Grado en Administracion de EmpresasDepartamento de EstadısticaAsignatura: Optimizacion y Simulacion para la EmpresaCurso: 2011/2012

PRACTICA 5: Optimizacion de modelos lineales (con-

tinuos y discretos)

1. Ejemplo

Utilizaremos uno de los ejemplos desarrollados en las transparencias del Tema 2 (ejem-plo 4). Optimizacion de modelos lineales (continuos).

Una empresa elabora un aceite nuevo (REFI) refinando exclusivamente diferentes tiposde aceite y mezclandolos. Los tipos de aceite se clasifican en dos categorıas: vegetales(VEG1 y VEG2) y no vegetales (OIL1, OIL2 y OIL3). Dependiendo del tipo de aceite,vegetal o no vegetal, se requiere una lınea de produccion distinta para refinarlo, por loque se puede refinar un maximo de 200 toneladas de aceite vegetal y 250 de no vegetal.Ademas, se puede asumir que el coste del refinamiento es nulo y que durante este procesono se producen perdidas de peso. Por otro lado, existen restricciones de control de calidadque imponen cotas (inferior y superior) a la acidez del producto final: 1.4 y 1.8 unidades,respectivamente. Se puede asumir que la acidez se mezcla linealmente. La acidez y el costede una tonelada de cada tipo de aceite se refleja en la siguiente tabla:

Aceite VEG1 VEG2 OIL1 OIL2 OIL3Coste 110 120 130 110 115Acidez 2.2 1.1 2.0 1.2 1.5

Cada tonelada de producto final se vende a un precio de 150 euros. Plantea el modelo quemaximiza el beneficio neto.

El problema se modela como se explica a continuacion.

Sea y el numero de toneladas de producto final y xj el numero de toneladas de cadauno de los aceites, j = 1, 2, 3, 4, 5 (1=“VEG1”, 2=“VEG2”, etc.). Todas estas variablesson positivas.

La funcion objetivo a maximizar es z = 150y−110x1−120x2−130x3−110x4−115x5.

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Para que las variables esten bien definidas, debe cumplirse que y = x1+x2+x3+x4+x5.

Los lımites de produccion vienen dados por las restricciones x1 + x2 ≤ 200 y x3 + x4 +x5 ≤ 250.

Finalmente, los lımites de acidez vienen dados por

1.4 ≤ 2.2x1 + 1.1x2 + 2x3 + 1.2x4 + 1.5x5y

≤ 1.8.

Pese a que inicialmente es una restriccion no lineal, se transforma de manera inmediataen las restricciones lineales 2.2x1 +1.1x2 +2x3 +1.2x4 +1.5x5−1.4y ≥ 0 y 2.2x1 +1.1x2 +2x3 + 1.2x4 + 1.5x5 − 1.8y ≤ 0.

Ası, el modelo buscado es

Max. 150y − 110x1 − 120x2 − 130x3 − 110x4 − 115x5s.a x1 + x2 ≤ 200,

x3 + x4 + x5 ≤ 250,x1 + x2 + x3 + x4 + x5 − y = 0,2.2x1 + 1.1x2 + 2x3 + 1.2x4 + 1.5x5 − 1.4y ≥ 0,2.2x1 + 1.1x2 + 2x3 + 1.2x4 + 1.5x5 − 1.8y ≤ 0,x1, x2, x3, x4, x5, y ≥ 0.

Si resolvemos el problema con Solver, vemos (Figura 1) que la solucion optima esx∗ = (200, 0, 0, 250, 0) e y∗ = 450 para un beneficio neto de z∗ = 18000 euros.

2. Analisis de sensibilidad

Ahora que hemos resuelto el problema, puede parecer que ya hemos acabado. Sinembargo, en los problemas reales de optimizacion lineal, la resolucion de un modelo raravez es el final del analisis. Casi siempre es muy util (e incluso necesario) realizar unanalisis de sensibilidad para ver como cambia la solucion si varıan los datos (condiciones)del problema. Para ello, al resolver el modelo, solicitaremos ver el informe de sensibilidad(Figura 2). Al hacerlo, obtendremos un informe similar al que se ve en la Figura 3

2.1. Costes reducidos

En la primera parte del informe vemos informacion sobre las variables. Algunas tienenun valor distinto de cero y tienen un coste reducido nulo (por ejemplo, VEG1). Otrastienen valor nulo y coste reducido distinto de cero, como es el caso de VEG2. Esta variabletiene un coste reducido de-10. Eso significa que, sin cambiar las demas condiciones, usaruna unidad de este aceite repercute en que los beneficios “aumentan” -10 euros (es decir,disminuyen en 10 euros). Es facil verlo anadiendo la restriccion x2 ≥ 1 al modelo.

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Figura 1: Solucion optima.

