practica_6_2c_2014

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PRCTICA 6

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1

El tiempo que se tarda en realizar una tarea se distribuye normalmente con media 45

minutos y desvo estndar 4 minutos. Para disminuir este tiempo medio se establece

un programa de entrenamiento. Lo realizaron 25 personas seleccionadas al azar.

Completado el entrenamiento, se observ que el tiempo medio muestral para realizar

dicha tarea fue de 43 minutos. Se puede considerar que el tiempo medio que

emplean las personas en hacer la tarea disminuye luego de realizar el programa de

entrenamiento? Use un nivel de significacin del 5%.

Resolucin:

Este problema corresponde a una prueba para la media de una poblacin normal con

varianza conocida. Para la resolucin se presentan tres posibles abordajes. En los tres

se tienen en cuenta siete acciones (ver documento Acerca de la Resolucin de una

Prueba de Hiptesis en la ficha de la ctedra Materiales para la Cursada).

Abordaje 1 1) Nombrar la/s variable/s La variable X del problema es: Tiempo en minutos que una persona emplea en

realizar la tarea habiendo completado el programa de entrenamiento. Esta variable se

observa sobre la poblacin de todas las personas entrenadas, que en esta etapa de la

investigacin es una poblacin hipottica. La muestra de 25 personas elegidas al azar

que completaron el entrenamiento pertenece a dicha poblacin. La media poblacional

de X se designa con .

2) Plantear las hiptesis: Hiptesis nula e Hiptesis alternativa

45:0 H (la hiptesis nula sostiene que el mtodo de entrenamiento no produce

ninguna modificacin en el tiempo medio de realizacin de la tarea, o sea que el

entrenamiento no es eficaz)

75

45:1 H (la hiptesis alternativa sostiene que el entrenamiento provoca una

disminucin en el tiempo medio de realizacin de la tarea, o sea que el entrenamiento

es eficaz)

Bajo el entrenamiento no es eficaz. Luego, bajo la variable X se distribuye como

la variable dada sobre las personas no entrenadas, o sea normalmente con la misma

media = 45 y el mismo desvo estndar = 4.

3) Indicar el nivel de significacin:

= 0,05

4) Especificar el estadstico de prueba y su distribucin bajo H0

Para este problema hay dos posibles estadsticos de prueba, uno es la variable Media

Muestral X y el otro es la versin estandarizada de X . Con el primero se desarrolla

el Abordaje 1 y con el otro el Abordaje 2.

Para el caso que se considere a la variable Media Muestral X como estadstico de

prueba. Su distribucin resulta, por el Teorema Central del Lmite y bajo 0H , normal

con media = 45 y desvo estndar 25/4/ n = 0,8.

5) Realizar clculos: (1) obtener el valor observado del estadstico de prueba, (2)

precisar la zona de rechazo o calcular el valor p.

(1) En este caso el valor observado del estadstico de prueba es obsX = 43

(2) Se opta por precisar la zona de rechazo (en el Abordaje 3 se calcula el valor p).

Esta zona se construye bajo la consideracin de que la hiptesis nula es verdadera, es

decir que, efectivamente 45 . Para la construccin de la zona de rechazo son

necesarios tres elementos: la hiptesis alternativa, el nivel de significacin y la

distribucin del estadstico de prueba.

Como la hiptesis alternativa es 45 , la prueba es unilateral a izquierda, cuanto

menor sea el tiempo promedio obtenido en la muestra menos se creer en 0H . Luego

la regin crtica est en el lado de los valores menores del estadstico de prueba de

manera que le corresponde probabilidad 0,05 (el nivel de significacin).

Para obtener el punto crtico es necesario considerar la distribucin del estadstico de

prueba, bajo 0H . En este caso X es normal con media 45 y desvo estndar 0,8. El

valor, o punto, crtico Cx se obtiene, como en prctica 4, con la funcin del Excel

nombrada DIST.NORM.INV proporcionndole 45 como media, 0,8 como desvo y 0,05

como probabilidad. El valor obtenido es Cx = 43,684. Luego, la Zona de Rechazo o

Regin crtica, son los valores del estadstico de prueba X menores que 43,684

X

Zona de rechazo Cx = 43,684 45

76

6) Establecer la Regla de Decisin y formular la Decisin en base a la

informacin muestral (segn la pertenencia del valor observado del estadstico de

prueba a la zona de rechazo o bien de la comparacin del valor p con el nivel de

significacin).

Regla de Decisin: se rechaza 0H si el valor observado del estadstico de prueba

pertenece a la zona de rechazo, o sea si es menor que 43,684, y no se rechaza 0H

en caso contrario.

Decisin: El valor observado del estadstico de prueba obsX = 43 pertenece a la zona

de rechazo porque obsX = 43 < 43,684, luego se rechaza 0H .

7) Expresar la Conclusin en trminos del problema

Conclusin: Se rechaza 0H . S, efectivamente, con un nivel del 5% puede

considerarse que el tiempo medio que las personas emplean en hacer la tarea

disminuye si stas realizan el programa de entrenamiento. La media de la muestra de

las personas entrenadas es significativamente menor que 45 al nivel del 5%. La

conclusin puede ampliarse acotando que el tiempo medio 43 obtenido en la muestra

no puede ser atribuido a fuentes fortuitas de variacin, sino que es atribuible al

entrenamiento. Por esta razn, y con un nivel de significacin del 5%, puede afirmarse

que el entrenamiento ha resultado ser una fuente sistemtica de variacin para el

tiempo necesario que las personas emplean para realizar la tarea.

Abordaje 2

Se trabaja con la versin estandarizada de X como estadstico de prueba:

n

XZ

0 , el cual tiene, bajo 0H , distribucin normal estndar. Las respuestas

para las acciones 1 a 3 y la conclusin (accin 7) son idnticas a las del Abordaje 1.

Se presentan a continuacin las acciones 4), 5) y 6).


El estadstico de prueba es 254

45X

Z el cual tiene, bajo 0H , distribucin normal

estndar.



(1) En este caso el valor observado del estadstico de prueba es:

77

-2,5

(2) Se opta por precisar la zona de rechazo (en el Abordaje 3 se calcula el valor p).

