Optimización en Ingenieŕıa Dr. Carlos A. Coello Coello

Optimización en Ingenieŕıa

Dr. Carlos A. Coello Coello

Departamento de Computación

CINVESTAV-IPN

Av. IPN No. 2508

Col. San Pedro Zacatenco

México, D.F. 07300

email: ccoello@cs.cinvestav.mx

Clase No. 1 2007

Optimización en Ingenieŕıa Dr. Carlos A. Coello Coello

Introducción

Llamamos optimización al acto de obtener el mejor resultadoposible dadas ciertas circunstancias. No existe ningún método deoptimización que pueda resolver eficientemente todo tipo deproblemas y de ah́ı que se hayan desarrollado diversos métodos a lolargo de los años.

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Introducción

La optimización tiene enorme aplicabilidad en muchas ramas delconocimiento, aunque el énfasis de este curso serán las aplicacionesen ingenieŕıa. Nótese que este curso dará prioridad a los aspectosalgoŕıtmicos y de implementación sobre los aspectos teóricos. Por lotanto, se requieren buenos conocimientos de programación,aśı como conocimientos básicos de cálculo y de trigonometŕıa.

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Introducción

A los métodos de optimización se les conoce también comotécnicas de programación matemática y se les suele estudiaren investigación de operaciones.

La investigación de operaciones es una rama de lasmatemáticas que se ocupa de métodos y técnicas aplicables aproblemas de toma de decisiones, aśı como del establecimiento delas mejores soluciones posibles (o sea, las óptimas).

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Introducción

La tabla del acetato siguiente muestra una clasificación de métodosde optimización:

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Técnicas de Programación Técnicas Métodos

Matemática Estocásticas Estad́ısticos

Métodos de cálculo Teoŕıa de decisión Análisis de regresión

Cálculo de variaciones estad́ıstica Análisis de clusters,

Programación no lineal Procesos de Markov reconocimiento de patrones

Programación geométrica Teoŕıa de colas Diseño de experimentos

Programación cuadrática Teoŕıa de renovación Análisis discriminatorio

Programación lineal Métodos de simulación (análisis de factores)

Programación dinámica Teoŕıa de confiabilidad

Programación entera

Programación estocástica

Programación separable

Programación multiobjetivo

Métodos de redes: CPM y PERT

Teoŕıa de juegos

Recocido simulado

Algoritmos genéticos

Redes Neuronales

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Introducción

Nótese que en este curso nos concentraremos en las técnicas deprogramación matemática y no cubriremos ni métodos estocásticosni métodos estad́ısticos.

Dentro de las técnicas de programación matemática, nosconcentraremos fundamentalmente en los métodos paraoptimización no lineal sobre una y varias variables, en la ausenciade restricciones. Veremos también (si el tiempo lo permite) un pocosobre métodos de optimización en espacios restringidos.

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Introducción

Las técnicas de programación matemática son útiles paraencontrar el mı́nimo de una función de varias variables sujeta a unconjunto de restricciones. Las técnicas estocásticas puedenusarse para analizar problemas descritos por un conjunto devariables aleatorias con una distribución de probabilidad conocida.

Los métodos estad́ısticos nos permiten analizar datosexperimentales y construir modelos emṕıricos para obtener larepresentación más precisa posible del problema real.

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Antecedentes Históricos

Los primeros métodos de optimización se remontan a la época deIsaac Newton (1643-1727), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) yAugustin-Louis Cauchy (1789-1857).

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Antecedentes Históricos

El desarrollo de métodos de cálculo diferencial para optimizar fueposible gracias a las contribuciones de Isaac Newton y GottfriedWilhelm von Leibniz (1646-1716).

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Antecedentes Históricos

Los fundamentos de cálculo de variaciones, que lidia con laminimización de funciones, fueron sentados por Johann Bernoulli(1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange yKarl Weierstrass (1815-1897).

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Antecedentes Históricos

El método de optimización para problemas con restricciones, elcual involucra la adición de multiplicadores desconocidos, se conocecomo hoy en d́ıa con el nombre de su inventor: Lagrange.

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Antecedentes Históricos

Cauchy desarrolló la primera aplicación del método de descensoempinado para resolver problemas de minimización sinrestricciones.

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Antecedentes Históricos

A pesar de estas primeras aplicaciones, se logró muy poco progresohasta mediados del siglo XX, cuando el advenimiento de lascomputadoras digitales hizo posible la implementación de losalgoritmos de optimización existentes y estimuló el desarrollo denuevos métodos.