2.2. Coeficientes de la funcion objetivo (analisis de costes)

Tambien en esta primera parte vemos que la variable REFI tiene un coeficiente de 150(el beneficio bruto que ya sabıamos) con un aumento disponible de 1E30 (esto es, infinito) yuna disminucion disponible de 40. Esto significa que la solucion no cambia si este beneficioaumenta todo lo que se quiera o disminuye en una cantidad inferior a 40 euros. Si elbeneficio pasa a ser de 110 euros (=150-40), entonces la solucion cambia.

Un analisis similar podemos hacer, por ejemplo, con VEG2. Vemos que si su coeficienteaumenta en 10 euros (es decir, el coste se reduce en 10 pues el coeficiente pasa de -120 a-110), entonces la solucion varıa y comienza a ser rentable usar este aceite.

2.3. Precios sombra

En la segunda parte del informe vemos que el precio sombra de la restriccion Lımite

ref. vegetal es 40. Eso significa que, para esta restriccion hemos llegado a su lımite(observa que se esta el maximo permitido de 200 toneladas, es decir, se trata de unarestriccion vinculante), pero que si ese lımite superior se incrementase en una unidad (sinvariar el resto de condiciones), entonces ganarıamos 40 euros mas. O si disminuye en unaunidad, entonces ganarıamos 40 euros menos.

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Figura 2: Opcion de analisis de sensibilidad.

Figura 3: Informe del analisis de sensibilidad.

Vemos ademas, que tenemos un aumento permisible de 175 y una disminucion per-misible de 137.5. Eso significa que el precio sombra no variara mientras el lado derechosea un valor del intervalo [200 − 137.5, 200 + 175] = [62.5, 375]. Ademas, la estructura dela solucion tampoco variara. Si excedemos esos lımites, cambia el precio sombra y la es-trategia de decision (el aspecto de la solucion) es distinto. Por ejemplo, si el lado derechovale 220, la estrategia optima es V EG1∗ = 220 y OIL2∗ = 250 (es decir, simplementeaumentamos V EG1 en tantas unidades como hemos aumentado el lado derecho). En cam-bio, si el lado derecho es 400, la solucion optima es V EG1∗ = 390.91, V EG2∗ = 9.09y OIL2∗ = 250, por lo que vemos que ahora ya interesa utilizar tambien aceite VEG2.Ademas, el precio sombra pasa a ser 36.36.

Por otra parte, vemos que la restriccion LI acidez tiene un precio sombra con valornulo. Eso se debe que el lado izquierdo de la restriccion no es igual al lımite del ladoderecho, es decir, es una restriccion no vinculante. Tambien se dice que su holgura esestrictamente positiva (las restricciones vinculantes tienen holgura con valor cero).

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3. Incorporando nuevos aspectos al problema

(i) El alimento final no puede contener mas de tres tipos de aceite diferentes.

(ii) Si el producto final contiene un cierto tipo de aceite, debe contener al menos 20toneladas del mismo.

(iii) Si la mezcla contiene algun tipo de aceite vegetal (VEG1 o VEG2), entonces tambiendebe contener aceite no vegetal de tipo 3 (OIL3).

Si queremos incorporar estas condiciones al problema sin cambiar el tipo de modeloscon los que estamos trabajando (queremos que sigan siendo lineales), tenemos que usarvariables binarias.

Ahora ademas de decidir que cantidad de cada tipo de aceite vamos mezclar, aparecendecisiones acerca de que tipo de aceite se va a mezclar.

Aparecen decisiones del tipo si/no, para indicar si se utiliza un tipo de aceite o no seutiliza.

δi =

{1 sı se utiliza el acetite de tipo i

0 no se utiliza este aceite

3.1. Numero maximo de productos diferentes

El alimento final no puede contener mas de 3 tipos de aceite

Segun esto solo tres variables δi pueden ser igual a 1, como mucho. Esto se representalimitando a que la suma de las variables sea menor o igual que 3:

δ1 + δ2 + δ3 + δ4 + δ5 ≤ 3

Introduce estas variables en la hoja de calculo, incorpora la restriccion anterior y re-suelve con Excel el nuevo problema. ¿Que observas? Ten en cuenta que la declaracion devariables binarias en Solver se hace anadiendo la restriccion que aparece en la Figura 4.

Se obtiene la misma solucion, con todas las variables δi = 0, para todo i = 1, . . . , 5,pero se han usado los aceites VEG1 y OIL2 (x1 = 200 > 0 y x4 = 250 > 0).¿Que esta pasando?

Para que las variables de uso (δi, i = 1, . . . , 5) esten bien definidas, tenemos querelacionar las decisiones sobre que tipo de aceite mezclar con las decisiones acerca decuanto aceite mezclar de cada tipo. Si no se utiliza un tipo de aceite, entonces no se puedemezclar nada de ese tipo de aceite.

En terminos de nuestras variables:

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Figura 4: Declaracion variables binarias.

Si δi = 0, entonces xi = 0.

Si δi = 1, entonces xi ≥ 0.

¿Como representarlo en forma de restricciones lineales?

x1 ≤ δ1 x2 ≤ δ2 x3 ≤ δ3 x4 ≤ δ4 x5 ≤ δ5

Introduce estas nuevas restricciones en la hoja de calculo y vuelve a resolver el problemacon Solver. ¿Que observas?

