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Tema 1Fundamentos de Teorıa de Circuitos

Tecnologıa Electrica

Dpto. Ingenierıa ElectricaEscuela Politecnica Superior

Universidad de Sevilla

Curso 2010/2011

Tecnologıa Electrica (EPS) Tema 1 Curso 2010/2011 1 / 36

Indice

1 Magnitudes electricas

2 Referencias de polaridad

3 Leyes de Kirchhoff

4 Clases de circuitos

5 Elementos de circuitos

6 Asociacion de elementos pasivos

7 Asociacion de generadores ideales

8 Balance de potencia


Magnitudes electricas

Indice











Carga electrica

Carga electrica, q(t): Propiedad de las partıculas elementalesque constituyen la materia y que se manifiesta por medio defuerzas electricas.

El electron, e−, constituye la carga electrica mas pequenaposible.

Unidad en el SI: Culombio [C] que equivale a 6,242 · 1018 qe.

Charles-Augustin deCoulomb

(1736-1806)



Corriente electrica

Corriente electrica, i(t): Cantidad de carga que atraviesa una superficiede control en la unidad de tiempo:

i(t) =dq(t)dt

Por motivos historicos, tiene asociado el sentido de movimiento de lascargas positivas (aunque las cargas que se mueven en los conductores seansiempre negativas).

Unidad en el SI: Amperio [A].

Conocida i(t), la carga neta total que ha circulado por elconductor hasta el instante t es

q(t) =∫ t

−∞i(τ)dτ Andre-Marie Ampere

(1775-1836)



Voltaje (tension, diferencia de potencial,...)

Se define la diferencia de potencial entre dospuntos como la energıa necesaria para trasladar launidad de carga entre dichos puntos:

u(t) =dw(t)dq(t)

Unidad en el SI: Voltio [V].

Alessandro GiuseppeAntonio Anastasio Volta

(1745-1827)



Potencia y energıa

Potencia: Cantidad de energıa intercambiada en launidad de tiempo.

p(t) =dw(t)

dt=

dw(t)dq(t)

· dq(t)dt

= u(t) · i(t)

Unidad en el SI: Vatio [W].

James Watt(1736-1819)

Energıa:

w(t) =∫ t

−∞p(τ)dτ

Unidad en el SI: Julio [J].Otras unidades muy utilizadas: [Wh] y [kWh].

James Joule(1818-1889)



Potencia y energıa

Ejercicio 1.1

Calcular el tiempo que tarda un circuito de 2 000 W en consumir 16 kWh.Solucion: 8 horas.

Ejercicio 1.2

Una maquina de tren tiene una potencia nominal de 500 W. En untrayecto de 1 hora se sabe que la maquina permanece el 50 % del tiempoabsorbiendo su potencia nominal mientras que el resto del tiempo absorbesolo la mitad de la potencia nominal. Calcular la energıa absorbida por lamaquina en dicho trayecto.Solucion: 375 kWh.


Referencias de polaridad

Indice











Unificar los criterios de signo de las magnitudes electricas.

Referencias Pasivas

Una vez definido el sentido positivo de la tension, la intensidad entra porel terminal positivo.

+

+

−−

aab

b u(t)u(t)

i(t)i(t)

u(t) = ua(t) − ub(t)

−−

++

aab

b u(t)u(t)

i(t)i(t)

u(t) = ub(t) − ua(t)

Si p(t) = u(t) · i(t) > 0 −→ Absorbe potencia

Si p(t) = u(t) · i(t) < 0 −→ Cede potencia



Referencias Activas

Una vez definido el sentido positivo de la tension, la intensidad sale por elterminal positivo.

−−

++

aab

b u(t)u(t)

i(t)i(t)

u(t) = ub(t) − ua(t)

+

+

−−

aab

b u(t)u(t)

i(t)i(t)

u(t) = ua(t) − ub(t)

Si p(t) = u(t) · i(t) > 0 −→ Cede potencia

Si p(t) = u(t) · i(t) < 0 −→ Absorbe potencia

Las referencias son solamente un criterio de signos que permite medir lasmagnitudes pero la realidad no se ve afectada por utilizar unas u otras enel estudio del circuito.


