GUIA DE PROBLEMAS CALCULO II

LA PAZ - BOLIVIA

CIENCIAS BASICAS II/2014

CALCULO IIPRACTICA DE REPASO

Docente: Ing. Rosio Carrasco Mendoza

Docente: Ing. Ramiro Mendoza Nogales

Docente: Lic. Bismar Choque Nina

Derivadas Parciales:

1. Verificar si los siguientes diferenciales son exactos de ser así hallar la función que las origino

a) df =(3 x2 tgy−2 y3x3 )dx+(x3Sec2 y+4 y3+ 3 y2x2 )b) df =( 1y Sen( xy )− y

x2cos ( yx )+1)dx+( 1x cos ( yx )− x

y2Sen ( xy )+ 1y2 )dy

c)df =(2 xyz−3 y2 z+8 x y2+2 )dx+(x2 z−6 xyz+8x2 y+1 )dy+ (x2 y−3 x y2+3 )dz

2. Dadas las funciones, verifique las ecuaciones:

a) Si u=ln (x3+ y3+z3−3 xyz) entonces: ux+u y+uz=3

x+ y+z

b) Si u=1

x2+ y2−1 entonces: xux+ yu y=−2u(1+u)

c) Si u= y2+ tg ( y e1x ) entonces: x2ux+ yu y=2 y

2

ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA

TODOS LOS PARALELOS

GUIA DE PROBLEMAS CALCULO II

d) Si u= y2

3 x+ f ( xy )entonces: x2uxx−xy uy+ y2=0

e) Si u=e y ∙ f (y ex2

2 y2)entonces: (x2− y2 )ux+xy uy=xyz

f) Si u=xn ∙ f ( yxa, zxb )entonces: xux+ay uy+bzuz=un

g) Si u= xyz∙ lnx+xf ( yx , z

x )entonces: xux+ yu y+ zuz=u+ xyz

h) Si u=f ( yx )+xg ( yx ) entonces: x2uxx+2 xyuxy+ y2u yy=0

i) Si u=f ( xy )+√ xy g( yx ) entonces: x2uxx− y2uyy=0

j) Si F (x+z y−1 , y+z x−1 )=0 entonces: x z x+ y z y=z−xy

k) Si u=u( xx2+ y2

, yx2+ y2 ) entonces: uxx+uyy=0

Aplicaciones de la Derivada:

3. Determinar los extremos y/o puntos de ensilladura de las siguientes funciones de dos variables:

a) f ( x , y )=e2x+3 y (8x2−6 xy +3 y2)

b) f ( x , y )=ex2− y (5−2x+ y )

c) f ( x , y )=e−(x2+ x y+ y2 )(5−2 x+ y)

d) f ( x , y )=(x2+ y2)e−(x2+ y2)

e) f ( x , y )=x−2 y+ln√ x2+ y2+3 Arctg ( yx )4. Determinar los extremos y/o puntos de ensilladura de las siguientes

funciones de tres variables:

ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA

GUIA DE PROBLEMAS CALCULO II

a) f ( x , y , z )= x3

3−3xy−3xz−3 y2+ 3

2z2−5 x−2

b) f ( x , y , z )=x y2 z3 (a−x−2 y−3 z ) cona>0

c) f ( x , y , z )=3 ln x+2 ln y+5 ln z+ ln (2−x− y−z)

5. Hallar los extremos de las siguientes funciones implícitas donde z=z (x , y)

d) x2+ y2+z2−2x+2 y−4 z−10=0

e) x2+ y2+z2−xz− yz+2x+2 y+2 z−2=0

f) (x2+ y2+ z2 )2=a2(x¿¿2+ y2−z2)cona>0 ¿

6. Hallar los extremos condicionados para las siguientes

l) f ( x , y )=x2+12xy+2 y2 si 4 x2+ y2=25

m) f ( x , y )=cos2 x+Sen2 y si x− y=π4

n) f ( x , y , z )=xyz para x2+ y2+z2=1 ; x+ y+z=0

o) f ( x , y , z )=xy+ yz para x2+ y2=2 ; y+z=2 , x>0 , y>0 , z>0

7. Resolver los siguientes problemas de planteo referidos a máximos y mínimos:

a) Un cuerpo consta de un cilindro circular recto que termina con un cono circular recto. Dada la superficie total del cuerpo, igual a Q, determinar sus dimensiones de tal modo que su volumen sea máximo.

b) Inscribir en una semiesfera de radio R un paralelepípedo rectangular de volumen máximo.

c) Inscribir en un cono circular recto un paralelepípedo rectangular de volumen máximo.

ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA

GUIA DE PROBLEMAS CALCULO II

d) Encontrar la distancia mínima entre la parábola y+x2=0 y la recta: x− y=2.

e) Representar el número a en la forma de producto de cuatro factores positivos cuya suma sea la menor posible.

Integrales Múltiples:

1. Evaluar las siguientes integrales dobles por un método adecuado

a) ∬R

❑

xy dA , R: xy=1 ,2 x+2 y=5

b) ∬R

❑

(10−4 x−4 y+x2+ y2)dA ,R : x2+4 y2−2x−16 y+13=0

c) ∬R

❑

x2 y exy dA , R :0≤x ≤1 ,0≤ y ≤2

d) ∬R

❑

(x2+ y2)dA ,R : x= y , y=x+a , y=a , y=3acona>0

e) ∬R

❑

( x+ y )dA ,R : x+ y=4 , x+ y=12 , y2=2x

f) ∬R

❑ √ 1−x2− y2

1+x2+ y2dA , R :1≥ x2+ y2 , x≥0 , y≥0

g) ∬R

❑

Arc tg( yx )dA , R : x2+ y2≥1 , x2+ y2≤9 , y≥ x√3

, y ≤ x√3

2. Calcular la integral dada en ambos sentidos de integración para los

dominios finitos de integración R

∬R

❑

dA

a) R : x=3 , x=5 ,3 x−2 y+4=0 ,3 x−2 y+1=0

b) R : x+ y≤1 , x− y ≤1, x≥0

c) R : y≥ x2 , y ≤4−x2

d) R : x= y , y=2x , x+ y=6

e) R : y=x , y=x+3 , y=1−2 x , y=5−2 x

ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA

GUIA DE PROBLEMAS CALCULO II

3. En los siguientes ejercicios cambiar el orden de integración

∫0

2π

∫0

Sen x

f ( x , y )dydx ,∫−1

1

∫−√1− x2

1−x2

f ( x , y )dydx ,∫1

2

∫2−x

√2 x− x2

f ( x , y )dydx

4. Calcular las siguientes integrales triples:

a) ∭R

❑ dV(x+ y+z+1)3

,R : x+ y+z=1 , primer octante

b) ∭R

❑

xy dV ,R : z=xy paraboloidehiperbólico , x+ y=1, z ≥0 planos

c) ∭R

❑

y cos ( x+z )dV , R : y=√x cilíndro y los planos : y=0 , z=0 ,

x+z=π2

d) ∭D

❑

(x2+ y2)dV ,D : z≥0 , r2≤ x2+ y2+z2≤R2

e) ∭R

❑ dV

√ x2+ y2+(z−2)2R :Cilindro x2+ y2≤1 ,−1≤ z≤1

f) ∭R

❑ dV

√ x2+ y2+(z−2)2,R :cilíndro x2+ y2≤1 ,−1≤z ≤1

ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA