir, para que una función pueda ser derivable en 0x es necesario que sea continua en 0x . Si no

hay continuidad, ya no es posible la derivabilidad. Por eso, debemos asegurarnos de que f escontinua antes de investigar si es derivable.Demostramos ahora esta afirmación.

TeoremaSi f es derivable en 0x entonces f es continua en 0x .

Demostración

Es unaindeterminación

del tipo 0/0




Por ser f derivable en 0x , existe 0( )f x y vale que 0 0

00( ) ( )( ) lim

h

f x h f xf xh

.

Queremos demostrar que0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

. Para ello calculamos

0 0 0 00

0

0 00 0

0

( ) ( ) ( ) ( )lim( ( ) ( )) lim lim l( im() )x x x x x x x x

x xx x

f x f x f x f xf x f x x xx x

0( ) 0 0f x .

De0

0lim( ( ) ( )) 0x x

f x f x

, se deduce que0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

. Por lo tanto, f es continua en 0x .

Veamos que la recíproca es falsa. Es decir que hay funciones continuas en un punto que no sonderivables en ese punto.

A continuación, dos ejemplos de funciones continuas en 0x y no derivables en 0x .

1. Sea :f , definida por ( )f x x .

Hemos visto que f es continua en , en particular lo es en 0x .

Para probar que no es derivable en 0, calculamos los límites laterales del cociente incremental.

0 0 0

0(0 ) (0)lim lim lim 1h h h

hf h f hh h h

0 0 0


hf h f hh h h

.

Como los límites laterales son distintos, f no es derivable en x=0 y no existe la recta tangente algráfico de f en (0,0). Dado que este punto es un punto “anguloso” del gráfico de f, esgeométricamente evidente que no puede existir una recta tangente.

Multiplicamos ydividimos por 0 0x x

Por propiedad del límitede un producto.




2. Sea :f , definida por 1( ) sen si 0f x x xx

y (0) 0f .

Analizamos la continuidad de f en x=0.

Como0 0

1lim ( ) lim .sen 0 (0)x x

f x x fx

, obtenemos que f es continua en 0.

Para analizar la derivabilidad, calculamos el límite cuando 0h del cociente incremental:

0 0 0

1sen(0 ) (0) 1lim lim limsenh h h

hf h f hh h h

.

Hemos visto que este límite no existe. Por lo tanto, f no es derivable en x=0.El siguiente es un gráfico aproximado de f.

Estudio de la derivabilidad de f en 0x . Ejercicio resuelto

Sea :f , definida por

3

2

1 si 1( )

3 1 si 12 2

x xf x

x x

Decidir si f es derivable en x=1. En caso afirmativo, dar la ecuación de la recta tangente al gráficode f en (1,f(1)).

Calculamos los límites laterales del cociente incremental.

Es “0×acotado”




1 1 1 1

3 3 2( ) (1) ( 1) 2 1 ( 1)( 1)lim lim lim lim 31 1 1 1x x x x

f x f x x x x xx x x x

.

1 1 1 1 1

2 2 23 1 3 3 32 ( 1)( ) (1) 32 2 2 2 2lim lim lim lim lim ( 1) 31 1 1 1 2x x x x x

x x xf x f xx x x x

Dado que los límites laterales coinciden, podemos afirmar que f es derivable en 1x

y que (1) 3f .

Además la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto (1,2) es

.

Definición. Función derivadaSea :f A , con A un intervalo abierto o una unión de intervalos abiertos. Diremos que f esderivable en A, si f es derivable en todo punto de A.Cuando esto ocurre, para cada x A , existe ( )f x . Tenemos una nueva función, que

llamaremos función derivada y que notaremos con f (se lee f prima) tal que, a cada x le asocia

( )f x .

2. Cálculo de algunas funciones derivadasDemostraremos la derivablidad de algunas funciones a través del cálculo del cociente incremental,y obtendremos cuánto valen sus derivadas en sus respectivos dominios. Comenzamos con lasfunciones más sencillas.

Sea :f definida por 2( )f x x .

Tenemos que

0 0 0 0

2 2 2( ) ( ) ( ) 2 (2 )lim lim lim lim 2h h h h

f x h f x x h x xh h h x h xh h h h

.

Luego, 2( )f x x es derivable en y su derivada es ( ) 2f x x .

Escribiremos también 2( ) =2x x .En particular, cuando x=2, (2) 4f como habíamos calculado al comienzo.La función ( )f x nos da el valor de la pendiente de la tangente en cada punto del gráfico de f.

(1)( 1) (1) 3( 1) 2 3 1y f x f x x .

.

.




Sea :f definida por ( )f x k , con k .

Calculamos el límite del cociente incremental:

0 0 0

( ) ( )lim lim lim 0 0h h h

f x h f x k kh h

.

Hemos obtenido que la función constante es derivable en , y su derivada es la función nula, loescribimos como 0k .Observemos que, como el gráfico de la función constante es una recta paralela al eje x, esta recta essu tangente en todo punto y su pendiente es igual a cero.

Sea : 0f definida por 1( )f xx .

En este caso, el límite del cociente incremental es

0 0 0

( )1 1( ) ( ) ( )lim lim lim

h h h

x x hf x h f x x h xx h x

h h h

0 0 21 1lim lim

( ) ( )h h

hh x h x x h x x

.

De este cálculo resulta que 1( )f xx es derivable en su dominio: 0 y su derivada es

21( )f x

x . Esto lo notamos como 2

1 1x x

.

Sea :f definida por ( ) senf x x .

Calculamos el límite del cociente incremental

0 0 0

1 12cos ( ) sen ( )( ) ( ) sen( ) sen 2 2lim lim lim

h h h

x h x x h xf x h f x x h x

h h h

0 0

2cos sen sen2 2 2lim lim cos cos .2

2h h

h h hxhx xhh

Reagrupandoconvenientemente.

Por continuidad del cos,

y por0

sen1x

x

x




Hemos obtenido que la función seno es derivable en , y su derivada es la función coseno.

Esto lo notamos como (sen ) cosx x .

Sea : (0; )f definida por ( ) cos( )f x x .

Calculamos el límite del cociente incremental

0 0 0

1 12sen ( ) sen ( )( ) ( ) cos( ) cos 2 2lim lim lim

h h h

x h x x h xf x h f x x h x

h h h

0 0

2sen sen sen2 2 2lim lim sen sen2

2h h

h h hxhx xhh

.

Hemos obtenido que la función coseno es derivable en , y su derivada es la función sen x . Esto

lo notamos como (cos )´ senx x .

Sea :f definida por ( ) ln( )f x x .

Calculamos el cociente incremental

1( ) ( ) ln( ) ln( ) 1 ln ln

hf x h f x x h x x h x hh h h x x

11ln 1 ln 1

x xh x hh h

x x x

.

Por lo tanto, usando que0

lim 1xh

h

h ex

, y que la función ln es continua, resulta

Reagrupandoconvenientemente

Por continuidaddel seno, y por

0

sen1x

x

x

Multiplicando ydividiendo por xen el exponente.

Por propiedaddel ln.




0

1 1 1lim ln 1 ln( ) .xh

h

h ex x x x

Luego, ( ) lnf x x es derivable en (0, ) y su derivada es 1( )f xx .

Escribiremos 1(ln( ))xx

.

Sea :f definida por ( ) xf x e .


( ) ( ) ( 1)x h x x hf x h f x e e e eh h h

. ( )

Definimos ( ) 1hk h e , entonces0

lim ( ) 0h

k h

, y tenemos que 1he k , o sea, ln( 1)h k .

Reemplazamos en ( ) y obtenemos que

11ln( 1) lnln( 1) ln( 1)

x x xx x

k

k e e ee ek ek kk

.

Luego, ( ) xf x e es derivable en y su derivada es ( ) xf x e .

Escribiremos x xe e .

Resolver los ejercicios 2, 3, 4 y 5 de la Práctica.

Usamos que1

0( 1) kkk e




2.1 Tabla de las derivadas de algunas funcionesf f

k 0

x 1

2x 2x

x 1x

x 12 x

xe xe

ln x 1x

sen x cos x

cos x sen x

3. Reglas de derivaciónLas funciones que vamos a estudiar en lo que sigue, están definidas como sumas, productos,

cocientes o composiciones de funciones elementales como las que figuran en la tabla anterior.

Veremos ahora cómo actúa la derivada con estas operaciones, lo que nos permitirá calcular

numerosas derivadas conociendo unas pocas de ellas.

3.1 Derivada de la suma y del producto de funciones

Reglas de derivación. Derivada de la suma y del producto de funcionesSean f y g funciones derivables, entonces las funciones f g , ( ) ( )c f x c y f g sonderivables y vale que:( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x f x g x

( ) ( ) ( )c f x c f x




Las demostraciones se deducen de las propiedades de límite y pueden verse en el Anexo A Regla de

la suma y del producto de funciones.

EjemplosPara las siguientes funciones f, calcular su función derivada f utilizando la tabla de derivadas y lasreglas de derivación.

3 1( )f x xx

3 22

1 1( ) ( ) 3f x x xx x

2( ) 5 3xf x e x

2( ) ( ) (5 ) 3 5 2 0 10x x xf x e x e x e x

( ) 3cosf x x x

1( ) (3cos ) ( ) 3sen2

f x x x xx

5( ) lnf x x x 5 5 4 5 4 41( ) ( ) ln (ln ) 5 ln 5 lnf x x x x x x x x x x xx

4( ) ( 2 ) senf x x x x

4 4 3 4( ) ( 2 ) sen ( 2 ) (sen ) (4 2) sen ( 2 ) cosf x x x x x x x x x x x x

Ejercicio resueltoSea 3 2( ) 36 2.12f x x x x Hallar todos los puntos del gráfico de f en los que la tangente esparalela al eje x.

Queremos que la recta sea paralela al eje x de modo que su pendiente debe ser igual a 0. Por lo

tanto, buscamos los x tales que ( ) 0f x . Es decir,

2( ) 3 24 36 0f x x x .

Resolvemos esta ecuación cuadrática y obtenemos

2 23 24 36 3( 8 12) 3( 2)( 6) 0x x x x x x .




Por lo tanto, los valores para los que la derivada es igual a 0 son 2x y 6x .

Finalmente, los puntos del gráfico de f en los que la tangente es horizontal son (2, 30) y (6, 2) . En

la figura se muestra un gráfico aproximado de la función f .

Resolver el ejercicio 6 de la Práctica desde a) hasta g).

Reglas de derivación. Derivada del cociente de funciones

Sean f y g funciones derivables, con ( ) 0g x , entonces la función fg

es derivable y vale que:

2( ) ( ) ( ) ( )( )

( )f f x g x f x g xxg g x

.

Ver la demostración en el Anexo B Derivada del cociente de funciones.


23 2 6( )sen

x xf xx

2 2 2

2 2(3 2 6) sen (3 2 6)sen (6 2)sen (3 2 6)cos( )

sen senx x x x x x x x x x xf x

x x .

2

-30

2 6




( ) tgf x x

2 2

2 2 2sen (sen ) cos sen (cos ) cos sen 1( )cos cos cos cos

x x x x x x xf xx x x x

.

ln( ) xf x

x

2 2 2

1 ln 1(ln ) ln 1 ln( )

x xx x x x xxf x

x x x

.

3

( )xef xx

3 13 3 2 22 2

3 3

3( ) 2( )

x xx x e x e xe x e xf x

x x

.

Resolver el ejercicio 6 de la Práctica desde h) hasta q).

3.2 Regla de la cadena

Derivada de la composición de funciones. Regla de la cadenaSean f y g funciones derivables, entonces la función f g , es derivable y vale que:

( ) ( ( )) ( )f g x f g x g x .

Ver la demostración en el Anexo C Derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena.


2( ) sen(2 3 )h x x x

Aquí, h f g donde ( ) senf X X y 2( ) 2 3g X X X . Luego, ( ) cosf X X y

( ) 4 3g X X . Por lo tanto

2( ) ( ( )) ( ) cos(2 3 ) (4 3)h x f g x g x x x x .




4( ) (3 2sen )h x x x

Aquí, h f g donde 4( )f X X y ( ) 3 2seng X X X . Luego, 3( ) 4f X X y

( ) 3 2cosg X X . Por lo tanto

3( ) ( ( )) ( ) 4(3 2sen ) (3 2cos )h x f g x g x x x x .

2( ) ln(5 3 1)h x x x

Aquí, h f g donde ( ) lnf X X y 2( ) 5 3 1g X X X . Luego, 1( )f XX

y

( ) 10 3g X X . Por lo tanto

21( ) ( ( )) ( )

5 3 1(10 3)h x f g x g x

x xx

.

2 cos( ) x xh x e

Aquí, h f g donde ( ) Xf X e y 2( ) cosg x X X . Luego, ( ) Xf X e y

( ) 2 seng X X X . Por lo tanto

2 cos( ) ( ( )) ( ) (2 sen )x xh x f g x g x e x x .

2sen( ) xk x e

Aquí, k f g h donde ( ) Xf X e y 2( )g X X y ( ) senh X X . Luego, ( ) Xf X e y

( ) 2g X X y ( ) cosh X X . Por lo tanto

( ) (( )( )) ( ) ( ) ( ( ( )) ( ( )) ( )k x f g h x g h x f g h x g h x h x

2sen (2sen ) cosxe x x .

2( ) ln(cos(3 1))k x x x

Aquí, k f g h donde ( ) lnf X X y ( ) cosg X X y 2( ) 3 1h X X X . Luego, 1( )f XX

y ( ) seng X X y ( ) 6 1h X X . Por lo tanto

( ) (( )( )) ( ) ( ) ( ( ( )) ( ( )) ( )k x f g h x g h x f g h x g h x h x




221 ( sen(3 1)) (6 1)

cos(3 1)x x x

x x

.

Resolver el ejercicio 7 de la Práctica.

Derivada de gf

Sean f y g funciones derivables con ( ) 0f x para todo x en el dominio de f y sea ( )( ) ( )g xh x f x ,entonces la función h es derivable y vale que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ln( ( )) ( ) ( )( )

g x g x f xh x f x f x f x g x g xf x

.

Veamos cómo calcular h , suponiendo que h es derivable.

Si ( )( ) ( )g xh x f x , entonces por propiedades del ln, resulta que

ln( ( )) ( ) ln( ( ))h x g x f x .

Derivamos ambos miembros utilizando las reglas de derivación del producto y de la composición, y

obtenemos

( ) ( )( ) ln( ( )) ( )( ) ( )

h x f xg x f x g xh x f x

.

Luego

( )( ) ( ) ( ) ln( ( )) ( )( )

f xh x h x g x f x g xf x

.

Por lo tanto, la función ( )( )g xf x es derivable y vale que

( ) ( )( ) ( ) ( ) ln( ( )) ( )( )

g x f xf x h x g x f x g xf x

.

Ejemplos

2 sen( ) (3 5) xh x x

Tenemos que 2( ) (3 5)f x x y ( ) seng x x , y obtenemos que

2ln( ( )) sen ln(3 5)h x x x .




Derivamos en ambos miembros y obtenemos

22

( ) 6cos ln(3 5) sen( ) 3 5

h x xx x xh x x

.

Luego, despejando ( )h x

2 sen 2 sen 226( ) (3 5) (3 5) cos ln(3 5) sen

3 5x x xh x x x x x x

x

.

2( ) (sen )xh x x

Procedemos como en el ejemplo anterior

2ln( ( )) ln(sen )h x x x .

Derivamos

22

( ) 2sen cosln(sen )( ) sen

h x x xx xh x x ,

de donde resulta que

2 2 2 2 cos( ) (sen ) (sen ) ln(sen )sen

x x x xh x x x xx

.

Ejercicio de aplicación

Demostrar que la función2

2x

y x e

satisface la ecuación2(1 )x y x y .

Calculamos y usando la regla de derivación del producto y la regla de la cadena

2 2 2 22 2 2 22

2x x x xxy x e x e e x e

2

22 1x

e x

.

Reemplazamos y obtenemos que

2 2

2 2 22 21 1 1x x

x y x e x x e x y x

.




De modo que la función2

2x

y x e

, satisface la ecuación.

Resolver los ejercicios 8, 9 y 10 de la Práctica.

Ejercicios resueltos

Sea3 1 si 0

( )2 4 si 0

x xf x

x x

Decidir si f es continua y si es derivable en 0x .

La función es continua ya que

0 0lim 3 1 lim 2 4 (0) 4x x

x x f .

Para analizar la derivabilidad, calculamos el límite cociente incremental para 0h y para 0h .

(0 ) (0) 3 1 4 1 1f h f h hh h h

1 1 1 1 1

1 1

1

1 1

1

11

h hh h

h

h hh

.

Por lo tanto

0 0

(0 ) (0) 1 1lim lim21 1h h

f h fh h

.

Analizamos el límite para 0h

0 0

(0 ) (0) (2 4) 4lim lim 2h h

f h f hh h

Así, f no es derivable en 0x pues los límites laterales del cociente incremental son distintos. El

siguiente es un gráfico aproximado de f




Sea

1 2 si 1

( )si 1

xx

f xax b x

con ,a b .

Determinar los valores de a y b, de modo que f sea continua y derivable en 1x .Para asegurar la continuidad de f en 1x , debe ocurrir que

1

1lim 2 3x x

y1

limx

ax b a b deben coincidir con (1)f a b .

Es decir, 3a b . Esta es la condición que deben cumplir a y b para que f sea continua. Vemos

ahora qué ocurre si queremos que f sea también derivable en 1x .

Calculamos el cociente incremental para 0h .

1 2 3 1 1

1

1 1(1 ) (1) 11

111 1

hf h f hhh h h

h

hh h h

1 (1 ) 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1h h

h h h h h h h h

.

Por lo tanto,0

(1 ) (1) 1lim2h

f h fh

.

Cuando 0h , tenemos

0 0 0

(1 ) (1) (1 )lim lim limh h h

f h f a h b a b ah ah h h

.




Luego, para que f sea derivable en 1x , debe ser 12

a .

Reemplazamos el valor de a en la condición hallada para la continuidad y tenemos

132

a b b , lo que implica que 7

2b .

El gráfico aproximado de f es

Dos ejemplos importantes

Sea :f definida por ( )f x x x .

Demostraremos que f es derivable para todo x , pero f no es derivable en 0x , de modo que

NO existe (0)f .

Graficamos la función f




Para 0x tenemos que 2( )f x x y ( ) 2f x x . Para 0x , 2( )f x x y ( ) 2f x x . Faltacalcular (0)f . Sólo podemos hacerlo a través del límite del cociente incremental.

0 0 0


h hf h f hh h

.

Hemos obtenido que (0) 0f .

Por lo tanto,2 si 0

( ) 2 0 si 02 si 0

x xf x x x

x x

Observen que f es continua en 0x , pues

0 0lim ( ) lim ( ) 0 (0)x x

f x f x f .

Analicemos la derivabilidad de f en 0x .

0 0

(0 ) (0) 2 0lim lim 2h h

f h f hh h

0 0

(0 ) (0) 2 0lim lim 2h h

f h f hh h

.

Como los límites son distintos, no existe (0)f . Por lo tanto, f es derivable en 0 y su

derivada es

2 si 0( )

2 si 0

xf x

x

La existencia de la derivada segunda es una condición fuerte en una función, que muchas veces nose espera que suceda sólo al observar la f y su gráfico, que como en este caso es el de una función“suave”. Mostramos a continuación los gráficos de , yf f f .




Sea :f definida por 2 1( ) senf x xx

para 0x y (0) 0f .

Demostraremos que f es derivable en , pero su derivada, f , no es continua en 0x . Esto

implica que f no existe en 0x . Veremos que el dominio de f es 0 .

Notemos que la fórmula que define a la función f sólo vale para 0x (pues 1x

no está definido

para 0x ). Por lo tanto, el valor de (0)f podría elegirse arbitrariamente. Como queremos que f

sea continua en , y0 0

2 1lim ( ) lim sen 0x x

f x xx

(lo que resulta de la propiedad “cero por

acotado”), se definió (0) 0f .

Comenzamos calculando la derivada de f para 0x . Usaremos aquí, las reglas de derivación. Así

22

1 1 1 1 1( ) 2 sen cos 2 sen cosf x x x xx x x x x

.

Para 0x , esto no es válido ya que se basa en la regla de derivada del producto de dos funciones:

2x y 1senx

. Esta última función no sólo no está definida en 0x , sino que no es posible hacerlo

de modo que resulte derivable.Calculamos para 0x , el límite del cociente incremental.

2

0 0 0

1sen 0(0 ) (0) 1lim lim lim sen 0

h h h

hf h f h h

h h h

.

Por lo tanto, (0) 0f . A continuación, mostramos el gráfico de f.

f

es “0acotado”

f

2

2

f




En resumen, tenemos que :f con 1 1( ) 2 sen cosf x xx x

para 0x y (0) 0f .

Esta función f no es continua en 0x , pues cuando 0x , f oscila entre 1 y 1. Así, el 0 no

pertenece al dominio de f , ya que al no ser f continua en 0x , no es derivable en dicho punto.Para calcular ( )f x para 0x , usamos las reglas de derivación y obtenemos que, para 0x

2 2 21 1 1 1 1 1 1 2 1( ) 2sen 2 cos sen sen 2 cosf x xx x x x x x x x x

.

Resolver los ejercicios 11 y 12 de la Práctica.




3.3 Derivada de la función inversa

Derivada de la función inversaSea f derivable y 1f su inversa, es decir que 1( )( )f f x x . Si ambas funciones son derivablesde la regla de la cadena se tiene que

1 1 1( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 1.f f x f f x f x

Por lo tanto, para los x tales que 1( ( )) 0f f x , resulta

11

1( ) ( ) .( ( ))

f xf f x

Esta igualdad nos permite conocer la derivada de una función inversa, aun cuando no conozcamos

su fórmula.

EjemplosSea : 1,f , definida por 2( ) 2 5f x x x . Usando que (5) 30f , hallar 1( ) (30)f .

Derivando f tenemos que ( ) 2 2f x x , y 1( (30)) (5) 12f f f .

Por lo tanto, 11

1 1 1( ) (30)( (30)) (5) 12

ff f f

.

Sea : ,2 2

f dada por ( ) senf x x , hallar 1( ) ( ).f x

Hemos visto que la inversa es

arcsen : 1,1 ,2 2

.

Hallamos la derivada de arcsen usando que 11

1( ) ( )( ( ))

f xf f x

y que (sen ) cosx x .

1(arcsen) ( )cos(arcsen )

xx

.

Para reducir esta expresión, si arcsen x y entonces

1 1( ) (30)12

f .




sen y x con2 2

y .

En este intervalo vale que cos 0y y además, siempre vale que 2 2sen cos 1y y , por lo tanto

2 2cos 1 sen 1y y x .

Reemplazamos

2

1 1 1(arcsen) ( )cos(arcsen ) cos 1

xx y x

.

Resolver los ejercicios 13, 14, 15 y 16 de la Práctica.

4. Aplicaciones4.1 VelocidadLa noción de derivada tiene una interpretación física importante.Consideremos una partícula que se mueve en una línea recta, de modo que su posición varía con eltiempo. Sea ( )s t la distancia de la partícula a un punto fijo 0, en el instante t. Así, en el instante 0t

la partícula se encuentra en 0( )s t y, en el instante t, se encuentra en ( )s t . Luego, en el tiempo

0t t , la partícula se desplazó 0s t s t y su velocidad media en el intervalo 0 ,t t es

0

0m

s t s tv

t t

.

Para definir la velocidad instantánea en el instante 0t , cuando la partícula se encuentra en 0( )s t ,

consideramos las velocidades medias en intervalos de tiempo cada vez más pequeños quecomiencen o terminen en 0t . Es decir, la velocidad en 0t se define como

0

0

0

lim .t t

s t s tt t

Si este límite existe, 0 0( ) ( ).v t s t

Ejercicio resuelto

2

1(arcsen) ( )1

xx

.




La ley de movimiento de un punto a lo largo de una recta es ( ) 2s t t metros después de tsegundos, para 0t .Hallar la velocidad instantánea cuando 4t .

¿En qué instante alcanzará una velocidad igual a 16

m/seg?

Sabemos que (4) (4)v s , por lo tanto debemos calcular la derivada de la función s.

Tenemos que 1( ) 22

s t tt

, por lo tanto 1 1(4)42 4

s .

La velocidad en el instante 2t es igual a 14

.

Debemos encontrar los valores de 0t tales que 1 1( )62

s tt

, es decir,

2 6 3 9t t t .

La velocidad será igual a 16

en el instante

4.2 Razón de cambio

Razón de cambioSea ( )y f x una función y supongamos que 0x cambia en una cantidad x . El cambio

correspondiente y en 0 0( )y f x es 0 0( ) ( )y f x x f x .

El cambio promedio de y con respecto a x es

0 0( ) ( )f x x f xyx x

con 0x .

El límite de este cociente cuando 0x es 0( )f x . La derivada se llama razón de cambio de y con

respecto a x.

Ejercicio resuelto.En cierto tiempo 0t , la longitud del lado de un cuadrado es de 8cm y cada lado aumenta su longitud

a una velocidad de 0,2cm/min. Hallar la razón de cambio del área del cuadrado (a) con respecto altiempo; (b) con respecto a la longitud del lado en el tiempo 0t .

Llamemos ( )x t a la longitud del lado del cuadrado en el instante t, y ( )a t al área del cuadrado en elinstante t.Sabemos que 0( ) 8x t , y 0( ) 0,2x t . Además, la relación entre a y x es

2área del cuadrado ( ) ( )a t x t .

9.t




Derivamos respecto de t y tenemos( ) 2 ( ) ( )a t x t x t .

(a) La razón de cambio del área con respecto al tiempo, en 0t t , es la derivada de a respecto de t

en 0t t .

Es decir,2

0 0 0( ) 2 ( ) ( ) 2 8 0,2 3,2 (cm / min)a t x t x t .

(b) La razón de cambio del área con respecto a la longitud del lado en el instante 0t t , es la

derivada de ( )a x con respecto a x. en 0 8x , es decir

( ) 2a x x y (8) 16a .

4.3 DiferencialSea f una función derivable en 0x , es decir que existe 0 0

0

( ) ( )limh

f x h f xh

, es finito y lo notamos

0( )f x .

Esta condición es equivalente a decir que, 0 00

( ) ( ) ( ) ( )f x h f x f x hh

, donde ( )h satisface

que 0( ) 0hh , y podemos escribir

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x h f x h f x h h con 0( ) 0hh .

Esta expresión se denomina incremento de f correspondiente al incremento h en 0x y se denota

como

Para ver la interpretación geométrica, tracemos la recta tangente al gráfico de f en 0 0( , ( ))P x f x .

0( )f x h Q

( )h h f

0 0( ) ( )f x hf x R 0( )h f x df

0( )f x P

0x 0x h

0 0 0( , ) ( ) ( )f x h f f x h f x




Sabemos que la ecuación de la recta tangente en P es

0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x .

Sean Q y R los puntos de abscisa 0x h en el gráfico de f y en la tangente respectivamente.

Como Q está en el gráfico de f, su ordenada es 0( )f x h y dado que R pertenece a la tangente, su

ordenada es 0 0( ) ( )f x h f x , de donde

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )QR f x h f x h f x h h .

Cuando los valores de h son suficientemente pequeños, los puntos Q y R son próximos, es decir,

0( )f x h se aproxima a 0 0( ) ( )f x h f x :

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x h f x f f x h f x .

Decimos que 0 0( ) ( )f x h f x es la aproximación lineal de f para puntos cercanos a 0 0( , ( ))x f x .

La expresión 0( )h f x se denomina diferencial de f y se denota por

0 0( , ) ( )df x h df h f x .

Se suele representar a h como dx y se denomina diferencial x, con lo que resulta( )df f x dx .

Observen que cuando se reemplaza 0( )f x h por 0 0( ) ( )f x h f x , el error que se comete es igual

a ( )h h .

Ejercicio de aplicación

Usando diferenciales, calcular aproximadamente 145 .

Consideramos ( )f x x , entonces 1( )2

f xx

.

Si 0 144x y 1h , tenenos que

145 (144 1) (144) (144;1) 144 1 (144)f f df f

1 112 12 12,0416242 144

.

Hemos obtenido que1145 12 12,041624

.




Resolver los ejercicios del 17 al 23 de la Práctica.

4.4 Derivadas sucesivasHemos visto que, f , la derivada de una función f , es también una función (cuyo dominio puede sermás pequeño que el de la f). Además, esta nueva función puede o no ser derivable. Si f esderivable, dará lugar a una nueva función: ( )f a la que llamamos derivada segunda y la notamoscon f (se lee f doble prima o f segunda).

En forma análoga, podremos obtener f , IVf , etc, las derivadas de orden tres, cuatro, etc.

Ejemplos

(1) 3 2( )f x xx

2 22 2

1 2( ) 3 2 3f x x xx x

3 32 4( ) 6 ( 2) 6f x x xx x

(2) 2( ) cosf x x

( ) 2cos ( sen ) 2cos senf x x x x x

2 2 2 2( ) 2 sen sen cos cos 2 sen cos 2sen 2cosf x x x x x x x x x .

( ) 4sen cos 4cos ( sen ) 8sen cosf x x x x x x x .

Resolver los ejercicios 24, 25 y 26 y los problemas varios de la Práctica.




ANEXO

A. Derivada de la suma y del producto de funciones

A.1 Derivada de la suma

Si f y g son funciones derivables, entonces la función ( )( )f g x es derivable y vales que

( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x .

Para demostrar que la derivada de la suma es la suma de las derivadas calculamos el límite delcociente incremental

0 0

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim

h h

f g x h f g x f x h g x h f x g xh h

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limh h

f x h f x g x h g x f x h f x g x h g xh h h

0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim ( ) ( )h h

f x h f x g x h g x f x g xh h

.

Volver

A.2 Derivada del producto

Si f y g son funciones derivables, entonces la función ( )( )f g x es derivable y vale que( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f g x f x g x f x g x

Analizamos el cociente incremental

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x h f g x f x h g x h f x g xh h

por ser f y gderivables




( ) ( )( ) ( ) ( ) (( ) )( )

f x g x h ff x h g x h x g x h f x g xh

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f x h f x g x h g xg x h f xh h

.

Vemos que cuando 0h , dado que f y g son derivables, el primer sumando tiende a ( ) ( )f x g x

(aquí estamos usando que la función g es continua por ser derivable) y el segundo sumando tiende a( ) ( )f x g x .

Por lo tanto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x f x g x .