Leyes de Kirchhoff

Indice










Leyes de Kirchhoff

Ley de Kirchhoff de corrientes (Conservacion de la carga)

En un nudo (corte) electrico donde inciden k conductores cuyas corrientesse suponen entrando al nudo se cumple que

∑k

ik(t) = 0 ⇔∑

i,entran

ii(t) =∑

j,salen

ij(t)

Nudo Corte

Nudo: Interconexion de varios terminales del circuito.Corte: Conjunto de elementos de interconexion de una region del circuitocon el resto.


Leyes de Kirchhoff

Ley de Kirchhoff de tensiones (Conservacion de la energıa)

En un bucle (malla) electrico formado por k elementos cuyas tensiones sesuponen en el mismo sentido en el que se recorre el bucle (malla) secumple que ∑

k

uk(t) = 0

Bucle: Camino cerrado en un circuito.Malla: Bucle que no contiene ningun otro en su interior.

Malla+

_

+

_

+

_

+ _

+ _

+

_

Bucle Bucle

Malla


Leyes de Kirchhoff

Ejercicio 1.3

Aplicando las leyes de Kirchhoff, determinar i1, i2, uab y ux.

+

_

+ _+_

Solucion: i1 = 5A, i2 = 2 A, uab = 15 V y ux = 12 V


Clases de circuitos

Indice










Clases de circuitos

Circuitos lineales

Gobernados por ecuaciones lineales. Como consecuencia:

Proporcionalidad:

++

−−

aa

bb

u(t)

i(t)

ku(t)

ki(t)

CircuitoCircuito

lineallineal

Superposicion:

++

+ +

−− −=

aa a

bb b

u1(t) + u2(t)

i1(t) + i2(t)

u1(t)

i1(t)

u2(t)

i2(t)

CircuitoCircuito Circuito

lineallineal lineal


Clases de circuitos

Circuitos pasivos y activos

+ −u(t)

i(t)wabs(t) =

∫ t

−∞pabs(τ)dτ =

∫ t

−∞u(τ) · i(τ)dτ

Circuitos pasivos: wabs(t) ≥ 0, ∀t

wabswabs

tt

pabs(t) ≥ 0, ∀t Si ∃t0 tal que pabs(t0) < 0

Disipativo Almacenador

Circuitos activos: Si ∃t0 tal que wabs(t0) < 0

wabs

t


Clases de circuitos

Circuitos invariantes en el tiempo

Caracterizados por ecuaciones algebraicas o integrodiferenciales decoeficientes constantes.

Tipo de excitacion

Circuitos de corriente continua.

Circuitos de corriente alterna sinusoidal:

Circuitos monofasicos.Circuitos trifasicos.


Elementos de circuitos

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Elementos pasivos

Resistencia

+

_

Relacion u(t) ↔ i(t) (Ley de Ohm)

u(t) = R · i(t)

R ≡ Resistencia.Unidad SI: Ohmio [Ω]

i(t) = G · u(t)

G � 1R ≡ Conductancia.

Unidad SI: Siemens [S]

Potencia: pR(t) = u(t) · i(t) = R · i2(t) = G · u2(t) ≥ 0 (siempre absorbe)

Energıa: wR(t) =∫ t−∞ R · i2(τ)dτ =

∫ t−∞ G · u2(τ)dτ ≥ 0

Toda la energıa que absorbe del circuito la disipa en forma de calor porefecto Joule.Casos extremos:

R = 0, G = ∞ � Cortocircuito.

R = ∞, G = 0 � Circuito abierto. Georg Simon Ohm(1789-1854)



Elementos pasivos

Bobina

+

_

Relacion u(t) ↔ i(t)

u(t) = L · di(t)dt

i(t) =1L

∫ t

−∞u(τ)dτ

L ≡ Coeficiente de autoinducion.Unidad SI: Henrio [H]

Potencia: pL(t) = u(t) · i(t) = L · i(t)di(t)dt = 1

2 · L · di2(t)dt ≶ 0

Energıa: wL(t) =∫ t−∞

L2 · di2(τ)

dτ dτ = 12 · L · i2(t) ≥ 0

Toda la energıa que absorbe del circuito se almacena en el campomagnetico que se establece en el nucleo de la bobina.



