UTN – Facultad Regional Bahía Blanca Álgebra y Geometría Analítica Departamento de Ciencias Básicas María Mercedes Marinsalta

TRABAJO PRÁCTICO

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Índice Transformación de enunciados en ecuaciones lineales y sistemas

Ejercicio Nº 1 y Nº 2 2 Resolución de sistemas mediante el Método de Cramer

Ejercicio Nº 3 2 Comando Solve Resolución de sistemas mediante el Método Inversión de matrices

Ejercicio Nº 4 2 Resolución en Mathematica

Ejercicio Nº 5 y Nº 6 2-3 Comando LinearSolve

Ejercicio Nº 7a 3 Transformación de enunciado en un sistema de ecuaciones lineales. Interpretación de los resultados obtenidos

Ejercicio Nº 7b 3 Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius

Ejercicio Nº 8 3 Resolución de sistemas compatibles indeterminados

Ejercicio Nº 9 4 Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius en sistemas homogéneos

Ejercicio Nº 10 4 Sistema homogéneos, graficación, interpretación de soluciones

Ejercicio Nº 11 4 Repaso e integración de conceptos de Sistemas homogéneos

Ejercicio Nº 12 a,b,c,d 4 Resolución aplicando el método de Gauss

Ejercicio Nº 13 4 Resolución de un sistema homogéneo, presentado en un formato que sirve de aprestamiento al tema de autovalores y autovectores

Ejercicio Nº 14a 5 Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius, para determinar valores que permitan obtener distintos tipos de sistemas: compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles

Ejercicio Nº 14 b, c y Ejercicio Nº 15 a y b 5 Transformación de enunciados complejos en un sistema de ecuaciones lineales. Resolución utilizando un programa computacional.

Ejercicio Nº 16, 18,19, 20, 22, 23 5 - 6 Comparación de comandos del programa Mathematica y análisis de los resultados que se obtienen, en cada caso

Ejercicio Nº 17 5 -6 Reflexionar sobre la necesidad de obtener una solución aunque el sistema se incompatible

Ejercicio Nº 21 6 Graficación en el programa Mathematica

Ejercicio Nº 24 7-8 Interpretación gráfica de las soluciones

Ejercicio Nº 25 9 Autoevaluación 9 Bibliografía 9 Nota: Para una rápida identificación los ejercicios a resolver utilizando el programa Mathematica están marcados con un *

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Objetivos: Que el alumno • Organice tabularmente los datos. • Plantee sistemas de ecuaciones lineales para resolver los problemas. • Comprenda los métodos y los utilice para resolver sistemas de ecuaciones lineales • Reconozca la diferencia entre solución matemática y solución real de un problema. • Reflexione sobre las soluciones obtenidas utilizando los distintos comandos el programa

Mathematica. • Visualice gráficamente las soluciones obtenidas y las interprete. Transformación de enunciados en ecuaciones lineales y sistemas Los ejercicios Nº 1 y Nº 2 se proponen para practicar la transformación de enunciados verbales que representan situaciones problemáticas en su representación matemática como ecuaciones y sistemas de ecuaciones para facilitar su resolución. Lo ejemplos planteados son de fácil resolución y los podrán resolver con los conocimientos previos Ejercicio Nº 1 a) Se compraron 1450 cajas de DVD y CD en total. Si se hubieran comprado 50 cajas más de DVD, el número de cajas de DVD hubiese sido el doble de las de CD ¿Cuántas cajas de DVD y CD hay? b) Si 3 pen-drive y 8 cartuchos de impresoras cuestan 652 pesos, y 5 pendrive y 6 cartuchos de impresoras cuestan 742 pesos. Calcular el precio de cada pendrive y de cada cartucho de impresora. Ejercicio Nº 2. Una ecuación que relaciona el precio unitario (p) con la cantidad de demanda (q) se denomina ecuación de demanda. Supóngase que la ecuación lineal de demanda para el producto Z es:

12180

1+−= qp

8300

1+= qpy que su ecuación lineal de la oferta es:

Donde p= precio del producto y q= cantidad de producto. Determinar el punto de equilibrio, que nos dará el precio al cual los consumidores adquirirán la misma cantidad del producto que los fabricantes estarían dispuestos a vender a ese precio. Resolución de sistemas mediante el Método de Cramer * Ejercicio Nº 3 Resolver el siguiente sistema por el método de Leibnitz- Cramer. a) x-2y+z=-4 b) 3x-2y+3z=11 3x+2y-z=8 x+y-2z=-4 -x+3y+5z=0 -2x-3y+z=3 { {