Para no acotar artificialmente la produccion, las cambiamos por

x1 ≤Mδ1 x2 ≤Mδ2 x3 ≤Mδ3 x4 ≤Mδ4 x5 ≤Mδ5

con M suficientemente grande.

Fija M = 106, modifica las restricciones, y vuelve a resolver el problema con Solver.¿Que observas?

Si M es demasiado grande, el modelo es muy malo y tenemos problemas pararesolverlo. Es muy importante buscar un valor de M que sea ajustado. Sin que acoteartificialmente la produccion, tratar de que sea lo mas pequeno posible. Por ejemplo, paranuestro problema:

x1 ≤ 200δ1 x2 ≤ 200δ2 x3 ≤ 250δ3 x4 ≤ 250δ4 x5 ≤ 250δ5

Modifica las restricciones, y vuelve a resolver el problema con Solver. ¿Que observas?

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3.2. Nivel mınimo de produccion

Si el producto final contiene un cierto tipo de aceite, debe contener al menos 20toneladas del mismo.

En terminos de las variables δi, i = 1, . . . , 5 de uso: Si δi = 1, entonces xi ≥ 20

xi ≥ 20δi, i = 1, . . . , 5

Introduce estas nuevas restricciones en la hoja de calculo y vuelve a resolver el problemacon Solver. ¿Que observas?

3.3. Relaciones entre componentes

Si la mezcla contiene algun tipo de aceite vegetal (VEG1 o VEG2), entonces tambiendebe contener aceite no vegetal de tipo 3 (OIL3).

En terminos de nuestras variables: Si δ1 = 1 o δ2 = 1, entonces δ5 = 1

¿Como sabemos si una de las dos variables δ1 o δ2 ha tomado el valor 1? Mirando lasuma δ1 + δ2. La condicion anterior es: Si δ1 + δ2 ≥ 1, entonces δ5 = 1

Esta condicion se puede modelizar de dos formas:A partir de una unica restriccion:

δ1 + δ2 ≤ 2δ5,

A partir de dos restricciones:δ1 ≤ δ5,δ2 ≤ δ5.

Introduce en la hoja de calculo la primera de las restricciones δ1+δ2 ≤ 2δ5. Elimina lasrestricciones que fuerzan a que las variables δi sean binarias. Cambialas por restriccionesque fuercen a que sean menores o iguales a 1. Vuelve a resolver el problema y apunta lasolucion obtenida (niveles de produccion optimos y beneficio optimo).

Comprueba si la solucion obtenida verifica las restricciones δ1 ≤ δ5 y δ2 ≤ δ5. ¿Que ob-servas? cambia la restriccion δ1 + δ2 ≤ 2δ5 por estas dos nuevas restricciones y vuelve aresolver el problema. ¿Que observas?

Si nos olvidamos de que las variables δi, i = 1, . . . , n tiene que ser binarias, el Modelo1 (con la primera restriccion) tiene mas soluciones fraccionarias (con algun δi no entero)que el Modelo 2 (con las dos ultimas restricciones). De hecho, el Modelo 2 da una solucionoptima entera. Por tanto, el Modelo 2 es mejor que el Modelo 1.

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4. Ejercicios

1. En el ejemplo de esta practica, supongamos que la empresa tiene que comprar losdepositos en los que va a almacenar los aceites que utilice.

Cada tipo de aceite requiere un deposito independiente y la empresa esta consideran-do 2 tipos de deposito diferentes:

Tipo Capacidad (toneladas) CosteI 200 750II 100 450

Construir un modelo que contemple la decision sobre que tipo de deposito adquirirpara cada uno de los aceites considerados.

2. Una empresa debe decidir la composicion de su cartera de inversiones, para lo quedispone de un capital de 500.000 euros. La cartera debe estar compuesta por accionesen algunas de las siguientes companıas:

Sector Companıa Rentabilidad Anual( %)Electrico Iberdrola 1.5

Endesa 7.5Banca BBVA 3.0

Bankinter 4.0SCH 5.0

Comunicaciones Telefonica 1.0Petroquımico Repsol 2.5

Cepsa 1.8BP 5.0GALP 2.0

Ademas, puede dedicar parte de su inversion a un deposito a plazo fijo con unarentabilidad del 3 % anual.

En cualquier caso, la empresa tiene algunas condiciones que limitan la eleccion.

a) Debe invertir en al menos 5 companıas y tres sectores.

b) No puede invertir mas del 25 % de la inversion en acciones en una sola companıaconcreta ni mas del 50 % en un sector concreto.

c) Si decide invertir en una companıa, debe invertir como mınimo 50.000 euros.

d) Si invierte en Endesa no podra invertir en BP.

e) Si invierte en el sector Petroquımico, debe invertir en Repsol.

Crear un modelo de optimizacion discreta que permita determinar como distribuirlas inversiones de la empresa de forma que se maximice el beneficio obtenido.

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