Si c es una constante y f es derivables, entonces la función ( )( )c f x es derivable y vales que

( ) ( ) ( )c f x c f x .

Este se deduce de la demostración anterior aplicada a la función constante.

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )c f x c f x c f x f x c f x c f x .

Volver

B. Derivada del cociente de funciones

Si g es derivable en un intervalo A y ( ) 0g x para todo x A entonces

21 1 ( )( ) ( )

g xg x g x

.

Calculamos el cociente incremental para la función 1( )g x

.

1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

g x g x h g x h g xh g x h g x h g x h g x g x h g x h

.

Observamos que cuando 0h , el primer factor tiende a 21( )g x (aquí estamos usando la

continuidad de g que sabemos cierta por la hipótesis de g derivable) y el segundo factor tiende a( )g x .




Por lo tanto

20

1 1 1 1lim ( )( ) ( ) ( )h

g xh g x h g x g x

.

Hemos demostrado que

21 1 ( )( ) ( )

g xg x g x

Si f y g son derivables en un intervalo A y ( ) 0g x para todo x A entonces

2( ) ( ) ( ) ( )( )

( )f f x g x f x g xxg g x

.

Para esto usaremos la demostración anterior y la regla de la derivada de un producto de funciones.

21 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x f x f x f x f x f x g xg g x g x g x g x g x

2( ) ( ) ( ) ( )

( )f x g x f x g x

g x

.

Volver

C. Derivada de la composición de funcionesRegla de la cadena

Si f y g son derivables vale que ( )( )f g x es derivable y su derivada es( ) ( ) ( ( )) ( ).f g x f g x g x

Observemos previamente que, si f es derivable entonces0

( ) ( )lim ( )h

f x h f x f xh

, lo que es

equivalente a que ( ) ( ) ( ) ( )f x h f x f x hh

, donde ( )h verifica que 0( ) 0hh .

Es decir que podemos escribir ( ) ( ) ( ) ( )f x h f x h f x h h con 0( ) 0hh .

Definiendo (0) 0 resulta que es continua en 0. En efecto,

0 0

( ) ( )lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) 0h h

f x h f xh f x f x f xh

.

Esto último vale por la derivabilidad y en consecuencia continuidad de f.




Queremos demostrar que0

( ( )) ( ( ))lim ( ( )) ( )k

f g x k f g x f g x g xk

.

Consideramos la función ( ) ( ) ( )h k g x k g x . Dado que g es derivable, resulta que g es continua,por lo tanto h es continua en 0 con (0) 0.h Usando la observación previa escribimos

( ( )) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( )[ ( ( )) ( ( ))]f g x k f g x g x k g x f g x h k f g x h k f g x h k

donde se define (0) 0 y es continua en 0 .


( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )[ ( ( )) ( ( ))] [ ( ( )) ( ( ))]f g x k f g x h k g x k g xf g x h k f g x h kk k k

.

Observamos que cuando k tiende a 0, el primer factor del cociente incremental tiende a ( )g x y elsegundo tiende a ( ( ))f g x (hemos usado que g es derivable y que es continua en 0).

Por lo tanto

0

( ( )) ( ( ))lim ( ( )) ( )k

f g x k f g x f g x g xk

,

es decir,

( ) ( ) ( ( )) ( )f g x f g x g x .

Volver

Cintia Buxton, Lisi D’Alfonso, Flora Gutierrez, Gabriela Jeronimo, Gustavo Massaccesi, Juan Carlos Pedrazay Juan Sabia (2015), Derivadas, Teóricas de Análisis Matemático (28).


Teóricas de Análisis Matemático (28) – Práctica 7 – Optimización


Práctica 7 – Parte 2

Optimización

1. Problemas de optimización

Ejemplo 1Descomponer el número 36 en dos sumandos positivos de modo que el producto de uno de ellos porel cuadrado del otro sea máximo.

Si notamos con x a uno de los sumandos en los que se descompone 36, el otro debe ser 36 x .Como ambos son positivos, se tiene que 0x y36 0x , o sea que 0 36x . Queremos hallar elvalor de x en el que la función,

2 2 3( ) (36 ) 36p x x x x x

alcanza su valor máximo.La función p es derivable en y por lo tanto, lo es en el intervalo (0;36). Sabemos que losextremos locales de p se encuentran en los x donde ( ) 0p x .Calculamos

2 3 2( ) (36 ) 72 3 3 (24 )p x x x x x x x .

Como( ) 0 3 (24 ) 0 0 o =24p x x x x x

y sólo estamos estudiando la función en el intervalo (0;36), el único punto crítico es =24x .

Dado que p es continua y que tiene un único cero en el intervalo (0;36), por el teorema de Bolzanopodemos afirmar que, tanto en (0;24) como en (24;36), el signo de pes constante.Por lo dicho anteriormente para conocer el signo de p , basta con calcularlo en un valor particularde cada intervalo.En (0;24), elegimos 1x . Como (1) 3 1 23 0p , resulta que ( ) 0p x para todo (0;24)x .Esto implica que p es estrictamente creciente en (0;24].En (24;36), elegimos 25x . Como (25) 3 25 ( 1) 0p , resulta que ( ) 0p x para todo

(24;36)x . Esto implica que p es estrictamente decreciente en [24;36).




A partir de esta información acerca del crecimiento y del decrecimiento de p, podemos afirmar queen 24x , p alcanza un máximo local y dicho máximo vale 2(24) 12 24 6912.p Damos acontinuación un gráfico aproximado de la función p.

Los dos sumandos en los que hay que dividir 36 son 24 y 12.

Ejemplo 2En el triángulo isósceles de base 12 y altura 10, se inscribe un rectángulo tal que dos de sus vérticespertenecen a la base del triángulo y los otros dos pertenecen uno a cada uno de los otros dos lados.Calcular las dimensiones que debe tener el rectángulo para que su área sea máxima.

Graficamos el triángulo con sus vértices en los puntos (0,10),( 6,0) y (6,0).

La ecuación de la recta por (0,10), y (6,0) es 5 103

y x .

Por la simetría de la figura, para calcular el área del rectánguloinscrito en el triángulo, alcanza con considerar los valores de

(0;6)x . Así, el área del rectángulo es

25 10( ) base altura=2 10 203 3

a x x x x x

.

Para que exista un rectángulo en las condiciones del problema, debe ocurrir que 0 6x .Queremos hallar el valor de x, en el que la función

210( ) 203

a x x x ,




alcanza su valor máximo.La función a es derivable en y por lo tanto, lo es en el intervalo (0;6). Sabemos que los extremoslocales de a se encuentran en los x donde ( ) 0a x .Calculamos

20( ) 20 20 13 3

xa x x

.

Entonces

( ) 0 1 0 33xa x x .

Dado que a es continua en (0;6) y que en dicho intervalo tiene un único cero, utilizamos elteorema de Bolzano y podemos afirmar que (0;6) queda dividido en dos intervalos con signoconstante en cada uno de ellos.Los intervalos para analizar son (0;3) y (3;6) y, por lo dicho anteriormente, para conocer el signo dea , basta con calcularlo en un valor particular de cada intervalo.

En (0;3), elegimos 1x . Como 1(1) 20 1 03

a

, resulta que ( ) 0a x para todo (0;3)x .

Esto implica que a es estrictamente creciente en (0;3].

En (3;6), elegimos 4x . Como 4(4) 20 1 03

a


Esto implica que a es estrictamente decreciente en [3;6). Así, en 3x , la función alcanza unmáximo local. Las dimensiones del rectángulo de área máxima corresponden 3x y tenemos que el

rectángulo tiene base = 2 6x y altura = 5 510 3 10 53 3x .

En este caso, la función ( )a x es una cuadrática con coeficiente principal negativo, por lo tantoalcanza su máximo en el vértice.

Ejemplo 3Se consideran las rectas que pasan por el punto (9,4) y que al cortar a los semiejes positivosdeterminan triángulos rectángulos.Entre todas estas rectas, hallar aquella que(a) genera un triángulo de área mínima;(b) hace mínima la suma de las longitudes de los catetos.




Sea m la pendiente de una recta que pasa por (9,4).Observemos que para que la recta corte a los semiejespositivos debe ser 0m . Las rectas que estamosconsiderando pasan por el punto (9,4), luego son de la forma

( 9) 4y m x , con 0m .

Estas rectas cortan al eje x, cuando 0y , luego,

4 9 49 mxm m

y cortan al eje y cuando 0x , o sea

4 9y m .(a) El área del triángulo en función de la pendiente de la recta (m) es

2base altura 1 9 4 1 (9 4)( ) (4 9 )2 2 2

m mA m mm m

.

Calculamos la derivada de la función área respecto de la variable m.

2

2 21 2(9 4) 9 (9 4) 1 (9 4)(18 9 4)( )2 2

m m m m m mA mm m

21 (9 4)(9 4)2

m mm

.

Dado que ( ;0)m , el único valor en el que se anula la derivada es 49

m .

Como A es continua, utilizando el teorema de Bolzano podemos afirmar que su único cero divide a( ;0) en dos intervalos en los que el signo de Aes constante.

Los intervalos para analizar son 4;9

y 4 ;09

, por lo dicho anteriormente para conocer el

signo de A , basta con calcularlo en un valor particular de cada intervalo.

En 4;9

, elegimos 1m . Como 21 (9( 1) 4)(9( 1) 4)( 1) 02 ( 1)

A

, resulta que

( ) 0A m para todo 4;9

m . Esto implica que a es estrictamente decreciente en 4;9

.

En 4 ;09

elegimos 19

m .




Como 2 2

1 19 4 9 41 4 1 49 91 1 1 0

9 2 21 19 9

A

resulta que ( ) 0A m para todo 4 ;09

m . Esto implica que A es estrictamente creciente

en 4 ;09

.

De esto se deduce que la función área tiene un mínimo local en 49

m .

Dado que la función área es continua en ( ;0) , es estrictamente decreciente a la izquierda de

49

m y estrictamente creciente a la derecha de 49

x , concluimos que A tiene un mínimo

absoluto en 49

m y vale

249 494 72

49 29

A .

Es decir que la pendiente de la recta que pasa por (9,4) y hace mínima el área del triángulo es49

m , la ecuación de dicha recta es 4 89 y x .

(b) Se quiere ahora minimizar la suma de las longitudes de los catetos de los triángulos formadospor las rectas que pasan por el punto (9,4) y los semiejes positivos. Utilizando los cálculosanteriores, y llamando L a la suma de las longitudes de los catetos en función de la pendiente de larecta, tenemos que

4 4( ) 9 (4 9 ) 13 9L m m mm m

, donde ( ;0)m .

Calculamos la derivada de L respecto de m2

2 24 4 9( ) 9 mL mm m

,




y buscamos los valores que anulan la derivada

2 2 2( ) 0 4 9 0 o3 3

L m m m m .

Como ( ;0)m , el único punto crítico es 23

m .

Utilizando el teorema de Bolzano, analizamos el signo de L en los intervalos 2;3

y en

2 ;03

evaluando en un punto en cada caso.

En 2;3

, elegimos 1m . Como2

24 9 1(1) 5 0

1L , resulta que ( ) 0L m para todo

2;3

m . Esto implica que L es estrictamente decreciente en 2;3

.

En 2 ;03

elegimos 13

m . Como

2

2

14 91 3 27 03 1

3

L

, tenemos que ( ) 0L m

para todo 2 ;03

m

. Así, resulta que L es estrictamente creciente en 2 ;03

.

De esto se deduce que la función L tiene un mínimo local en 23

m .

Dado que es continua en ( ;0) , L resulta estrictamente decreciente a la izquierda de 23

m y

estrictamente creciente a la derecha de 23

m , por lo cual concluimos que tiene un mínimo

absoluto en 23

m y vale 2 4 213 9 2523 33

L

y corresponde al triángulo que

corta el eje x en 15x y al eje y en 10y .Es decir que, la pendiente de la recta que hace mínima la suma de las longitudes de los catetos es

23

m , la ecuación de dicha recta es 2 103 y x .




Ejemplo 4

Sea :[0; )f , definida por 21( )

4f x

x

. Se consideran los triángulos de vértices

(0,0)A , ( , ( ))B x f x y (2 ,0)C x . Hallar las dimensiones del triángulo de mayor área.

Hacemos un gráfico aproximado de f y de un triángulo.

Sea ( )a x el área del triángulo ABC. Es decir

2 2base altura 2 ( ) 1( )

2 2 4 4x f x xa x x

x x

.

Calculamos la derivada de la función área

2 2

2 2 2 22 2( 4) 2 (2 )(2 )4( )

( 4) ( 4)( 4)x x x x xxa x

x xx

.

Entonces




( ) 0 (2 )(2 ) 0 2 o 2a x x x x x .

Dado que [0; )x , el único valor en el que se anula la derivada es 2x .Como a es continua en (0; ) , utilizando el teorema de Bolzano, podemos afirmar que su únicocero divide a (0; ) en dos intervalos en los que el signo de a es constante.Los intervalos para analizar son (0;2) y (2; ) , por lo dicho anteriormente, para conocer el signo

de a , basta con calcularlo en un valor particular de cada intervalo.

En (0;2) , elegimos 1x . Como 2 2(2 1)(2 1)(1) 0

(1 4)a


Esto implica que a es estrictamente creciente en (0;2] . En (2; ) elegimos 3x . Como

2 2(2 3)(2 3)(3) 0

(3 4)a

, resulta que ( ) 0a x para todo (2; )x . Esto implica que m es

estrictamente decreciente en [2; ) .

De esto se deduce que la función área tiene un máximo local en 2x .Dado que a es continua en [0; ) , es estrictamente creciente a la izquierda de 2x y

estrictamente decreciente a la derecha de 2x , concluimos que a tiene un máximo absoluto en

2x y vale 22 1(2)

2 2 4a

.

Los vértices del triángulo de mayor área son (0,0)A , 1(2, )8

B y (4,0)C .

Resolver los problemas 1 a 7 de la Práctica 7

Ejemplo 5

Sea : (0; )f definida por 2 1( ) 8f x xx

. Hallar el punto del gráfico de f en el que la

pendiente de la recta tangente es mínima.

Llamemos ( )m x a la función que a cada punto del gráfico de f le asigna la pendiente de su rectatangente. Sabemos que esta función es ( )f x . Es decir que

21( ) ( ) 16m x f x xx

.

Queremos hallar el valor de (0; )x en el que la función m alcanza su mínimo absoluto.Para hallar los puntos críticos, calculamos la derivada.




3 3

3 3 32 16 2 2(8 1)( ) 16 x xm xx x x

Como

3 1( ) 0 8 1 02

m x x x

El único punto crítico es 1=2

x .

Dado que m es continua en (0; ) , por el teorema de Bolzano, podemos afirmar que su únicocero divide a (0; ) en dos intervalos y en cada uno de ellos el signo de m es constante.

Los intervalos para analizar son 10;2

y 1 ;2

, por lo dicho anteriormente, para conocer el

signo de m , basta con calcularlo en un valor particular de cada intervalo.

En 10;2

, elegimos 14

x . Como3

3 3

8 12 1 2 11 4 8( ) 01 14

4 4

m

, resulta que ( ) 0m x para

todo 10;2

x . Esto implica que m es estrictamente decreciente en 10;2

. En 1 ;2

elegimos

1x . Como 32(8 1)(1) 0

1m , resulta que ( ) 0m x para todo 1 ;

2

x . Esto implica que m

es estrictamente creciente en 1 ;2

.

En resumen tenemos

x 10;2

12

1 ;2

1( ) 04

m (1) 0m

( )m x 0

( )m x min

Por lo tanto m alcanza un mínimo local en 1=2

x .




Además,0 2

1lim ( ) 16xm x x

x y 2

1lim ( ) 16xm x x

x , de donde el mínimo local es

absoluto y podemos afirmar que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f es mínima para1=2

x y vale 1 16( ) 4 122 2

m .

A continuación damos un gráfico aproximado de m para (0; )x .

Ejemplo 6

Sea13( ) 3f x x x . Hallar los valores máximos y mínimos que alcanza la función f en el intervalo

1[ 2; ]2

.

Por ser la función f continua en el intervalo cerrado 1[ 2; ]2

, sabemos que alcanza, en dicho

intervalo, un valor máximo y un valor mínimo.

Calculamos la derivada2

323

1( ) 1 1

f x xx

para 0x




y observamos que f no es derivable en 0x .

Por otra parte,23

23

1( ) 0 1 0 1 1o 1f x x x xx

.

Así, los posibles valores de 1[ 2; ]2

x en los que f puede alcanzar un máximo o un mínimo son

los extremos del intervalo: 12 y2

x x ,

los 1[ 2; ]2

x tales que ( ) 0f x : 1x ,

y los 1[ 2; ]2

x donde f no es derivable: 0x .

Calculamos el valor de f en cada uno de estos puntos13( 2) 2 3( 2) 1,779f 13( 1) 1 3 ( 1) 1 3 2f

(0) 0f 131 1 13 1,881

2 2 2f

.

Al comparar estos valores, podemos afirmar que ( 1) 2f , es el valor máximo de f y

1 1,8812

f es el valor mínimo. Los puntos donde se alcanzan son 1x (donde se anula la

derivada) y 12

x (un extremo del intervalo).

Presentamos un gráfico aproximado de esta función.




Ejemplo 7Una editorial producirá un libro con las siguientes condiciones: en cada página el texto impresoestará contenido en un rectángulo de 300 2cm , los márgenes superior e inferior deberán tener 2 cmde altura y los laterales 1,5 cm de ancho. Hallar las dimensiones de una página para que el consumode papel sea mínimo.

Sean x e y las dimensiones de una hoja del libro. Se quiere que la superficie de cada hoja sea lamenor posible, es decir, que S x y sea mínima.

Además, el área de la región impresa debe medir 300 2cm . Pero laregión impresa es un rectángulo de base ( 2 1,5) ( 3)x x y altura( 2 2) ( 4)y y , entonces debe ser ( 3)( 4) 300x y . Para queesto tenga sentido debe ser 3x e 4y .Al despejar y de esta igualdad obtenemos que

300 4 28843 3

xyx x

.

Tenemos entonces que la función que queremos minimizar es

24 288 4 2883 3

x x xS x y xx x

para 3x .

Calculamos su derivada

2 2 2

2 2(8 288)( 3) (4 288 ) 8 288 24 864 4 288( )

( 3) ( 3)x x x x x x x x xS x

x x

2 2

2 2 24 24 864 4( 6 216) 4( 18)( 12)

( 3) ( 3) ( 3)x x x x x xx x x

.

Luego,

( ) 0 ( 18)( 12) 0 18 o 12S x x x x x .

Por las condiciones del problema sabemos que 3x , por lo tanto el único punto crítico es 18x .

Como S es continua en (3; ) , utilizando el teorema de Bolzano, podemos afirmar que su único

cero divide a (3; ) en dos intervalos en los que el signo de S es constante.

Los intervalos para analizar son (3;18) y (18; ) , por lo dicho anteriormente, para conocer el

signo de S , basta con calcularlo en un valor particular de cada intervalo.

y

x

2cm

1,5cm

1,5cm2cm




En el intervalo (3;18) , elegimos 4x .

Como 24(4 18)(4 12)(4) 0

(4 3)S

, resulta que ( ) 0S x para todo (3;18)x . Esto implica que S

es estrictamente decreciente en (3;18) .

En (18; ) elegimos 19x . Como 24(19 18)(19 12)(19) 0

(19 3)S

, resulta que ( ) 0S x para

todo (18; )x . Esto implica que m es estrictamente creciente en (18; ) .

De esto se deduce que la función S tiene un mínimo local en 18x .

Dado que S es continua en (3; ) , es estrictamente decreciente a la izquierda de 18x y

estrictamente creciente a la derecha de 18x , por lo que concluimos que S tiene un mínimo

absoluto en 18x .

Las dimensiones de la página para la que el consumo de papel es mínimo son: 18x y

300 4 2418 3

y

.

Están en condiciones de terminar la Práctica 7.

Cintia Buxton, Lisi D’Alfonso, Flora Gutierrez, Gabriela Jeronimo, Gustavo Massaccesi, Juan Carlos Pedrazay Juan Sabia (2015), Optimización, Teóricas de Análisis Matemático (28).


Teoricas de Analisis Matematico (28) - Practica 6 - Teorema del valor medio


Teorema del valor medioEl teorema del valor medio para derivadas (o teorema de Lagrange) es un resultado centralen la teorıa de funciones reales. Este teorema relaciona valores de una funcion con los de suderivada y pone de manifiesto la relacion entre el signo de la derivada de una funcion y elcomportamiento de la funcion con respecto a crecimiento y decrecimiento.

1. Maximos y mınimos de funciones

1.1. Extremos locales

Vamos a ver ahora como, conociendo la derivada de una funcion, podemos obtener informa-cion sobre las posibles ubicaciones de los maximos y mınimos de la funcion. Comencemosobservando el siguiente grafico:

Cada uno de los puntos marcados en naranja corresponde a un valor x0 tal que f (x0) es elmayor de los valores que f toma ”cerca” de x0; es decir, si calculamos f (x) para los x ”cer-canos” a x0, el maximo valor que obtenemos es f (x0). Analogamente, cada punto marcadoen verde corresponde a un valor x0 tal que f (x0) es el menor de los valores que f toma entrex0 y sus ”vecinos cercanos”. Esto da lugar a las nociones de maximo local y mınimo local deuna funcion.




Sea f : A → R una funcion. Se dice que f alcanza un maximo local (o relativo) enx0 ∈ A si, para algun δ > 0, vale f (x0) ≥ f (x) para todo x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ).

Se dice que f alcanza un mınimo local (o relativo) en x0 ∈ A si, para algun δ > 0, valef (x0) ≤ f (x) para todo x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ).

En ambos casos, se dice que f alcanza un extremo local (o relativo) en x0.

La condicion x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ) para δ > 0 que aparece en la definicion anteriorsignifica que x esta en el dominio de f y ”cerca” de x0.

Observando el grafico de arriba, vemos que en cada punto en el que f alcanza un extre-mo relativo, la recta tangente a su grafico es horizontal. Esto es lo que afirma el siguienteteorema:

Teorema de Fermat. Sea f una funcion definida en (a; b) y tal que f alcanza unextremo local en x0 ∈ (a; b). Si f es derivable en x0, entonces f ′(x0) = 0.

Demostracion. Supongamos que f alcanza un maximo local en x0 (el caso de un mınimolocal es analogo). Entonces, para algun δ > 0, tenemos que vale f (x) ≤ f (x0) para todox ∈ (x0 − δ, x0 + δ).Como f es derivable en x0, existe el lımite

limx→x0

f (x)− f (x0)

x− x0= f ′(x0).

Esto significa que tambien existen los lımites laterales y valen:

limx→x−0

f (x)− f (x0)

x− x0= f ′(x0) y lim

x→x+0

f (x)− f (x0)

x− x0= f ′(x0).

Analicemos entonces el signo de estos lımites laterales, estudiando el signo del cocienteincremental en cada caso. Recordemos que f (x) ≤ f (x0) para todo x cerca de x0.




Para x → x−0 , vale que x < x0; entonces,

f (x)− f (x0)

x− x0≥ 0

pues f (x)− f (x0) ≤ 0 y x− x0 < 0. Luego,

f ′(x0) = limx→x−0

f (x)− f (x0)

x− x0≥ 0. x0

f (x0)

x

f (x)

Para x → x+0 , vale que x > x0; entonces,

f (x)− f (x0)

x− x0≤ 0

pues f (x)− f (x0) ≤ 0 y x− x0 > 0. Luego,

f ′(x0) = limx→x+0

f (x)− f (x0)

x− x0≤ 0. x0

f (x0)

x

f (x)

Del analisis de los lımites laterales, se deduce que f ′(x0) ≥ 0 y f ′(x0) ≤ 0. En consecuencia,debe ser f ′(x0) = 0. 2

La condicion f ′(x0) = 0 no alcanza para asegurar que f tenga un extremo local enx0.

Por ejemplo, si f (x) = x3, tenemos que f ′(x) = 3x2, que se anula en x0 = 0. Sin embargo,como podemos ver en el grafico de f , la funcion no tiene un maximo ni un mınimo local enx0 = 0:

f (x) = x3




Por otro lado, el teorema de Fermat solo habla de extremos locales en puntos donde la fun-cion es derivable.

Una funcion f puede tener extremos locales en puntos en los cuales no es derivable.

Esto ocurre, por ejemplo, para la funcion f : (−1; 1)→ R, f (x) = |x|:

x0 = 0−1 1

Esta funcion alcanza un mınimo local en x0 = 0; sin embargo, no es derivable en x0 = 0.Nuevamente, debemos observar que la condicion de que f no sea derivable en x0 no alcanzapara asegurar que f tenga un extremo local en x0, como puede verse en el siguiente grafico:

x0

No existe f ′(x0) yf no tiene un extremo local en x0

1.2. Extremos globales

Como vimos en la seccion sobre extremos locales, una funcion puede tener varios maximoso mınimos locales, es decir, puntos donde el valor que toma la funcion es mayor o igual (obien, menor o igual) que en todos los puntos ”cercanos”.Nos preguntamos ahora por maximos o mınimos globales para una funcion, es decir, puntosdonde el valor que toma la funcion es mayor o igual (o bien, menor o igual) que en todos losde su dominio. Por ejemplo, la funcion f : [a; b]→ R del grafico

xM

f (xM)

xm

f (xm)

a b




alcanza un maximo global en xM y un mınimo global en xm.

Sea f : A → R una funcion. Se dice que f alcanza un maximo global (o absoluto)en xM ∈ A si vale f (xM) ≥ f (x) para todo x ∈ A, y que f alcanza un mınimo global (oabsoluto) en xm ∈ A si vale f (xm) ≤ f (x) para todo x ∈ A.

En ambos casos, se dice que f tiene un extremo global (o absoluto).

No toda funcion tiene extremos absolutos. Por ejemplo:

La funcion f : [−2, 2]→ R definida por

f (x) =

1x

si x 6= 0

0 si x = 0

no tiene maximo ni mınimo absolutos, yaque ”cerca” de 0 toma valores arbitrariamen-te grandes en valor absoluto.

−22

En este caso, el problema radica en que la funcion f tiene una discontinuidad en x = 0 y”cerca” de 0 no esta acotada.

Las funciones continuas en intervalos cerrados poseen una propiedad que, como veremos, ase-gura que alcanzan su valor maximo y su valor mınimo en el intervalo.

Sea f : [a; b] → R una funcion continua. Entonces f es acotada en [a; b]; es decir,existen m y M ∈ R tales que m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a; b].

En la entrada “Acotacion de funciones continuas en intervalos cerrados” se puede encontraruna demostracion de esta propiedad.

Este resultado nos dice que la imagen de una funcion continua f : [a; b] → R definida enun intervalo cerrado es un conjunto acotado en R; por lo tanto, tiene supremo e ınfimo. Elteorema que enunciamos a continuacion establece que el supremo y el ınfimo de Im( f ), enefecto, se alcanzan, es decir, son maximo y mınimo respectivamente.




Teorema (Existencia de extremos absolutos para funciones continuas en interva-los cerrados). Sea f : [a; b] → R una funcion continua. Entonces f alcanza su valormaximo y su valor mınimo absolutos en [a; b]; es decir, existen xM y xm en [a; b] talesque f (xm) ≤ f (x) ≤ f (xM) para todo x ∈ [a; b].

En la entrada “Extremos absolutos de funciones continuas en intervalos cerrados” se puedever una demostracion de este teorema.

Los maximos y mınimos absolutos de una funcion continua en un intervalo cerrado [a; b]se encuentran entre sus maximos y mınimos relativos, ya sea en el intervalo abierto (a; b) obien en los extremos, a o b, del intervalo cerrado, como se muestra en los siguientes graficos:

xM

f (xM)

xm

f (xm)

a b

b = xM

f (xM)

xm

f (xm)

a b = xm

f (xm)

a = xM

f (xM)

Entonces, para determinar los valores xM y xm donde se alcanzan los extremos absolutos,podemos valernos de lo visto en la seccion anterior.

Ejemplo. Sea f : [1; 3] → R, f (x) = x3 − 12x + 15. Hallar el valor maximo M y elvalor mınimo m que toma f y puntos xM y xm ∈ [1; 3] en los que se alcanzan.

Como f es una funcion continua definida en un intervalo cerrado, el teorema anterior nosasegura que f alcanza un valor maximo M y un valor mınimo m en ciertos puntos del inter-valo [1; 3]. Por otro lado, como f es derivable en todo x ∈ (1; 3), el teorema de Fermat nos




dice que si alguno de estos valores maximo o mınimo se alcanza en un punto del intervaloabierto (1; 3), entonces la derivada de f se anulara en dicho punto.Ası, los ”candidatos” a puntos donde f alcanza sus valores maximo y mınimo absolutos son:

los x ∈ (1; 3) tales que f ′(x) = 0;

los extremos del intervalo donde esta definida f , que son 1 y 3.

Dado que f ′(x) = 3x2 − 12 y que

3x2 − 12 = 0 ⇐⇒ x = 2 o x = −2,

el unico x ∈ (1; 3) tal que f ′(x) = 0 es x = 2.Resumiendo, tenemos tres posibles valores,

1, 2 y 3,

entre los cuales f , seguro, alcanza su valor maximo y su valor mınimo. Para determinardonde ocurre esto efectivamente, basta ver en cual de los tres f toma el mayor valor y encual toma el menor valor. Evaluamos la funcion y obtenemos:

f (1) = 4, f (2) = −1, f (3) = 6.

Comparando estos valores, concluimos que:

El maximo absoluto de f se alcanza en xM = 3 (el extremo derecho del intervalo [1; 3]) yvale M = 6, y el mınimo absoluto de f se alcanza en xm = 2 (que esta en el interior delintervalo [1; 3]) y vale m = −1.

2. Teorema del valor medio

Antes de presentar el teorema de Lagrange, mostraremos un caso particular que nos serviratambien para probar el resultado general.

Teorema de Rolle. Sea f : [a; b] → R una funcion continua en el intervalo cerrado[a; b] y derivable en el intervalo abierto (a; b). Si f (a) = f (b), entonces existe un valorc ∈ (a; b) tal que f ′(c) = 0.




Geometricamente, el teorema de Rolle diceque si f toma el mismo valor en los dos extre-mos del intervalo [a; b], entonces habra algunpunto c entre a y b en el cual la recta tangenteal grafico de f es horizontal.

a c b

f (a) = f (b)

Como puede verse en el grafico, la idea es que el punto c correspondera a un maximo o aun mınimo de la funcion f en el intervalo (a; b). Para garantizar la existencia de este puntoc, nos basaremos en el teorema que hemos visto sobre existencia de extremos absolutos parafunciones continuas en intervalos cerrados.