Se reitera el camino planteado en el Abordaje 1. Son necesarios tres elementos para

construir la zona de rechazo: la hiptesis alternativa, el nivel de significacin y la

distribucin del estadstico de prueba. Es una prueba unilateral a izquierda, luego la

regin crtica est en el lado de los valores menores del estadstico de prueba de

manera que le corresponde probabilidad 0,05 (el nivel de significacin). En este caso

la distribucin del estadstico de prueba es normal estndar. Por tanto, con Excel

resulta -1,645 = DISTR.NORM.INV(0,05;0;1), o sea ZC = -1,645. Statistix tambin

permite encontrar el valor crtico mediante la funcin inversa de la Funcin de

Distribucin en: Statistics Probability Functions Z Inverse (p) donde p es la

probabilidad a izquierda. En este caso 0,05. As se obtiene el punto crtico ZC = -1,645.

Luego la Zona de Rechazo son los valores Z menores que -1,645.

Zona de rechazo ZC = -1,645 0 Z




significacin).


pertenece a la zona de rechazo, o sea si es menor que -1,645, y no se rechaza 0H en

caso contrario.

Decisin: El valor observado del estadstico de prueba obsZ = -2,5 pertenece a la zona

de rechazo porque obsZ = -2,5< -1,645, luego se rechaza 0H .

Abordaje 3

Se utiliza el clculo del valor p en lugar de construir la zona de rechazo. Para las acciones 1 a 5-1) y 7, las respuestas son idnticas a las de los otros dos abordajes.

A continuacin se presentan las acciones 5-2) y 6) 5 - 2) calcular el valor p.

La prueba de hiptesis de este problema es una prueba unilateral a izquierda. Luego el valor p es la probabilidad de los valores del estadstico de prueba menores que el valor observado en la muestra (ver documento Acerca del valor p en la ficha de la ctedra para la Cursada).

78

O sea, si se us el estadstico de prueba X , el valor p = P( X

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80:1 H (la hiptesis alternativa sostiene que el puntaje medio en desfavorabilidad

hacia la justicia en Argentina de todos los estudiantes de Derecho es distinto de 80)

Bajo la variable X se distribuye normalmente con media =80 y desvo estndar

desconocido. El desvo estndar poblacional se estima con el desvo muestral s.


= 0,05


Para las hiptesis planteadas y dado que no se conoce el desvo poblacional, el

estadstico de prueba es: , el cual bajo , tiene distribucin t de Student con n-1 grados de libertad.

Para los datos de este problema el estadstico de prueba es

, el cual bajo , tiene distribucin t de Student con 19 grados de libertad.

El cociente es el Error Tpico estimado (Error Standard, SE), es una estimacin

del desvo estndar de la variable Media Muestral .



(1) Para obtener el valor observado de t para los valores muestrales es necesario

calcular y s. Los datos de este problema estn cargados en el archivo Prctica 6

Ejercicio Resuelto 2.sx disponible en la Web. Desde el Men Statistics Summary

Statistics Descriptive Statistics pueden obtenerse la media, el desvo estndar y el

error tpico estimado tambin.

Descriptive Statistics

Variable Mean SD SE Mean

Desfav 83.650 6.7767 1.5153

Luego el valor observado del estadstico de prueba es

= 2,41

(2) Precisar la zona de rechazo

Para construir la zona de rechazo son necesarios tres elementos: la hiptesis

alternativa, el nivel de significacin y la distribucin del estadstico de prueba. Dado

80

que la prueba es bilateral, la regin crtica est partida en dos, de tal forma que a cada

subconjunto de valores del estadstico de prueba le corresponde una probabilidad

igual a la mitad del nivel de significacin, o sea en este caso 0,025. Por tanto hay dos

puntos crticos, uno para delimitar la zona de los valores menores y otro para delimitar

la zona de los valores mayores.

* Statistix permite encontrar los valores crticos mediante la funcin inversa de la

Funcin de Distribucin en: Statistics Probability Functions T Inverse (p, df)

donde p es la probabilidad a izquierda y df son los grados de libertad de la distribucin

t de Student.

Para encontrar el punto crtico que delimita los valores menores hay que indicar p =

0.025 y df=19, as se obtiene tc1=t 0.025;19 = -2.09

Para delimitar los valores mayores hay que indicar p = 0.975 y df=19, as resulta tc2 =

t 0.975;19 = 2.09

* Excel tambin proporciona los puntos crticos. Mediante la funcin

INV.T.2C(probabilidad; grados de libertad) devuelve la abscisa positiva para dos colas

de una distribucin t de Student. En este caso INV.T.2C(0,05;19)=2,09

Luego la Zona de Rechazo est partida en dos, son los valores de t:

menores que -2,09 o mayores que 2,09.




significacin).


pertenece a la zona de rechazo, o sea si es menor que -2,09 o mayor que 2,09, y no

se rechaza 0H .en caso contrario.

Decisin: El valor observado del estadstico de prueba obst = 2,41 pertenece a la zona

de rechazo porque obst = 2,41 > 2,09, luego se rechaza 0H .


Conclusin: Se rechaza 0H . Luego, al 5%, los datos no son consistentes con la

hiptesis de que el puntaje medio en desfavorabilidad hacia la justicia en la Argentina

de los estudiantes de Derecho es igual a 80. Segn la evidencia muestral, que condujo

a rechazar la hiptesis nula, puede afirmarse que el puntaje medio obtenido en la

muestra, no solo es significativamente diferente de 80, sino que result

significativamente mayor que 80.

Nota: Dado un nivel de significacin , cuando se rechaza 0H en una prueba bilateral tambin

se rechaza 0H , con el mismo nivel , en la prueba unilateral del lado correspondiente al signo

del valor observado del estadstico de prueba.

81

Abordaje II

Usando el Statistix. Desde el archivo con los datos ir a StatisticsOne, Two, Multi-

Sample Tests One-Sample T Test

Hay que especificar la variable de inters (Desfav), el valor que se sostiene para la

media en la hiptesis nula (80), y el tipo de hiptesis alternativa (distinto o sea not

equal).