MATHEMATICA, nos ofrece distintos comandos para resolver sistemas de ecuaciones, uno de ellos es :

Solve[{ec1,ec2,....ecn},{var1,var2,....varn}] RECORDAR: -Encerrar entre corchetes el argumento del comando -Encerrar entre llaves las ecuaciones y separadas por comas. -El doble signo igual en cada ecuación. (= =). -Encerrar entre llaves y separadas por comas las variables. Como ejemplo resolveremos con este comando el inciso b) del punto 3), que ya resolvió por el método de Leibnitz-Cramer: In[1] Solve[{3x-2y+3z==11,x+y-2z==-4,-2x-3y+z==3},{x,y,z}] Out[1] {{x->1, y->-1, z->2}} Resolución de sistemas mediante el Método Inversión de matrices Ejercicio Nº 4 Resolver por inversión de matrices.

{ 2x- y- z = 2 x-3y+2z =11 3x+y-2z = -1 { 3x-2y+3z =10

x + y-2z = -3 -2x-3y+z = 5

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UTN – Facultad Regional Bahía Blanca Álgebra y Geometría Analítica Departamento de Ciencias Básicas María Mercedes Marinsalta * Ejercicio Nº 5 a) Dado que el programa Mathematica me permite calcular la inversa de una matriz, ¿qué ecuación matricial deberemos plantear para resolver los siguientes sistemas, utilizando este método?

{

LinearSolve [argumento]

1x+2y +z =3 2x-y-z= 4 2x+3y+z = 2 x+3y+4z = -1 2y+z= - 2 3x+y+2z = 7 { b) Verificar si los resultados obtenidos son correctos utilizando el comando Solve.

2x-y+z= 12 x-3y+4z=-7 3x+y-2z= 5

{ Ejercicio Nº 6 Plantear un sistema, cuya matriz formada por los coeficientes de las incógnitas no posea matriz inversa. ¿Puedo usar el método de inversión de matrices para resolverlo? ¿Ese sistema posee solución?. Justificar las respuestas. a. Si posee solución resolverlo. b. Si no posee solución, inventar otro con las condiciones pedidas y resolverlo. * Ejercicio Nº 7 7 a) Resolver el siguiente sistema: Utilizando el comando:LinearSolve 2x-4y+z=-1 3x+y-2z=3 -5x+y-2z=4 Otro comando que puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones lineales es : { el argumento del mismo es la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes, este comando calcula la solución del sistema AX =b Usaremos el mismo ejemplo del ejercicio 3, inciso b. Definimos la matriz A de coeficientes:

3x-2y+3z=11 x+y-2z= - 4 -2x-3y+z=3

In[2] a={{3,-2,3},{1,1,-2},{-2,-3,1}} y el vector b de términos independientes: In[3] b={11,-4,3} y resolvemos así: In[4] LinearSolve[a,b] Out[4] {1,-1,2} Donde 1,-1 y 2 son los valores de las incógnitas x, y, z respectivamente. También se puede ingresar directamente la matriz A de coeficientes y el vector b de términos independientes, sin definirlos previamente: In[5] LinearSolve[{{3,-2,3},{1,1,-2},{-2,-3,1}},{11,-4,3}] Out[5] {1,-1,2} Transformación de enunciado en un sistema de ecuaciones lineales. Interpretación de los resultados obtenidos 7 b) Plantear y resolver el siguiente problema: Un empleado que acaba de regresar de Europa en misión de trabajo por tres países (Inglaterra, Francia y España), declara en su rendición haber gastado en hospedaje diariamente 30 $ en Inglaterra, 20 $ en Francia y 20 $ en España, en concepto de comida (diarios) 20 $ en Inglaterra, 30 $ en Francia y 20 $en España , mientras que en movilidad gastó diariamente 10 $ en todos los países. En total en gastó 340 $ en hospedaje, 320 en comida y 180 en movilidad. La secretaria dice que rendición está equivocada. ¿Porqué ? El empleado se retracta y dice que los gastos de movilidad fueron 140 $ en total. La secretaria ahora acepta el resumen. ¿Porqué ? Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius Ejercicio Nº 8 Sin resolver los siguientes sistemas, decir si tienen o no tienen solución y de que tipo son. Plantear por el Teorema de Rouchè- Frobenius. 3x+3y=2 x+2y-3z=-1 3x+2y-3z=5 x-2y = -1 3x-y+2z=7 2x-y+1z=1 3x+2y=7 5x+3y-4z=2 8x+3y-5z=11