Demostracion del teorema de Rolle. Como f : [a; b] → R es continua y esta definida en unintervalo cerrado [a; b], alcanza maximo y mınimo absolutos en [a; b]; es decir, existen xM yxm en [a; b] tales que f (xm) ≤ f (x) ≤ f (xM) para todo x ∈ [a; b].Si xm no es igual a a ni a b (es decir, el mınimo se alcanza en el interior del intervalo), comof alcanza un mınimo local en xm ∈ (a; b) y f es derivable en xm, por el teorema de Fermat,f ′(xm) = 0. Entonces c = xm cumple que c ∈ (a; b) y f ′(c) = 0. De la misma manera, sixM ∈ (a; b) (es decir, el maximo se alcanza en el interior del intervalo), tomando c = xM secumple lo pedido.Finalmente, si xm y xM estan ambos en los bordes del intervalo [a; b], el valor maximo y elvalor mınimo que toma f coinciden (son ambos iguales a f (a) = f (b)). En consecuencia,f es constante en [a; b]. Entonces f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a; b) y el valor c del enunciadopuede ser cualquiera del intervalo (a; b). 2

Al aplicar el teorema, es fundamental verificar que se cumplen todas las hipotesis,ya que si alguna de ellas no vale, la conclusion puede no valer tampoco.

Veamoslo en algunos ejemplos:

1. Sea f : [−1; 1]→ R, f (x) = |x|.

Esta funcion es continua en el intervalo [−1; 1] y cumple que f (−1) = f (1) = 1. Porotro lado,

f ′(x) =

1 si x > 0

−1 si x < 0




y f no es derivable en x = 0. Observemos que no existe c ∈ (−1; 1) tal que f ′(c) = 0 (novale la conclusion del teorema de Rolle).

En este caso, el problema es que f no es derivable en todo el intervalo (−1; 1).

2. Sea f : [0; 1]→ R, f (x) =

x si x > 0

1 si x = 0

Esta funcion cumple que f (0) = f (1) = 1. Ademas, f es derivable en el intervaloabierto (0; 1) y vale f ′(x) = 1 para todo x ∈ (0; 1). Observemos que no existe c ∈ (0; 1)tal que f ′(c) = 0 (no vale la conclusion del teorema de Rolle).

En este caso, lo que ocurre es que f no es continua en x = 0, es decir, no se cumple lahipotesis de continuidad en todo el intervalo [0; 1] requerida en el teorema.

El teorema de Rolle es un caso particular del resultado principal que presentamos a conti-nuacion.

Teorema del valor medio para derivadas (Lagrange). Sea f : [a; b]→ R una funcioncontinua en el intervalo cerrado [a; b] y derivable en el intervalo abierto (a; b). Entonces

existe un valor c ∈ (a; b) tal que f ′(c) =f (b)− f (a)

b− a.

Geometricamente, el teorema del valor me-dio dice que existira algun punto c entre ay b donde la pendiente de la recta tangenteal grafico de f , es decir f ′(c), es igual a lapendiente de la recta que pasa por los pun-

tos (a, f (a)) y (b, f (b)), es decir,f (b)− f (a)

b− a.

b

f (b)

a c

f (a)

Demostracion del teorema del valor medio. La estrategia de la demostracion consiste en redu-cir el problema a un caso en el que se puede aplicar el teorema de Rolle. Construiremosuna funcion auxiliar, asociada al problema, que toma el mismo valor en los dos extremosa y b del intervalo. Para esto, consideramos, para cada x, la diferencia g(x) = f (x)− `(x)entre el valor de f y el valor de la funcion lineal ` cuyo grafico es la recta que pasa por




(a, f (a)) y (b, f (b)). Como los valores de f y ` coinciden tanto en a como en b, resulta queg(a) = g(b) = 0.

`(x)

ba x

f (x)

`(x)g(x) = f (x)− `(x)

ba c

g(x)

La funcion lineal ` : [a, b]→ R esta dada por la formula

`(x) =f (b)− f (a)

b− a(x− a) + f (a),

es continua y derivable. Por las hipotesis sobre f , la funcion g(x) = f (x)− `(x) es continuaen el intervalo cerrado [a; b] y derivable en el intervalo abierto (a; b). Ademas, como yavimos, g(a) = g(b). Entonces, estamos en condiciones de aplicar el teorema de Rolle a lafuncion g, que nos dice que existe un valor c ∈ (a; b) tal que g′(c) = 0. La derivada de g es

g′(x) = f ′(x)− `′(x) = f ′(x)− f (b)− f (a)b− a

con lo cual, la condicion g′(c) = 0 se traduce en que f ′(c)− f (b)− f (a)b− a

= 0 o, equivalen-temente,

f ′(c) =f (b)− f (a)

b− a.

2

Al igual que en el caso del teorema de Rolle, para aplicar el teorema del valor me-dio es necesario verificar que se cumplan todas las hipotesis. Por otra parte, observamosque estos teoremas solo garantizan la existencia de un valor intermedio c que cumple lapropiedad, pero no nos dicen como encontrarlo (de hecho puede haber varios valores in-termedios que cumplan la conclusion).

En general, la utilidad de estos resultados no estara en encontrar el valor intermedio c sinoen obtener informacion sobre la funcion a partir de informacion sobre su derivada en elintervalo considerado. Veamos un ejemplo de esto:




Ejemplo. Probar queln(1 + t)

t< 1 para todo t > 0.

Dado t > 0, consideremos la funcion f : [0; t] → R definida por f (x) = ln(1 + x). Estafuncion es continua en el intervalo [0; t] y derivable en el intervalo (0; t). Entonces, por elteorema del valor medio, existe c ∈ (0; t) tal que

f ′(c) =f (t)− f (0)

t− 0=

ln(1 + t)−=0︷︸︸︷

ln(1)t

=ln(1 + t)

t.

Como f ′(x) =1

1 + x, para este valor c ∈ (0; t), tenemos que

f ′(c) =1

1 + c< 1

porque, siendo c > 0, resulta que 1 + c > 1. Entonces,

ln(1 + t)t

= f ′(c) < 1.

Deducimos de esta manera que la desigualdadln(1 + t)

t< 1 vale para cualquier t > 0.

Para terminar, enunciamos una version generalizada del teorema del valor medio para elcaso de dos funciones. En la entrada “Teorema de Cauchy” puede verse una demostracionde este resultado.

Teorema de Cauchy. Sean f y g funciones continuas en el intervalo cerrado [a; b] yderivables en el intervalo abierto (a; b). Entonces existe un valor c ∈ (a; b) tal que

f ′(c)(g(b)− g(a)) = g′(c)( f (b)− f (a)).

Si, ademas, g′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a; b), entonces:

f (b)− f (a)g(b)− g(a)

=f ′(c)g′(c)

.

Con lo visto hasta aquı, se puede hacer hasta el ejercicio 6 de la Practica 6.




3. Consecuencias del teorema del valor medio

Sabemos que si f es una funcion constante en un intervalo, su derivada vale 0. Nos pregun-tamos si es cierto, recıprocamente, que si la derivada de un funcion es 0 en un intervalo,entonces la funcion es constante. El teorema del valor medio nos da la siguiente respuestaafirmativa:

Sea f : [a; b] → R una funcion continua en el intervalo cerrado [a; b] y derivableen el intervalo abierto (a; b). Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a; b), entonces f es constante en[a; b]; es decir, existe un valor k ∈ R tal que f (x) = k para todo x ∈ [a; b].

Demostracion. Dado x ∈ [a; b], x 6= a, la funcion f considerada en el intervalo [a; x] cumplelas hipotesis del teorema de Lagrange. Luego, existe un valor c ∈ (a; x) (que depende de x)tal que

f ′(c) =f (x)− f (a)

x− a.

Como f ′(c) = 0, la igualdad anterior implica que f (x)− f (a) = 0, es decir, que f (x) = f (a).Llamamos k = f (a) y, entonces, resulta que f (x) = k para todo x ∈ [a; b]. 2

De esta propiedad se deduce que:

Si dos funciones f y g continuas en [a; b] y derivables en (a; b) cumplen quef ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a; b), entonces f y g difieren en una constante; es decir,existe un valor k ∈ R tal que f (x) = g(x) + k para todo x ∈ [a; b].

En efecto, si h : [a; b] → R es la funcion definida por h(x) = f (x)− g(x), por las hipotesissobre f y g, tenemos que h es continua en [a; b] y derivable en (a; b); ademas, vale queh′(x) = f ′(x) − g′(x) = 0 para todo x ∈ (a; b). Entonces, por la propiedad anterior, exis-te k ∈ R tal que h(x) = k para todo x ∈ [a; b]; es decir, f (x)− g(x) = k para todo x ∈ [a; b].

Ejercicio 1. Probar que sen2(x) =1− cos(2x)

2para todo x ∈ R.




SolucionSean f (x) = sen2(x) y g(x) =

1− cos(2x)2

. Para probar la validez de la identidad del enun-ciado, la estrategia sera ver, en primer lugar, que f y g difieren en una constante y, posterior-mente, que dicha constante debe ser 0, con lo cual f (x) = g(x) para todo x.El primer paso se obtiene de la propiedad que acabamos de enunciar: tenemos que f y g sonfunciones derivables en todo R y vale que

f ′(x) = 2 sen(x) cos(x) = sen(2x) y g′(x) = −12(− sen(2x)).2 = sen(2x),

o sea, f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ R; luego, existe k ∈ R tal que

f (x) = g(x) + k.

Para determinar el valor de k, evaluamos esta identidad en un valor de x, por ejemplo, x = 0.Se obtiene:

f (0) = g(0) + k ⇐⇒ sen2(0) =1− cos(2.0)

2+ k ⇐⇒ 0 = k

En consecuencia, f (x) = g(x) para todo x ∈ R, es decir,

sen2(x) =1− cos(2x)

2para todo x ∈ R.

2

Mas generalmente, el teorema del valor medio permite relacionar el comportamiento deuna funcion en cuanto a crecimiento y decrecimiento con el signo de los valores que tomasu derivada.

a b a b

Intuitivamente, como podemos observar en los graficos precedentes, si las rectas tangentesal grafico de una funcion en todos los puntos del intervalo (a; b) tienen pendiente positiva,entonces la funcion es creciente en [a; b] y, si las rectas tangentes en todos los puntos de (a; b)tienen pendiente negativa, la funcion es decreciente en [a; b].




Crecimiento y decrecimiento. Sea f : [a; b]→ R una funcion continua en el interva-lo cerrado [a; b] y derivable en el intervalo abierto (a; b).

Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a; b), f es estrictamente creciente en [a; b].

Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a; b), f es estrictamente decreciente en [a; b].

Demostracion. Supongamos que f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a; b) y consideremos dos valorescualesquiera x1 < x2 en [a; b]. La funcion f cumple las hipotesis del teorema del valor medioen el intervalo [x1; x2]. Luego, existe c ∈ (x1; x2) tal que

f ′(c) =f (x2)− f (x1)

x2 − x1.

Como f ′(c) > 0 y x2 − x1 > 0 (puesto que x1 < x2), de la igualdad anterior deducimos quef (x2)− f (x1) > 0; es decir, f (x1) < f (x2). Concluimos que f es estrictamente creciente en[a; b].De manera completamente similar, si suponemos que f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a; b), seprueba que para cualesquiera x1 < x2 en [a; b], resulta f (x1) > f (x2). 2

Ejercicio 2. Sea f (x) = 2x + cos(x) para x ∈ R. Analizar el comportamiento de f enel siguiente sentido:

Decidir si es estrictamente monotona (creciente o decreciente).

Hallar la imagen de f .

Determinar cuantas veces el grafico de f corta al eje x.

SolucionDado que f es continua y derivable, para ver si es estrictamente monotona, por la propiedadanterior, podemos estudiar el signo de la derivada f ′(x) = 2− sen(x). Como−1 ≤ sen(x) ≤ 1para todo x ∈ R, tenemos que

f ′(x) = 2− sen(x) ≥ 2− 1 > 0 para todo x ∈ R.

Entonces, en cualquier intervalo, f es estrictamente creciente. Luego,

f es estrictamente creciente en todo R.




Para hallar la imagen de f , veamos si esta acotada o no. Para hacer esto, calculamos loslımites en −∞ y en +∞:

limx→−∞


(2x + cos(x)︸︷︷︸acotada

) = −∞ y limx→+∞

f (x) = limx→+∞

(2x + cos(x)︸︷︷︸acotada

) = +∞

Esto nos dice que la imagen de f no esta acotada superior ni inferiormente. Como f escontinua en todo R, el teorema de Bolzano implica que f toma todos los valores reales, esdecir, Im( f ) = R .

Finalmente, analicemos cuantas veces corta el grafico de f al eje x; es decir, cuantas solucio-nes tiene la ecuacion f (x) = 0.En primer lugar, observemos que, como Im( f ) = R, en particular 0 ∈ Im( f ), es decir, existealgun x ∈ R tal que f (x) = 0 (la ecuacion tiene alguna solucion). Por otra parte, como f esestrictamente creciente, la ecuacion f (x) = 0 no puede tener mas de una solucion (de lo contrario,habrıa dos valores x1 < x2 tales que f (x1) = f (x2), contradiciendo la monotonıa).Concluimos entonces que la ecuacion f (x) = 0 tiene exactamente una solucion, es decir:

El grafico de f corta al eje x exactamente una vez.

2

Ejercicio 3. Probar que ex ≥ 1 + x para todo x ∈ R.

SolucionEn primer lugar, observemos que

ex ≥ 1 + x ⇐⇒ ex − 1− x ≥ 0.

Ası, podemos reinterpretar el problema en terminos de la no negatividad de la funcion

f (x) = ex − 1− x.

El dominio de esta funcion es R. Ademas, f es continua y derivable en todo R. Para probarque f es no negativa en todo R, estudiaremos su crecimiento y decrecimiento. Teniendo encuenta las consecuencias del teorema del valor medio, consideramos

f ′(x) = ex − 1.

Observamos quef ′(x) = 0 ⇐⇒ ex = 1 ⇐⇒ x = 0




Para x > 0, se tiene que ex > 1, con lo cual f ′(x) > 0. Entonces f es estrictamente crecienteen [0;+∞) y, por lo tanto,

f (x) > f (0) para todo x > 0.

Para x < 0, se tiene que ex < 1, con lo cual f ′(x) < 0. Entonces, f es estrictamente decre-ciente en (−∞; 0] y, por lo tanto,

f (x) > f (0) para todo x < 0.

Resumiendo, f (x) > f (0) para todo x 6= 0. Si consideramos tambien x = 0, podemosafirmar que

f (x) ≥ f (0) para todo x ∈ R.

Como f (0) = 0, la desigualdad anterior nos dice que

ex − 1− x ≥ 0 para todo x ∈ R

o, equivalentemente, queex ≥ 1 + x para todo x ∈ R.

2

Ejercicio 4. Sea f (x) = x4 + 2x3. Hallar los intervalos donde crece, los intervalosdonde decrece y los extremos locales de f .

SolucionComo f es derivable en todo R, por la consecuencia del teorema del valor medio enun-ciada anteriormente, para hallar intervalos donde crece y donde decrece, basta determinarintervalos de positividad y negatividad de f ′. Por otra parte, por el teorema de Fermat, losextremos locales de f se hallan en valores donde f ′(x) = 0.Tenemos que

f ′(x) = 4x3 + 6x2 = 4x2(x +32)

que es continua en todo R. Entonces, como consecuencia del teorema de Bolzano, los cerosde f ′ parten a R en intervalos en los que f ′ tiene signo constante. Como

f ′(x) = 0 ⇐⇒ 4x2(x +32) = 0 ⇐⇒ x = 0 o x = −3

2

los intervalos a analizar son (−∞;−32), (−3

2; 0) y (0;+∞). Dado que f ′ tiene signo constante

en cada uno de estos intervalos, para determinar dicho signo, basta evaluarla en un valorparticular de cada intervalo.




En (−∞;−32), elegimos x = −2. Como f ′(−2) = −8 < 0, resulta que f ′(x) < 0 para

todo x ∈ (−∞;−32) y, en consecuencia, f es estrictamente decreciente en (−∞;−3

2].

En (−32

; 0), elegimos x = −1. Como f ′(−1) = 2 > 0, resulta que f ′(x) > 0 para todo

x ∈ [−32

; 0] y, en consecuencia, f es estrictamente creciente en [−32

; 0].

En (0;+∞), elegimos x = 1. Como f ′(1) = 10 > 0, resulta que f ′(x) > 0 para todox ∈ (0;+∞) y, en consecuencia, f es estrictamente creciente en [0;+∞).

Utilizaremos ahora la informacion sobre el crecimiento y decrecimiento de f para determi-nar, en cada uno de los ceros de f ′, si f tiene un extremo local o no.

En x = −32

:

Como f es decreciente en (−∞;−32], tenemos que f (x) ≥ f (−3

2) para x ≤ −3

2y, como

f es creciente en [−32

; 0], vale que f (−32) ≤ f (x) para −3

2≤ x ≤ 0. Entonces, para

todo x ”cerca” de −32

se tiene que f (−32) ≤ f (x); luego, f alcanza un mınimo local en

x = −32

.

En x = 0:

Como f es creciente en [−32

; 0] y en [0;+∞), cerca de x = 0, f toma valores menoresque f (0) (a la izquierda de 0) y valores mayores que f (0) (a la derecha de 0). Entoncesf no tiene un extremo local en x = 0.

Resumimos nuestro analisis en la siguiente tabla:

x (−∞;−32) −3

2(−3

2; 0) 0 (0;+∞)

f ′(−2) < 0 f ′(−1) > 0 f ′(1) > 0

f ′(x) − 0 + 0 +

f (x) ↘ min ↗ ↗

Observamos que, dado que f es estrictamente creciente en [−32

; 0] y en [0;+∞), entonces es

estrictamente creciente en [−32

;+∞), la union de estos dos intervalos.

Concluimos que:

f decrece en (−∞;−32] y crece en [−3

2;+∞), alcanzando un mınimo local en x = −3

22




Con lo visto hasta ahora, se puede resolver hasta el ejercicio 12 de la Practica 6.




ANEXO

A. Extremos absolutos

Demostramos aquı dos propiedades fundamentales de las funciones continuas en intervaloscerrados que garantizan la existencia de extremos absolutos.

A.1. Acotacion de funciones continuas en intervalos cerrados

Sea f : [a; b] → R una funcion continua. Entonces f es acotada en [a; b]; es decir,existen m y M ∈ R tales que m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a; b].

Demostracion. La idea de la demostracion es suponer que f no esta acotada en [a; b] y llegara una contradiccion.La observacion fundamental es que, si f no esta acotada en [a; b] y c es un punto entre a yb, entonces f tampoco esta acotada en alguno de los dos intervalos [a; c] o [c; b] en los que cdivide a [a; b]. En efecto, supongamos que f esta acotada superiormente en [a; c] y en [c; b];es decir, existen M1 y M2 tales que

f (x) ≤ M1 para todo x ∈ [a; c] y f (x) ≤ M2 para todo x ∈ [c; b].

Entonces, si M es el mayor entre M1 y M2, resulta que

f (x) ≤ M para todo x ∈ [a; b]

con lo que M es una cota superior para f en [a; b]. Un razonamiento analogo puede hacersepara cotas inferiores.

Supongamos entonces que f no esta acotada en [a; b].Vamos a subdividir el intervalo [a; b] sucesivamente, de manera de construir una sucesionde intervalos, cada vez mas pequenos, en los que f no esta acotada.Consideremos el punto medio del intervalo [a; b], que lo divide en dos intervalos de longitudb− a

2:




a[ ]bc

b−a2

b−a2

Por la observacion anterior, f no esta acotada en alguno de los dos intervalos resultantes,llamemoslo [a1; b1]. Tenemos que:

f no esta acotada en [a1; b1] ⊂ [a; b]

b1 − a1 =b− a

2Repetimos el mismo procedimiento con el intervalo [a1; b1]; considerando su punto medio,

lo dividimos en dos intervalos, cada uno de longitudb1 − a1

2=

b− a4

:

a[ ]bc

a1[

b1

]c1

b1−a12

b1−a12

Como f no esta acotada en [a1; b1], tampoco lo esta en alguno de los dos intervalos en losque queda dividido; llamemoslo [a2; b2]. Entonces

f no esta acotada en [a2; b2] ⊂ [a1; b1] ⊂ [a; b]

b2 − a2 =b1 − a1

2=

b− a4

Si continuamos repitiendo el proceso,

a[ ]bc

a1[

b1

]c1

a2[

b2

]c2

a3[

b3

]c3

. . .

obtenemos una sucesion de intervalos, [an; bn] para todo n ∈ N, tales que

f no esta acotada en [an; bn] ⊂ · · · ⊂ [a2; b2] ⊂ [a1; b1] ⊂ [a; b]




bn − an =b− a

2n

Los extremos izquierdos de estos intervalos forman una sucesion creciente de numerosreales a ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ . . . acotada superiormente por b; luego, convergente. Seax0 = lim

n→∞an, que pertenece al intervalo [a; b]. Observamos que los extremos derechos de los

intervalos forman una sucesion decreciente b ≥ b1 ≥ · · · ≥ bn ≥ . . . y acotada inferiormentepor a; luego, tambien converge y, como lim

n→∞bn − an, resulta que lim

n→∞bn = lim

n→∞an = x0.

Por la continuidad de f en x0, limx→x0

f (x) = f (x0). Entonces, existe δ > 0 tal que para todo x

con |x− x0| < δ vale | f (x)− f (x0)| < 1; es decir,

1− f (x0) < f (x) < 1 + f (x0) para x ∈ (x0 − δ; x0 + δ)

(si x0 = a o x0 = b, hay que considerar x ∈ [a; a + δ) o x ∈ (b − δ; b], respectivamente).Luego, f es acotada en (x0 − δ; x0 + δ).Volvamos a considerar ahora los intervalos [an; bn], donde sabemos que f no esta acotada.Como lim

n→∞an = x0 y lim

n→∞bn = x0, para n ∈ N suficientemente grande, an ∈ (x0 − δ; x0 + δ)

y bn ∈ (x0 − δ; x0 + δ):

an[

bn]

x0x0 − δ(

x0 + δ)

Ası, [an; bn] ⊂ (x0 − δ; x0 + δ), con lo cual f no estarıa acotada en [an; bn], contradiciendo laconstruccion de [an; bn]. La contradiccion viene de suponer que f no esta acotada en [a; b].Luego, f esta acotada en [a; b]. 2


A.2. Extremos absolutos para funciones continuas en intervalos cerrados

Teorema. Sea f : [a; b] → R una funcion continua. Entonces f alcanza su valormaximo y su valor mınimo absolutos en [a; b]; es decir, existen xM y xm en [a; b] tales quef (xm) ≤ f (x) ≤ f (xM) para todo x ∈ [a; b].

Demostracion. Como ya vimos, por ser f continua en [a; b], f es acotada en [a; b]. Esto signi-fica que Im( f ) es un subconjunto (no vacıo) y acotado de R; por lo tanto, tiene supremo eınfimo. Sean M = sup(Im( f )), m = inf(Im( f )). Queremos ver que M y m son, en realidad,maximo y mınimo de Im( f ), es decir, que existen xM, xm ∈ [a; b] tales que f (xM) = M y




f (xm) = m. Vamos a suponer que no existen tales valores de x y llegaremos a una contra-diccion (lo haremos para el maximo; el caso del mınimo es similar).Supongamos que no existe x ∈ [a; b] tal que f (x) = M. Sea

g : [a; b]→ R, g(x) =1

M− f (x).

Como f es continua en [a; b] y f (x) 6= M para todo x ∈ [a; b], entonces g es continua en [a; b]y, en consecuencia, g esta acotada en [a; b]. Sea K ∈ R tal que g(x) ≤ K para todo x ∈ [a; b].Entonces, para todo x ∈ [a; b], teniendo en cuenta que M− f (x) > 0 y K > 0, se tiene que

1M− f (x)

≤ K ⇐⇒ 1K≤ M− f (x) ⇐⇒ f (x) ≤ M− 1

K.

Concluimos que M− 1K

es una cota superior para Im( f ), estrictamente menor que M, con-tradiciendo que M era el supremo de Im( f ). La contradiccion proviene de suponer queno existe x ∈ [a; b] tal que f (x) = M. Luego, debe existir un valor xM ∈ [a; b] tal quef (xM) = M. 2


B. Teorema de Cauchy

Daremos aquı una demostracion del teorema de Cauchy, que fue enunciado a continuaciondel teorema del valor medio y puede verse como una generalizacion de este resultado.

Teorema de Cauchy. Sean f y g funciones continuas en el intervalo cerrado [a; b] yderivables en el intervalo abierto (a; b). Entonces existe un valor c ∈ (a; b) tal que

f ′(c)(g(b)− g(a)) = g′(c)( f (b)− f (a)).

Si, ademas, g′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a; b), entonces

f (b)− f (a)g(b)− g(a)

=f ′(c)g′(c)

.

Demostracion. Consideremos la funcion h : [a; b]→ R definida por

h(x) = f (x)(g(b)− g(a))− g(x)( f (b)− f (a)).




Esta funcion es continua en [a; b] y derivable en (a; b), como consecuencia de que f y g lo son.Ademas, h(a) = f (a)g(b)− g(a) f (b) y h(b) = − f (b)g(a) + g(b) f (a); luego, h(a) = h(b). Enconsecuencia, h satisface las hipotesis del teorema de Rolle y, por lo tanto, existe c ∈ (a; b)tal que h′(c) = 0. Ahora,

h′(x) = f ′(x)(g(b)− g(a))− g′(x)( f (b)− f (a)),

con lo cual, la condicion h′(c) = 0 equivale a que

f ′(c)(g(b)− g(a)) = g′(c)( f (b)− f (a)),

como querıamos demostrar.Bajo la hipotesis adicional de que g′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a; b), se tiene que g′(c) 6= 0. Porotra parte, g(b)− g(a) 6= 0. En efecto, en caso contrario tendrıamos que g(b) = g(a) y, enconsecuencia, por el teorema de Rolle aplicado a g, existirıa algun valor de x ∈ (a; b) tal queg′(x) = 0, contradiciendo la hipotesis. Se puede dividir entonces por g′(c) y g(b) − g(a),obteniendose que vale

f ′(c)g′(c)

=f (b)− f (a)g(b)− g(a)

,

que es la segunda igualdad del enunciado del teorema. 2



Juan Sabia (2015), Teorema del valor medio, Teoricas de Analisis Matematico (28).



Teoricas de Analisis Matematico (28) - Practica 8 - Polinomio de Taylor

Practica 8

Polinomio de Taylor

1. Polinomio de Taylor

El analisis completo de una funcion puede resultar muy difıcil. Una forma de abordar esteproblema es aproximar la funcion por una mas sencilla. En este caso vamos a aproximarlas funciones por polinomios. Dicha aproximacion se hace cerca de un valor concreto y soloservira para valores cercanos. A medida que nos alejemos, la aproximacion sera menos con-fiable y es posible que el polinomio se aleje mucho de la funcion bajo estudio.En la version mas sencilla podemos aproximar la funcion a estudiar por una constante. Esclaramente mucho mas facil operar con un numero (la constante) que con una funcion quepuede ser complicada. Esta aproximacion se usa mucho en las aplicaciones. Por ejemplo, laaceleracion de la gravedad cerca de la superficie de la tierra se aproxima por la constanteg = 9,8

ms2 (o a veces directamente g ≈ 10

ms2 ), por mas que en realidad es una funcion que

depende de la altura. Otro ejemplo es la densidad del agua que se aproxima por δ = 1g

cm3por mas que dependa de la presion y la temperatura.Para otras aplicaciones se necesitan aproximaciones mas precisas, como una funcion lineal.Por ejemplo, dados una funcion f y un valor de x podemos tomar la recta tangente al graficode f , que ya hemos calculado. En fısica, un caso tıpico es aproximar la longitud de un ob-jeto por un valor constante mas una correccion lineal pequena que depende linealmente dela temperatura. Para mejorar la precision se agregan coeficientes cuadraticos o cubicos, amedida que es necesario.Vamos a analizar otro ejemplo. Supongamos que queremos calcular aproximadamente elvalor de

√65. Como primera aproximacion, podemos tomar que

√65 ≈

√64 = 8. Muchas

veces con ese nivel de precision alcanza. En realidad, el valor es un poco mas grande que8, informalmente decimos que es “8 y pico”. Para poder aproximar este numero con masprecision podemos usar la recta tangente a

√x en el punto correspondiente a x = 64. Es es-

perable que cerca de ese punto la recta tangente sea una mejor aproximacion que la funcionconstante. Esto no solo nos da un aproximacion de

√65, sino que tenemos una aproximacion

de√

x cuando x vale aproximadamente 64.Luego vamos a ver como extender esta idea a polinomios de grado mas alto. Tambien vamosa estimar el error que se comete en cada aproximacion, de manera que podamos saber si la




aproximacion esta dentro del rango que necesitamos en cada caso.

1.1. Recta tangente

Como anunciamos anteriormente, primero vamos a ver un caso sencillo en el que aproxi-mamos una funcion f en un valor de x determinado por la recta tangente al grafico de fen el punto (x, f (x)). Tomamos la funcion f (x) =

√x y queremos ver como se comporta

cerca de 64. Para ello, queremos usar una funcion simple, en este caso una funcion lineal. Detodas las funciones lineales la recta tangente en el punto de abscisa x0 = 64 es la que mejor

aproxima a f cerca de ese valor. En este caso f (64) = 8 y como f ′(x) =1

2√

xtenemos que

f ′(64) =1

16. Por ello, la funcion que nos da la recta tangente al grafico de f es

P1(x) = 8 +1

16(x− 64) .

Distribuyendo, esta funcion tambien se podrıa escribir como P1(x) =1

16x+ 4, pero si vamos

a utilizar valores de x cercanos a 64 la primera expresion hace que las cuentas sean masfaciles.Por ejemplo, para calcular aproximadamente f (65) =

√65 podemos calcular el valor de

P1(65) = 8 +1

16(65− 64) = 8,0625.

Este valor es muy cercano a√

65 ≈ 8,0622...