La salida correspondiente es

One-Sample T Test

Null Hypothesis: mu = 80

Alternative Hyp: mu 80

95% Conf Interval

Variable Mean SE Lower Upper T DF P

Desfav 83.650 1.5153 80.478 86.822 2.41 19 0.0263

Cases Included 20 Missing Cases 0

Para la resolucin basta repetir las acciones 1 a 4 del Abordaje I, aunque sin hacer clculos porque en la salida computacional se presenta el valor del SE (1,5153), necesario para dar la expresin del estadstico de prueba. Se detallan a continuacin las acciones 5 y 6.



En realidad sin realizar clculos puede afirmarse que

(1) el valor observado del estadstico de prueba es 2,41, o sea obst = 2,41

(2) el valor p = 0,0263.




significacin).

Regla de Decisin: se rechaza 0H si el valor p < 0,05 y no se rechaza 0H en caso

contrario.

Decisin: Como el valor p = 0,0263 < 0,05 se rechaza 0H

La Conclusin coincide con lo expresado en la accin 7) del Abordaje I. Nota: En la salida tambin figuran la media de la muestra ( 83,65) y los grados de libertad (degrees of freedom, df = 19). El anlisis basado en el intervalo de confianza no se desarrollar en este curso. Solo ntese que el valor propuesto para la media, =80, no pertenece al

intervalo [80,478; 86,822] y que segn el valor p se rechaz 0H .

82

EJERCICIO 3 Un equipo de estudiosos sostiene que el entrenamiento basado en la resolucin

creativa de problemas favorece el rendimiento. Se asignaron al azar nueve

adolescentes a cada uno de dos grupos. Un grupo fue entrenado en la resolucin

creativa de problemas y el otro no. Luego se les dio una serie de problemas para

resolver. El nmero de problemas para los cuales cada adolescente present una

solucin posible fue:

Grupo entrenado: 12 16 19 8 10 13 9 15 14

Grupo no entrenado: 15 5 11 8 9 5 6 11 10

Suponga que la "cantidad de problemas resueltos por un adolescente" se distribuye normalmente con igual varianza para ambos casos. Formule las hiptesis

convenientes. Contrstelas al nivel de significacin = 0,05. Al 1% cul sera la decisin? Resolucin: 1) Nombrar la/s variable/s Las variables del problema son X1: Cantidad de problemas resueltos por un adolescente entrenado. X2: Cantidad de problemas resueltos por un adolescente no entrenado. La variable X1 alude a la poblacin hipottica de todos los adolescentes entrenados. La variable X2 alude a la poblacin real de adolescentes. Las dos poblaciones de observaciones involucradas son hipotticas. La media de X1 es 1 y la media de X2 es 2 Segn el enunciado las variables X1 y X2 se distribuyen normalmente con igual varianza. 2) Plantear las hiptesis: Hiptesis nula e Hiptesis alternativa

: 1 = 2 o sea : 1 - 2 = 0 (la hiptesis nula afirma que la cantidad media problemas resueltos por los adolescentes entrenados es igual a la de los adolescentes no entrenados, o sea sostiene que el entrenamiento no es eficaz)

: 1 > 2 o sea : 1 - 2 > 0 (la hiptesis alternativa conveniente es que la

cantidad media problemas resueltos por los adolescentes entrenados es mayor que la de los adolescentes no entrenados, o sea sostiene que el entrenamiento es eficaz)


= 0,05


El estadstico de prueba para las hiptesis y las condiciones dadas (igual varianza de las dos poblaciones independientes normalmente distribuidas) es:

83

21

21

11

nnS

XXt

C

el cual bajo H0 tiene distribucin t de Student con n1+n2-2 grados de libertad. Sc, es la raz de la varianza combinada que se calcula a partir de la varianza y el tamao muestral de cada uno de los dos grupos. La varianza combinada Sc es un estimador de la varianza poblacional que se supone igual para las dos variables. O sea para los datos de este problema:

9

1

9

1

21

CS

XXt , bajo H0, se distribuye t de Student con n1+n2-2= 9+9-2=16 grados de

libertad En este ejercicio se presenta la resolucin de la prueba de hiptesis de comparacin de medias usando Statistix, o sea, no se construye la zona de rechazo. En el ejercicio resuelto 4 c) s se construye. Los datos del presente ejercicio estn cargados en el archivo Prctica 6 Ejercicio Resuelto 3.sx disponible en la Web. Figuran cargados en forma de tabla.

Entrenados noEntrenados

12 15

16 5

19 11

8 8

10 9

13 5

9 6

15 11

14 10

Desde el archivo con los datos ir a StatisticsOne, Two, Multi-Sample TestsTwo-

Sample T Test. Sealar que los datos estn cargados en forma de tabla (en Model

Especification, clickear en Table), en el recuadro que pide las variables colocar las dos

del caso (las que corresponden a los registros de los Entrenados y de los no

Entrenados), dejar 0 para la hiptesis nula (1 - 2 = 0) y para la hiptesis alternativa

clickear en mayor que (Greater Than). Clickear OK y se obtiene:

Statistix 8.0

Cantidad de problemas resueltos por adolescentes entrenados y no entrenados

Two-Sample T Tests for Entrenad vs nEntrenad

Variable Mean N SD SE

Entrenad 12.889 9 3.5512 1.1837

nEntrenad 8.8889 9 3.2956 1.0985

Difference 4.0000

84

Null Hypothesis: difference = 0

Alternative Hyp: difference > 0

95% CI for Difference

Assumption T DF P Lower Upper

Equal Variances 2.48 16 0.0124 0.5765 7.4235

Unequal Variances 2.48 15.9 0.0124 0.5749 7.4251

Test for Equality F DF P

of Variances 1.16 8,8 0.4189


En la salida se visualiza informacin estadstica de los dos grupos: media, tamao de muestra, desvo estndar y error tpico. La diferencia de medias muestrales da 4 a favor del grupo de los adolescentes entrenados. Se ver si esta diferencia puede considerarse significativamente mayor que 0, y por tanto atribuible al entrenamiento o si debe ser atribuida al azar. En primer lugar hay que chequear la igualdad de varianzas de las variables X1 y X2. Efectivamente en el Test de Igualdad de Varianzas el valor p = 0,4189 > 0,05. Luego, la evidencia muestral no conduce a rechazar la igualdad de varianzas. En la lnea de varianza iguales figuran el valor observado del estadstico de prueba tobs = 2,48, los grados de libertad de la distribucin t de Student (n1+n2-2=16) y el valor p = 0,0124, con lo cual se cumplimenta la accin 5). 6) Establecer la Regla de Decisin y formular la Decisin en base a la



significacin).

