Práctica 3 BIS de Vibraciones: "Péndulo de Torsión de Pohl" Juan Manzanero Torrico

Grupo 2

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Introducción

Tras el desarrollo de la parte teórica de una asignatura como vibraciones,

era casi obligado tras observar multitud de sistemas físicos con sus

correspondientes parámetros de Inercia, Amortiguamiento, y Rigidez, el ser

capaces de determinarlas empíricamente para un sistema de un grado de

libertad dado.

Este ha sido el objetivo de la práctica 3 BIS, cuyo sistema objeto de

análisis ha sido el conocido como péndulo de Pohl, constituido por un disco

capaz de rotar sobre su propio eje, y a su vez anclado a un muelle torsional

(suministra un momento proporcional al ángulo de giro medido desde la

posición de equilibrio, que serán 0º). La componente amortiguadora viene

dada por una bobina situada en la base, cuyas corrientes inducidas o de

Foucault imprimen un momento que resulta proporcional a la velocidad angular de giro del disco, de tal forma que la ecuación del movimiento para el disco

resulta:

En esta expresión observamos con claridad los tres parámetros

constituyentes del modelo que afectan en la dinámica del sistema: Por un lado

la rigidez del muelle, Kt, que imprime un momento proporcional al ángulo de

giro, por otro el amortiguamiento del mismo, Ft, que da lugar a un momento

proporcional a la velocidad angular, y por último el momento de inercia en el

centro y respecto de un eje normal al plano del disco, I.

Estos parámetros son tales que la dinámica del sistema resulta

subamortiguada, de tal forma que la respuesta transitoria realiza oscilaciones

amortiguadas con el tiempo alrededor de la respuesta estacionaria. La condición necesaria para que esto sea posible consiste en que el

amortiguamiento sea menor a

Para la obtención de los parámetros estudiaremos unos puntos

singulares: Los diez primeros máximos y mínimos relativos que presenta el sistema, ya que aparte de los puntos que cumplen θ=0º, son los únicos

capaces de ser determinados a simple vista a falta de un registrador.

Así pues, gracias las variables medidas como el periodo y los máximos

(con dos de ellos valdría, pero medimos varios para después hacer una

regresión lineal y minimizar el error), podemos relacionarlas con los

parámetros que rigen la dinámica antes mencionados.

El tiempo que tarda en ir de un máximo a un mínimo coincide con el

semiperiodo del movimiento, de tal forma que con la ayuda de un cronómetro

registraremos el tiempo que tarda en recorrer cinco periodos para minimizar

error. De este modo obtenemos el periodo y los parámetros relacionados con este.

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Desarrollo en el laboratorio

Durante el transcurso de la labor en el laboratorio tienen lugar dos

etapas: El ensayo de deflexión estática, y el ensayo dinámico

Ensayo estático Es de gran importancia para el cálculo de la

rigidez, ya que cuando el sistema se halla en una posición de equilibrio, el

muelle es el único que influye en ella. De esta forma se aplicó un momento

conocido y se esperó a que el disco alcanzara el equilibrio.

En el equilibrio se realizó una medida (mediante la escala graduada) del ángulo respecto a la posición de equilibrio sin carga (θ=0º) que se había

desplazado el disco. De esta forma como es conocido que el muelle actúa

precisamente de forma proporcional a este ángulo conocemos el par con el que

el muelle actúa sobre el disco.

El momento aplicado se consiguió colocando una pequeña masa (20gr)

en la periferia del disco. Se nos proporcionó el radio del disco (92mm) de tal

forma que midiendo el ángulo respecto a la horizontal de la posición final de la

masa obtenemos el brazo efectivo del peso, y consecuentemente el momento

que estamos aplicando.

Figura 1 Péndulo de Pohl

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El ángulo θ representa el valor del giro en la posición de equilibrio final,

representa el ángulo que forma la masa colocada en la posición

de equilibrio medido desde la línea horizontal (90º), y que contribuye al brazo

del peso a la hora de establecer el balance de momentos.

Como se observa, se ha obtenido un valor de 0.0155 Nm/rad para la

rigidez del muelle torsional. Este valor, junto con la inercia, está íntimamente

relacionado con el periodo de las posteriores oscilaciones respecto del

equilibrio del ensayo dinámico.

Ensayo dinámico El análisis dinámico se llevó a cabo sometiendo al

sistema a una de las cargas privilegiadas estudiadas durante el transcurso de

la asignatura. En especial se eligió la carga estática con suelta rápida.

Para imprimir esta solicitación al sistema se desplazó a éste un ángulo de

5º respecto de su posición de equilibrio y posteriormente se soltó,

considerando éste instante como el origen de tiempos.

Además se conectó la bobina haciendo circular por ella una corriente de

0.4 Amperios activando el amortiguamiento que se sumará al propio

rozamiento inherente al sistema.

Con esta carga, la posición alrededor de la cual oscila el sistema vuelve a ser la de equilibrio sin carga (0º), de tal forma que se midieron a simple vista

los valores mínimos y máximos de ángulo que alcanzaba el disco en su

movimiento.

Los resultados obtenidos se resumen en la siguiente tabla

Donde el tiempo está equiespaciado según un semiperiodo. El valor del periodo es aproximadamente de 1.89s.

De esta forma, sabiendo que la representación en escala logarítmica del

valor de amplitud pico a pico respecto del tiempo resulta una recta se llevó a

cabo la representación de la misma y la posterior regresión lineal de la nube de

puntos, obteniendo así el valor de la pendiente que está relacionada con el

parámetro ε=FT/2I según la relación:

Pendiente = -εT/2

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En lugar de utilizar el tiempo como variable independiente a la hora de

realizar la representación se utilizó la variable n definida como el número de

semiperiodos transcurridos (t=(n-1)T/2). Dicha gráfica es la siguiente:

(α representa el valor de pico a pico para un valor de n, es decir el

ángulo recorrido entre la posición en ese instante y la inmediatamente

siguiente)

Mediante la obtención de esta pendiente, se obtienen la inercia y el

amortiguamiento del péndulo de Pohl aplicando las siguientes expresiones:

Con esto puedo concluir que el resultado final del experimento es el

siguiente:

Lnα = -0.141n + 4.3713

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 2 4 6 8 10 12

lnα

n