1.2. Aproximando por parabolas

Al retomar el ejemplo anterior, al aproximar f (x) =√

x por

P1(x) = 8 +116

(x− 64)

estamos pidiendo que f (64) = P(64) para que ambas coincidan en el punto. Ademas pedi-mos que f ′(64) = P′(64) para que las respectivas tangentes tengan la misma pendiente.Para extenderlo a funciones cuadraticas en las que aproximamos el grafico de la funcionpor una parabola, podemos pedir que ambas tengan la misma curvatura en ese punto. Lacurvatura es difıcil de calcular, pero esta condicion es equivalente a pedir que tengan lamisma derivada segunda, o sea que f ′′(64) = P′′(64).Si tomamos

P2(x) = a + b(x− 64) + c(x− 64)2




y derivamos dos veces nos queda que P′′2 (x) = 2c, por lo que c =f ′′(64)

2. Ademas, como

tenıamos antes, a = f (64) y b = f ′(64).

En nuestro ejemplo f ′′(x) = − 1

4√

x3, por lo que f ′′(64) = − 1

2048y c = − 1

4096, por lo tanto

P2(x) = 8 +1

16(x− 64)− 1

4096(x− 64)2 .

Entonces, al estimar f (65) =√

65 por

P2(65) = 8 +1

161− 1

409612 = 8,062256...

tenemos una mejor aproximacion.(Notemos que el valor de

√65 es aproximadamente 8,062258....)

Lo bueno de escribir aP2(x) = a + b(x− 64) + c(x− 64)2

en vez deP2(x) = u + vx + wx2

es que la expresion para a, b y c es mucho mas directa que la expresion para u, v y w.Veamos como quedan estos polinomios en un grafico.

P2(x)

P1(x)

P0(x)

f (x)

8

10

5

064640 20 40 60 80 100

De la misma manera podrıamos generalizar lo anterior a polinomios de grado 3 y buscar unpolinomio de la forma

P3(x) = a + b(x− 64) + c(x− 64)2 + d(x− 64)3

que cumpla las igualdades anteriores y que ademas f ′′′(64) = P′′′(64). Las formulas para a,b y c no cambian. Al igualar las derivadas terceras tenemos que f ′′′(64) = 3.2.1d = 6d. (Alderivar “baja” primero un 3, despues un 2 y despues un 1.)




Por lo que d =f ′′′(64)3.2.1

=f ′′′(64)

6. En nuestro ejemplo, d =

1524288

y al aproximar a

f (65) =√

65 obtenemos

P3(x) = 8 +1

16(x− 64)− 1

4096(x− 64)2 +

1524288

(x− 64)3

y reemplazando queda que

P3(65) = 8 +1

16(65− 64)− 1

4096(65− 64)2 +

1524288

(65− 64)3

= 8 +1

161− 1

409612 +

1524288

13 = 8,06225777...

(Notemos que en realidad√

65 ≈ 8,06225775....)

1.3. Polinomio de Taylor

Al generalizar, tenemos el siguiente teorema.

Polinomio de Taylor. Dada f una funcion con por lo menos n derivadas en x0

tendremos un unico polinomio de grado n tal que las primeras n derivadas de f coin-ciden con las de P. O sea que f (x0) = Pn(x0), f ′(x0) = P′n(x0), f ′′(x0) = P′′n (x0), ...,f (n)(x0) = P(n)

n (x0). Este polinomio es el Polinomio de Taylor de f en x0 de orden n. Masprecisamente, su expresion es

Pn(x)=f (x0)

0!+

f ′(x0)

1!(x−x0)+

f ′′(x0)

2!(x−x0)

2+f ′′′(x0)

3!(x−x0)

3+· · ·+ f (n)(x0)

n!(x−x0)

n

En la expresion, n! es el factorial de n, o sea el producto de todos los numeros naturales de 1a n, o sea n! = 1.2.3. . . . .n y 0! = 1.Tambien podemos escribir los primeros terminos directamente, usando que 0! = 1, 1! = 1,2! = 2 y 3! = 1.2.3 = 6 y queda

Pn(x)= f (x0)+ f ′(x0)(x−x0)+f ′′(x0)

2(x−x0)

2+f ′′′(x0)

6(x−x0)

3+· · ·+ f (n)(x0)

n!(x−x0)

n

que es una expresion mas simple y mas parecida a la que vimos antes.Para ver como usarlo, resolvamos otro ejemplo.

Ejemplo. Calcular el polinomio de Taylor de orden 5 en x0 = 0 de f (x) = e2x. Coneste resultado, aproximar el valor de f (0,1) = e0,2 y f (1) = e2.

Solucion




Primero, usando ahora la regla de la cadena vemos que

f ′(x) = 2e2x,

f ′′(x) = 2.2e2x,

f ′′′(x) = 2.2.2e2x,

...

f (5)(x) = 25e2x.

Entonces, f (0) = 1, f ′(0) = 2, f ′′(0) = 2.2, ..., f (5)(0) = 25 y

P5(x) = 1 + 2x +42

x2 +86

x3 +1624

x4 +32

120x5

P5(x) = 1 + 2x + 2x2 +43

x3 +23

x4 +4

15x5 .

Al aproximar f(

110

)= e0,2 obtenemos

P5

(1

10

)= 1 + 2

110

+ 2(

110

)2

+43

(110

)3

+23

(1

10

)4

+4

15

(110

)5

=229013187500

≈ 1,22140266...

Sabiendo que el valor exacto es e0,2 ≈ 1,22140275... vemos que los valores son similares.En cambio al aproximar f (1) = e2 obtenemos

P5(1) = 1 + 2.1 + 2.12 +43

.13 +23

.14 +4

15.15 =

10915

≈ 7,266...

Sabiendo que el valor exacto es e2 ≈ 7,389... vemos que la aproximacion tiene una mayordiferencia. 2

Para poder estimar estas diferencias y ver si la aproximacion nos resulta util, vamos a desa-rrollar una expresion para el error que se comete al usar el polinomio de Taylor para apro-ximar la funcion.

Con este material pueden hacer hasta el ejercicio 9 de la Practica 8.




2. Expresion del resto

El error que se comete al aproximar f por su polinomio de Taylor de orden n en x0 esRn(x) = f (x) − Pn(x) y lo llamaremos resto de orden n. El objetivo es encontrar una ex-presion facil de usar. El valor exacto de R nos darıa inmediatamente el valor exacto de f . Engeneral no va a ser posible calcularlo y lo que queremos es encontrar una expresion facil quepermita acotarlo, para saber la magnitud del error cometido al usar la aproximacion.

2.1. Acotacion del error para orden 3

Veamos como acotar el error cuando consideramos el resto del polinomio de Taylor. Parasimplificar la notacion, vamos a analizar solo el caso de orden 3, tomando x0 = 0 y supo-niendo que x > x0.La definicion nos dice que R3(x) = f (x)− P3(x). Por la forma en que armamos P3 tenemosque R3(0) = f (0)− P3(0) = 0 porque pedimos que f y P3 coincidan en x0 = 0. De la mismamanera, R′3(0) = 0, R′′3 (0) = 0 y R′′′3 (0) = 0.Por el teorema de Cauchy, tomando la funcion x4 tenemos que

R3(x)x4 =

R3(x)− R3(0)x4 − 04 =

R′3(ξ)4.ξ3

en donde ξ es un punto intermedio, que esta en el intervalo (0; x). (En general ξ no se puededeterminar facilmente. Solo sabemos que existe.)Con esta misma idea, tomando la funcion 4x3 tenemos que

R′3(ξ)4ξ3 =

R′3(ξ)− R′3(0)4 (ξ3 − 03)

=R′′3 (ς)4.3.ς2

en donde ahora ς esta en el intervalo (0; ξ). Para simplificar esta expresion, podemos usarque el intervalo (0; ξ) esta incluido en el intervalo (0; x) y decir directamente que ς esta enel intervalo (0; x).Repetimos una vez mas el razonamiento con la funcion 4.3.x2 y entonces

R′′3 (ς)4.3.ς2 =

R′′3 (ς)− R′′3 (0)4.3. (ς2 − 02)

=R′′′3 (η)

4.3.2.η

en donde η esta en el intervalo (0; ς), o para simplificar tomamos que η esta en el intervalo(0; x).Repetimos una ultima vez mas el procedimiento usando ahora la funcion 4.3.2.x y entonces

R′′′3 (η)

4.3.2.η=

R′′′3 (η)− R′′′3 (0)4.3.2. (η − 0)

=R(4)

3 (c)4.3.2.1




en donde c esta en el intervalo (0; η), o para simplificar, tomamos que c esta en el intervalo(0; x).Pero como P3 es un polinomio de grado 3 a lo sumo, entonces al derivarlo cuatro veces seanula. Ası que P(4)

3 (x) = 0 para todo x y por ello

R(4)3 (c) = f (4)3 (c)− P(4)

3 (c) = f (4)3 (c).

Juntando estas formulas, queda que

R3(x)x4 =

R(4)(c)4.3.2.1

=f (4)(c)

4!y despejando obtenemos que

R3(x) =R(4)(c)4.3.2.1

=f (4)(c)

4!x4

con c en el intervalo (0; x).Veamos como usar esto en un ejemplo.

Ejemplo. Sea f (x) = ln(1 + x). Calcular el polinomio de Taylor de orden 3 de fen x0 = 0 y encontrar la expresion del resto. Con esta estimacion, acotar el error que secomete al aproximar f (0,2) por P3(0,2).

SolucionCalculemos las derivadas

f (x) = ln(1 + x),

f ′(x) =1

1 + x,

f ′′(x) = − 1

(1 + x)2 ,

f ′′′(x) =2

(1 + x)3 ,

f (4)(x) = − 2.3

(1 + x)4 .

Ası que f (0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = −1, f ′′′(0) = 2. Entonces,

P3(x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2x2 +

f ′′′(0)6

x3

= 0 + 1.x +

(−12

)x2 +

26

x3

= x− 12

x2 +13

x3 .




Para acotar el error, tenemos que

|R3 (0,2)| =∣∣∣∣0,24

4!f (4)(c)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ 115000

(− 2.3

(1 + c)4

)∣∣∣∣∣ = 1

2500 (1 + c)4

en donde c esta en el intervalo (0; 0,2).

(Notamos que1

(1 + x)4 es estrictamente decreciente si x es positivo.) Podemos acotar usando

que si 0 < c entonces 1 + 0 < 1 + c ası que (1 + 0)4 < (1 + c)4 y1

(1 + 0)4 >1

(1 + c)4 de

manera que

|R3 (0,2)| = 1

2500 (1 + c)4 <1

2500 (1 + 0)4 =1

2500

Con esto vemos que si aproximamos f (0,2) = ln(1,2) por

P3 (0,2) = 0,2− 12

0,22 +13

0,23 =137750

≈ 0,18267...

la diferencia es menor que1

2500= 0,0004 . 2

Generalizando el ejemplo anterior:

Si f es una funcion con n+ 1 derivadas continuas, el resto de su polinomio de Taylorde orden n en x0 es

Rn(x) =f (n+1)(c)(n + 1)!

(x− x0)n+1

con c en el intervalo (x0; x) si x0 < x y c en el intervalo (x; x0) si x < x0.

Apliquemos esta formula a uno de los ejemplos anteriores.

Ejemplo. Encontremos la expresion del resto del polinomio de Taylor de orden 5 enx0 = 0 de f (x) = e2x y acotemos su valor en x = 0,1 y x = 1.

SolucionPara el primer caso, tenemos que

R5(0,1) =f (6)(c)

6!0,16 =

26e2c

6!0,16 =

26e2c

6!

(1

10

)6

=e2c

11250000

y como e2x es estrictamente creciente, podemos acotar

e2c < e2.0,1 = e0,2 < e1 < 3.




En esta acotacion, e0,2 es mucho menor que 3, pero la acotamos de esta manera para que elresultado sea mas facil de manejar.Entonces,

|R5(0,1)| =∣∣∣∣ e2c

11250000

∣∣∣∣ < 311250000

=1

3750000.

Ası que |R5(0,1)| < 13750000

= 0,000000267... por lo que demostramos que los valores def (0,1) y P5(0,1) son muy cercanos, como habıamos visto numericamente antes.Para el segundo caso, tenemos que

|R5(1)| =∣∣∣∣∣ f (6)(c)

6!16

∣∣∣∣∣ = 26e2c

6!16 =

445

e2c

y como e2x es estrictamente creciente, acotamos nuevamente usando que

e2c < e2 < 32 = 9

y entonces

|R5(1)| =∣∣∣∣ 445

e2c∣∣∣∣ < 4

4532 =

45≈ 0,8.

Ası que tenemos una acotacion del error grande y probablemente sea una mala idea usarP5(1) como una aproximacion de f (1). Esto es coherente con los valores que obtuvimosantes numericamente para comparar. 2

Veamos algunos ejemplos mas.

Para acotar se necesita utilizar el maximo del modulo de la derivada n + 1-esimade f en el intervalo. Este valor a veces puede alcanzarse en los bordes del intervalo (si laderivada es creciente o decreciente) . Pero es importante recordar que no siempre es ası.

Ejemplo. Sea f (x) = sen (x). Calcular el polinomio de Taylor de orden 3 de f enx0 = 0 y encontrar la expresion del resto. Con esta estimacion, acotar el error que secomete al aproximar f (π) por P3(π).

Solucion




Calculemos las derivadas

f (x) = sen(x),

f ′(x) = cos(x),

f ′′(x) = − sen(x),

f ′′′(x) = − cos(x),

f (4)(x) = sen(x).

Ası que f (0) = 0, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 0, f ′′′(0) = 1. Entonces,

P3(x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2x2 +

f ′′′(0)6

x3

= 0 + 1.x +02

x2 +

(−16

)x3

= x− 16

x3 .


R3 (π) =π4

4!f (4)(c) =

π4

24sen(c)

en donde c esta en el intervalo (0; π). Como sen(x) no es creciente ni decreciente en esteintervalo, hay que tener mas cuidado.Si cometemos el error de evaluar solo en ambos extremos tenemos que sen(0) = 0 y quesen(π) = 0. Es importante recordar que no hay que evaluar en los extremos, sino acotar lafuncion. Por suerte, sen(x) esta acotada entre −1 y 1. Por ello,

|R3 (π)| = π4

24|sen(c)| ≤ π4

24· 1 <

44

24=

323

en donde usamos la cota de π < 4 para obtener una expresion mas sencilla. 2

Con esto vemos que si aproximamos f (π) = sen(π) = 0 por

P3 (π) = π − 16

π3 ≈ −2,0261

la diferencia claramente no es 0. Es mas, es una mala aproximacion. La acotacion del resto en

este caso da |R3 (π)| < 323

≈ 10,667..., lo cual es coherente con la diferencia que obtuvimos.En general, estas aproximaciones son utiles cuando se puede dar una cota “chica” del error.Solo para comparar, analicemos la aproximacion en otro valor facil de calcular, pero que estemas cercano a x0 = 0.




Si utilizamos el mismo polinomio para estimar f(π

6

)= sen

(π

6

)=

12

queda

P3

(π

6

)=

π

6− 1

6

(π

6

)3=

π

6− π3

1296≈ 0,49967

y la acotacion del error queda

|R3 (π)| =

(π

6

)4

24|sen(c)| ≤ π4

311041 <

44

24=

2243

en donde volvemos a usar que sen(x) esta acotada entre −1 y 1. Ası que

|R3 (π)| < 2243

≈ 0,0082...

Analicemos ahora un caso en el que x < x0.

Ejemplo. Sea f (x) = xex−1. Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de f enx0 = 1 y encontrar la expresion del resto. Con esta estimacion, acotar el error que secomete al aproximar f (0,9) por P2(0,9).

SolucionCalculemos las derivadas

f (x) = xex−1,

f ′(x) = ex−1 + xex−1,

f ′′(x) = 2ex−1 + xex−1,

f ′′′(x) = 3ex−1 + xex−1.

Ası que f (1) = 1, f ′(1) = 2 y f ′′(1) = 3. Entonces,

P2(x) = f (1) + f ′(1)(x− 1) +f ′′(1)

2(x− 1)2

= 1 + 2 · (x− 1) +32(x− 1)2 .


R2 (0,9) =(0,9− 1)3

6f ′′′(c) =

(−0,1)3

6

(3ec−1 + cec−1

)en donde c esta en el intervalo (0,9; 1). Tratemos de acotar

3ec−1 + cec−1 = (3 + c)ec−1.




Por un lado, como c < 1 tenemos que ec−1 < e1−1 = e0 = 1. Ademas 3 + c < 3 + 1 = 4.Entonces,

3ec−1 + cec−1 = (3 + c) ec−1 < (3 + 1)e1−1 = 4.

Por ello,

|R3 (0,9)| =

∣∣∣∣− 110

∣∣∣∣36

(3ec−1 + cec−1

)<

(1

10

)3

64 =

11500

.

Con esto vemos que si aproximamos f (0,9) = 0,9e0,9−1 por

P2 (0,9) = 1 + 2 · (0,9− 1) +32(0,9− 1)2 = 1 + 2 ·

(− 1

10

)+

32

(− 1

10

)2

=163200

,

la acotacion del resto da |R2 (0,9)| < 11500

. 2

Con este material pueden hacer hasta el ejercicio 18 de la Practica 8.

3. Problemas varios

A veces es util encontrar una cota del error para todos los x en un intervalo cercano a x0.

Ejercicio. Sea f (x) = xex−1. Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 de f enx0 = 1 y dar la expresion del resto. Acotar el error que se comete al aproximar f (x) porP2(x) cuando x esta en el intervalo (0,9; 1,1).

SolucionLa funcion f y x0 son iguales a los que utilizamos anteriromente. Por ello,

P2(x) = 1 + 2 · (x− 1) +32(x− 1)2

y

|R3 (x)| = |x− 1|3

6

(3ec−1 + cec−1

)=|x− 1|3

6(3 + c) ec−1

con x en el intervalo (0,9; 1,1) y c en el intervalo (x; 1) o (1; x) , dependiendo de que x < 1o x > 1. En todos los casos, para cualquier valor de x, tenemos que c esta en el intervalo(0,9; 1,1).Para acotar, tenemos que por un lado si x esta en el intervalo (0,9; 1,1) entonces

|x− 1| < 110




y entonces |x− 1|3 <1

103 . Por otro lado, tenemos que

3 + c < 3 + 1,1 < 4,1 =4110

y que como ex es creciente

ec−1 < e1,1−1 < e0,1 < e1 = e < 3.

En esta ultima parte, e0,1 es mucho mas chico que 3, pero lo acotamos por 3 para simplificarla expresion. Entonces,

|R3 (x)| = |x− 1|3

6(3 + c) ec−1 <

(1

103

)6

4110· 3 =

4120000

.

2

En algunos casos, puede ser util simplificar aun mas la expresion del error, por ejemplotomando

|R3 (x)| = 4120000

<50

20000=

1400

.

Con cada acotacion de la cota perdemos un poco de informacion sobre la precision delcalculo, pero a cambio ganamos en simplicidad. Si la acotacion que utilizamos es muy burdapodemos perder de vista la calidad de la aproximacion.Vimos en algunos ejemplos que no podıamos acotar el error por un numero “chico”. En lamayorıa de los casos para obtener aproximaciones mas precisas alcanza con aumentar elorden del polinomio de Taylor utilizado.

Ejercicio. Sea f (x) = e2x. Encontrar un n tal que al aproximar f (1) = e2 por el

polinomio de Taylor de f de orden n en x0 = 0 el error obtenido sea menor que1

1000.

SolucionPrimero, recordemos que f ′(x) = 2e2x, f ′′(x) = 2.2e2x, ..., f (5)(x) = 25e2x. En este caso, esposible encontrar una formula general para la derivada n-esima de f , que es

f (n)(x) = 2ne2x.

De la misma manera, f (0) = 1, f ′(0) = 2, f ′′(0) = 2.2, ..., f (5)(0) = 25 y obtenemos que

f (n)(0) = 2n.

Entonces,

Pn(x) = 1 + 2x +42

x2 +86

x3 + · · ·+ 2n

n!xn




y la expresion del resto es

Rn(x) =2n+1e2c

(n + 1)!xn+1

con c en el intervalo (0,x) cuando x > 0. En particular tenemos que

Rn(1) =2n+1e2c

(n + 1)!1n+1 <

2n+1e2.1

(n + 1)!1n+1 <

2n+132

(n + 1)!=

18.2n

(n + 1)!.

Evaluando en distintos valores de n, vemos que si n = 10 entonces

R10(1) <210+132

(10 + 1)!=

817325

≈ 0,00046... <1

1000

por lo que n = 10 es el numero buscado. 2

Con este material pueden completar la Practica 8.


Juan Sabia (2015), Polinomio de Taylor, Teoricas de Analisis Matematico (28).



Teoricas de Analisis Matematico (28) - Practica 10 - Area entre curvas


Area entre curvasUna de las aplicaciones del calculo de integrales definidas es el calculo de areas de regionesacotadas del plano delimitadas por graficos de funciones.

1. Area entre el grafico de una funcion y el eje x

Como primer paso, nos interesa calcular el area comprendida entre el grafico de una funcionf y el eje x entre x = a y x = b, sabiendo que f es integrable en [a; b].En primer lugar, consideraremos el caso en que el grafico de f esta por arriba del eje x.

a b

y = f (x)

Al introducir la nocion de integral vimos que:

Si la funcion f es positiva o cero en el intervalo [a; b], el area de la region compren-dida entre el eje x y el grafico de la funcion f entre los lımites a y b es

A =∫ b

af (x)dx

Ejemplo 1. Calcular el area de la region comprendida entre el eje x y el grafico de lafuncion f (x) = x2 − 1 entre x = 1 y x = 3.

El area pedida es la sombreada en el siguiente grafico:




1 3

f

A

Como la funcion f es positiva o cero en el intervalo [1; 3], el area A esta dada por

A =∫ 3

1(x2 − 1)dx.

Para calcular la integral, podemos usar la regla de Barrow. Como F(x) =13

x3 − x es una

primitiva de f (x) = x2 − 1, tenemos que

A =∫ 3

1(x2 − 1)dx =

(13

x3 − x)∣∣∣3

1=(1

333 − 3

)−(1

313 − 1

)= 6− (−2

3) =

203

.

El segundo caso que consideraremos es cuando el grafico de f esta por debajo del eje x

a b

y = f (x)

es decir, la funcion f es negativa o cero en el intervalo [a; b].En esta situacion, la integral definida da el area de la region comprendida entre el eje x y elgrafico de la funcion f pero con el signo cambiado (es decir, da negativo). Por lo tanto, paracalcular el area, bastara con cambiar el signo de la integral.




Si la funcion f es negativa o cero en el intervalo [a; b], el area de la region compren-dida entre el eje x y el grafico de la funcion f entre los lımites a y b es

A = −∫ b

af (x)dx

Ejemplo 2. Calcular el area de la region comprendida entre el eje x y el grafico de lafuncion f (x) = −x2 − 1 entre x = −2 y x = 1.

En el siguiente grafico aparece sombreada la region en cuestion:

−2 1

y = f (x)

A

La funcion f toma valores negativos en todo R, con lo cual el area A buscada es

A = −∫ 1

−2(−x2 − 1)dx =

∫ 1

−2(x2 + 1)dx =

(13

x3 + x) ∣∣∣1−2

=

=

(13

13 + 1)−(

13(−2)3 + (−2)

)=

43+

143

= 6 .

Finalmente, si se quiere calcular el area de la region comprendida entre el grafico de unafuncion f y el eje x entre x = a y x = b en el caso en que f toma valores positivos ynegativos en el intervalo [a; b], se deben estudiar los cambios de signo de la funcion en elintervalo considerado.




Por ejemplo, para calcular el area de la region sombreada en la figura

a

b

y = f (x)

podemos descomponerla en dos areas que ya sabemos calcular: si c es el punto de intersec-cion del grafico de f con el eje x (es decir, el punto del intervalo [a; b] donde la funcion vale0), entonces, como podemos ver en el grafico, f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [a; c] y f (x) ≥ 0 paratodo x ∈ [c; b].

a

b

y = f (x)

A1

A2

c

Entonces, podemos calcular el area A1 comprendida entre el grafico de f y el eje x paraa ≤ x ≤ c y el area A2 comprendida entre el grafico de f y el eje x para c ≤ x ≤ b, y obtenerel area A como la suma de estas dos areas:

A = A1 + A2 = −∫ c

af (x)dx +

∫ b

cf (x)dx.




Ejemplo 3. Calcular el area de la region comprendida entre el eje x y el grafico de lafuncion f (x) = x2 + 2x− 3 entre x = −1 y x = 2.

Veamos primero si el grafico de la funcion f (x) = x2 + 2x− 3 corta al eje x para algun valorx ∈ [−1; 2]. Para esto, buscamos los ceros de f :

x2 + 2x− 3 = 0 ⇐⇒ x = 1 o x = −3

De estos dos ceros, 1 ∈ [−1; 2] y −3 /∈ [−1; 2], con lo cual solo nos interesa x = 1. Hagamosun grafico aproximado para ver cual es el area pedida:

−1

1 2

f

A1

A2

Tenemos que f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [−1; 1] y f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [1; 2]. Entonces, elarea a calcular es

A = A1 + A2 = −∫ 1

−1(x2 + 2x− 3)dx +

∫ 2

1(x2 + 2x− 3)dx.

Para calcular las integrales definidas en cuestion, usamos la regla de Barrow. Como una

primitiva de f (x) = x2 + 2x− 3 es13

x3 + x2 − 3x, obtenemos:

A = −((

13

x3 + x2 − 3x) ∣∣∣1−1

)+

((13

x3 + x2 − 3x) ∣∣∣2

1

)=

= −((

13+ 1− 3)− (

13(−1)3 + (−1)2 − 3(−1))

)+

((

13

23 + 22 − 3.2)− (13+ 1− 3)

)=

= −(−163) +

73=

233

.

La misma idea puede usarse en el caso en que la funcion f tenga varios ceros en el intervalo[a; b], partiendolo en varios intervalos (delimitados por los extremos del intervalo y los cerosde f ) de manera que en cada uno de ellos los valores de f sean siempre positivos o cero, obien, siempre negativos o cero.




Por ejemplo, en la situacion del siguiente grafico

a c d b

A1

A2

A3

y = f (x)

el area de la region comprendida entre el grafico de f y el eje x para a ≤ x ≤ b puedeobtenerse como la suma de las areas de las tres regiones sombreadas, delimitadas por cerosde f . Cada una estas areas, a su vez, puede calcularse por medio de una integral con el signocorrespondiente:

A = A1 + A2 + A3 = −∫ c

af (x)dx +

∫ d

cf (x) dx−

∫ b

df (x) dx

2. Area entre el grafico de dos funciones

Nos interesa ahora calcular el area de una region comprendida entre los graficos de dosfunciones integrables f y g.Consideremos, en primer lugar, la situacion del siguiente grafico:

a b

f

g

A

Queremos calcular el area comprendida entre los graficos de f y g para a ≤ x ≤ b. En estecaso, f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a; b].Como puede verse en los graficos siguientes, el area A resulta ser la diferencia entre dosareas: el area A1 de la region comprendida entre el grafico de f y el eje x para a ≤ x ≤ b y elarea A2 de la region comprendida entre el grafico de g y el eje x para a ≤ x ≤ b:




a b

f

g

A =

a b

f

A1 −

a b

g

A2

Como f y g toman valores positivos en [a; b], entonces

A1 =∫ b

af (x)dx y A2 =

∫ b

ag(x)dx

y, por lo tanto, el area A buscada es

A = A1 − A2 =∫ b

af (x)dx−

∫ b

ag(x)dx =

∫ b

a( f (x)− g(x)) dx.

Si las funciones f y g cumplen que f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a; b], el area de laregion comprendida entre los graficos de f y g para a ≤ x ≤ b es

A =∫ b

a( f (x)− g(x))dx

Si bien anteriormente consideramos el caso en que f y g son funciones no negativas en elintervalo [a; b], la formula anterior vale siempre que f y g cumplan que f (x) ≥ g(x), aunquetomen valores negativos. Para ver esto, consideremos el siguiente grafico:

a b

f

g

A

En este caso, ambas funciones f y g toman valores positivos y negativos en el intervalo [a; b].Observemos que el area de la region no cambia si la trasladamos (manteniendo su forma ydimensiones). Como la region es acotada, haciendo una traslacion en sentido vertical, pode-mos conseguir que toda la region quede por encima del eje x y, en consecuencia, reducirnos




al caso ya analizado. Para hacer esta traslacion, basta sumarles la misma constante K, sufi-cientemente grande, a f y a g, de manera que g(x) + K ≥ 0 para todo x ∈ [a; b] y, entonces,f (x) + K ≥ g(x) + K ≥ 0 para todo x ∈ [a; b]. Graficamente:

a b

y = f (x)

y = g(x)

A

a b

y = f (x) + K

y = g(x) + K

Ası, el area de la region es

A =∫ b

a(( f (x) + K)− (g(x) + K)) dx =

∫ b

a( f (x)− g(x)) dx

Ejemplo 4. Calcular el area de la region encerrada entre los graficos def (x) = 3x2 − 2 y g(x) = 2x− 1.

En primer lugar, hagamos un grafico aproximado de la region cuya area queremos calcular:

y = f (x)y = g(x)

A

La region esta limitada por los valores de x correspondientes a los dos puntos en los quese intersecan los graficos de f y g; es decir, los valores de x para los cuales f (x) = g(x).Calculemos estos valores:

f (x) = g(x) ⇐⇒ 3x2 − 2 = 2x− 1 ⇐⇒ 3x2 − 2x− 1 = 0 ⇐⇒ x = 1 o x = −13

.




Entonces, los valores de x que delimitan el area son x = −13

y x = 1. Como podemos

observar en el grafico, g(x) ≥ f (x) para todo x ∈ [−13

; 1].

−13

1

y = f (x)

y = g(x)A

Por lo tanto, el area de la region encerrada entre los graficos de f y g es

A =∫ 1

− 13

(g(x)− f (x)) dx =∫ 1

− 13

(2x− 1− (3x2 − 2)

)dx =

=∫ 1

− 13

(−3x2 + 2x + 1

)dx =

(−x3 + x2 + x

) ∣∣∣1− 1

3

= 1−(−−5

27

)=

3227

Veamos ahora otra situacion:

a c b

y = f (x)

y = g(x)A

El area A de la region comprendida entre los graficos de f y g para a ≤ x ≤ b puededescomponerse como la suma de dos areas que sabemos calcular:




a c b

y = f (x)

y = g(x)A1+

a c b

y = f (x)

y = g(x)A2

Como en cada uno de los intervalos [a; c] y [c; b] el grafico de una de las funciones estasiempre arriba del de la otra, usando lo que vimos antes, tenemos que

A1 =∫ c

a(g(x)− f (x)) dx, ya que g(x) ≥ f (x) para todo x ∈ [a; c],

A2 =∫ b

c( f (x)− g(x)) dx, ya que f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [c; b],

Por lo tanto,

A =∫ c

a(g(x)− f (x)) dx +

∫ b

c( f (x)− g(x)) dx.