Regla de Decisin: se rechaza 0H si valor p < 0,05 y no se rechaza 0H en caso

contrario.

Decisin: Como el valor p = 0,0124 < 0,05 se rechaza 0H .


Conclusin: Se rechaza H0. Con un nivel del 5%, se concluye que la cantidad media

de problemas resueltos por los adolescentes entrenados es significativamente mayor

que la de los adolescentes no entrenados. Es decir al 5%, la diferencia de medias de

la cantidad de problemas resueltos por los dos grupos (la diferencia 4) es atribuible al

entrenamiento como fuente sistemtica de variacin.

* Con el nivel de significacin del 1%, cambia la decisin del problema. Pues como el

valor p = 0,0124 > 0,01 no se rechaza 0H .

En este caso se arriba a la siguiente conclusin:

Conclusin: No se rechaza H0. Con un nivel del 1%, se concluye que la cantidad

media de problemas resueltos de los entrenados no es significativamente mayor que la

85

de los no entrenados, esto es que el entrenamiento no es eficaz. Al 1%, la diferencia

de medias de la cantidad de problemas resueltos (la diferencia 4) no puede ser

atribuida al entrenamiento y solo es atribuible a fuentes fortuitas de variacin.

EJERCICIO 4 Dos grupos, uno de n1 nios y otro de n2 nios, de escuela primaria, aprendieron a leer

por dos mtodos diferentes. Una vez terminada la instruccin los nios rindieron una

prueba de lectura. Considere las variables:

X1: puntaje en la prueba de lectura de un nio que aprendi a leer con el mtodo 1.

X2: puntaje en la prueba de lectura de un nio que aprendi a leer con el mtodo 2.

Con los puntajes de estas pruebas se calcul el valor del estadstico:

21

21

11

nnS

xxt

C

donde

1x es la media de los puntajes para el grupo de n1 nios.

2x es la media de los puntajes para el grupo de n2 nios.

1S es el desvo estndar para el grupo de n1 nios.

2S es el desvo estndar para el grupo de n2 nios.

2

.1.1

21

2

22

2

112

nn

SnSnSC es la varianza combinada

Se ponen a prueba las siguientes hiptesis

0 : :

0 : :

211211

210210

HoH

HoH

y para un nivel de significacin se concluye que el valor observado de t es tal que

t/2; n1+n2-2< tobservado < t1-/2; n1+n2-2

a) Interprete las hiptesis y exprese la conclusin del problema en trminos de la

situacin planteada.

b) Realice la prueba de hiptesis usando Statistix, sabiendo que los valores

observados son los siguientes y que el nivel de significacin del 5%:

86

X1: 18 19 16 18 14 19 15 20 20 19 19 17 19 21 22

X2: 18 19 17 19 16 18 17 17 21 19 20 17 20 19 21 23 24 20 21 19

c) Realice la prueba al 5% calculando el valor del estadstico t a partir de la

informacin proporcionada.

Resolucin:

a) La hiptesis nula afirma que: el puntaje medio de todos los nios que aprenden

con un mtodo es igual al puntaje medio de todos los nios que aprenden con el otro

mtodo. Esto puede interpretarse como que ambos mtodos son igualmente efectivos.

La hiptesis alternativa sostiene que: el puntaje medio de todos los nios que

aprenden con un mtodo no es igual al puntaje medio de todos los nios que aprenden

con el otro mtodo. O sea ambos mtodos no son igualmente efectivos.

El valor observado de t no pertenece a la Zona de Rechazo, luego la decisin ha de

ser no rechazar la hiptesis nula.

Conclusin: El no rechazo de la hiptesis nula con un nivel de significacin debe

interpretarse como que la informacin muestral no proporcion suficiente evidencia

que nos permita afirmar que los mtodos son diferentes en cuanto a su efectividad.

b) Las muestras de nios pueden considerarse pertenecientes a dos poblaciones

hipotticas: la de todos los nios entrenados con un mtodo y, la de todos los nios

entrenados por el otro mtodo.

Nombrar las variables (accin 1) y plantear las hiptesis (accin 2) fueron presentadas

en el enunciado y expresadas de manera coloquial en el inciso a)

El nivel de significacin es =0,05 (accin 3).


El estadstico de prueba presentado en el enunciado corresponde a la prueba de

comparacin de medias de dos poblaciones independientes normalmente distribuidas

con varianzas desconocidas pero iguales

Es decir:

21

21

11

nnS

XXt

C

el cual bajo H0 tiene distribucin t de Student con n1+n2-2

grados de libertad.

Para los datos de este problema

20

1

15

1

21

CS

XXt , bajo H0, tiene distribucin t de Student con n1+n2-2=15+20-2=33

grados de libertad.

87

El problema se resuelve en Statistix. Los datos estn cargados en el archivo Prctica

6 Ejercicio Resuelto 4.sx disponible en la Web. All los datos figuran cargados en

forma de tabla.

Desde el archivo con los datos ir a StatisticsOne, Two, Multi-Sample TestsTwo-

Sample T Test. Sealar que los datos estn cargados en forma de tabla (en Model

Especification, clickear en Table), en el recuadro que pide las variables colocar las dos

del caso (X1 y X2), dejar 0 para la hiptesis nula (1 - 2 = 0) y para la hiptesis

alternativa clickear en diferente (Not Equal). Clickear OK y se obtiene:

Two-Sample T Tests for X1 vs X2

Variable Mean N SD SE

X1 18.400 15 2.1647 0.5589

X2 19.250 20 2.0743 0.4638

Difference -0.8500


Alternative Hyp: difference 0



Equal Variances -1.18 33 0.2473 -2.3184 0.6184

Unequal Variances -1.17 29.6 0.2512 -2.3342 0.6342


of Variances 1.09 14,19 0.4230


El valor p = 0,4230 de la prueba de igualdad de varianzas indica que stas no pueden

considerarse diferentes.