Elementos pasivos

Condensador

+

_

Relacion u(t) ↔ i(t)

u(t) =1C

∫ t

−∞i(τ)dτ i(t) = C · du(t)

dt

C ≡ Capacidad del condensador.Unidad SI: Faradio [F]

Potencia: pC(t) = u(t) · i(t) = C · u(t)du(t)dt = C

2 · du2(t)dt ≶ 0

Energıa: wC(t) =∫ t−∞

C2 · du2(τ)

dτ dτ = 12 · C · u2(t) ≥ 0

Toda la energıa que absorbe del circuito se almacena en el campo electricoque se produce entre las placas del condensador.



Elementos activos

Generador (fuente) ideal de tension

Especifica una tension conocida entre sus bornes, vg(t), que no dependedel circuito al cual esta conectado. La intensidad i(t) depende del circuitoal que se conecte.

+ _

(Referencias pasivas)

Potencia cedida: pg(t) = −ug(t) · i(t) ≶ 0dependiendo del circuito al que se conecte.

Sımbolos Montajes incompatibles

++_

+

AlternaContinuaGenérica

+_

IncompatibilidadCortocircuito

8 V3 V



Elementos activos

Generador (fuente) ideal de intensidad

Especifica la intensidad que la atraviesa, ig(t), mientras que su tension,v(t), es desconocida y solo puede obtenerse una vez resuelto el circuito alque se conecta.

(Referencias pasivas)

+ _

A B Potencia cedida: pg(t) = −u(t) · ig(t) ≶ 0dependiendo del circuito al que se conecte.

Montajes incompatibles

IncompatibilidadCircuito abierto

8 A3 A



Interruptor

Elemento no lineal con dos posiciones. Circuitos distintos segun laposicion:

1 Posicion Abierto.

i(t)=0, u(t) cualquiera.R = ∞, G = 0

2 Posicion Cerrado.

u(t)=0, i(t) cualquiera.R = 0, G = ∞

Utilizados para producir cambios topologicos, aplicacion o eliminacion deuna senal, modificacion del valor de un componente pasivo, etc.


Asociacion de elementos pasivos

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Asociacion serie

Dos elementos estan en serie cuando son recorridos por la mismaintensidad.

Resistencias

... ...

+ _+ _

+ _Req =

n∑j=1

Rj

Divisor de tension: Conocida u(t) se puede determinar la caıda de tensionen uno de los elementos, uk(t).

uk(t) = Rk · ik(t) = Rk · u(t)Req

� uk(t) =Rk∑nj=1 Rj

· u(t)



Asociacion serie

Bobinas

... ...

+ _+ _

+ _Leq =

n∑j=1

Lj

Condensadores

... ...

+ _+ _

+ _

1Ceq

=n∑

j=1

1Cj



Asociacion paralelo

Dos elementos estan en paralelo cuando esta sometidos a la misma tension.

Resistencias

... ...

+

_

+

_

Geq =n∑

j=1

Gj

1Req

=n∑

j=1

1Rj

Divisor de intensidad: Conocida i(t) se puede determinar la intensidad enuno de los elementos, ik(t).

ik(t) = Gk · uk(t) = Gk · i(t)Geq

� ik(t) =Gk∑nj=1 Gj

· i(t)



Asociacion paralelo

Bobinas

... ...

+

_

+

_

1Leq

=n∑

j=1

1Lj

Condensadores

... ...

+

_

+

_

Ceq =n∑

j=1

Cj


Asociacion de generadores ideales

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Asociacion de generadores ideales

Asociacion serie de generadores de tension

+ _ + _ + _

Asociacion paralelo de generadores de intensidad


Balance de potencia

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Balance de potencia

Principio conservacion de la energıa:

wg(t) = wa(t) + wd(t)↓

wd(t) + wa(t) − wg(t) = 0

↓ [d/dt]

pd(t) + pa(t) − pg(t) = 0

�

�

�

�Balance de potencia: El sumatorio de potencias absorbidas (o cedidas)es igual a cero. ∑

k

pk(t) = 0

Alternativamente: ∑i,cedida

pi(t) =∑

j,absorbida

pj(t)


Balance de potencia

Ejercicio 1.4

Calcular la potencia de cada uno de los elementos del circuito y efectuar elbalance de potencia.

+

_

+ _

+

_


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