Esto marcó el inicio de una época incréıblemente productiva en lacual surgió un volumen muy considerable de publicaciones sobreoptimización. Esto produjo también el surgimiento de varias áreasbien definidas en teoŕıa de la optimización.

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Antecedentes Históricos

Es interesante hacer notar que los principales desarrollos en el áreade métodos numéricos para optimización sin restricciones sellevaron a cabo en el Reino Unido en los 1960s. El método simplexfue desarrollado por George Dantzig (1914- ) en 1947 y el principiode optimalidad para problemas de programación dinámica fueanunciado en 1957 por Richard Bellman (1921-1984).

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Antecedentes Históricos

Esto sentó las bases para el desarrollo de métodos de optimizaciónen espacios restringidos. Sin embargo fue el trabajo de Harold W.Kuhn y Albert W. Tucker en 1951 en torno a las condicionesnecesarias y suficientes para la solución a un problema deoptimización lo que estableció los fundamentos para una enormecantidad de investigación posterior en optimización no lineal.

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Antecedentes Históricos

Igualmente significativas fueron las contribuciones de G. Zoutendijky J. Ben Rosen durante principios de los 1960s (amboscontribuyeron a la optimización no lineal).

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Antecedentes Históricos

Aunque no se ha encontrado ninguna técnica de optimización cuyaaplicabilidad a programación no lineal sea universal, el trabajo deC.W. Carroll y el de Anthony V. Fiacco & Garth P. McCormick,permitió resolver una amplia gama de problemas con restriccionesusando funciones de penalización.

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Antecedentes Históricos

La programación geométrica fue desarrollada en los 1960s por R.J.Duffin, C. Zener y E.L. Peterson.

Ralph E. Gomory realizó trabajo pionero en programación entera,que ha sido una de las áreas de mayor crecimiento en optimización(esto se debe a que muchos problemas del mundo real caen dentrode este tipo de clasificación).

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Antecedentes Históricos

George Dantzig y Abraham Charnes & William Wager Cooperdesarrollaron técnicas de programación estocástica para resolverproblemas en los cuales se presupone que los parámetros de diseñoson independientes y siguen una distribución normal.

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Antecedentes Históricos

El deseo de optimizar simultáneamente dos o más funcionesobjetivo, motivó el desarrollo de la optimización multiobjetivo.

Uno de los primeros métodos multiobjetivo que aún sigue en usofue la programación por metas (goal programming), propuesta porCharnes y Cooper en 1961 para problemas lineales.

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Antecedentes Históricos

Los fundamentos de teoŕıa de juegos fueron desarrollados por Johnvon Neumann en 1928, y desde entonces se ha aplicado esta técnicaa varios problemas, sobre todo en economı́a. La aplicación de teoŕıade juegos a la solución de problema de ingenieŕıa es relativamentereciente.

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Antecedentes Históricos

La segunda mitad del siglo XX se caracterizó por el advenimientode las heuŕısticas tales como el recocido simulado, los algoritmosgenéticos y las redes neuronales.

El recocido simulado imita el proceso de enfriamiento de los sólidos.Los algoritmos genéticos son técnicas de búsqueda y optimizaciónbasadas en la selección natural y la genética.

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Antecedentes Históricos

Las redes neuronales son técnicas de clasificación basadas en el usode modelos de celdas simples (llamadas “neuronas”)interconectadas entre śı.

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Algunas Aplicaciones de

la Optimización en Ingenieŕıa

En el sentido más amplio del término, la optimización puedeaplicarse para resolver cualquier problema de ingenieŕıa. Algunosejemplos de aplicaciones son los siguientes:

Diseño de estructuras para aviación y el espacio con un pesomı́nimo.

Determinación de trayectorias óptimas de veh́ıculos espaciales.

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Algunas Aplicaciones de

la Optimización en Ingenieŕıa

Diseño de estructuras civiles tales como marcos, cimentaciones,puentes, torres, chimeneas, y presas, con un costo mı́nimo.

Diseño śısmico de estructuras (con cargas aleatorias).

Diseño de sistemas de agua potable y alcantarillado.

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Algunas Aplicaciones de

la Optimización en Ingenieŕıa

Diseño de herramientas y demás componentes mecánicos.

Diseño de turbinas, bombas y equipo para transferencia decalor.

Diseño de equipo eléctrico (motores, generadores ytransformadores).

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Algunas Aplicaciones de

la Optimización en Ingenieŕıa

Diseño de redes eléctricas.

Planeación de producción.

Diseño de redes hidráulicas.

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Algunas Aplicaciones de

la Optimización en Ingenieŕıa

Optimización de horarios.

Diseño óptimo de procesos qúımicos.

Control de inventarios.

Diseño de sistemas de control.

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