En la lnea de varianza iguales figuran el valor observado del estadstico de prueba

tobs = -1,18, los grados de libertad de la distribucin t de Student (n1+n2-2=33) y el valor

p = 0,2473, con lo cual se cumplimenta la accin 5)

Nota: en la salida computacional figuran 5 casos perdidos (Missing Cases) que en este caso no son tales. El origen de los mismos es que los 35 datos (15 para el mtodo 1 y 20 para el mtodo 2) estn cargados en forma de tabla por eso parece que en la primera columna, donde estn los 15 datos de los que aprendieron con el mtodo 1, faltan cinco casos.




significacin).


contrario.

Decisin: Como el valor p = 0,24734 > 0,05 no se rechaza 0H .


88

Conclusin: No se rechaza H0. La informacin muestral no proporcion suficiente

evidencia que permita afirmar que los mtodos son diferentes en cuanto a su

efectividad. La diferencia de medias de los puntajes en la prueba de lectura para los

que aprendieron con los distintos mtodos (-0,85) no puede ser atribuida al mtodo y

solo es atribuible a fuentes fortuitas de variacin.

c) Se puede realizar la prueba al 5% haciendo clculos de la siguiente forma:

Las acciones 1 a 4 son las mismas del inciso b). A continuacin se muestran las acciones 5 y 6. Es necesario conocer tamao de muestra, media y varianza de los puntajes en la prueba de lectura de los nios que aprendieron con los distintos mtodos.

Descriptive Statistics

Variable N Mean Variance

X1 15 18.400 4.6857

X2 20 19.250 4.3026

El estadstico de prueba es

el cual bajo H0 tiene distribucin t de

Student con n1+n2-2=15+20-2=33 grados de libertad.

El valor observado del estadstico de prueba para los datos muestrales es

La zona de rechazo o regin crtica se construye considerando que la hiptesis

alternativa es 12 o sea la prueba es bilateral. Cuanto ms alejado de cero sea el

valor del estadstico de prueba menos se creer en H0. Luego la regin crtica se

compone de dos partes: la de los valores menores que t/2; n1+n2-2 y la de los valores

mayores que t1-/2; n1+n2-2.

En Statistix, desde el Men Statistics Probability Functions T Inverse (p, df) con

p = 0.025 y df =33 y p = 0.975 y df = 33, se obtiene que t 0.025; 33 = - 2,03 y t0.975; 33 = 2,03

t0.025; 33 = - 2,03 0 2,03 = t0.975; 33

La zona de rechazo son los valores de t menores que -2,03 o mayores que 2,03.

El valor observado del estadstico de prueba no pertenece a la zona de rechazo, luego

se decide no rechazar H0.

89

La Conclusin coincide con lo expresado en la accin 7 del inciso b) del presente ejercicio.

EJERCICIO 5

La empresa A aplic una tcnica para hacer uso del sentido del humor como

reforzador motivacional. Pasados seis meses, decide evaluar los resultados obtenidos.

Se propone mantener el uso de la tcnica si ms del 75% de los empleados considera

que ha sido beneficiosa para motivarlos en su tarea. Para tomar la decisin,

seleccion al azar una muestra de 80 empleados y les administr una encuesta que,

entre otras cosas, preguntaba: considera que esta tcnica lo motiva

significativamente para realizar su labor diaria? Sesenta y ocho empleados

respondieron afirmativamente. A la luz de este resultado aconsejara usted a la

empresa que contine con la aplicacin de la tcnica? Utilice una prueba con un nivel

de significacin 0,10 para responder al interrogante.

Resolucin 1) Nombrar la/s variable/s La variable X, Respuesta a la pregunta considera que esta tcnica lo motiva

significativamente para realizar su labor diaria? dada por un empleado de la empresa

A, responde al modelo Bernoulli. X vale 1 si el empleado considera que la tcnica fue

beneficiosa para motivarlo en su tarea (xito) y vale 0 si no la considera beneficiosa

(fracaso). es la probabilidad de xito, es decir la proporcin de xitos en la poblacin

o, lo que es lo mismo, la media poblacional.


75,0:0 H (la hiptesis nula sostiene que la tcnica no es eficaz)

75,0:1 H (la hiptesis alternativa sostiene que la tcnica es eficaz)

Luego, bajo la variable X se distribuye como la variable Bernoulli con parmetro

0,75.


= 0,10


Estadstico de prueba

n

pZ

)1( 00

0

, bajo H0 se distribuye aproximadamente como

una normal estndar. Donde p designa a la media muestral o, lo que es lo mismo, la

proporcin de xitos en la muestra.

Para este problema el estadstico de prueba es

, bajo H0

se distribuye aproximadamente como una normal estndar. Pues se verifica que n=80

es grande y que n.0=80.0,75 =60>5 y n.(1-0) =80.0,25 =20>5.

90

El valor observado del estadstico de prueba y el valor p pueden leerse directamente

de la salida del Statistix. Directamente desde el Men StatisticsOne, Two, Multi-

Sample TestsProportion Test. All especificar que se cuenta con una muestra de

tamao 80 en la cual hubo 68 xitos, que en la hiptesis nula se sostiene la proporcin

de xitos 0,75 y que la hiptesis alternativa es de mayor. La salida es:

Statistix 8.0

One-Sample Proportion Test

Sample Size 80

Successes 68

Proportion 0.85000

Null Hypothesis: P = 0.75

Alternative Hyp: P > 0.75

Difference 0.10000

Standard Error 0.03992

Z (uncorrected) 2.07 P 0.0194

Z (corrected) 1.94 P 0.0264

95% Confidence Interval

Uncorrected (0.77175, 0.92825)

Corrected (0.76550, 0.93450)

En la salida se lee que la proporcin muestral es 0,85, el valor observado del

estadstico de prueba est en la lnea de Z (uncorrected) es Zobs = 2,07 y el valor p =

0,0194




significacin).


contrario.

Decisin: Como el valor p = 0,0194 < 0,10 se rechaza 0H


Conclusin:

Se rechaza 0H . Con un nivel de significacin del 10% puede considerarse que la

tcnica implementada es eficaz y por tanto se aconsejara a la empresa continuar con

la aplicacin de dicha tcnica.

EJERCICIO 6

La empresa B llev a cabo una experiencia similar a la de la empresa A del ejercicio

anterior. Pasados seis meses administr la misma encuesta a una muestra de 150

empleados elegidos al azar, 120 de los cuales respondieron afirmativamente. Puede

considerarse que los resultados de la tcnica fueron similares en las dos empresas?

