PRÁCTICA No8
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PRÁCTICA No. 8 DISEÑO DE CONTROLADORES EN EL ESPACIO DE ESTADO POR REALIMENTACIÓN DE VARIABLES DE ESTADO 1. OBJETIVO • Diseñar controladores por realimentación de estados • Diseño de observadores de estado • Emplear el Matlab como ayuda al diseño 2. FUNDAMENTO TEORICO • Conocer la teoría de variables de estado, realimentación y observadores de estado • Conocer los comandos del Matlab relacionados a matrices, matrices de realimentación, etc. 3. TRABAJO EXPERIMENTAL 3.1. Hacer una lista de comandos del Matlab utilizados para realimentación de estados y observadores de estado. Poner un ejemplo para cada comando Los comandos más usados en Matlab para la realimentación de estados son acker y place. Los comandos se ejecutan en la consola de matlab de la siguiente forma: Donde A y B son matrices del sistema de control y J los polos deseados para el sistema.
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PRÁCTICA No. 8
DISEÑO DE CONTROLADORES EN EL ESPACIO DE ESTADO POR
REALIMENTACIÓN DE VARIABLES DE ESTADO
1. OBJETIVO • Diseñar controladores por realimentación de estados • Diseño de observadores de estado • Emplear el Matlab como ayuda al diseño
2. FUNDAMENTO TEORICO • Conocer la teoría de variables de estado, realimentación y observadores de estado • Conocer los comandos del Matlab relacionados a matrices, matrices de realimentación, etc.
3. TRABAJO EXPERIMENTAL
3.1. Hacer una lista de comandos del Matlab utilizados para realimentación de estados y observadores de estado. Poner un ejemplo para cada comando
Los comandos más usados en Matlab para la realimentación de estados son acker y place.
Los comandos se ejecutan en la consola de matlab de la siguiente forma:
Donde A y B son matrices del sistema de control y J los polos deseados para el sistema.
3.2. Dadas las ecuaciones de estado correspondientes a una articulación de un brazo robótico. Grafique la respuesta temporal ante una entrada escalón. Comente sobre la respuesta, y diseñe un control por realimentación de estado tal que el sobrepaso máximo sea menor a 25% y el tiempo de establecimiento menor a 10 seg.
Solucion:Convertimos la matriz A a la forma canonica controlable:
A=[0 0 1 00 0 0 100
766−1040
−53 053 0
] B=[ 0099−99]C=[1 1 1 0 ]
Calculamos la matriz T
Donde T=M*W
Y M=[B AB A2B A3B ]=[ 0 99 −5247 2022570 −99 5247 −1753199
−99−52475247
202257 −6700419−175131 5262741
]W=[14522 1040 53 1
1040 53 1 0531
10
0 00 0
]|sI−A|=s4+53 s3+1040 s2+14522 s
a1=53a2=1040a3=14522a4=0
∴T=MW=[27126 0 99 00 0 −99 000
271260
0 990 −99 ]
Luego:
A'=T−1 AT=[0 1 0 00 0 1 000
0−14522
0 1−1040 −53]
B'=T−1B=[0001]
Luego los parámetros de desempeño deseado son Mp=25% y tss=10
Tenemos ɛ=0.404 y ѡn=0.99 entonces los polos deseados serian
s=−0.4± j 0.9065
Agregaremos un par de polos alejados del origen en s=−10 y s=−15
S=[−0.4+ j 0.9065 0 0 00 −0.4− j 0.9065 0 000
00
−10 00 −15]
Ecuacion característica:
S=s4+25.8 s3+170.98 s2+144.54 s+147.26α 1=25.8α 2=170.98α 3=144.54α 4=147.26
Finalmente hallaos los elementos de K:
K= [α 4−a4α3−a3α 2−a2α 1−a1 ]
K= [147.26−0154.54−14522170.89−104025.8−53 ]
K= [147.26−14377−869−27 ]
Respuesta del sistema sin compensar:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x 104
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
Respuesta del sistema compensado (con A’’=A-B*K):
Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 5 10 150
1
2
3
4
5
6
7
8
9x 10
-3
System: g1Peak amplitude: 0.00842Overshoot (%): 24.9At time (seconds): 3.65
3.3. La ecuación de estado dada
Convertimos la matriz A a la forma canonica controlable:
A=[0 1.7 1 00 0 −0.22 000
00
0 1.50 −48.41] B=[ 0
00
−2400]C=[1 0 0 0 ]
Corresponde a un sistema bola–viga, halle la respuesta escalón al sistema y luego diseñe un compensador por realimentación de estado tal que el sobrepaso máximo sea entre 20% y 25% y tiempo de asentamiento menor a 12 seg.
Solucion:Calculamos la matriz TDonde T=M*W
Y M=[B AB A2B A3B ]=[ 0 0 −3600 157522.40 0 792 −34380.720
−2400−3600104184
156276 −6783941.16−4522627 196327257.2
]W=[ 0 0 4 8 .41 1
0 4 8 .41 1 04 8 .411
10
0 00 0
]|sI−A|=s4+48 .41 s3
a1=48.41a2=0a3=0a4=0
∴T=MW=[1346.4 −3600 0 00 792 0 00
0.029600
−3600 00 −2400]
Luego:
A'=T−1 AT=[0 1 0 00 0 1 00000
0 10 −48 .41]
B'=T−1B=[0001]
Luego los parámetros de desempeño deseado son Mp=25% y tss=12
Tenemos ɛ=0.404 y ѡn=0.826 entonces los polos deseados serian
s=−0.333± j0.7554
Agregaremos un par de polos alejados del origen en s=−10 y s=−15
S=[−0.333+ j 0.7554 0 0 00 −0.333− j0.7554 0 000
00
−10 00 −15]
Ecuacion característica:
S=s4+25.67 s3+167.33 s2+116.94 s+102.23α 1=25.67α 2=167.33α 3=116.94α 4=102.23
Finalmente hallaos los elementos de K:
K= [α 4−a4α3−a3α 2−a2α 1−a1 ]
K= [102.23−0116.94−0167.33−025.67−48.41 ]
K= [102.23116.94 167.33−22.74 ]
Respuesta del sistema sin compensar:
Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
System: g1Peak amplitude: 0.0121Overshoot (%): 25.2At time (seconds): 4.3
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-5
-4
-3
-2
-1
0
1x 10
26 Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
Respuesta del sistema compensado:
3.3. Suponiendo que no son accesibles las variables de estado, diseñar un observador de observador de estado para cada uno de los sistemas propuestos y grafique las variables de estado y las variables estimadas, compare.
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Se realizo la compensación de sistemas de control por el método de realimentación de estados.
Apartir de los parámetros de desempeño deseados se calcularon los polos deseados del sistema añadiendo un par de polos para igualar el grado del sistema.
Luego de hacer todos los cálculos para hallar los elementos de la matriz de realimentación de estados K se aplico la señal de control a las ecuaciones de estado para realizar la compensación del sistema.
5. BIBLIOGRAFIA
Ingenieria de Control Moderna - 4ta Edicion – KatsuhikoOgata Apuntes Curso Control 1- Ing. Victor Cornejo http://ocw.upm.es/ingenieria-de-sistemas-y-automatica/control-en-el-espacio-de-
estado/Contenidos/Material-de-clase/5_control_realimentacion_estado.pdf