Ejemplo 5. Calcular el area de la region comprendida entre los graficos def (x) = x2 + 1 y g(x) = 2x2 para 0 ≤ x ≤ 2.

Primero veamos si los graficos de las funciones se intersecan en algun punto con abscisa talque 0 ≤ x ≤ 2:

f (x) = g(x) ⇐⇒ x2 + 1 = 2x2 ⇐⇒ −x2 + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1 o x = 1.

Como la region esta dada por los valores de x entre 0 y 2, el valor que nos interesa es x = 1.Veamos ahora como se comportan los graficos de f y g en cada uno de los intervalos [0; 1)y (1; 2], es decir, si f (x) > g(x) o f (x) < g(x). Dado que f y g son continuas, como con-secuencia del Teorema de Bolzano, podemos determinar esto simplemente evaluandolas enun punto de cada intervalo:

x [0; 1) 1 (1; 2]

f f (0) = 1 f (1) = 2 f (2) = 5g g(0) = 0 g(1) = 2 g(2) = 8

luego f > g f < g




El siguiente grafico resume la situacion:

20 1

y = f (x)

y = g(x)

A

Luego, el area pedida es

A =∫ 1

0

(−x2 + 1

)dx +

∫ 2

1

(x2 − 1

)dx.

Calculando primitivas y usando la regla de Barrow, obtenemos que

A =

(−1

3x3 + x

) ∣∣∣10+

(13

x3 − x) ∣∣∣2

1=

(23− 0)+

(23− (−2

3)

)= 2 .

Para calcular en general el area de la region comprendida entre los graficos de dos funcionesf y g integrables para a ≤ x ≤ b (ya sea que los graficos se intersequen o no) la idea es lamisma: subdividir la region en regiones mas chicas en cada una de las cuales el grafico de una de lasfunciones este siempre por arriba del de la otra y sumar las areas de estas regiones. Esto conduce ala siguiente formula para el calculo del area:

El area de la region comprendida entre los graficos de f y g para a ≤ x ≤ b es

A =∫ b

a| f (x)− g(x)| dx

En la practica trabajaremos con funciones continuas en [a; b]. Para subdividir la region dela manera indicada podemos proceder de la siguiente forma: en primer lugar, buscamos losvalores de x para los cuales f (x) = g(x). Para cada par de valores c y d consecutivos entrelos obtenidos, nos fijamos cual de las funciones es mayor en el intervalo (c; d) y, con esta




informacion, calculamos el area de la region comprendida entre los graficos de f y g parac ≤ x ≤ d. Una vez calculada el area para cada intervalo, el area total se obtiene sumandolas areas obtenidas.Observamos que determinar si f > g o f < g es equivalente a ver si f − g > 0 o f − g < 0.Entonces, si f y g son funciones continuas en un intervalo (c; d) en el cual sus graficos no seintersecan (es decir, f (x)− g(x) 6= 0 para todo x ∈ (c; d)), por el corolario del Teorema deBolzano, para ver cual de ellas es mayor en todo el intervalo, basta comparar los valores quetoman en un punto cualquiera de (c; d).

3. Ejercicios resueltos

Ejercicio 1. Calcular el area de la region encerrada entre los graficos de f (x) = 4x3

y g(x) = 4x.

SolucionPrimero calculamos los valores de x donde los graficos de las funciones se cortan:

f (x) = g(x) ⇐⇒ 4x3 = 4x ⇐⇒ 4x3 − 4x = 0

⇐⇒ 4x(x2 − 1) = 0 ⇐⇒ x = 0 o x = 1 o x = −1.

Esto nos dice que el area encerrada entre los graficos de f y g se encuentra entre x = −1 yx = 1 y que, ademas, los graficos tambien se cortan en x = 0.Ahora, para cada uno de los intervalos con extremos en dos valores consecutivos entre loshallados, determinamos si f (x) > g(x) o f (x) < g(x) para todo x del intervalo:

x −1 (−1; 0) 0 (0; 1) 1

f −4 f (−0, 5) = −0, 5 0 f (0, 5) = 0, 5 4g −4 g(−0, 5) = −2 0 g(0, 5) = 2 4

luego f > g f < g

Podemos hacer ahora un grafico aproximado de la situacion:




−1

0 1

f

g

Entonces, el area de la region encerrada entre los graficos de f y g resulta ser

A =∫ 0

−1( f (x)− g(x)) dx +

∫ 1

0(g(x)− f (x)) dx =

=∫ 0

−1

(4x3 − 4x

)dx +

∫ 1

0

(4x− 4x3

)dx =

= (x4 − 2x2)∣∣∣0−1

+ (2x2 − x4)∣∣∣10= (0− (−1)) + (−1− 0) = 2 .

2

En muchos casos, no es sencillo graficar las funciones para darse una idea del area a de-terminar, pero sin embargo, siguiendo el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior,podemos realizar los calculos:

Ejercicio 2. Calcular el area de la region encerrada entre los graficos de las funcionesf (x) = (x3 + 2x)ex4−4x3+4x2

y g(x) = 3x2ex4−4x3+4x2.

SolucionComenzamos buscando los valores de x correspondientes a los puntos de interseccion delos graficos:




f (x) = g(x) ⇐⇒ (x3 + 2x)ex4−4x3+4x2= 3x2ex4−4x3+4x2 ⇐⇒

⇐⇒ (x3 + 2x)ex4−4x3+4x2 − 3x2ex4−4x3+4x2= 0 ⇐⇒ (x3 − 3x2 + 2x)ex4−4x3+4x2

= 0

⇐⇒ x3 − 3x2 + 2x = 0 ⇐⇒ x = 0 o x = 1 o x = 2

Entonces la region cuya area queremos calcular tiene dos partes: una comprendida entrex = 0 y x = 1 y la otra, entre x = 1 y x = 2. Para calcular el area de cada una de las dospartes, determinamos si f > g o f < g en los intervalos correspondientes:

x 0 (0; 1) 1 (1; 2) 2

f 0 f (12) =

98 e

916 3e f (3

2) =518 e

916 12

g 0 g(12) =

34 e

916 3e g(3

2) =272 e

916 12

luego f > g f < g

En consecuencia, el area de la region encerrada entre los graficos de f y g es

A =∫ 1

0( f (x)− g(x)) dx +

∫ 2

1(g(x)− f (x)) dx =

=∫ 1

0

((x3 − 3x2 + 2x)ex4−4x3+4x2

)dx +

∫ 2

1

((−x2 + 3x2 − 2x)ex4−4x3+4x2

)dx

Para terminar el calculo, buscamos una primitiva de la funcion (x3 − 3x2 + 2x)ex4−4x3+4x2y

aplicamos la regla de Barrow

∫(x3 − 3x2 + 2x)ex4−4x3+4x2

dx =14

∫eu du =

↓u = x4 − 4x3 + 4x2

du = (4x3 − 12x2 + 8x)dx= 4(x3 − 3x2 + 2x)dx

=14

eu + K =14

ex4−4x3+4x2+ K

Tomando K = 0,

A = (14

ex4−4x3+4x2)∣∣∣10+ (−1

4ex4−4x3+4x2

)∣∣∣21= (

14

e− 14) + (−1

4+

14

e) =12

e− 12

.

2




Con las herramientas vistas, podemos calcular tambien areas de regiones delimitadas porgraficos de funciones en otras situaciones.

Ejercicio 3. Calcular el area de la region delimitada por los graficos def (x) =

√x + 1, g(x) = −

√x + 1 y h(x) = −x + 5.

SolucionComencemos haciendo un grafico para entender la situacion:

a b

c

f

g

h

Observando la figura, para calcular el area buscada, podemos partirla en dos areas que sa-bemos calcular: el area comprendida entre los graficos de f y g, desde la abscisa a del puntoen que estos se cortan hasta la abscisa b donde f y h valen lo mismo, y el area comprendidaentre los graficos de g y h, desde b hasta la abscisa c del punto donde se cortan sus graficos.Busquemos entonces los valores de a, b y c.El valor a es la abscisa del punto donde se cortan los graficos de f y g:

f (x) = g(x) ⇐⇒√

x + 1 = −√

x + 1 ⇐⇒ 2√

x + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1.

El valor b es la abscisa del punto donde se cortan los graficos de f y h:

f (x) = h(x) ⇐⇒√

x + 1 = −x + 5 ⇐⇒ x + 1 = (−x + 5)2 y −x + 5 ≥ 0 ⇐⇒

⇐⇒ x + 1 = x2 − 10x + 25 y x ≤ 5 ⇐⇒ x2 − 11x + 24 = 0 y x ≤ 5 ⇐⇒

⇐⇒ (x = 3 o x = 8) y x ≤ 5 ⇐⇒ x = 3.

El valor c es la abscisa del punto donde se cortan los graficos de g y h:

g(x) = h(x) ⇐⇒ −x + 5 = −√

x + 1 ⇐⇒ (−x + 5)2 = x + 1 y −x + 5 ≤ 0 ⇐⇒

x2 − 10x + 25 = x + 1 y x ≥ 5 ⇐⇒ x2 − 11x + 24 = 0 y x ≥ 5 ⇐⇒




⇐⇒ (x = 3 o x = 8) y x ≥ 5 ⇐⇒ x = 8.

Con todo esto, tenemos que el area buscada es

A =∫ 3

−1( f (x)− g(x)) dx +

∫ 8

3(h(x)− g(x)) dx =

=∫ 3

−1

(√x + 1− (−

√x + 1)

)dx +

∫ 8

3

(−x + 5− (−

√x + 1)

)dx =

=∫ 3

−12√

x + 1 dx +∫ 8

3

(−x + 5 +

√x + 1

)dx

Calculando las primitivas correspondientes (¡queda como ejercicio para el lector!) y aplican-do la regla de Barrow tenemos que

A =

(43(x + 1)

32

) ∣∣∣3−1

+

(−1

2x2 + 5x +

23(x + 1)

32

) ∣∣∣83=

(323− 0)+

(26− 95

6

)=

1256

.

2

Con lo visto aquı, se pueden resolver los ejercicios 1 a 5 de la Practica 10.


Juan Sabia (2015), Area entre curvas, Teoricas de Analisis Matematico (28).



Prácticas 0 a 11

Análisis Matemático

Exactas – Ingeniería

2014


CONTENIDO

PRÁCTICA 0. PRELIMINARES PRÁCTICA 1. FUNCIONES REALES LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS. GRÁFICO DE FUNCIONES. LAS FUNCIONES MÁS USUALES. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. FUNCIÓN INVERSA. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. OTRAS FUNCIONES. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 2. NÚMEROS REALES LA RECTA REAL. NÚMEROS IRRACIONALES. SUPREMO E ÍNFIMO.

PRÁCTICA 3. SUCESIONES TÉRMINO GENERAL. LA NOCIÓN DE LÍMITE. CÁLCULO DE LÍMITES. PROPIEDADES. SUCESIONES MONÓTONAS. MÁS PROPIEDADES. SUBSUCESIONES. SUCESIONES DADAS POR RECURRENCIA. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 4. LÍMITES Y CONTINUIDAD LÍMITES EN EL INFINITO. LÍMITE EN UN PUNTO. LÍMITES ESPECIALES. CONTINUIDAD. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES. TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 5. DERIVADAS RECTA TANGENTE REGLAS DE DERIVACIÓN. FUNCIÓN DERIVADA. FUNCIONES DERIVABLES Y NO DERIVABLES. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA. ALGUNAS APLICACIONES. DERIVADAS SUCESIVAS. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 6. TEOREMA DEL VALOR MEDIO TEOREMAS DE FERMAT, ROLLE, Y LAGRANGE.

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO. REGLA DE L’HOSPITAL. PROBLEMAS VARIOS.


PRÁCTICA 7. ESTUDIO DE FUNCIONES CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. EXTREMOS LOCALES. ASÍNTOTAS. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.

CONSTRUCCIÓN DE CURVAS. CANTIDAD DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN. CONTINUIDAD EN INTERVALOS CERRADOS.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 8. TEOREMA DE TAYLOR POLINOMIO DE TAYLOR. EXPRESIÓN DEL RESTO. PROBLEMAS DE APROXIMACIÓN. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 9. INTEGRALES LA FUNCIÓN ÁREA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. REGLA DE BARROW. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. PRIMITIVAS.

CÁLCULO DE PRIMITIVAS. MÉTODOS DE SUSTITUCIÓN Y DE INTEGRACIÓN POR PARTES. FRACCIONES SIMPLES. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 10. APLICACIONES DE LA INTEGRAL ÁREA ENTRE CURVAS. ECUACIONES DIFERENCIALES. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN.

LONGITUD DE CURVA. PROBLEMAS VARIOS.

PRÁCTICA 11. SERIES TÉRMINO GENERAL Y SUMAS PARCIALES. SERIES GEOMÉTRICAS Y SERIES TELESCÓPICAS. CRITERIOS DE CONVERGENCIA. SERIES DE POTENCIA. PROBLEMAS VARIOS.

PROGRAMA BIBLIOGRAFÍA


1

PRÁCTICA 0

PRELIMINARES

EJERCICIO 1: Calcule

(a)

3

2)

4

1

6

12(1

4

12)

12

5

2

1(1

2

1

3

2

(b)

4

1)

10

3

5

1(1

2

1)2(

5

2


(a)

2

2)2

1

3

2(

4

1

(b)

21

22

2

13

2

14


(a) 12

74

3

33

(b) 5

26

108

)104)(105(

(c) 21

27

32

6543

22

1

43

33)2(3227

64

49

1681

(d) 334 222 8127

8)9()3(5

EJERCICIO 4: Si 2

3;

3

2;2 zyx calcule

(a) )( zyx (b) zxy

(c) yzx (d) zyx )(


2

EJERCICIO 5: Pruebe las siguientes identidades

(a) nn

nn

1

11 , Nn

(b)

nn

nn

n

nnn

1

13

1

3 2

2

23

EJERCICIO 6: Resuelva

(a) 112 x (b) 725 x

(c) 374)13(2 xx (d) 242

39

x

x

(e) 3

1

2

1 xx

(f)

x

x

xx

x

33

26

)1(2

3

1

EJERCICIO 7: Muestre que el número 32 es solución de la ecuación

0110 24 xx .

EJERCICIO 8: Escriba como intervalo o unión de intervalos las soluciones de

las siguientes desigualdades

(a) 212 x (b) 212 x

(c) xx 610112 (d) 42

2

x

(e) 13

12

x

x (f) 1

1

3

x

x

EJERCICIO 9: Escriba de menor a mayor los siguientes números

2

5;

3

1;

7

4;

11

6;

2

3;

41

64;

3

38;

2

25

EJERCICIO 10: Demuestre que si a y b son números no negativos vale la desi-

gualdad.


3

baba

2

Exhiba un ejemplo donde la desigualdad es estricta y otro donde valga la igual-

dad.

EJERCICIO 11: Alguna de las siguientes relaciones no valen en general. Ana-

lice en qué casos son válidas.

(a) 222)( yxyx (b) yxyx

(c) 22 yxyx (d) yxyx

111

(e) xx 2 (f) xx 2

(g) 02 x (h) 03 x

(i) 12 x (j) xx log2)log( 2

(k) 02 x (l) xx log2)10log( 2

EJERCICIO 12: Resuelva

(a) 14 2 x (b) 8

12 35 x

(c) 100)7log( x (d) 0)13log( 2 xx

EJERCICIO 13: Represente en el plano los siguientes puntos:

(1 ; 3) , (3 ; 1) , (-1 ; 2) , (-1 ; -5) , (0 ; 1) , (1 ; 0) , (3 ; 3) , (-1 ; -1)

Para cada uno de estos puntos represente los puntos simétricos respecto de:

(a) el eje x. (b) el eje y. (c) el origen de coordenadas.

EJERCICIO 14: Represente en el plano los siguientes conjuntos de 2R

(a) 1/),( 2 xRyx (b) 2/),( 2 xRyx

(c) 2,0/),( 2 yxRyx (d) 1,1/),( 2 yxRyx


4

PRÁCTICA 1

FUNCIONES REALES

LAS FUNCIONES DESCRIBEN FENÓMENOS

EJERCICIO 1: Haga un gráfico que refleje la evolución de la temperatura del

agua a lo largo del tiempo atendiendo a la siguiente descripción:

“Saqué del fuego una cacerola con agua hirviendo. Al principio, la

temperatura bajó con rapidez, de modo que a los 5 minutos estaba en 60.

Luego fue enfriándose con más lentitud. A los 20 minutos de haberla sacado

estaba a 30 y 20 minutos después seguía teniendo algo más de 20, tem-

peratura de la cual no bajó, pues era la temperatura que había en la cocina”.

¿Es el gráfico que hizo, el único que respeta las consignas anteriores?

EJERCICIO 2: Con una lámina rectangular de 40 por 30 queremos hacer una

caja como muestra la figura:

(a) Busque la expresión del volumen de la caja en función de x.

(b) ¿Cuál es el dominio?

(c) Haga un gráfico aproximado a partir de una tabla de valores.

x x

xx

x

x

x

40 2.x

40 2.x

30 2.x 302.x


5

EJERCICIO 3: Entre todos los rectángulos de perímetro 20, halle la función

que relaciona la base x con la altura y. Haga un gráfico que la represente.

¿Cuál es el dominio?

EJERCICIO 4: Halle el área de un triángulo rectángulo isósceles en función del

cateto. Dibuje el gráfico de la función hallada a partir de una tabla de valores.

Indique cuál es el dominio.

GRÁFICO DE FUNCIONES

EJERCICIO 5: Dados los siguientes conjuntos del plano, determine, en cada

caso, si existe una función cuyo gráfico sea el dado

EJERCICIO 6: Dados los siguientes gráficos de funciones, determine, en cada

caso, en qué intervalos es creciente, en qué intervalos es decreciente, en qué

punto alcanza su máximo, cuál es dicho valor máximo, en qué punto alcanza su

mínimo y cuál es el valor mínimo.


6

EJERCICIO 7: Dibuje una función que sea creciente en los intervalos 1, y

,2 . Además que el valor máximo sea 4 y se alcance en x = -1 y que el valor

mínimo sea –3 y se alcance en x = 2.

LAS FUNCIONES MÁS USUALES

EJERCICIO 8:

(a) Encuentre en cada caso, una función lineal que satisfaga:

1. f(1) = 5 ; f(-3) = 2

2. f(-1) = 3 ; f(80) = 3

3. f(0) = 4 ; f(3) = 0

4. f(0) = b ; f(a) = 0 a y b fijos.

(b) Calcule en 1. y en 2. f(0). Calcule en 3. f(-2)

(c) Encuentre la pendiente de las rectas que son gráficas de las funcio-

nes lineales dadas en (a). Haga un gráfico de tales rectas.

a) b)

–1

–1–2 1 2

1

–½ ½

d)

2

1

c)

1


7

EJERCICIO 9: Halle la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el

punto P, siendo:

(a) P = (2 , 3) m = 1 (b) P = (1 , 5) m = 0

(c) P = (3 , -4) m = -2 (d) P = (0 , b) m = 1

Haga el gráfico de cada una de ellas. Decida cuáles son crecientes y cuáles

son decrecientes.

EJERCICIO 10: Encuentre la función lineal g que da la temperatura en grados

Farenheit, conocida la misma en grados Celsius, sabiendo que 0C = 32F y

100C = 212F. Recíprocamente, encuentre la función h que da la temperatura

en grados Celsius, conocida la misma en grados Farenheit. Compruebe que

g(h(x)) = h(g(x)) = x.

EJERCICIO 11: Trace el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas:

(a) 2)( xxf (b) 22)( xxf

(c) 3)( 2 xxf (d) 25)( xxf

Determine en cada caso, el conjunto imagen.

EJERCICIO 12: Para las siguientes funciones cuadráticas determine en qué in-

tervalo crece, en qué intervalo decrece, dónde es positiva, dónde es negativa,

en qué puntos se anula y en qué punto alcanza su extremo:

(a) 22)( xxf (b) )3(2)( xxxf

(c) xxxf 22)( (d) 12)( 2 xxxf

(e) 532)( xxxf

EJERCICIO 13: Se arroja una pelota desde el suelo y la altura, en metros, vie-

ne dada por la función ttth 105)( 2 , siendo t el tiempo medido en segundos.

¿Cuándo alcanza la altura máxima?

¿Cuál es dicha altura?


8

EJERCICIO 14: Represente gráficamente las siguientes funciones

(a) 3)( xxf (b) 32)( xxf

(c) 1)( 3 xxf (d) 4)( xxf

Analice en cada caso, la monotonía.


(a) x

xf4

)( (b) x

xf4

)(

(c) 3

4)(

xxf (d) 2

3

4)(

xxf

(e) 2

54)(

x

xxf (f)

1

23)(

x

xxf

Indique en cada caso, el dominio de la función. Indique también en qué inter-

valos es creciente y en qué intervalos es decreciente.


(a) xxf )( (b) xxf )(

(c) 3)( xxf (d) 2)2()( xxf

Indique en cada caso, el dominio de la función. Analice la monotonía.

EJERCICIO 17: Halle el dominio de las siguientes funciones

(a) 4)( 2 xxf (b) 8)( xxf

(c) 9)( 2 xxf (d) )1()( xxxf


9

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. FUNCIÓN INVERSA

EJERCICIO 18: Considere las funciones reales definidas por las fórmulas

xxxf 52)( 2 3

1)(

xxg 62)( xxh

(a) Calcule, si es posible:

)1(ff )1(hf )1(fg )2(gh

(b) Halle fórmulas para las composiciones que se indican a continuación.

gf fg hgf hf ff

(c) ¿ gf y fg son la misma función?

EJERCICIO 19: Halle la función inversa de:

(a) 53)( xxf (b) 0,12)( 2 xxxf

(c) 53)( xxf (d) 3)( xxf

(e) 3,46)( 2 xxxxf (f) 3,46)( 2 xxxxf

EJERCICIO 20: Pruebe que la función 1

1)(

x

xxf satisface )()

1( xfxx

f

para todo x positivo.

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

EJERCICIO 21: Dada las funciones exponenciales xrxf )( (r = 2 , 2

1, 3 ,

3

1),

(a) Haga el gráfico de cada una de ellas.

(b) Determine el dominio y la imagen.

(c) Analice la monotonía.


10

EJERCICIO 22: Si notamos )(log xr a la función inversa de )1,0( rrr x

(a) Haga el gráfico de )(log xy r para r = 2 , 2

1, 3 ,

3

1.

(b) Determine el dominio y la imagen.

(c) Analice la monotonía.

EJERICICIO 23: Encuentre el dominio de las siguientes funciones

(a) )2ln()( xxf (b) )23ln()( 2 xxxf

En cada caso determine los valores de x para los cuales 1)( xf

EJERCICIO 24: Halle la función inversa de:

(a) )2ln()( xxf (b) )4ln()( 2 xxf

(c) )1ln()( 2 xxf (d) 52)( xxf

(e) 3)( xexf (f) 0,)(2

xexf x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

EJERCICIO 25: A partir de los gráficos de xxg sen)( y xxh cos)( haga el

gráfico de

(a) )sen()( xxf (b) )2cos()( xxf

(c) )2cos()( xxf (d) )2

sen()(

xxf

EJERICICIO 26: Determine todos los valores de Rx tales que

(a) 2

1sen x (b)

2

3cos x

(c) 1sencos 22 xx (d) 1cossen 22 xx

(e) xxx cossen2)2sen( (f) )sen(cos2

2)

4cos( xxx


11

EJERCICIO 27: Haga el gráfico de las funciones inversas de xxg sen)( y

xxh cos)( . Determine los valores de Rx tales que

(a) 4

arcsen

x (b) xarccos

(c) 21)cos(arcsen xx

OTRAS FUNCIONES

EJERCICIO 28: Represente las siguientes funciones

(a) 5)( xxf (b) 5)( xxf

(c) xxf sen)( (d) xexf )(

EJERCICIO 29:

(a) Dada la función

xsix

xsix

xsix

xf

143

11

12

)( , calcule )3(f , )1(f y

)4(f . Determine para qué valores de y la ecuación yxf )( tiene

solución. ¿Cuándo es única?

(b) Idem para la función

4

2

1

413

)(xsi

x

xsix

xf

EJERCICIO 30: El impuesto a la riqueza es igual al 0,50 pesos por cada mil pe-

sos por encima de 100 mil pesos y de 1 peso por cada mil pesos por encima de

200 mil pesos. Escriba el monto del impuesto en función de la riqueza. ¿Cuál

es la riqueza de alguien que paga 530 pesos de impuesto?

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA1: La función f es lineal y la función g es cuadrática. Los gráficos

de ambas funciones se cortan en los puntos P = (-1,2) y Q = (2,0). Además g

se anula en x = -2. Halle las fórmulas de f y g y encuentre el conjunto de los x

tales que f(x) es mayor que g(x). Haga un gráfico.


12

PROBLEMA 2: Se definen 2

)cosh(xx ee

x

y 2

)senh(xx ee

x

. Pruebe que

(a) 1)(senh)(cosh 22 xx

(b) Los gráficos de ambas funciones no se cortan.

PROBLEMA 3: Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gra-

mos.

(a) Represente la función que da el peso total del cántaro en función de

la cantidad de agua, en litros, que contiene. Halle su fórmula. ¿Cuál

es el dominio?

(b) Si disponemos de 3 litros de mercurio, cuyo peso total es 40,8 kg, re-

pita el ítem anterior sustituyendo el agua por el mercurio.

(c) Si se representan las funciones de (a) y (b) en los mismos ejes, ¿qué

significa el punto de intersección?

(d) ¿Es cierto que a doble cantidad de líquido corresponde doble peso

total?

PROBLEMA 4: Si 14

2)(

3

nnf

n

, calcule )(

)1(

nf

nf y obtenga su valor numérico

para n = 1, 2, 3, 4 y 5.


13

PRÁCTICA 2

NÚMEROS REALES

LA RECTA REAL

EJERCICIO 1: Represente en la recta numérica:

(a) 12;12;12;12;2;5

21;

5

21;

8

3;6;3;1;5

(b) 14,3;14,3;2

3;;

2;

2;;3;2;1;0;1;2;3

EJERCICIO 2: Represente en la recta numérica los siguientes conjuntos. Escríbalos como intervalos o como unión de intervalos.

(a) Todos los números reales mayores que –1.

(b) Todos los números reales menores o iguales que 2.

(c) Todos los números reales que distan del 0 menos que 3.

(d) 532/ xRx (e) 33/ xRx

(f) 5321/ xRx (g) 0)32(/ xxRx

(h) 036/ 2 xRx (i) 0/ 3 xxRx

(j)

32

1/x

Rx (k)

xx

Rx41

/

(l) 3/ xRx (m) 32/ xRx

(n) 32/ xRx (ñ) 3/ xRx


14

EJERCICIO 3: Represente en la recta los siguientes conjuntos

(a) 6,34,2 (b) 6,34,2

(c) ),1(3, (d) ),3[3,1

(e) ),3[3,1 (f) )5,3(3,1

EJERCICIO 4: Represente en la recta los siguientes conjuntos

(a) 64/ nNn (b) 13/ nNn

(c)

6/1

nNnn

nx (d)

Nnn

nx /

1

NÚMEROS IRRACIONALES

EJERCICIO 5: Demuestre que 3 no es racional.

EJERCICIO 6: Dados los números 3,14 y

(a) Halle un número racional comprendido entre ambos.

(b) Halle un número irracional comprendido entre ambos (Ayuda: escriba su desarrollo decimal).

SUPREMO E INFIMO

EJERCICIO 7: Considere los siguientes conjuntos

Nnn

A :1

Nnn

nB :

1 7,0C

ND

Nnn

nE :1

2 4,3,2,1F

;999,5;99,5;9,5;5G 12/ xRxH 3/ xRxI


15

En cada caso:

(a) Determine si 7 es una cota superior.

(b) Determine si 0 es una cota inferior.

(c) Decida si está acotado superiormente.

(d) Decida si está acotado inferiormente.

(e) En caso afirmativo, encuentre el supremo y/o el ínfimo del conjunto. Decida si alguno de ellos es el máximo y/o el mínimo del conjunto correspondiente.

EJERCICIO 8: Considere el conjunto B del ejercicio anterior.

(a) Muestre que 1 es cota superior de B.

(b) Exhiba un elemento b de B que satisfaga 0,9 < b < 1.

(c) Exhiba un elemento b de B que satisfaga 0,99 < b < 1.

EJERCICIO 9: Considere el conjunto

Nn

n

nP :

2

12

(a) Muestre que 2 es una cota superior de P.

(b) Exhiba un elemento p de P que satisfaga 1,99 < p < 2.

(c) Muestre que si t < 2 existe un elemento p de P que satisface t<p<2. Deduzca entonces que sup P = 2.

EJERCICIO 10: Muestre que existe un número natural n que satisface

001,01

n. En general, muestre que, cualquiera sea x positivo, existe un nú-

mero natural n que satisface xn

1. Deduzca de aquí que 0:

1inf

Nnn


16

EJERCICIO 11: Sean A y B dos conjuntos de números reales no vacíos y acotados de modo que BA . Ordene de menor a mayor los siguientes números:

sup A , sup B , inf A , inf B

Exhiba un ejemplo donde sup A = sup B y otro donde la desigualdad es estricta.

EJERCICIO 12: Determine, en caso de que existan, el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo de los siguientes conjuntos:

(a) 023: 2 xxRxA

(b) )2,0(,232 xxxyB

(c) RxxxyC ,232


17

PRÁCTICA 3

SUCESIONES

TÉRMINO GENERAL

EJERCICIO 1: Escriba los primeros cinco términos de las siguientes sucesio-nes

(a) 1

n

nan (b)

3

1

)12(

2

nb

n

n

(c) !

)1( 1

nc

n

n

(d)

n

ndn

)cos(

EJERCICIO 2: Para cada una da las siguientes sucesiones

(a) Encuentre el término 100 y el término 200 de cada una de ellas.

(b) Halle, si es posible, el término general na

(c) Clasifique las sucesiones en convergentes o no convergentes.