Utilice una prueba con un nivel de significacin 0,10 para responder al interrogante.

91

Resolucin 1) Nombrar la/s variable/s La variable X1, Respuesta a la pregunta considera que esta tcnica lo motiva

significativamente para realizar su labor diaria? dada por un empleado de la empresa

A, responde al modelo Bernoulli. X1 vale 1 si el empleado considera que la tcnica fue

beneficiosa para motivarlo en su tarea (xito) y vale 0 si no la considera beneficiosa

(fracaso). 1 es la probabilidad de xito, es decir la proporcin de xitos en la empresa

A o, lo que es lo mismo, la media poblacional para la empresa A.

La variable X2 es la anloga de X1 pero en la empresa B. O sea:

La variable X2 se observa en los empleados de la empresa B y responde al modelo

Bernoulli. X2 vale 1 si el empleado considera que la tcnica fue beneficiosa para

motivarlo en su tarea (xito) y vale 0 si no la considera beneficiosa (fracaso). 2 es la

probabilidad de xito, es decir la proporcin de xitos en la empresa B o, lo que es lo

mismo, la media poblacional para la empresa B.


210 : H (la hiptesis nula sostiene que los resultados de la tcnica son los

mismos en las dos empresas)

211 : H ( (la hiptesis alternativa sostiene que los resultados de la tcnica no son

los mismos en las dos empresas)

Luego, bajo las variables X1 y X2 se distribuyen como una variable Bernoulli con

igual proporcin de xitos.


= 0,10


El estadstico de prueba

)11

(*)1(*21

21

nnpp

ppZ

cc

, bajo H0 se distribuye

aproximadamente como una normal estndar pues las muestras, con n1=80 y n2=150,

son grandes.

Donde 21

2211 **

nn

pnpnpc

, con n1 y n2 los tamaos muestrales y p1 y p2 las

respectivas proporciones muestrales para X1 y X2.

El valor observado del estadstico de prueba y el valor p pueden leerse directamente

de la salida del Statistix. Directamente desde el Men StatisticsOne, Two, Multi-

Sample TestsProportion Test. All especificar que se cuenta con dos muestras, una

de tamao 80 en la cual hubo 68 xitos y la otra de tamao 150 en la que hubo 120

xitos, y que la hiptesis alternativa es de diferente. La salida es:

92

Statistix 8.0

Two-Sample Proportion Test

Sample 1 Sample 2

Sample Size 80 150

Successes 68 120

Proportion 0.85000 0.80000

Null Hypothesis: P1 = P2

Alternative Hyp: P1 P2

Difference 0.05000

SE (diff) 0.05349

Z (uncorrected) 0.93 P 0.3499

Z (corrected) 0.76 P 0.4499

Fisher's Exact 0.3768

95% Confidence Interval of Difference

Lower Limit -0.05483

Upper Limit 0.15483

En la salida se lee que la proporcin muestral es 0,85 en la empresa A y 0,80 en la

empresa B, el valor observado del estadstico de prueba (est en la lnea de Z

(uncorrected) es Zobs = 0,93 y el valor p = 0,3499




significacin).


contrario.

Decisin: Como el valor p = 0,3499 > 0,10 no se rechaza 0H


Conclusin:

No se rechaza 0H . Segn la evidencia muestral los resultados de la tcnica en las

dos empresas pueden considerarse similares. La diferencia observada en los

resultados de las dos empresas es atribuible a fuentes fortuitas de variacin.

EJERCICIOS PROPUESTOS

(Las respuestas se pueden encontrar en la pgina Web de la Ctedra)

EJERCICIO 1

En una muestra de 25 adultos de la ciudad de Buenos Aires se obtuvo, este ao, una

media de 42 en una prueba de memoria espacial. Estudios anteriores afirman que

esas puntuaciones, a nivel poblacional, estaban normalmente distribuidas con media

40 y desvo tpico 2. Es la media de la muestra de este ao significativamente

93

diferente de 40 al nivel del 1%. Suponga que el desvo poblacional actual se mantuvo

igual al histrico.

EJERCICIO 2

Las experiencias relatadas en el ejercicio 9 de la prctica 3 formaron parte de una

investigacin interesada en un tiempo de reaccin medio poblacional de 30 ds. Es la

media del grupo 2 de observaciones significativamente diferente de 30 al nivel del 3%?

Considera que el grupo 2 fue correctamente incluido en la investigacin mencionada?

EJERCICIO 3

Supongamos que todos los aos a los alumnos que ingresan a la Facultad de

Ingeniera se les administra una prueba normalizada de aptitud matemtica. Este ao

238 aspirantes resolvieron la prueba y obtuvieron un puntaje medio de 475. Se perdi

la informacin sobre el desvo estndar correspondiente.

a) Es este resultado consistente con las normas que indican para la prueba un

puntaje medio de 500 y una desviacin estndar de 100?

b) Enuncie las suposiciones que tuvo que hacer para responder la pregunta a).

c) Muestran los resultados de este ao una disminucin significativa de la aptitud con respecto a la norma?

EJERCICIO 4

Sobre la base de incrementar la capacidad creativa, se llev a cabo un programa de

entrenamiento a 30 individuos. Para la evaluacin se utiliz un Test que mide el

pensamiento creativo (Test de Pensamiento Creativo de Torrance). Luego del

entrenamiento se evalu a los individuos entrenados, obtenindose las siguientes

observaciones:

93 86 89 87 69 80 101 91 98 82 73 107 94 85 94 70 105

65 83 129 87 88 56 82 95 108 103 82 81 79

Si los datos histricos informan que los puntajes para esta evaluacin de la capacidad

creativa, se distribuyen normalmente con una media de 82, puede considerarse

efectivo el entrenamiento? Use un nivel de significacin 0,05.

(Este problema est basado en el artculo de Mettifogo, Medina, y Stephan,1997)

Procesados los datos con Statistix 8.0 result

One-Sample T Test


Alternative Hyp: mu > 82

95% Conf Interval


Puntaje 88.067 2.6665 82.613 93.520 2.28 29 0.0152


94

EJERCICIO 5

La duracin media de una prueba de estmulos visuales es de 17 segundos. Despus

de un entrenamiento especial para reducir el tiempo necesario para realizar la prueba,

un grupo de 12 personas proporcionan los siguientes datos en segundos:

17 16.7 16.8 17.1 16.5 17.1 16.8 17 16.7 16.9 17 16.8

Con un nivel de significacin del 1%, afirmara usted que el entrenamiento es eficaz?

EJERCICIO 6

Los encargados de tutora de los alumnos de quinto ao afirman que la participacin

de los alumnos en actividades de convivencia mejoran los resultados en

Descalificacin Personal.

Segn estudios anteriores las puntuaciones en el estilo de humor Descalificacin

Personal se distribuyen normalmente con media 26. Este ao se seleccion una

muestra de alumnos de quinto ao para que participen en actividades de convivencia y

luego se registraron sus puntuaciones en Descalificacin Personal.

A continuacin se presenta la salida de la prueba de hiptesis realizada con Statistix.

One-Sample T Test


Alternative Hyp: mu < 26

95% Conf Interval


DP 22.500 1.3271 19.498 25.502 -2.64 9 0.0135


a) Enuncie coloquialmente las hiptesis planteadas. Est de acuerdo con ese

planteo? Justifique

b) Indique qu tipo de prueba es la exhibida y por qu se utiliz en este caso.

c) Es consistente el resultado obtenido con lo afirmado por los tutores con un nivel

de significacin del 2%? Por qu?

d) Indique un nivel de significacin para el cual no habra evidencia suficiente para

aceptar la propuesta de los tutores.

EJERCICIO 7

Un equipo de asesores de un candidato poltico sostiene que menos del 30% de los

electores tendr una imagen negativa del mismo despus de realizar ciertos cambios

en la campaa electoral. Estudios realizados en una muestra de 500 electores luego

de implementar los cambios, encuentra 130 que manifiestan tener una imagen

negativa del candidato. Con un nivel de significacin del 1%, la informacin muestral

permite sostener la hiptesis del equipo de asesores?

EJERCICIO 8

La droga que se utiliza habitualmente para curar cierta enfermedad es efectiva en el

80% de los casos. Un mdico quiere poner a prueba otra droga, la administra a 120

enfermos y obtiene que se curan 108. Desea saber si la nueva droga es ms efectiva

95

que la tradicional. Realice la prueba de hiptesis conveniente con un nivel de

significacin del 5% para concluir al respecto.

EJERCICIO 9 En el ejercicio 9 de la prctica 3 usted tuvo que responder a dos interrogantes sobre

los tiempos de reaccin de dos grupos de personas. Ahora, con una prueba de

hiptesis adecuada, evale si al 5% puede sostener la significancia de las respuestas

dadas en esa oportunidad. Para ello, tenga en cuenta que los tiempos, en dcimas de

segundo, del grupo 1 fueron: 33 26 30 32 28 29 27 31 23 27 35.

EJERCICIO 10

En el ejercicio resuelto 3 de la prctica 1 se presentan datos registrados por los

investigadores de un Laboratorio del Humor. Mediante una prueba de hiptesis

adecuada decida, a partir de dichos datos, si existe efecto de la Autoestima en el Estilo

del Humor de Mejoramiento Personal de jvenes universitarios de la Universidad de

Crdoba. Se supone que el puntaje en el Estilo de Humor Mejoramiento Personal se

distribuye normalmente y que la variabilidad es la misma en las dos poblaciones

hipotticas de las que las muestras de observaciones provienen. Usar un nivel de

significacin del 5%.

EJERCICIO 11

Se han tomado dos muestras aleatorias de jvenes de entre 16 y 25 aos de la ciudad de Salta; una, de mujeres y, la otra, de varones. A cada uno de los jvenes de ambas muestras se le administr la Escala sobre el Sentido del Humor. Se presenta, a continuacin, la informacin que arroja el programa Statistix al realizar una prueba de hiptesis a partir de los puntajes del factor Afiliativo de los jvenes de las dos muestras.

Two-Sample T Tests for Afiliativ by Muestra

Muestra Mean N SD SE

Mujeres 39.000 30 4.6088 0.8415

Varones 35.080 25 4.1725 0.8345

Difference 3.9200


Alternative Hyp: difference 0



Equal Variances 3.28 53 0.0019 1.5211 6.3189

Unequal Variances 3.31 52.6 0.0017 1.5426 6.2974


of Variances 1.22 29,24 0.3119


a) Cul es el tamao de las muestras consideradas?

b) Desarrolle en trminos psicolgicos las hiptesis que se estn considerando

y plantelas simblicamente (estadsticamente).

c) Cules son los supuestos necesarios para llevar a cabo la prueba de hiptesis

correspondiente a la salida?

96

d) Lleve adelante la prueba de hiptesis utilizando un nivel de significacin del 5%.

Especifique el valor del estadstico de prueba que debe considerarse y la probabilidad

que tiene asociada. Tome la decisin que corresponda y saque la conclusin que se

desprende de ella.

EJERCICIO 12

Un equipo de psiclogos de la Cruz Roja desea conocer qu tipo de tratamiento

resulta ms eficaz para prevenir la aparicin de sntomas de estrs postraumtico

luego de una catstrofe natural. As, toman una muestra aleatoria de individuos de un

poblado de la provincia de Buenos Aires que han sido vctimas de inundaciones y se

los asigna al azar a dos grupos: el grupo A (50 sujetos) es tratado con actividades

tradicionales y el grupo B (60 sujetos) con tcnicas psicodramticas. Luego de 3

meses se mide la cantidad de sujetos que presentan sntomas de estrs postraumtico

producto de la catstrofe. Se hall que en el grupo A haba 21 sujetos con

sintomatologa mientras que en grupo B se encontraron 16 sujetos con estas

caractersticas. Con un nivel de significacin del 1% puede decirse que la proporcin

de sujetos con sntomas de estrs postraumtico en el grupo A es distinta de la

proporcin anloga en el grupo B? Qu puede decirse de la eficacia de los dos tipos

de tratamiento? Con el mismo nivel de significacin hay evidencia para considerar

que la proporcin de sujetos con sintomatologa es mayor en el grupo A?