(i) ,4,3,2,1 (ii) ,4

1,

3

1,

2

1,1

(iii) ,4

1,

3

1,

2

1,1 (iv) ,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1

(v) ,4,3,2,1 (vi) ,4

1,0,

3

1,0,

2

1,0

(vii) ,1,1,1,1 (viii) ,4

5,

3

4,

2

3,2

(ix) ,4

1,3,

3

1,2,

2

1,1,1 (x) nn aaa 2,1 11

LA NOCIÓN DE LÍMITE

EJERCICIO 3: Halle un valor de Nn a partir del cual haya certeza de que

(a) 852 nn sea mayor que (i) 10 (ii) 1000

(b) 1002 n sea mayor que (i) 10 (ii) 1000

(c) 21

)1(

n

n

esté entre (i) 1,9 y 2,1 (ii) 1,999 y 2,001

(d) n

nsen esté entre (i) –0,1 y 0,1 (ii) –0,001 y 0,001


18

EJERCICIO 4: Considere la sucesión 2,1000

1

n

nan . A partir de que el

1lím

nn

a responda cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas,

explicando en cada caso, en qué se basa para responder:

(a) Existe un Nn a partir del cual 0na .

(b) Existe un Nn a partir del cual 2

1na .

(c) Existe un Nn a partir del cual 1na .

(d) Existe un Nn para el cual 1na .

(e) La sucesión na está acotado.

Escriba las afirmaciones que correspondan, con la nomenclatura pctn.

CÁLCULO DE LÍMITES

PROPIEDADES

EJERCICIO 5: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones. En ca-da caso, explique las propiedades que usa para obtener su respuesta:

(a) 45

13242

23

n

nnnan (b)

3

57 3

n

nan

(c) 1

22

3

n

nan (d)

23

122

2

n

nan

(e) 40003

342

2

n

nan (f)

nnn

nan

2

(g) ,33

64,

5

11,

17

32,

4

9,

9

16,

3

7,

5

8,

2

5,

3

4,3 (h) ,

4

1

2

11,

2

11,1

EJERCICIO 6: Continúe con las siguientes sucesiones

(a) 1

5

3

75 22

n

n

n

nn (b)

1

5

3

75 22

n

n

n

nn

(c) nnn 22 (d) nnn 22

(e) 31 22 nnn (f) 32

13

23

122

2

n

n

n

n

(g) nnn 2 (h) nnn 2

(i) nn

n

1 (j) nnn 22


19

EJERCICIO 7: Muestre que cada una de las siguientes situaciones constituye una indeterminación. Para ello, exhiba por lo menos dos ejemplos donde los lí-mites sean distintos (finitos o infinitos). Suponga cuando haga falta, condicio-nes suficientes para que las sucesiones estén bien definidas para todo n.

(a)

nn

alím y

nn

blím (i) )(lím nnn

ba

(ii) n

n

n b

a

lím

(b) 0lím

nn

a y 0lím

nn

b (i) n

n

n b

a

lím (ii) nb

nn

a )(lím

(c) 0lím

nn

a y

nn

blím (i) )(lím nnn

ba

(ii) na

nn

b )(lím

EJERCICIO 8: Marque en cada caso, la única respuesta correcta:

(a) Si

nn

alím y nb oscila finitamente entonces )(lím nnn

ba

oscila tiende a más infinito es una indeterminación

(b) Si Lann

lím y 0na entonces hay certeza de que

0L 0L 0L ninguna de las anteriores

(c) Si 0lím

nn

a y

nn

blím entonces n

n

n b

a

lím

es igual a 0 tiende a más infinito

es una indeterminación no existe

(d) Si 0lím

nn

a y

nn

blím entonces nb

nn

a

lím

es igual a 0 tiende a más infinito

es una indeterminación no existe

SUCESIONES MONÓTONAS

MÁS PROPIEDADES

EJERCICIO 9: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones. Como siempre, explique las propiedades que usa para llegar al resultado:

(a) n

nsen (b) nnn 2)1(

(c) n

n 1)1( (d) nnn 2)1(

(e)

n

5

2 (f) n

n

n

)1(3

52

(g) n)5,1( (h) n)95,0(


20

(i) nn

nn

22

2432

1

(j) nn 12

(k) n

n

nn

2

1232

23

(l) n

n

n

13

15

(m) n

n

n1

2

2

35

2

(n) n nn 52

(o) nn 21

4 1 (p) n

nn 1)1(1

(q)

n

11

8

3

5 (r)

n

3

5

11

8

(s)

n1

3

5

11

8

(t)

n

nn

n

sen92

cos3 12

EJERCICIO 10: Calcule el límite de las siguientes sucesiones

(a)

n

n

n

53

13 (b)

n

n

n

53

14

(c)

12

13

23

n

n

n (d)

n

n

2

11

(e)

n

n

171 (f)

nn

n

nn2

23

13

52

(g) 12

2

2

2

2

53

123

n

n

n

nn (h)

n

n

n

sen1

(i)

n

n

1cos (j)

32

15

sen1

n

n

n

EJERCICIO 11: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones

(a) 12 n

n (b)

n

n

12

(c) !

2

n

n n

(d) n n!

(e) nn

nn

32

!3

(f)

)!2(

2 12

n

n


21

(g)

n

n

2

2

1 (h)

!

2

n

n

(i) nn

n! (j)

n

n

n

nn !44

EJERCICIO 12: En cada caso, la sucesión na se encuentra sujeta a las condi-

ciones indicadas. Analice la existencia de límite y, en caso afirmativo, calcúlelo.

(a) n

nna 4125

2

32 (b)

12

!2230

n

n

nn

na

(c)

2

11

1n

n na

(d)

11

162

nnn

a

SUBSUCESIONES

EJERCICIO 13: Dada la sucesión 1, 3, 5, 7, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7, ..., escriba el

término general de nn aa 42 , y 38 na . Encuentre dos subsucesiones convergentes

EJERCICIO 14: Usando subsucesiones, pruebe que cada una de la siguientes sucesiones carece de límite:

(a) 0, 1, 2, 0, 1, 2, ... (b)

2sen

n

(c)

2sen)cos(

nn (d) nn )1(4)1( 13

(e) 25

13)cos(

n

nn (f)

casootroenn

demúltiploesnsinn

12

5

EJERCICIO 15: Se sabe que 0lím

Lann

.Calcule

(a) 12lím

nn

a

(b) )(lím 32 nnn

aa

(c) n

n

n a

a 1lím


22

SUCESIONES DADAS POR RECURRENCIA

EJERCICIO 16: Considere la sucesión definida recurrentemente como

Nnaaa nn ,2,1 11

(a) Calcule el cociente de D’Alambert. Concluya que la sucesión es cre-ciente.

(b) Muestre que 1,2 1 na n

n .

EJERCICIO 17: Considere la sucesión definida recurrentemente como

1,)1(2

1,

3

111 naaaa nnn

(a) Observe que 1,10 nan

(b) Calcule el cociente de D’Alambert. Concluya que la sucesión es de-creciente y acotada y, por lo tanto, convergente.

(c) Calcule el nn

a

lím

EJERCICIO 18: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones. Pre-viamente, mediante el cociente de D’Alambert, determine si es posible, la mo-notonía de ellas.

(a) 1,2,1 11 naaa nn

(b) 1,11

1,1 11

n

a

aa

n

n

(c) 1,3,1 11 naaa nn

(d) 1,4

2

1,1 11

n

aaaa

n

nn .(Sug.: use la desigualdad abba

2)


23

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: Sea )( na una sucesión definida en forma recurrente como

n

n

a

aa

n

n

5

12,5 1

1

para todo 1n

(a) Pruebe que nn aa 1 para todo n.

(b) ¿Por qué se puede asegurar que existe nn

a

lím ?

(c) Calcule nn

a

lím .

(d) Si se define nn anb 2 , calcule nn

b

lím

PROBLEMA 2: Se invierte un capital de 1000 pesos en acciones. El primer mes suben el 10% respecto al precio de compra; el segundo mes, bajan el 10% respecto del mes anterior; el tercer mes suben el 10% respecto del mes ante-rior; y así alternadamente, un mes suben el 10% y al siguiente bajan el 10%.

(a) Halle nc el capital que se tiene después de n meses.

(b) Calcule nn

c

lím .

(c) Estudie como cambia la situación si las bajas son del 9% en lugar del 10%.

PROBLEMA 3: Sea n

n na )95,0(

(a) Pruebe que na es decreciente pctn. Halle un n a partir del cual haya

certeza de que nn aa 1 .

(b) Calcule nn

a

lím .¿En qué se basa para calcularlo?


24

PROBLEMA 4: Muestre que el valor del

2

2

51

n

n n

b

nlim

no depende de la

constante b.

PROBLEMA 5: Halle en cada caso, el término general de na y calcule, si

existe, su límite. En caso de que no exista, muéstrelo por medio de subsuce-siones.

(a) ,19

7,

14

5,

11

3

(b) ,4

3,

3

4,

3

2,

2

3,

2

1,2

(c) ,3

4,

3

4,

2

3,

2

3,

2

1,2

PROBLEMA 6: Sea )( na una sucesión creciente de números positivos.

(a) Pruebe que la sucesión 12

3

n

nn

a

ab es siempre convergente.

(b) ¿Cuál es el valor más grande que puede tomar nn

b

lím .¿En qué caso?

PROBLEMA 7: Calcule

n

n

n

nn

n

nlim

62

cos)1(

1

3 5

. Explique las propiedades

y/o resultados que usa para obtener su respuesta.

PROBLEMA 8: Sea RRf : definida por

14

113)(

xsix

xsixxf . Calcule

el nn

af

lím siendo n

n na 42 .


25

PROBLEMA 9: Sea )( na una sucesión de números reales no nulos tales que

nnn

nan

2

25947

33

4

Calcule, si existe, el nn

alim

. Explique las propiedades y/o resultados que usa

para obtener su conclusión.

PROBLEMA 10: Calcule nn

a

lím sabiendo que

2

217350

n

n

nn

a

Explique las propiedades y/o resultados que usa para obtener su respuesta.

PROBLEMA 11: Sea )( nx una sucesión monótona creciente de la cual se sabe

que 31 nx . Halle los posibles valores del

n

n xlim

21 . ¿En qué propiedades

basa su respuesta?

PROBLEMA 12: Halle los valores de a y b para que el 4435

234

46

nn

nbnanlimn

PROBLEMA 13: Se definen 27

13)1(

n

na n

n y 2)( nn ab .

(a) Pruebe por medio de subsucesiones que na no tiene límite.

(b) Calcule el nn

b

lím .


26

PROBLEMA 14: Se define la sucesión 1,1

,1

2

11

na

n

naa n

n

n.

(a) Pruebe que existe el nn

a

lím . ¿Cuál es su valor?

(b) La sucesión nb satisface nnn naba . Calcule nn

b

lím .

PROBLEMA 15: Se define la sucesión de números reales en la forma

2

114

1, nn xxax

donde a>0.

(a) Pruebe que )( nx es una sucesión monótona creciente.

(b) Determine los valores de a>0 para los cuales )( nx es convergente.

PROBLEMA 16: Halle todos los valores de x para los cuales la sucesión

13

12

5

n

n

nn

xa

es convergente. Para los x hallados calcule el nn

a

lím .

PROBLEMA 17: Considere la sucesión 21295,0 na

n

n

(a) Pruebe que es decreciente para casi todo n. ¿A partir de que n?

(b) Calcule el nn

a

lím .


27

PRÁCTICA 4

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES EN EL INFINITO

EJERCICIO 1: Calcule los siguientes límites

(a) )310(lím 57

xxx

(b) )(lím 65 xxxx

(c) 122

13lím

24

3

xx

xx

x (d)

5

1lím

3

x

xx

x

(e) 56

36lím

1

x

x

x (f)

xx

xx

x cos

senlím

(g) 15

69lím

2

x

x

x (h)

x

x

x 41

5lím

(i) 1lím 2

xxx

(j) xxxx

)4)(10(lím

(k) x

x

x

5

5lím (l)

x

x

x

senlím

(m) xx

lnlím

(n) x

xe

lím

(o) x

xe

lím (p)

xx

1lnlím

EJERCICIO 2: Calcule, si es posible, los límites cuando x y cuando x de las siguientes funciones

(a) 23)( xxxf (b) 29)( xxf

(c) xxf 1)( (d) 12

3)(

2

x

xxf

(e) 3

5)(

23

x

xxxf (f) xxxxf 32)( 2

(g) xxxxf 32)( 2 (h) x

xxf

sen)(

(i) xexf )( (j) )1ln()( 2 xxf

En cada caso, haga un gráfico de la función que represente los límites halla-dos.


28

LÍMITE EN UN PUNTO

EJERCICIO 3: Calcule, según corresponda, los límites infinitos y los límites la-terales que permitan detectar asíntotas horizontales y/o verticales. Haga, en ca-da caso, un dibujo que refleje la información obtenida.

(a) 3

1)(

xxf (b)

3

12)(

x

xxf

(c) 3

5)(

2

x

xxf (d)

2

3)(

x

xxf

(e) xexf )( (f) x

x

exf

1

)(

(g) xexf )( (h) xxf ln)(

(i)

x

xf

2

1)( (j)

2

3

)1)(3(

52)(

xx

xxf

(k) 21

1)(

x

xxf

(l)

3

5)(

23

x

xxxf .

EJERCICIO 4: Considere la curva .12 xy Halle la pendiente de la recta

(a) que pasa por el )0,1( y el ))2(,2( y .

(b) que pasa por el )0,1( y el ))2

3(,

2

3( y .

(c) que pasa por el )0,1( y el ))1.1(,1.1( y .

(d) que pasa por el )0,1( y el ))1(,1( hyh en términos de h.

(e) En (d) , si )(hm es el valor de la pendiente obtenida, calcule el

)(lím0

hmh

. Interprete geométricamente.

EJERCICIO 5: En cada una de las siguientes funciones calcule, además del lí-mite que se indica, los límites cuando x y cuando x . Represente gráficamente los límites obtenidos

(a) 3

4

0

2lím

x

x

x

(b) 124

32lím

2

3

x

xx

x

(c) 3

22

3 124

32lím

x

x x

xx (d)

x

xx

x

11lím

0

(e)

xx

xx

x

x

x 2

2

2

1lím

2

22

2 (f)

2

22lím

2

x

x

x


29

(g) 37

2lím

2

2

x

xx

x (h)

h

h

h

16)2(lím

4

0

(i) h

h

h

41)4(

lím

1

0

(j)

h

h

h

11lím

0

(k) 3

12

12

13lím

x

x

x x

x (l) x

xx

1

lím

(m) xx e

x

lím (n)

x

e x

x

1

0lím

EJERCICIO 6: Sea RRf : una función tal que

Rxxxfxx ,)(4

3 242

Calcule 20

)(lím

x

xf

x.


(a)

x

xx

1senlím 2

0

(b) x

x

x

coslím

(c)

2)(

1senlím

0 xfx

x donde Rxxf ,3)(2

LÍMITES ESPECIALES


(a) x

x

x 2

3senlím

0 (b)

x

x

x senlím

0

(c) x

x

x 3sen

5senlím

0 (d)

x

x

x 2

tglím

0

(e) 6

)6sen(lím

2

2

2

xx

xx

x (f)

x

x

x

cos1lím

0

(g) h

aah

h

)sen()sen(lím

0

(h)

20

cos1lím

x

x

x

(i) h

aha

h

cos)cos(lím

0

(j)

x

xx

x cos1

senlím

0


30

(k) xx

xx

x sen5

2sen43lím

20

(l)

xx

xxxx

x 4sen

sensen2lím

2

22

0

(m) )3sen(

)sen(lím

1 x

x

x

(n)

2

coslím

2 x

x

x

(o) )(tg

)cos(1lím

21 x

x

x

(p)

1

)sen(lím

1 x

x

x


(a) 3

12 2

43

13lím

x

x

x x

x (b)

3

122

3

51lím

x

x

x x

(c) t

tt

1

031lím

(d) x

xx

1

0sen1lím

(e) 2

1

2 25

23lím

x

x x

x (f)

2

1

2 25

23lím

x

x x

x

(g) x

xx

1

0coslím

(h)

h

h

h

2ln)2ln(lím

0

(i) y

y

y

)1ln(lím

0

(j)

h

eh

h

1lím

0

EJERCICIO 10: Marque la única respuesta correcta:

(a) El

xx

x

x

x

1sensen

lím0

no existe es igual a 1 es igual a 0 es infinito

(b) El x

xx

1senlím


(c) El xxx

coslím


(d) ¿Para qué valores de a el 211

lím2

0

x

axx

x?

ningún valor de a para a=4 para a=0 para todo a


31

CONTINUIDAD

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

EJERCICIO 11: Determine los puntos de discontinuidad de las funciones dadas a continuación. Vea si en esos puntos la discontinuidad es evitable.

(a)

12

11

1

)(

3

xsi

xsix

x

xf

(b)

casootroen

xxsix

x

xf

0

7,27

32

)(

(c) 1

1)(

3

x

xxf

(d) )(

sen)(

xx

xxf

(e) x

xxf

cos1)(

2

EJERCICIO 12: En cada caso, determine el o los valores de la constante a pa-ra los cuales las funciones resulten continuas.

(a)

2

2)(

2

2

xsixa

xsiaxxxf

(b)

0

0)(

1

xsia

xsiexf

x

(c)

13

1)(1

1

xsiax

xsiexfx

x

(d)

axsix

axsixxf

14

3)(

(e)

0

01

sen)(

xsia

xsix

xxf

(f)

13

11

1

)(

xsiax

xsix

x

xf


32

EJERCICIO 13: Muestre, con la ayuda de sucesiones, que la función

xxf

1sen)(

tiene una discontinuidad inevitable en x=0.

EJERCICIO 14: Marque la única respuesta correcta

Si f es continua en el punto x=a y f(a)>0. Entonces hay certeza de que

)()( afxf para todo x en un entorno de a.

)(2

1)( afxf para todo x en un entorno de a.

)()( afxf para todo x en un entorno de a.

)(2)( afxf para todo x en un entorno de a.

TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS

EJERCICIO 15: Considere la función continua 13)( 3 xxxf

(a) Muestre que la ecuación 0)( xf tiene al menos una solución en el

intervalo (-1,1).

(b) Encuentre un intervalo de longitud menor que 0,2 que contenga a tal solución.

EJERCICIO 16: Considere las funciones hiperbólicas

2cosh

xx eex

y

2senh

xx eex

Pruebe que existe algún valor de x tal que 2

1senhcosh xx .

EJERCICIO 17: Pruebe que las siguientes ecuaciones tienen alguna solución real.

(a) xx cos12 (b) Nnxx n ,01212

(c) xx 3ln (d) 2,014

x

x

(e) xe x ln2

(f) 236 xx


33

EJERCICIO 18: Adapte convenientemente el Teorema de Bolzano para probar

que la ecuación 03

1

2

1 42

x

x

x

x tiene alguna solución en el intervalo (-2,3).

EJERCICIO 19: Para cada una de las siguientes funciones determine ceros y puntos de discontinuidad. A partir de ellos, use el Teorema de Bolzano para ha-llar el conjunto donde la función es positiva.

(a) )2)(3()( 2 xxxxf (b) xxxf ln)(

(c) 1

4)(

2

x

xxf (d)

x

xxf

cos2

sen)(

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: Sea 1

2)(

3

4

x

xxf . Halle los valores de a y b para los cuales

0)()(lím

baxxfx

PROBLEMA 2: Determine el valor de la constante a para la cual

(a) 5114

lím2

x

xax

x

(b) 21

11lím

32

1

x

axxaxx

x

PROBLEMA 3: Calcule el xxx

x

1

25lím

PROBLEMA 4: ¿Para qué valores de la constante a la siguiente función es continua?

03

02)(

1

xsiax

xsiexf

x

PROBLEMA 5: Pruebe que la función 610)ln(ln x tiene una raíz real en el in-

tervalo ),( e .

PROBLEMA 6: Encuentre cuatro intervalos disjuntos en cada uno de los cua-

les la ecuación 0114142 24 xxx tenga una raíz real.


34

PROBLEMA 7: Pruebe que las siguientes ecuaciones tienen alguna solución real.

(a) 70sen1

13322

50

xx

x

(b) 15sen152

cos

x

xx

PROBLEMA 8: Para recorrer 400 kilómetros en un automóvil tardamos 4 ho-ras, contando las eventuales paradas técnicas y sin llevar una velocidad cons-tante. Pruebe que hubo un lapso de una hora donde se recorrieron exacta-mente 100 kilómetros.

(Ayuda: considere la función )()1()( tftftg siendo )(tf los kilómetros re-

corridos en t horas y use argumentos de continuidad)

PROBLEMA 9: Dado un cuadrilátero convexo, pruebe que se puede trazar un segmento a partir de uno de los vértices, que divida al mismo en dos figuras de igual área.

(Ayuda: use el Teorema de los Valores intermedios)

PROBLEMA 10: Sea f una función continua sobre [0,1] y tal que 1)(0 xf

para todo x del intervalo. Pruebe que debe existir un número )1,0(c tal que

ccf )(

(Ayuda: Considere la función xxfxD )()( y use el Teorema de Bolzano)

PROBLEMA 11: Sea na una sucesión de números positivos tal que

3)(lím

nn

na

(a) Halle el nn

a

lím

(b) Calcule el 2

)5sen(lím

n

n

n na

a

.

Explique las propiedades y/o resultados que usa para obtener su respuesta.

PROBLEMA 12: Halle algún valor del parámetro b de modo que la ecuación

0535 bxx tenga alguna solución en el intervalo [0,1/2].


35

PRÁCTICA 5

DERIVADA

RECTA TANGENTE

EJERCICIO 1: Considere la curva 12 xy . Halle la pendiente y la ecuación de la

recta

(a) que pasa por los puntos )0,1( y ))2(,2( y

(b) que pasa por los puntos )0,1( y ))2

3(,

2

3( y

(c) que pasa por los puntos )0,1( y ))1.1(,1.1( y

(d) tangente a la curva por el punto )0,1( .

Represente en un mismo gráfico las cuatro rectas y la curva.

EJERCICIO 2: Justifique, por medio de los cocientes incrementales, las siguientes igualdades

(a) 0 yconsty (b) aybaxy

(c) xyxy 22 (d) 23 3xyxy

(e) 2

11

xy

xy

(f)

xyxy

2

1

(g) xx eyey (h) x

yxy1

ln

(i) xyxy cossen (j) xyxy sencos

EJERCICIO 3: Halle, usando el cociente incremental, el valor de la derivada de las funciones siguientes en los puntos que se indican. Escriba la ecuación de la recta tangente en esos mismos puntos.

(a) 3742 xenxxy (b) 51

2

xen

xy

(c) 1312 xenxy (d) 1ln xenxxy

(e) 035 xenxy (f) 42

xenx

y


36

(g) 1112

12

xen

xsix

xsixy

(h)

000

01sen2

xen

xsi

xsix

xy

EJERCICIO 4: Considere la curva 13 ty .

(a) Describa el haz de rectas (excluida la vertical) que pasan por el punto de coordenadas ))1(,1( y . Haga un dibujo alusivo.

(b) Calcule )1(y y escriba la ecuación de la recta tangente en el punto

))1(,1( y . Marque sobre el dibujo esta recta.

EJERCICIO 5: ¿En qué punto de la gráfica de la función 86)( 2 xxxf , la rec-

ta tangente es paralela al eje de las x?

REGLAS DE DERIVACIÓN

FUNCIÓN DERIVADA

EJERCICIO 6: Usando las reglas de derivación, halle las derivadas de las siguien-tes funciones en su dominio de definición.

(a) xxxxf sen)( 23 (b) xxxf cos)( 2

(c) xxf sen3)( (d) xxxf ln)(

(e) x

xxf1

)( 5 (f) xexf x ln)(

(g) xexxxf x cossen)( (h) x

xxf

sen)(

(i) xxf tg)( (j) xxxxf ln)1)(2()( 2

(k) 1

ln)(

2

x

xxxf (l) xxf alog)(

(m) xxx

xf321

)(2 (n)

xx

xxxf

cossen

cossen)(

(ñ) xxxf ln)( 31

(o) ))(log(ln))(log(ln)( xaxxxf aa

(p) 2

cosh)(xx ee

xxf

(q) 2

senh)(xx ee

xxf


37

EJERCICIO 7: Calcule por medio de la regla de la cadena, la función derivada de f siendo )(xf

(a) 2)1( x (b) 3)1( x

(c) 2001)1( x (d) 3xe

(e) 3)1( x (f) )3cos( x

(g) )3tg( 5x (h) x4sen3

(i) )1ln( x (j) )sen2ln( x

(k) xesen2 (l) )1(ln 22 x

(m) 112 coscos3

xx (n) 22

2

xa

a

(ñ) xx 2sen sen3 (o) x2tg1

(p) 21

2bxa (q) )3ln()5ln( xx

(r) )1ln(

)32(2

23

x

x (s) xx 22 cossen

(t) xx 22 senhcosh (u) 21

4 )1ln( x

(v)

2cos

2

cos1 xx (w) 1ln 2 x

EJERCICIO 8: Calcule la derivada de la función f en su dominio de definición,

siendo )(xf

(a) xx (b) 0,3 aax xx

(c) xx ln3 )(sen (d) xx

(e) xx cos)sen1( (f)

x

x

11

EJERCICIO 9: Sean gf , y h unas funciones tales que

)21()(;4)0(;))31(sen(sen)(;1)( 22 xgxhgxxgxxf

Calcule

(a) )0()( gf (b) )0()( fh


38

EJERCICIO 10: Pruebe que la función kxCey es solución de la ecuación diferen-

cial )()( xkyxy donde k y C son constantes.

FUNCIONES DERIVABLES Y NO DERIVABLES

EJERCICIO 11: Para cada una de las siguientes funciones

(a) haga un gráfico de ellas.

(b) estudie la continuidad y, mediante el estudio del cociente incremental, la derivabilidad en el punto indicado.

(i) 12)( xxf en 2

1x

(ii) 31

)( xxg en 0x

(iii)

22

20)(

xsix

xsixh en 2x

(iv)

113

11)(

3

xsix

xsixxr en 1x

(v)

00

01

sen)(

xsi

xsix

xxs en 0x

(vi)

00

01

sen)(

2

xsi

xsix

xxt en 0x

En las funciones que resulten derivables en los puntos indicados, escriba la ecua-ción de la recta tangente.

EJERCICIO 12: Marque la única respuesta correcta. Sea RRf : la función de-

finida como

00

02

sen

)(

2,0

xsi

xsix

xx

xf . Entonces en x=0

f es continua pero no derivable.

f es continua y derivable.

f no es continua pero si es derivable.

f no es ni continua ni derivable.


39

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

EJERCICIO 13: Sea xxexfRRf 23

5)(,:

(a) Muestre que 0)( xf para todo x. Además note que 5)0( f

(b) Use el Teorema de la función inversa para justificar la existencia de

)5()( 1 f y calcular su valor.

EJERCICIO 14: Pruebe, usando el Teorema de la función inversa, las siguientes fórmulas de las derivadas de las funciones inversas de las funciones trigono-métricas. En cada caso, analice la región donde es válida la fórmula

(a) 21

1arcsen

xyxy

(b) 21

1arccos

xyxy

(c) 21

1arctg

xyxy

(d) 21

1cot

xyxarcy

EJERCICIO 15: Sea 1)(,),1[: xxxfRf

(a) Muestre que 0)( xf para todo x>-1. Además note que 5)3( f


)5()( 1 f y calcular su valor

EJERCICIO 16: Sea 2

senh)(,:xx ee

xxfRRf

(a) Muestre que 0)( xf para todo x.


)()( 1 xf . Calcule )0()(senh)0()( 11 f .


40

ALGUNAS APLICACIONES

(VELOCIDAD, RAZÓN DE CAMBIO, DIFERENCIAL)

EJERCICIO 17: La ley de movimiento de un punto a lo largo de una recta es

23)( ttts

(en el instante t=0 el punto se encuentra en el origen). Halle la velocidad del movi-miento del punto para los instantes t=0 , t=1 y t=2.

EJERCICIO 18: Un objeto circular va aumentando de tamaño con el tiempo, de modo que su radio r, en centímetros, viene dado por 23 tr siendo t el tiempo en minutos.

(a) ¿Cuál es la velocidad de crecimiento del radio r?

(b) ¿Cuál es la velocidad de variación del área?

EJERCICIO 19: La temperatura C de un cuerpo, que inicialmente estaba a 90C

se enfría de acuerdo a la ley tetC 1,07020)( (se está suponiendo que la tempe-

ratura ambiente es de 20C) donde t es el tiempo en minutos.

(a) Calcule con qué velocidad se está enfriando el cuerpo a los 5 minutos.

(b) Muestre que la velocidad de enfriamiento es proporcional a la diferencia entre la temperatura C y la temperatura ambiente. Más precisamente:

20)(1,0)( tCtC .

(c) Muestre que la velocidad de enfriamiento va tendiendo a 0 conforme avanza el tiempo.

EJERCICIO 20: Cada arista de un cubo se dilata a razón de 1 cm por segundo. ¿Cuál es la razón de variación del volumen cuando la longitud de cada arista es

de 10 cm? Si la razón de variación del volumen es igual segcm /108 3 , ¿cuál es la

longitud de la arista?

EJERCICIO 21: Un barco navega paralelamente a una costa recta, a una velo-cidad de 12 millas por hora y a una distancia de 4 millas. ¿Cuál es la velocidad de aproximación a un faro de la costa en el instante en que diste precisamente 5 mi-llas del faro?


41

EJERCICIO 22: Para x

xy1

, halle

(a) y ( )()( xyhxyy )

(b) dy ( hxdxdxxydy ,)( )

(c) dyy

(d) x

dyy

(e) dx

dy

EJERCICIO 23: Mediante diferenciales calcule aproximadamente

(a) 3 25 (b) )12,1ln( (c) )5,0cos(

DERIVADAS SUCESIVAS

EJERCICIO 24: Calcule las siguientes derivadas

(a) )0(,)(,sen)( )70()( fxfxxf v

(b) )0(,)(,)( )2001()19( fxfexf x

(c) )(,)( )20( xfexf kx

(d) )(,)1ln()( )4( xfxxf

(e) )2(,)(,)(,85)( )800()(3 fxfxfxxxf iv

EJERCICIO 25: Muestre que las funciones xsen y xcos son soluciones de la si-guiente ecuación

0)()( xyxy

Pruebe que xBxAxy sencos)( también es solución de la ecuación.

EJERCICIO 26: Considere la función nxxf )1()( , con n natural. Calcule

)0()(kf para todo valor de k.


42

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: Para cada una de las funciones dadas a continuación

(a) Determine si es continua y/o derivable en los puntos indicados.

(b) En los casos que resulte derivable estudie la continuidad de la función derivada.

(c) En los casos en que resulte derivable, escriba la ecuación de la recta tangente.

(i)

0

01)(

xsie

xsixxf

x en x=0

(ii)

332

3)(

2

xsix

xsixxg en x=3

(iii)

10

11

1cos)1(

)(2

3

xsi

xsix

xxh en x=1

(iv)

0sen

0)1ln()(

25

xsixx

xsixxxr en x=0

(v)

112

11)(

2

xsix

xsixxs en x=1

PROBLEMA 2: Dadas las siguientes funciones, escriba en cada caso, la ecuación de la recta tangente en los puntos que se indican:

(a)

4sen)( 2

xxf en 4

0

xenyx

(b) 1)( xxxxf en 0x

(c) xxxf

sen21)( en xenyx 0

PROBLEMA 3: Pruebe que la función xxxf )( es derivable para todo x, que

f´(x) es continua pero que no existe f´´(0).

PROBLEMA 4: Pruebe que la curva tty ln no tiene ninguna recta tangente

que pase por el origen.


43

PROBLEMA 5: Halle, si existen, la o las ecuaciones de las rectas tangentes a la

curva t

ty1

que pasen por el punto

(a) (1,0) (b) (0,0) (c) (0,4)

PROBLEMA 6: Halle, si existen, la o las ecuaciones de las rectas tangentes a la

curva t

ty1

que tengan pendiente igual a –3.

PROBLEMA 7: La recta tangente de la función f en el punto de abscisa x=-1 tiene ecuación 35 xy . Calcule la ecuación de la recta tangente a la función

))sen(()( 2 xxfxg en el punto de abscisa x=1.

PROBLEMA 8: Considere la función

5

51

)(2 xsibxa

xsixxf . Halle los valores

de a y b para los cuales existe )5('f .


0

0)(

1

xsibax

xsixexf

x

. Halle los valores

de a y b para que f resulte derivable.

PROBLEMA 10: Sea RRg : una función continua en x=0 pero no necesaria-

mente derivable. Pruebe que la función xxgxf 3sen)()( es derivable en x=0.

PROBLEMA 11: Suponga que se introduce un gas en un globo esférico a la razón

constante de 350 cm por segundo. Suponga que la presión del gas permanece

constante y que el globo tiene siempre forma esférica. ¿Cuál es la rapidez con que

aumenta el radio del globo cuando su longitud es de 5 cm? (Vol. globo = 3

3

4rr ).

PROBLEMA 12: Cierta población crece de acuerdo a la ecuación tey 1,02,01 ,

donde t es el tiempo medido en meses e y es el número de individuos en miles. Calcule la velocidad de crecimiento de la población después de un año.


44

PRÁCTICA 6

TEOREMA DEL VALOR MEDIO

TEOREMAS DE FERMAT, ROLLE Y LAGRANGE

EJERCICIO 1: La función 32

)( xxf tiene en x=0 un mínimo. ¿Qué puede de-

cir sobre la aplicabilidad del Teorema de Fermat?

EJERCICIO 2: Considere la función f del ejercicio anterior definida en el in-tervalo [-1,1]. Esta función es continua sobre este intervalo y f(-1)=f(1). Sin em-bargo, su derivada no se anula nunca. ¿Por qué esto no contradice el Teorema de Rolle?

EJERCICIO 3: Considere la parábola xxy 22 y cualquier intervalo cerrado,

por ejemplo el [-1,3]. Compruebe que el valor )3,1(c al que hace referencia

el Teorema del Valor Medio es calculable en este caso. Haga un gráfico que ilustre la situación. Compruebe que si el intervalo es el [a,b] el valor intermedio c es calculable en términos de a y de b.

EJERCICIO 4: Desde el piso se arroja un proyectil hacia arriba y, después de unos minutos, cae al piso. Pruebe que en algún momento la velocidad del pro-yectil fue nula.

EJERCICIO 5: Un automóvil pasa por dos controles camineros separados en-tre sí 10 km. Por el primero pasa a las 12:00 y por el segundo a las 12:04. La velocidad máxima permitida en esa región es de 120 km/h. ¿Hubo infracción al tope de velocidad?

EJERCICIO 6: Pruebe que para cada x>0 existe entre 0 y x que satisface

cossen xx

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

EJERCICIO 7: Pruebe que si dos funciones f y g tienen la misma función deri-vada entonces f(x) = g(x) + c donde c es una constante.


45

EJERCICIO 8: Pruebe las siguientes identidades

(a) 2

2cos1sen2 x

x

(b) 2

arccosarcsen

xx

(c)

21

2arctgarctg2

x

xx

(Ayuda: use el ejercicio anterior)

EJERCICIO 9: Pruebe que las únicas soluciones de la ecuación

)()( xyxy

son de la forma xkexy )( .(Ayuda: Si )(xu es una solución de la ecuación

estudie la derivada de xe

xuxh

)()( )

EJERCICIO 10: Para las siguientes funciones

(a) Pruebe que son estrictamente monótonas en el conjunto indicado.

(b) Indique en cada caso, si es creciente o decreciente.

(c) Determine, si es posible, cuántas veces corta el gráfico el eje x.

(i) ( ) 3 sen 2 ,f x x x x R

(ii) 1,ln)( xxexf x

(iii) 0,ln)( xxxxf

(iv) 2 1 3( ) 1 ,nf x x x x x R , n natural.

(v) 1,ln)( xxxxf

(vi) 0,21

1)(

x

xxf

(vii) 0,32

1)(

2

x

xxf

(viii)

2,0

sen)(

x

x

xxf

EJERCICIO 11: Pruebe las siguientes desigualdades. Para ello estudie el signo de la derivada de una función conveniente.

(a) 0,sen xxx

(b) xex 1


46

(c) 0,)1ln( xxx

(d) 1,1

1ln xx

x

(e) 2

0,2

sen

xxx

(f) 0arctg xxx

(g) 1,0,1)1( axaxx a

EJERCICIO 12: Considere la función 0)0(01

sen)( 2

fxsi

xxxxf

(a) Muestre que 1)0( f (estudie el cociente incremental)

(b) Muestre que en cualquier intervalo que contenga al 0, hay valores ne-gativos y valores positivos de la función.

(c) Determine la validez de las siguientes afirmaciones:

1. si una función g tiene derivada en x=0 y 0)0( g entonces g es

creciente en un intervalo abierto que contiene al cero.

2. si una función g tiene derivada continua en x=0 y 0)0( g en-

tonces g es creciente en un intervalo abierto que contiene al cero.

REGLA DE L’HOSPITAL

EJERCICIO 13: Considere las funciones 1)( 3 xxf y 1)( 2 xxg definidas

en cualquier intervalo [a,b]. Muestre que el valor de donde se cumple el Teo-

rema de Cauchy es calculable en términos de a y de b.

EJERCICIO 14: Sea R(x) una función con 3 derivadas continuas en x=0 y tal

que (0) (0) "(0) 0R R R . Pruebe que 3

( ) ( )

3!

R x R c

x

para algún c entre 0 y x.

(Use el Teorema de Cauchy tres veces)


(a) x

x

x

)1ln(lím

0

(b)

xx

xee xx

x sen

2lím

0

(c)x

x

x

2lnlím

(d)

)2

tg(

lnlím

0 x

x

x

(e) x

xxe

lím (f) )1)((lnlím

0

x

xex


47

(g) x

xxsen

0lím

(h) xxx

lnlím 21

0

EJERCICIO 16: Continúe con estos límites

(a) 1

1 1lim

ln 1x x x

(b)

1ln

1lim x

xx

(c) 1

lim(ln )(ln(1 ))x

x x

(d) 1

2

0lim x x

xx e

(e) ln

limk

x

x

x , k natural (f)

0lim(1 2 )x senx

x

(g) 0

lim ln ,n

xx x n natural

(h) lim ,n x

xx e n natural

EJERCICIO 17: Sea R(x) una función con 10 derivadas continuas en x=0 y tal

que ( ) (10)(0) 0 , 0 9 , (0) 1kR k R . Calcule el 100

( )limx

R x

x

EJERCICIO 18: Explique por qué no es correcta la siguiente aplicación de la Regla de L’Hospital:

3 2 2

21 1 1

1 3 2 1 6 2lim lim lim 4

1 2 2x x x

x x x x x x

x x

EJERCICIO 19: Muestre por qué no se puede utilizar la Regla de L’Hospital pa-ra calcular el límite indicado en cada caso y encuentre el límite por otros me-dios.

(a) limx

x senx

x

(b) lim

x

x xx

e

e e (c)

1

0lim

x

x

e

x

EJERCICIO 20: Justifique las siguientes afirmaciones

(a) No existe el 0

2 sin(1/ ) cos(1/ )lim

cosx

x x x

x

.

(b) 2

0

sin(1/ )lim 0

sinx

x x

x .

(c) sin

lim 1cosx

x x

x x

.


48

EJERCICIO 21: Considere la función

32 ln 0

( )0 0

x x si xf x

si x

. Marque la única

afirmación correcta.

f no es continua ni derivable en x=0.

f es continua pero no derivable en x=0.

f es derivable pero no es continua en x=0.

f es continua y derivable en x=0.

EJERCICIO 22: Considere la función

3 3cos0

( )

6 0

ax xsi x

f x x

si x

Determine el valor de a para que f resulte continua. Para el valor de a hallado calcule, si existe (0)f .

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA1: Considere la función

2 (1 cos )0

( ) 1

0 0

x

bx a xsi x

f x e

si x

. Encuen-

tre los valores de a y de b para que f resulte derivable en x=0 y además sea (0) 3f

PROBLEMA 2: Sea :f R R una función con dos derivadas continuas tal que

5(0) 2 , (0) , (0) 5

6f f f . Se define :g R R como

(6 ) 20

( ) 5

1 0

f xsi x

g x x

si x

Calcule, explicando las propiedades que usa en cada caso:

(a) 0

lim ( )x

g x

(b) (0)g

PROBLEMA 3: Considere la función : [0, )f R definida por

5 cos(2 ) 2( ) 3 8 ln (4 1)x xf x x x

Pruebe que ( ) 1 0f x x .


49

PROBLEMA 4: Considere ( ) 4 3ln 2 0f x x x x .

(a) Pruebe que f es monótona.

(b) Justifique la existencia de la función inversa 1 ( )f x . Calcule

1 (2)f (Observe que (1) 2f )

PROBLEMA 5: ¿Para qué valores reales de p es el 21

1lim 3

( 1)

p

x

x px p

x

?

PROBLEMA 6: Sea f una función continua y derivable tal que ( 2) (5) 0f f .

Pruebe que existe un ( 2,5)c tal que ( ) 200 ( )f c f c

(Ayuda: considere 200( ) ( )xg x e f x )

PROBLEMA 7: Sea : [0, )h R una función estrictamente creciente. Prue-

be que ( ) 52 3 sin 0h x x x x .

PROBLEMA 8: Considere la función :f R R definida como 4 5( ) 2xf x e x

(a) Pruebe que es biyectiva y que 1 (3) 0f .

(b) Calcule 1

3

( )lim

2 6y

f y

y

PROBLEMA 9: Pruebe la siguiente desigualdad

6 4 2 3 12 6 , 1x x x x x

PROBLEMA 10: Considere la función 32 33)(x

exxf

. Pruebe que existe

]5.0,4.0[c tal que 0)( cf . Decida si en c la función alcanza un máximo o un

mínimo relativo.


50

PRÁCTICA 7

ESTUDIO DE FUNCIONES

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

EJERCICIO 1: Pruebe que las siguientes funciones son monótonas en el con-junto indicado. Indique en cada caso, si son crecientes o decrecientes.

(a) 7 5( ) 7 4 ,f x x x x en R

(b) 13( ) 2 ,f x x en R

(c) 1

( ) , 0xf x e en x

(d) 1 23 3( ) 3 2 ,f x x x x en R

(e) 3 2( ) 3 3 ,f x x x x en R

EJERCICIO 2: Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones

(a) ( ) lnf x x (b) 2( 1)( ) xf x e

(c) ( ) xf x xe (d) 2( ) xf x x e

(e) ( ) sin , [ ,6 ]f x x x (f) ( ) lnf x x x

(g) 1

( )2 3

xf x

x

(h)

2( )

1

xf x

x

(i) 2

( )1

xf x

x

(j) 2( ) lnf x x x

EJERCICIO 3: Aníbal realiza un régimen de comidas para adelgazar. Ha podi-do establecer que la cantidad de kilos que adelgaza está en función del tiempo durante el cual hace régimen según la siguiente fórmula:

24( ) 6 , 0

3 1

t

t

ek t t

e

(a) Pruebe que cuánto más tiempo persista, más adelgazará.

(b) Pruebe que con este régimen no podrá adelgazar más de 2 kilos.


51

EXTREMOS LOCALES

EJERCICIO 4: Decida si las siguientes funciones alcanzan un extremo local en x=0.

(a) 3( ) sinf x x (b) 2( ) 2 sinf x x x

(c) 2( ) cosf x x (d) 8( ) 3f x x

EJERCICIO 5: Estudie, utilizando únicamente la primera derivada, la existencia de extremos de las siguientes funciones.

(a) 4( )f x x (b) 4 2( ) 2f x x x

(c) ( ) xf x xe (d) 2

3( ) 3 2f x x x

(e) ( ) lnf x x x (f) 2( ) lnf x x x

(g) 2( ) xf x x e (h) 2

( )1

xf x

x

(i) ( ) lnf x x x (j) 2

( )1

xf x

x

(k) 2

10( ) , [0,2 ]

1 sinf x en

x

(l)

2

2

100( )

25

xf x

x

(m) ( ) 4f x x x (n) ln( ) x xf x x

(o) 2 2( ) (2 )f x x x (p) 2

3( ) (1 )f x x x

(q) 22 2 2 , 2

( ), 2

x x si xf x

x si x

(r)

2

2

, 1( )

( 2) , 1

x si xf x

x si x

EJERCICIO 6: Determine el valor de k R tal que la función 2

( )1

x kf x

x

al-

cance un extremo local en x=2. ¿Es un máximo o un mínimo local? ¿Es abso-luto?

EJERCICIO 7: De la función RRf : derivable en todo su dominio, se sabe

que su derivada se anula en 0,2

1,1 y

2

3. Además se tiene que

(i) )2

3,0()1,(}0)(/{ xfRx

(ii) ),2

3()0,

2

1()

2

1,1(}0)(/{ xfRx

Encuentre los máximos y los mínimos locales.


52

ASÍNTOTAS

EJERCICIO 8: Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x como para x ) de las siguien-

tes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas.

(a) 2 3 1

( )1

x xf x

x

(b) ( ) sinxf x x e x

(c) 2 3 2

( )( 1)( 1)

x xf x

x x

(d)

1

( ) xf x xe

(e) 1

( ) lnf x x ex

(f) 2( ) 2 1f x x x

(g) sin

( )x

f xx

(h) 3 2

2

3 4( )

x xf x

x

EJERCICIO 9: Pruebe que la recta 2

3y x es la única asíntota de la función

1

2 3 3( ) 2f x x x

EJERCICIO 10: Encuentre los valores de a y b tales que la recta 2 7y x re-

sulte una asíntota oblicua de 3 2

2

1( )

5

ax bxf x

x

para x

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

EJERCICIO 11: Determine los intervalos de concavidad y convexidad y localice los puntos de inflexión de las siguientes funciones

(a) 123)( 234 xxxxf (b) 2

( )1

xf x

x

(c) 2

( ) xf x e (d) ( ) xf x xe

(e) 1

2 3 3( ) 2 , 0f x ax x a fijo (f) 2( ) lnf x x x

EJERCICIO 12: Considere la función 2

( ) , 0x

f x ax a

. Pruebe que f alcanza

dos extremos locales y tiene tres puntos de inflexión. Muestre que las abscisas de estos cinco puntos sobre el eje de las x son equidistantes. ¿Dónde es cóncava?


53

CONSTRUCCIÓN DE CURVAS

EJERCICIO 13: Para cada una de las siguientes funciones:

(a) Halle el dominio de f y de su función derivada f’.

(b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

(c) Halle los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos.

(d) Escriba la ecuación de las asíntotas.

(e) Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad.

(f) Halle los puntos de inflexión.

(g) Con la información obtenida, construya un gráfico aproximado.

1. 2

3( ) (1 )f x x x

2. 2( ) sinf x x

3. 5( ) 5 2f x x x

4. 2( ) (1 2 ) xf x x x e

5. 2

3( )

( 1)

xf x

x

6. ( ) 2 5ln( 2)f x x x

7. 2

3( ) 3( 5)f x x x

8. 3( ) lnf x x x

9. 2( ) lnf x x x

10. 3

80

( ) 1

3 0

xsi x

f x x

x x si x

11. 3 11

( )( 3)( 1)

xf x

x x

12. 2

( ) xf x xe

13. 2( ) ln( 1)f x x

14. 4

5( ) 4 5f x x x

15. 3

2( )

( 1)

xf x

x

16. 1

( ) xf x xe


54

EJERCICIO 14: Sea :[0,4]f R continua y derivable, tal que el gráfico de la

función derivada ( )y f x es el que se ve en la figura

(a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

(b) Determine extremos locales y puntos de inflexión.

(c) Si (0) 1f , haga un gráfico aproximado de ( )y f x .

EJERCICIO 15: Dibuje, si es posible, el gráfico de una función :f R R que

satisfaga las siguientes condiciones.

1. Es continua en R.

2. No es derivable en x=3.

3. (2) 3 , ( 2) 5f f

4. lim ( ) 2 , lim ( )x x

f x f x

5. ( ) 0 3 ,f x si x f es decreciente en ( ,2)

CANTIDAD DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN

EJERCICIO 16: Determine la cantidad de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones

(a) 0123 57 xxx

(b) 1xe x

1 2 3 40

y = f´(x)


55

(c) 2 1

5

xxe

(d) 4

54 5 2x x

(e) 3

27

( 1)

x

x

(f) 1

1xxe

(g) 3

80

( ) 2 ( ) 1

3 0

xsi x

f x siendo f x x

x x si x

CONTINUIDAD EN INTERVALOS CERRADOS

EJERCICIO 17: Para cada una de las siguientes funciones indique si está aco-tada superiormente y/o inferiormente. Decida si alcanza su máximo y/o su míni-mo.

(a) ]3,1[,13)( xxa

(b) ]1,1[,1)( 2 xxf

(c) ]5,2[,1

1)(

xxg

(d) 1,]2,0[,1

1)(

x

xxh

(e) )4,3[,)( 2 xxi

(f) ]2,0(,ln

)(x

xxj

(g) ),(,1

1)(

2

xxk

(h) ],0[,)2sen()( xxt

EJERCICIO 18: Considere las siguientes afirmaciones.

I. Una función continua en [a,b] siempre está acotada.

II. Una función continua en (a,b] siempre alcanza su máximo.

III. Una función continua en [a,b] siempre alcanza su minimo.

IV. Una función continua en (a,b) nunca está acotada.

Marque la única respuesta correcta

Todas las afirmaciones son verdaderas.

I. y III. son verdaderas, II. y IV. son falsas.


56

Sólo I. es verdadera.

Todas las afirmaciones son falsas.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMA 1: Se quiere ahorrar el máximo de material al hacer un tanque

recto de base cuadrada y sin tapa, de manera tal que el volumen sea de 332 m .

Halle las dimensiones del tanque. Haga lo mismo pero ahora con tapa.

PROBLEMA 2: Con una lámina cuadrada de un metro se quiere construir una caja sin tapa. Para ello se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcule el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máximo. Si la altura de la caja no puede pasar de 20 cm, ¿cuál es la medida del lado del cua-drado que debemos recortar?

PROBLEMA 3: En la fabricación de latas de conserva, se quiere minimizar el uso de hojalata. Supuesto que se ha prefijado el volumen V, halle la relación entre el diámetro D de la base y la altura H de la lata que producen el menor gasto de hojalata.

PROBLEMA 4: Determine las dimensiones de un rectángulo de área 169 2cm

que tengan la diagonal de menor longitud.

PROBLEMA 5: Por el punto (2,1) pasan rectas que determinan triángulos al cortarse con los semiejes positivos. Entre estas rectas, halle la que genera un triángulo de área mínima.

PROBLEMA 6: Entre todos los triángulos inscriptos en una semicircunferencia de 10 cm de diámetro, halle el de área máxima.

PROBLEMA 7: Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30, halle el de área mínima.

PROBLEMA 8: Pruebe que entre todos los números positivos x e y que satis-

facen 222 ryx , la suma es máxima cuando x = y.

PROBLEMA 9: Si de un disco metálico de radio R quitamos un sector circular podemos construir en vaso cónico. Determine el sector circular que debemos quitar para que el volumen del vaso sea máximo.


57

PROBLEMA 10: ¿Cuál de los puntos de la recta de ecuación 1 byax está

más cerca del origen?

PROBLEMA 11: Una carretera que corre de Norte a Sur y otra que lo hace de Este a Oeste se cortan en el punto P. Un ciclista que se dirige al Este con una velocidad de 20 km/h pasa por P a las 11 de la mañana. En el mismo momento otro ciclista que viaja hacia el Sur con una velocidad de 40 km/h se encuentra a 20 km al norte de P. Calcule cuándo se encuentran los dos ciclistas más cerca el uno del otro.

PROBLEMA 12: Un triángulo isósceles pero no equilátero tiene su lado desi-gual de longitud 12 cm y la altura sobre dicho lado es de 5 cm. Determine los puntos sobre esa altura tales que la suma de sus distancias a los tres vértices sea máxima y mínima respectivamente.

PROBLEMA 13: Considere el recinto determinado por la gráfica de xy , el

eje de las x y las rectas de ecuación x = 0 , x = a (a fijo). Inscriba allí un rectángulo de área máxima. ¿Hay alguno de área mínima?

PROBLEMA 14: Una compañía de bienes raíces es dueña de 180 departa-mentos que se alquilan en su totalidad cuando el alquiler es de 310 pesos men-suales. La compañía calcula que por cada 10 pesos de aumento en el alquiler se desocupan 5 departamentos. El gasto que le ocasiona a la compañía cada departamento desocupado es de 30 pesos mensuales, mientras que por cada departamento ocupado el gasto es de 20 pesos mensuales. ¿Cuál es el precio del alquiler por departamento con el que la compañía obtendría la mayor ga-nancia?

PROBLEMA 15: Considere la curva xxey x 0, . De entre todos los

triángulos de vértices ),()0,(,)0,0( yxyx encuentre el de área máxima.

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 16: Considere la ecuación 2 lnx x k con k real.

(a) ¿Cuántas soluciones tiene si 1

6k ?

(b) ¿Para qué valores de k hay una sola solución?

PROBLEMA 17: Determine el mayor valor de k para que la desigualdad 2 lnx x k sea verdadera para todo x > 0.


58

PROBLEMA 18: Considere las funciones ( ) xf x e y ( ) lng x x . Pruebe que

existe un único c > 0 donde los gráficos de ambas funciones tienen rectas tangentes paralelas en el punto de abscisa x=c. Determine un intervalo de longitud menor que 1 que contenga a c.

PROBLEMA 19: Halle todos los valores reales de b para los cuales la ecuación 3 3 0x x b tiene una sola solución.

PROBLEMA 20: Pruebe la siguiente desigualdad

28 1 9, 0

20

xxe x

PROBLEMA 21: Considere el arco de parábola definido por

52,)2(3/),( 22 xxyRyx .

y el punto )0,5(P . Se traza desde P una recta que interseca a la curva en el

punto Q. Halle las coordenadas de Q para que el triángulo rectángulo limitado por dicha recta, el eje de las x y la recta vertical que pasa por Q tenga área máxima.

PROBLEMA 22: Una función f satisface la siguiente ecuación diferencial

Rxexfxxfx x ,1)(3)(2

(a) Pruebe que si f tiene un extremo en 00 x entonces es un mínimo.

(b) ¿Qué pasa si 00 x es un punto crítico?

PROBLEMA 23: Considere la función )2

17()( 212 xxexf x . Encuentre todos

los puntos para los cuales la pendiente de la recta tangente a la curva )(xfy

resulte mínima.

PROBLEMA 24: Para cada Nn considere la función xxxf nn

1

)( . Sea

]1,0[nx el punto donde f alcanza su máximo absoluto en el intervalo [0,1]. Cal-

cule, si existe, nn

xlim

y )( nnn

xflim

.

PROBLEMA 25: Considere la función 1

2

)( x

x

exf . Haga un gráfico aproximado

señalando su dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos y mínimos locales y asíntotas. Determine los valores de c para los cuales la ecuación cxf )( tiene una única solución.


59

PROBLEMA 26: De la función f se sabe que su derivada xexxxf sen22 )1()(

(a) Encuentre los extremos locales de f.

(b) ¿Cuál es la cantidad máxima de ceros que puede tener f?

(c) Si se define )1()( 2 xfxh , encuentre los extremos locales de h.

PROBLEMA 27: Halle todos los Ra tales que 0ln2 xax tenga exacta-mente dos soluciones.

PROBLEMA 28: Pruebe que 01ln xxn cualquiera sea el Nn .

PROBLEMA 29: Se dispone de un alambre de un metro de largo para construir un cuadrado y un aro. ¿Dónde se debe cortar el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea

(a) máxima?

(b) mínima?

PROBLEMA 30: Para cada )1,0[x , la recta tangente a la curva xy 1 for-

ma con los ejes coordenados un triángulo. Halle el de menor área. ¿Existe un triángulo de área máxima?

PROBLEMA 31: Un bañista que se encuentra nadando a 60 metros de una costa recta pide auxilio al guardavidas que se encuentra en la orilla a 100 me-tros del bañista. El guardavidas en tierra corre a una velocidad de 3,2 metros por segundo y en el agua nada a 1,1 metros por segundo. ¿En qué punto de la playa le conviene arrojarse al agua para llegar al bañista en el menor tiempo posible? ¿Cuánto más tarda si se arroja directamente al agua? ¿Y si corre por la costa hasta quedar enfrente del bañista?

PROBLEMA 32: Pruebe que 3

1,3)3(ln 2 xsixx

PROBLEMA 33: Considere la función polinómica 13)( 23 xxxf . Encuentre

dos intervalos cerrados sin puntos en común tales que f tenga una única raíz en cada uno de ellos.

PROBLEMA 34: La lata de una gaseosa tiene una capacidad de 354 3cm . Si el costo del material de la tapa es el doble que el del resto de la lata, ¿cómo de-ben ser las dimensiones de la lata para que el costo del material sea mínimo? (Suponga que la lata es un cilindro).


60

PRÁCTICA 8

TEOREMA DE TAYLOR

POLINOMIO DE TAYLOR

EJERCICIO 1: Considere la función )1ln()( xxf . Encuentre un polinomio P(x)

de grado 3 tal que )0()0(,)0()0(,)0()0(,)0()0( fPfPfPfP .

EJERCICIO 2: Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones, hasta

el orden indicado alrededor de 0x

(a) x

xf

1

1)( orden 5 00 x

(b) xxf sen)( orden 4 00 x

(c) xxf sen)( orden 5 00 x

(d) xxf cos)( orden 5 00 x

(e) xxf ln)( orden 4 10 x

(f) xxf )( orden 3 40 x

(g) xexf )( orden 10 00 x

(h) 6)1()( xxf orden 6 00 x

EJERCICIO 3: Compruebe que el polinomio de Taylor de orden n de la función

xexf )( es !

...!3!2!1

1)(32

n

xxxxxP

n

EJERCICIO 4: Obtenga el polinomio de Taylor de orden n de las siguientes funcio-nes alrededor de x=0.

(a) x

xf

1

1)( (e)

21

1)(

xxf

(b) xxf cos)( (f) xxf cosh)(

(c) xxf sen)( (g) xxf arctg)(

(d) xexf )( (h) )1ln()( xxf


61

EJERCICIO 5: Considere el polinomio 2348)( 234 xxxxxq

(a) Halle los polinomios de Taylor de q en x=0 de órdenes 0 a 6.

(b) Haga lo mismo, sin hacer cálculos, para 1)( 231920 xxxxxxq .

EJERCICIO 6: Considere el polinomio nxxp )1()( , con n natural.

(a) Obtenga el polinomio de orden n en x=0.

(b) A partir de (a) , deduzca la fórmula del binomio de Newton

kknn

k

nnnnnba

k

nba

n

nba

nba

nba

nba

0

022110 ...210

donde !)!(

!

kkn

n

k

n

. (Ayuda:

n

nn

a

baba

1 ).

EJERCICIO 7: Si el polinomio de Taylor de f de orden 5 en x=2 es

8)2(3)2(3)2()( 245 xxxxP

calcule

(a) )2()2( )3()4( fyf .

(b) ¿Puede conocer el valor de )2()6(f ?

(c) ¿Cuánto vale )2()6(f si el polinomio es de orden 7?

EJERCICIO 8: Si el polinomio de Taylor de f de orden 2 en x=5 es

2)5(9)5(3)( xxxP

(a) Halle el polinomio de Taylor de orden 2 en x=1 de )5(4

2)(

xfxg

(b) Halle el polinomio de Taylor de orden 2 en x=5 de )()1()( 2 xfxxh

EJERCICIO 9: Los polinomios de Taylor de orden 4 en x=2 de las funciones f y g son, respectivamente

4232 )2(7)2()2(125)()2()2(3)2(32)( xxxxQyxxxxP

Halle el polinomio de Taylor de orden 2 de )()()( xgxfxt y )(

)()(

xg

xfxs en x=2.


62

EXPRESIÓN DEL RESTO

EJERCICIO 10: Considere la función del primer ejercicio, )1ln()( xxf y sea P(x)

el polinomio de Taylor de orden 3 en x=0. Apelando al Teorema generalizado del

Valor Medio (Teorema de Cauchy) compruebe que )()()( )4(

4cf

x

xPxf

para al-

gún valor c entre 0 y x.

EJERCICIO 11: Encuentre la expresión del resto en cada caso

(a) )(!4!3!2

1 4

432

xRxxx

xex

(b) )(11

15

5432 xRxxxxxx

(c) )(!5!3

sen 5

53

xRxx

xx

(d) )(!5!3

sen 6

53

xRxx

xx

(e) )()1(3

1)1(

2

1)1(ln 3

32 xRxxxx

(f) )(753

arctg 8

753

xRxxx

xx

EJERCICIO 12: Considere la función xxf cos)( .