EJERCICIO 13

Slo una de las cuatro opciones siguientes es verdadera. Indquela. De la experiencia de muchos aos respecto de un examen de ingls para la admisin a una beca de estudio, se sabe que dicha calificacin sigue una distribucin normal con media 64 y desviacin tpica 8. Una muestra de tamao 14 representativa de los estudiantes de cierta ciudad produjo una calificacin promedio de 68. Al nivel de significacin del 5%: a) Hay evidencia suficiente para suponer que la calificacin media en esa ciudad es distinta de 64. b) Hay evidencia suficiente para suponer que la calificacin media es menor a 64 en esa ciudad. c) Hay evidencia suficiente para suponer que la calificacin media es mayor a 64 en esa ciudad. d) No hay evidencia suficiente para suponer que la calificacin media es mayor a 64 en esa ciudad.

EJERCICIO 14

Slo una de las cuatro opciones siguientes es verdadera. Indquela.

La duracin media de una prueba de estmulos visuales sigue una distribucin normal

con media 0. Un grupo de 36 personas fueron entrenadas para reducir el tiempo

necesario para realizar esta prueba. Con la media x y el desvo estndar s de los

tiempos empleados por estas personas para realizarla despus del entrenamiento se

obtuvo el valor del estadstico ns

x

obst 0

Con un nivel de significacin del 1%, dira usted que:

97

a) Como tobs < 01.0z = -2,33, entonces se puede decir que la media X es

significativamente menor que 0

y por lo tanto el entrenamiento es efectivo.

b) Como tobs < 35;01.0t = -2,44, entonces se puede decir que la media X es


y por lo tanto el entrenamiento es efectivo.

c) Como tobs < 01.0z = -2,33, entonces se puede decir que la media X no es


y por lo tanto el entrenamiento no es efectivo.

d) Como tobs < 35;01.0t = -2,44, entonces se puede decir que la media X no es


y por lo tanto el entrenamiento no es efectivo.

Nota: Con 01.0z se designa el percentil 1 de la distribucin normal estndar.

Con 35;01.0t se designa el percentil 1 de la distribucin t de Student.

EJERCICIO 15


Si se estima un parmetro a partir de una muestra, el error aleatorio de muestreo es la diferencia entre la estimacin y el parmetro debida a...... a) la imprecisin del instrumento de medicin. b) la obtencin de una muestra atpica c) causas ajenas a la muestra que producen sesgos. d) fuentes fortuitas de variacin.

EJERCICIO 16

Llene los dos espacios en blanco con el par de palabras de la nica opcin correcta.

Los incrementos en el tamao de la muestra repercuten en una ...................precisin

en la estimacin de los parmetros poblacionales .......................... el error muestral.

a) mayor disminuyendo

b) menor disminuyendo

c) mayor aumentando

d) menor aumentando

EJERCICIO 17


En un muestreo probabilstico simple cada unidad de la muestra:

a) es elegida dependiendo de la eleccin de las otras unidades. b) tiene igual probabilidad de ser elegida para integrar la muestra. c) tiene una probabilidad diferente a otra de ser elegida para integrar la muestra. d) es elegida segn el criterio de quien hace el muestreo.

EJERCICIO 18


Un estadstico es:

98

a) una variable con distribucin conocida. b) un valor promedio de observaciones muestrales. c) una variable que depende de los valores muestrales. d) un valor constante de la poblacin.

EJERCICIO 19


El uso de la expresin significacin estadstica indica que: a) se encontraron diferencias en los valores muestrales calculados. b) se ha rechazado la hiptesis nula en una prueba de hiptesis. c) se le ha atribuido un significado a un parmetro poblacional. d) se ha aceptado la hiptesis nula de una prueba de hiptesis.

EJERCICIO FINAL

Contine con la construccin del glosario de los trminos estadsticos contenidos en el

cuento Como transformarse en un estudiante de Psicologa y no desencadenarse en

el intento (Fridman, 2014), tal como se explica en el Ejercicio Final de la Prctica 1.

Puntos Crticos obtenidos con Statistix

Z Inverse (p)

Z Inverse (0.005)= -2,58 Z Inverse (0.995)= 2,58

Z Inverse (0.01 )= -2,33 Z Inverse (0.99)= 2,33

Z Inverse (0.025)= -1,96 Z Inverse (0.975)= 1,96



T Inverse (p, df)

T Inverse (0.01,11) = -2,72 T Inverse (0.025,53) = -2,01

T Inverse (0.01,20) = -2,53 T Inverse (0.05,24) = -1,71

T Inverse (0.01,30) = -2,46 T Inverse (0.95,16) = 1,75

T Inverse (0.01,35) = -2,44 T inverse (0.95,20) = 1,72



T Inverse (0.02, 9) = -2,40 T Inverse (0.975,19) = 2,09

T Inverse (0.025,9 ) = -2,26 T Inverse (0.975,53) = 2,01

T Inverse (0.025,10) = -2,23 T inverse (0.985,10) = 2,53

T Inverse (0.025,18) = -2,10 T Inverse (0.99, 9 ) = 2,82

T Inverse (0.025,19) = -2,09 T Inverse (0.99,11 ) = 2,72


99

Referencias Bibliogrficas

Ctedra I de Estadstica. (2014). Acerca de la resolucin de una prueba de hiptesis.

En Materiales para la Cursada. Documento interno de la Ctedra I de

Estadstica. Facultad de Psicologa, Universidad de Buenos Aires.

Ctedra I de Estadstica. (2014). Acerca del valor p. En Materiales para la Cursada.

Documento interno de la Ctedra I de Estadstica. Facultad de Psicologa,

Universidad de Buenos Aires.

Fridman, C. (2014). Como transformarse en un estudiante de Psicologa y no

desencadenarse en el intento. En Materiales para la Cursada. Documento

interno de la Ctedra I de Estadstica. Facultad de Psicologa, Universidad de

Buenos Aires.

Granero, M., Gmez, R. E., y Carabajal, J.J. (1998). La Justicia en la Argentina.

Revista de la Facultad de Psicologa Universidad Nacional de Rosario N 1,

4145.

Mettifogo, D., Medina, P., y Stephan M. (1997). Desarrollo de la capacidad creativa en

jvenes. Revista de Psicologa de la Universidad de Chile Departamento de

Psicologa. Vol. VI. 83-92.

practica_6_2c_2014

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