(a) Obtenga el polinomio )(4 xP de Taylor de orden 4 en x=0.

(b) Escriba la expresión de )2

1(4R

(c) Usando la calculadora encuentre el valor de )2

1()

2

1( 4Pf .

(d) Teniendo en cuenta que 1sen c , pruebe que 0003,0!52

1)

2

1(

54 R .

Compare con (c).


63

PROBLEMAS DE APROXIMACIÓN

EJERCICIO 13: Se quiere aproximar 31

e

(a) Utilizando el polinomio de Taylor de orden 5 en x=0, pruebe que el error

cometido es menor que 174960

1.

(b) ¿De qué grado hay que tomar el polinomio de Taylor para que el error

que se cometa al usar dicho polinomio sea menor que 810 ?

(Ayuda: para las estimaciones, use que e es menor que 3).

EJERCICIO 14: Utilice el polinomio de Taylor de orden 4 en x=0 para aproximar el valor de )25,0sen( y dar una cota para el error que se ha cometido al tomar esa

aproximación.

EJERCICIO 15: Considere la función xxxf ln)( .

(a) Halle el polinomio P de orden 3 de f en x=1. Escriba la expresión del res-to.

(b) Estime, acotando el resto, el error que se comete al calcular )5,1(f por

medio de )5,1(P

EJERCICIO 16: ¿Cuántos términos es suficiente tomar en el desarrollo de Taylor

en x=0 de xexf )( para obtener un polinomio que aproxime a dicha función en to-

do el intervalo [-1,1] con un error menor que 410 ? Use el polinomio hallado para hallar las tres primeras cifras decimales del número e?

EJERCICIO 17: Considere la función )1ln()( xxf . ¿De qué grado hay que to-

mar el polinomio de Taylor en x=0 para poder calcular )5,1ln( con un error menor

que 0,001?

EJERCICIO 18: ¿Para qué valores de x la diferencia entre

(a) xcos y !4!2

142 xx

es menor que 5105 ?

(b) xsen y x es menor que 310 ?


64

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: Hallar los valores de a y b de modo que el polinomio de Taylor de

orden 2 de )1ln()( bxaxf en x=0 sea 2

2

32)( xxxP .


4sen1)(

xxf

(a) Calcule el polinomio de Taylor de orden 2 de f en x=0.

(b) Pruebe que si R(x) es la expresión del resto en x=0 y si 2

1x

entonces 33

3

426)(

xR .

PROBLEMA 3: Considere la función xxxf sen31)(

(a) Escriba el polinomio de Taylor en x=0 de orden 4 de f.

(b) Calcule, estimando el resto, el error que se comete al calcular

3

1f con

3

1P .

PROBLEMA 4: Calcule aproximadamente 5,16 utilizando el polinomio de Taylor

de orden 2 en x=0 de la función xxf 16)( . Estime, acotando el resto, el error

que se comete.

PROBLEMA 5: Determine un intervalo que contenga al origen, donde el polinomio

de Taylor de orden 6 aproxime a xsen con un error menor que 410 .

PROBLEMA 6: Calcule el polinomio de Taylor de orden 2 en x=0 de 3 1)( xxf .

Estime el error que se comete al calcular los valores de la función por medio del

polinomio hallado cuando 12

1 x .

PROBLEMA 7: Determine los valores de a y b para que el polinomio de Taylor de

bxaxxxf 2)1ln()( en x=0 empiece con la potencia de x de exponente lo

más grande posible.


65

PROBLEMA 8: Considere la función )2sen()( xxf .

(a) Halle el polinomio de Taylor de orden n de la función en 2

x .

(b) Si )(xRn es el resto, halle la expresión de

4

nR . Calcule el

4

n

nRlim .

PROBLEMA 9: Considere la función 2)( xxexf

(a) Calcule el polinomio de Taylor de orden n en x=2

(b) Si )(xRn es la expresión del resto, pruebe que )!1(

)4(3)3(

)!1(

3

n

nR

n

nn

(c) Calcule el )3(nn

Rlim

.

PROBLEMA 10: La función n axxf 1)( tiene como polinomio de Taylor de or-

den 2 en x=0 a 2

2

7551)( xxxP . Halle los valores de a y de n.

PROBLEMA 11: La función f satisface la ecuación diferencial

2)0(,1)()()15( fxfxfx

Encuentre el polinomio de Taylor de orden 5 en x=0.

PROBLEMA 12: Considere la función xxxf cossen)( 2

(a) Encuentre el polinomio de Taylor de orden 2 en 2

x

(b) Pruebe que el error que se comete al calcular

5

2f con el polinomio,

es menor que 6000

7 3

PROBLEMA 13: Considere la función xxxf 3,0sen)( .

(a) Encuentre el polinomio de Taylor de orden 2 en x .

(b) Use el polinomio obtenido en (a) para hallar una solución aproximada de 0)( xf .


66

PRÁCTICA 9

INTEGRALES

LA FUNCIÓN ÁREA

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

EJERCICIO 1: El espacio recorrido por un móvil, a partir del instante t=0, viene dado por tte 3)( .

(a) Haga un gráfico de las funciones espacio recorrido y velocidad del móvil.

(b) Complete la siguiente tabla.

tiempo transcurrido, t 1 2 3 4 5 6 ... t

espacio recorrido de 0 a t

área bajo la curva velocidad de 0 a t

(c) El espacio recorrido por otro móvil a partir del instante t=0, viene dado

por 2

4

1)( ttts . Repita los ítems (a) y (b) para este caso.

EJERCICIO 2: Halle, en cada caso, la función área bajo la curva entre 0 y x. Compruebe que )()( xfxA .

EJERCICIO 3: Se sabe que las funciones f y g son integrables y que

(a) 4

323)(4)(3 dxxgxf ,

4

37)( dxxg y 12)(

1

3 dxxf ,

calcule 4

1)( dxxf

(b) 7)(,5)(22

1

2

1 dxxgdxxf , calcule

2

1)(2)( dxxgxf

x

y

4

x

y

4

2

4 x

y

2

43

a) b) c)


67

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

REGLA DE BARROW

EJERCICIO 4: Sea Rf ]6,0[: una función continua. Se define x

dttfxA0

)()( .

El gráfico de A(x) es el siguiente:

(a) Calcule 6

0)( dttf

(b) ¿Cuánto vale )3(f ?

(c) Halle el conjunto donde f es positiva.

(d) Pruebe que 3

0

6

0)(2)( dttfdttf

EJERCICIO 5: Calcule las derivadas de las siguientes funciones

(a)

xt dtexA

1

2

)( (d)

x

dyy

yxD

sen

0 32)(

(b) 0,1

sen)(

2

0

xdu

u

uxB

x

(e) )2

,2

(,arctg)(tg

2

xzdzxE

x

(c) 0,1)(0

2 xdttxCx

(f) x

xdttxF 2cos)(

EJERCICIO 6: Considere las funciones

42,3

20,1)(

tsi

tsitf y

42,2

20,)(

tsi

tsittg

(a) La función f no es continua ¿lo es x

dttfxF0

)()( ?

(b) La función g no es derivable ¿lo es x

dttgxG0

)()( ?

3

3

6


68

EJERCICIO 7: Sabiendo que

(a) la función continua f satisface )1()( 2

0xxdttf

x

, calcule )2(f .

(b) la función continua g satisface 0,)1()( 2

0

2

xxxdttgx

, calcule ).2(g

EJERCICIO 8: Calcule las siguientes integrales, usando la Regla de Barrow.y las propiedades de linealidad de la integral.

(a) 3

0)2(3 dxx (c)

5

)cos(sen dxxx

(b) 2

2

3 )2( dxxx (d) 64

0

32 dxxx

EJERCICIO 9:

(a) Compruebe que la segunda derivada de x

dttftx0

)()( es )(xf .

(b) Compruebe que la tercera derivada de x

dttftx

0

2

)(2

)(es )(xf

(c) Generalice.

EJERCICIO 10: Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, compruebe las si-guientes igualdades y calcule, en cada una de ellas, el valor de K.

(a) Kxt

dtx

53

3

2

530

(b) Kxdtt

tx

sen23ln

2

1

3sen2

cos

0

(c) Kxx

xdt

t

tx

arctg2

1

)1(21 20 2

2

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

EJERCICIO 11: Estime la integral de la función x

xf1

)( en el intervalo [1,2] usan-

do la fórmula de los trapecios partiendo el intervalo en diez intervalos de igual lon-gitud. Calcule el error cometido con esta aproximación. Repita el cálculo usando la fórmula de Simpson. Estime el error en este caso y compare los resultados.


69

PRIMITIVAS

EJERCICIO 12: Halle en cada caso, una función )(xg que satisfaga

(a) 2)( xg (e) xxg cos)(

(b) xxg )( (f) 5)( xxg

(c) xxg sen)( (g) 3)( xxxg

(d) xexg )( (h) x

xxg4

3)(

EJERCICIO 13: Encuentre en cada caso, la función )(xG que satisface

(a) 3)1(,16)( GxxG

(b) 1)0(,3)1(,16)( GGxxG

(c) 5)0()0()0(,sen)( GGGxxxG

EJERCICIO 14: Un móvil se desplaza por un camino. Se sabe que la aceleración

en el instante t viene dada por 2/)100()( hkmttta . Si en el instante inicial t=0 el

móvil se encuentra en la posición 0s y parte a una velocidad de 30 km/h, ¿cuál es

la posición 1000,)( tts ?

CÁLCULO DE PRIMITIVAS

MÉTODOS DE SUSTITUCIÓN Y

DE INTEGRACIÓN POR PARTES

EJERCICIO 15: Calcule las siguientes integrales

(a) dxx64

(b) 1

03 dxxxx

(c) dxx )1sen(

(d) x

dx2cos

7


70

EJERCICIO 16: Usando el método de sustitución, calcule las siguientes integrales

(a) dxx2

13 (p) 4 225

4

x

xdx

(b) 52x

dx (q)

2

0

2cos

dtt

(c) dxx

x

25

33

2

(r) 1

0

21 dxx

(d) dxx)2tg( (s) 41 x

xdx

(e) dxe x3 (t)

dx

x

x 2)ln1(

(f) 1

0

2 2

dxxe x (u) dxx 7)53(

(g) dxxx )(cossen 2 (v) dx

e

ex

x

21

(h) e

dxx

x

1

ln (w) dxxxx 2)1( 2

(i) dxx

x4sen

cos (x) dx

x

x )sen(

(j) x

x

e

dxe2

2

1 (y)

3

2 2 32

)1(

xx

dxx

(k) dx

e

ex

x

1 (z) 222 xx

dx

(l) 2)12(1 x

dx (A)

dx

xx

x

22

322

(m) dxa x5 (B)

dx

xx

x

13

13

2

(n) dxex x 13 4

(C) xdxx sen)sen(cos

(o)

0

3 sen)cos1( dxxx (D)

4

0 1dx

x

x


71

EJERCICIO 17: Marque con una cruz la única respuesta correcta

Dada la función continua f ponemos 3

2)( dxxfA y

11

8 3

2dt

tfB , entonces es

cierto que

A=3B 3B=A

A=B ninguna de las anteriores

EJERCICIO 18: Aplique la integración por partes para calcular

(a) xdxxln (f) dxe

xx

(b) e

xdx1

ln (g)

0

3 cosxdxx

(c) xdxxsen (h) dxex x23

(d) dxxex (i) xdxarccos

(e) xdxarctg (j)

0senxdxex

EJERCICIO 19: Si llamamos 1

0dxexI xn

n pruebe la fórmula de reducción

1 nn nIeI

EJERCICIO 20: Demuestre las siguientes fórmulas de reducción

(a) 1cossen n

nn

n nIxxxdxxI

(b) 1sencos n

nn

n nIxxxdxxI

EJERCICIO 21: La función f es tiene derivada continua y satisface

4sen)(2

xdxxf y 3)( f . Calcule 2 cos)(

xdxxf


72

FRACCIONES SIMPLES

EJERCICIO 22: Halle las primitivas de las siguientes funciones racionales

(a) )2)(1(

4)(

xxxf (e)

1

1)(

2

xxxf

(b) )3)(2)(2(

23)(

xxx

xxf (f)

1)(

2

3

x

xxf

(c) 4

12)(

2

x

xxf (g)

23

2

)1(

1)(

xx

xxxf

(d) 1

2)(

2

3

x

xxxf (h)

22

4

)1(

1)(

xx

xxf

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: La función f satisface )(5)( xfxxf . Si 12)(2

0 dttf , calcule f(2).

PROBLEMA 2: Encuentre el polinomio de Taylor de orden 3 en x=0 de

x

dtttxf0

3 )1ln()1()(

PROBLEMA 3: Encuentre una primitiva g de la función x

x

e

exf

3

3

4)(

que satisfa-

ga 4ln3)0( g .

PROBLEMA 4: Halle una función Rf ),0(: derivable que satisfaga la ecua-

ción integral 2

1)1(,)(1)()3(

1

2 fdttfxxfxx

PROBLEMA 5: Halle una función continua g tal que 0,ln)(1 2ln

0 xxxdteg

xt

PROBLEMA 6: Pruebe que

x

x t

dt

t

dt 1

1 2

1

2 11 si x>0.


73


14

103

ln2

)(

x

xx

x

xf

(a) Calcule

1

3)(

edxxf

(b) Determine el valor de k>0 para el cual

k

edxxf

335)(

PROBLEMA 8: Si dtt

tI

n

n

1

0 2 1 pruebe que

2,)1(2 2 nsiInnI nn

PROBLEMA 9: La función f es continua. Se define

xx

dttfxxG3

0

2 )(15

1)( .

Pruebe que G es estrictamente creciente.

PROBLEMA 10: La función f tiene tres derivadas continuas y vale

xxffff 8

1)(,4)0(,3)0(,2)0(

Si se aproxima 5,0

0)( dttf por

5,0

0)( dttP , donde P es el polinomio de Taylor de or-

den 2 en x=0, calcule el error que se comete.

PROBLEMA 11: Pruebe que 1

1

11

)(ln)(ln

n

nnnn

n In

n

n

xxdxxxI

PROBLEMA 12: ¿Para qué valores de p el

n

pn x

dxlim

1 es finito?

PROBLEMA 13: Se define la función Gamma como

0

1

0

1)( dxexdxexlimn xnt

xn

t , n natural o cero

(a) Calcule )2()1( y

(b) Pruebe que )()1( nnn . Deduzca que !1)( nn


74

PRÁCTICA 10

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

ÁREA ENTRE CURVAS

EJERCICIO 1: Calcule el área de la región comprendida entre las curvas

(a) 0,2, xxyxy

(b) xyxy 2,2

(c) 3,0,1, 2 xxxyxy

(d) 23 ,12 xyxxy

(e) exxyxy 1,0,ln2

(f) 2, xxyxy

(g) yejexejexy ,,12

(h) xejexy ,)2sen(

(i) xejexxxy ,65 23

(j) exxejexxy ,,ln

EJERCICIO 2: Determine c>1 de modo que el área de la región limitada por las

curvas )5(2)5(2 , xx eyey y la recta de ecuación cy sea igual a 1.

EJERCICIO 3: El área de la región limitada por las rectas axy , 2ay y la cur-

va 2xy es igual a 48

7. Calcule el valor de a.

EJERCICIO 4: Determine el área de la región limitada por la curva 0,1

xx

y , y

las dos rectas que unen el origen de coordenadas con los puntos de la curva

)2,2

1()

2

1,2( y respectivamente.


75

EJERCICIO 5: Marque la única respuesta correcta.

El área de la región del plano limitada por 2 xy , 4x , el eje x y el eje y se

obtiene calculando

4

0)2( dxx

4

0)2( dxx

4

2

2

0)2()2( dxxdxx

4

2

2

0)2()2( dxxdxx

ECUACIONES DIFERENCIALES

EJERCICIO 6: Halle y=f(x) que satisfaga la siguiente ecuación con condiciones ini-ciales

3)0(,0)(2)( fxxfxf

EJERCICIO 7: Encuentre todas las funciones f que satisfacen

0,0)()( ataftf

Estudie el comportamiento para t .

EJERCICIO 8: De entre todas las funciones f que satisfacen la ecuación diferen-

cial xxxfxf 3)()( , encuentre la que cumpla 3)1( f

EJERCICIO 9: Encuentre todas las soluciones de la ecuación xxexf

xf

)(

)(

EJERCICIO 10: Los átomos de elementos radiactivos son inestables. En un inter-valo de tiempo dado, una fracción fija de los átomos se escinde espontáneamente para formar un nuevo elemento. De modo que si N(t) denota el número de átomos existentes en el tiempo t, entonces )(tN , el número de átomos que se desintegra

por unidad de tiempo, es proporcional a )(tN , es decir

)()( tkNtN

donde k>0 se conoce como la constante de decaimiento de la sustancia. Si en el

instante t=0 , 0)0( NN

(a) Calcule N(t) para t>0.

(b) ¿En qué momento habrá la mitad de átomos que había inicialmente? (semivida)

(c) ¿Cómo varia la semivida?


76

EJERCICIO 11: Resuelva la siguiente ecuación diferencial (ecuación logistica)

1)0(,)(100)(5,0)( ytytyty

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

LONGITUD DE CURVA

Volumen = b

adxxf )(2

Longitud del arco = b

adxxf

2)(1

EJERCICIO 12: Halle el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrede-

dor del eje x la parábola 23xy , desde 0 hasta 3.

EJERCICIO 13: Halle el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrede-

dor del eje x la curva x

y1

desde 1 hasta 4.

EJERCICIO 14: Calcule el volumen del sólido engendrado por la curva

20,3 xxy

(a) al girar alrededor del eje x.

(b) al girar alrededor del eje y.

EJERCICIO 15: Calcule la longitud del arco de las curvas

(a) 25

2xy , 110 x .

(b) 21,2

ln

2

2

xxx

y

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: Encuentre el área limitada entre las curvas 22 41,1 xyxy

y el eje x.

PROBLEMA 2: Calcule el área limitada por las curvas xxy 23 , 2xy y las

rectas verticales x=-2 , x=3


77

PROBLEMA 3: Calcule el área de la región limitada entre las curvas xy sen2 ,

)2sen( xy para ],0[ x .

PROBLEMA 4: Para cada n natural se define 2

0sen

nxdxxan . Calcule nn

alim

PROBLEMA 5: Calcule el área de las dos regiones determinadas por las curvas

5,3

1,

4

1,

12

xxy

x

xy

¿Cuál es la mayor?

PROBLEMA 6: Calcule el área de la región comprendida por el eje y, la curva xexy 551 y la recta 25 xy . Haga un gráfico aproximado indicando la re-

gión.

PROBLEMA 7: Considere la función xxxf 23)(

(a) Determine su dominio de definición y zonas de crecimiento y de decre-cimiento.

(b) Calcule el área de la región limitada por el gráfico de f y el eje x.

PROBLEMA 8: Calcule el área de la región comprendida entre la curva xxy 3

y la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa x=-1.

PROBLEMA 9: La temperatura de un cuerpo que se enfría, cambia a una tasa que es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatu-ra ambiente. Así, si C(t) es la temperatura del cuerpo en el tiempo t y a es la tem-peratura ambiente a la que supondremos constante, se tiene

atCktC )()(

en donde k>0 es la constante de proporcionalidad.

(a) Halle todas las soluciones de la ecuación en términos de k, a y la tem-peratura inicial C(0).

(b) Calcule )(tClimt

. Ensaye alguna explicación física para el límite encon-

trado.


78

(c) SI un cuerpo inicialmente está 26 y una hora después está a 24, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? (Suponga la temperatura ambiente

de 22)

PROBLEMA 10: Halle la longitud de la curva x

dtty0

2 1 entre x=1 y x=3.

PROBLEMA 11: Considere la curva xey . Para cada n natural llamamos nV al

volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar la curva alrededor del eje

x con nx 0 . Calcule nn

Vlim

.

PROBLEMA 12: Encuentre una función f continua en el eje real positivo, tal que

x

dttfx

xf1

)(1

1)( .

PROBLEMA 13: Resuelva la ecuación diferencial 0)1( yxyx con la condición

inicial 2)0( y .

PROBLEMA 14: El rectángulo de vértices (0,0) , (0,1) , (5,0) y (5,1) queda dividido

en dos cuando se traza la curva 3

52 xy . Halle el área de la más grande.

PROBLEMA 15: Halle el área comprendida entre la curva xxey y las rectas

x=0 y el punto de abscisa donde f alcanza su máximo absoluto.

PROBLEMA 16: Calcule el área comprendida entre la curva xy ln ,la recta tan-

gente a la curva que pasa por el origen y el eje x.

PROBLEMA 17: Un sólido de revolución está engendrado por la rotación de la gráfica de axxfy 0,)( , alrededor del eje x. Si para cada a>0 el volumen es

aa 2 , halle la función f (suponga que f es positiva).

PROBLEMA 18: Halle el valor de a>0 para que el área comprendida entre la curva

xy sen , x=0 , x=a y el eje x sea 2

5.


79

PRÁCTICA 11

SERIES

TÉRMINO GENERAL Y SUMAS PARCIALES

EJERCICIO 1: Escriba el término general de las siguientes series. Escriba tam-bién la expresión de las sumas parciales.

(a) 1 1 1 1

1 ...3 5 7 9

(b) 1 1 1 1

1 ...3 7 15 31

(c) 2 4 8

1 ...3 9 27

(d) 1 1 1 1 1 1

...2 6 12 20 30 42

(e) 1 1 2 3 5 8 13 ...

(f) 3 4 5

ln 2 ln ln ln ...2 3 4

En los casos que la serie sea geométrica o telescópica, calcule su suma.

SERIES GEOMÉTRICAS Y SERIES TELESCÓPICAS

EJERCICIO 2: Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes

(a) 1

1

1

3nn

(d) 1

1

( 1)n n n

(b) 1

0

3 4

5

n n

nn

(e)

1

1ln 1

n n

(c) 2

10

2 1

4

n

nn

(f)

1

2

3

2

n

n

EJERCICIO 3: Si la serie 0

1 2 35

12

n

nn a

, ¿cuánto vale a>0?


80

EJERCICIO 4: A partir de la identidad 0

1, 1 1

1

n

n

x xx

deduzca las

siguientes fórmulas

(a) 2 4 2

2

11 ... ... , 1 1

1

nx x x xx

(b) 3 5 2 1

2... ... , 1 1

1

n xx x x x x

x

(c) 2 3 4 11 ... ( 1) ... , 1 1

1

n nx x x x x xx

(d) 2 1 1 11 2 4 ... 2 ... ,

1 2 2 2

n nx x x xx

EJERCICIO 5:

(a) A partir de que 1

90,999...

10kk

, compruebe que 0,999...=1.

(b) Escriba el número decimal 0,444... como una serie. Halle la suma de la serie y escriba el número decimal como un cociente de enteros.

(c) Haga el mismo trabajo con el número 0,121212...

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

EJERCICIO 6: Decida si cada una de las siguientes series es convergente o di-vergente. Explique qué criterio usa en cada caso para obtener su respuesta.

(a) 3

1 1n

n

n

(f)

1 3nn

n

(b) 2

1

1

1n n n

(g)

1

11

n

n n

(c) 3

41

1

4 5 1n

n

n n

(h)

11

3 ( 1)

2

n

nn

(d) 1

1

1n n n

(i)

0

!

( 2)!n

n

n

(e) 3

21

2 sin

2nn

n

n

(j)

3 2

21 1n

n n

n n


81

EJERCICIO 7: Use el criterio integral de Cauchy para estudiar la convergencia de

(a) 2

1

lnn n

(d) 2

1

ln

n

n

n

(b) 2

2

1

lnn n n

(e) 2 2

1

1

( 1)arctann n n

(c) 2

2

1

lnn n n

(f) 2

1n

n

n

e

EJERCICIO 8: Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series

(a) 1

!n

n

n

n

(e) 0

(1000)

!

n

n n

(b)

2

1

11

n

n n

(f)

1

1

2

n

n

n

n

(c) 2

0

( !)

(2 )!n

n

n

(g) 2

2 lnnn

n

n

(d) 1

3 !n

nn

n

n

(h) 1

2 !n

nn

n

n

EJERCICIO 9: Determine la convergencia o divergencia de las series que si-guen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional. Si usa el criterio de Leibniz, asegúrese de que se satisfagan todas las hipótesis.

(a) 3

1

cos( 1)

1n

n

n

(d) 1

1

( 1)100

n

n

n

n

(b) 0

( 1)

3 5

n

nn n

(e)

1

ln( 1)n

n

n

n

(c) 1

1( 1) 1

n

n

n n

(f)

1

2 100( 1)

3 1

n

n

n

n

n

EJERCICIO 10: Use el criterio que más convenga en cada caso, para determi-nar la convergencia o divergencia de las siguientes series

(a) 2

1

arctan

1n

n

n

(b)

21

( 1)

3 cos

n

n n n

(c)

3

1

1n

n n


82

SERIES DE POTENCIA

EJERCICIO 11: Encuentre todos los valores de x R para los cuales cada una

de las siguientes series es convergente. Indique para qué valores la convergen-cia es absoluta y para qué valores la convergencia es condicional

(a) 3

1

n

n

x

n

(f) 1

1

( 1) ( 1)n n

n

x

n

(b) 1

n

n

x

n

(g) 0 1

n

n

x

x

(c) 1

0

( 1)!

nn

n

x

n

(h) 2 1

20

2 1

2

n

n

nx

n

(d) 1

n n

n

n x

(i) 3 1

51

2n n

n

x

n

(e) 2

0

5n

nn x

(j) 0

14

1

n

n

n

x

x

EJERCICIO 12: Halle el radio de convergencia de las series

(a) 1

2 !nn

nn

nx

n

(b) 2

2 3

0

( !)

(2 )!

n

n

nx

n

EJERCICIO 13: En cada una de las siguientes series

(a) Determine el radio de convergencia.

(b) Determine dónde la convergencia es absoluta y dónde condicional.

1. 0

( 1)

!

n n

n

x

n

7. 2

20

3

1

n

n

nx

n

2. 0

3 ( 2)

2 1

n n

n

x

n

8. 2 1

0

1 n

n

n n x

3. 2

0 2

n

nn

nx

9.

2

0

11 ( 2)

n

n

n

xn

4. 0

(2 3)

3

n

nn

x

10.

0

cos( )2

n

n

nx

5. 2

22

(4 4 1)

ln ( )

n

n

x x

n n

11.

4 1

22 ln

n

n

x

n n

6. 2

1

2 3n nn

n

xn n

12.

0 2 3

n

n nn

x


83

PROBLEMAS VARIOS

PROBLEMA 1: ¿Para qué valores de p>0 la serie 2

1

lnpn n n

es convergente?

PROBLEMA 2: ¿Para qué valores de p>0 la serie 2

1

ln ( )pn n n

es convergente?

PROBLEMA 3: Considere la sucesión 3

2

1,

1,

n

si n es imparn

a

si n es parn

y la serie alter-

nada 1

1

( 1)n

n

n

a

(a) Explique por qué no se puede aplicar el criterio de Leibniz en esta se-rie alternada.

(b) Pruebe que la serie es absolutamente convergente.

PROBLEMA 4: Estudie la convergencia de las series

(a) 1

201 1

n

n

xdx

x

(b)

1

1

nx

nn

e dx

PROBLEMA 5: La sucesión de términos positivos na satisface 1 25 1

n

n

n

a

a n

,

¿es convergente la serie 1

n

n

a

?

PROBLEMA 6: ¿Para qué valores de a la serie de potencias 1

(1 )( 2)

nn

n

ax

n

tiene radio de convergencia igual a 2?

PROBLEMA 7: Encuentre todos los valores reales de x para los cuales las si-guientes series son convergentes. Indique cuándo la convergencia es absoluta y cuándo es condicional.

(a) 2

3 1

0

(2 )( 1) ( 3)

8

n n

nn

nx

(b) 1

0

4 (3 1)n n

n

x

. Para los x hallados encuentre el valor de la suma.

(c) 1

3

1

( 1)

(2 )

nn

nn

nx

n


ANÁLISIS MATEMÁTICO

CIENCIAS EXACTAS E INGENIERÍA

Programa

UNIDAD I Números reales - funciones Números reales. Propiedades básicas. Representación en la recta. Supremo e ínfimo.

Funciones. Definición. Funciones reales. Dominio e imagen. Gráfico. Funciones

elementales, algebraicas y trascendentes. Composición. Función Inversa. Representación de

curvas en forma paramétrica.

Spiegel: [1]

Ayres-Mendelson: [1 a 6]

UNIDAD II Sucesiones Sucesiones. Noción de límite. Propiedades. Sucesiones monótonas. El número e. Otros

límites especiales. Introducción a las series numéricas.

Spiegel: Sucesiones [3] Series [11]

Ayres-Mendelson: Sucesiones [53] Series [54 a 58]

UNIDAD III Límite y Continuidad Noción del límite funcional. Cálculo de límites. Álgebra de límites. Límites laterales.

Límites infinitos y en infinito. Asíntotas.

Continuidad. Propiedades. Funciones continuas en intervalos cerrados. Aplicaciones al

cálculo de ceros de funciones. Ejemplos de métodos numéricos elementales.

Spiegel: [2]

Ayres-Mendelson: [7 y 8]

UNIDAD IV Derivadas Noción de tangente a una curva. Velocidad. Definición de derivada. Derivada de funciones

elementales. Reglas de derivación. Regla de la cadena. El Teorema del Valor Medio y sus

aplicaciones. Regla de L´Hopital. Aproximación lineal. Diferencial.

Estudio de funciones: crecimiento y decrecimiento, extremos, concavidad, convexidad,

puntos de inflexión. Trazado de curvas. Problemas de máximos y mínimos.

Polinomio de Taylor y Mac Laurin. Aproximación de funciones. Estudio del error.

Aplicaciones al cálculo de ceros de funciones: método de Newton-Raphson.

Spiegel: [4]

Ayres-Mendelson: [9 a 19] + [26 a 29]

UNIDAD V Integrales Particiones. Integral superior e inferior. Integral indefinida. Propiedades. Cálculo

aproximado de integrales.

El Teorema Fundamental del Cálculo. Regla de Barrow. Cálculo de primitivas. Los métodos

de sustitución y de integración por partes.

Aplicaciones al cálculo de áreas, volúmenes de revolución y longitud de curvas.

Spiegel: [5]

Ayres-Mendelson: [30 y 31] + [34] + [37 a 42] + [47]


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