{ { { 3

UTN – Facultad Regional Bahía Blanca Álgebra y Geometría Analítica Departamento de Ciencias Básicas María Mercedes Marinsalta Resolución de sistemas compatibles indeterminados Ejercicio Nº 9. También podemos trabajar con sistemas, que no posean la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas. Resolver el siguiente sistema. 5x+y+3z=1 3x+2y-3z=2 {Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius en sistemas homogéneos Ejercicio Nº 10 Sin efectuar cálculos indique cuáles de los siguientes sistemas homogéneos tienen soluciones no triviales a) x1+3x2+5x3+x4=0 b) x1+2x2+3x3=0 4x1-7x2-3x3-x4=0 x2+4x3=0 3x1+2x2+7x3+8x4=0 5x3=0 c) a11x1+a12x2+a13x3=0 d) x1+x2=0 a21x1+a22x2+a23x3=0 2x1+2x2=0 Sistema homogéneos, graficación, interpretación de soluciones Ejercicio Nº 11 Rescribir los siguientes sistemas no homogéneos con los términos independientes igualados a cero (sistemas homogéneos). a) 2x+y=8 2x+y=4

1. Representar gráficamente en el plano los sistemas dados y los sistemas homogéneos. Comparar con los gráficos de los sistemas correspondiente

2. ¿Por qué un sistema homogéneo siempre tiene solución? 3. Para el sistema homogéneo con solución única ¿Cuál es la solución? 4. Para los sistemas homogéneos con infinitas soluciones ¿Es el punto (0,0) una solución? 5. Observando el gráfico escribir otras soluciones para el sistema homogéneo

Repaso e integración de conceptos de Sistemas homogéneos Ejercicio Nº 12 a) Resolver los siguientes sistemas homogéneos

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=++=++=+−

02500302302

zyxzyxzyxzyx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=−+=++=+−

04502302302

zyxzyxzyxzyx

b) Escribir los siguientes sistemas en forma matricial ( b1y b2) . Sin resolver determinar si los siguientes sistemas homogéneos tienen una solución no trivial. c) A continuación, establecer si las matrices formadas por los coeficientes de las incógnitas son inversibles. b1) 2x1 + x2 - 3x3 + x4 = 0 5x2 + 4x3 + 3x4 = 0 x3 + 2x4 = 0 3x4 = 0 d) Hallar los valores de m para los que el siguiente sistema posea soluciones no triviales:

2x - y + z = 0 x + my - z = 0 x + y + z= 0

Resolución aplicando el método de Gauss Ejercicio Nº 13 Resolver por el método de eliminación de Gauss a) 2x+y-2z=10 b) x+2y-3z=-1 c) 2x+3y-z = 4 d) 3x+2y+2z=1 3x-y+2z=7 5x+ y+ 2z =0 5x+4y+3z=4 5x+3y-4z=2 9x+7y = 6

{ {

b2) 5x1 + x2 + 4x3 + x4 = 0 2x3 - x4 = 0 x3 + x4 = 0 7x4 = 0

b) 2x+y=8 4x+2y=16

2x1 + 2x2 - x3 + +x5 = 0 -x1 - x2 + 2x3 - 3x4 +x5 = 0 x1 + x2 -2x3 + - x5 = 0 x3 +x4 +x5 = 0

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Resolución de un sistema homogéneo, presentado en un formato que sirve de aprestamiento al tema de autovalores y autovectores Ejercicio Nº 14 a) Calcular los valores de λ para que el sistema siguiente admita soluciones no nulas. Resolver el sistema para esos valores.

x1-2x2 = λ x1 -2x1+x2= λ x2

Aplicación el Teorema de Rouchè Frobenius, para determinar valores que permitan obtener distintos tipos de sistemas: compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles

{ b) Determinar todos los k ∈ R para los cuales el sistema tiene alguna solución no trivial y resolver el sistema para cada valor. x1+ kx2+ x3= 0 2x1+ x3= 0 2x1+ kx2+ kx3= 0 c) El siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene más de una solución para algunos valores de a. Diga para cuales.

0)1(0

053)1(

3

32

321

=+=−−

=+−−

xaaxaxxxxa

Ejercicio Nº 15a Hallar los valores de k para que el siguiente sistema sea: a) Compatible Determinado. b) Compatible Indeterminado. x1 + x2 -x3 = 1 c) Incompatible. 2x1 +3x2 +k x3= 3 { x1 +k x2 +3 x3= 2 Ejercicio Nº: 15b Hallar los valores de k para que el siguiente sistema sea: a) Compatible determinado x+2y+kz=1 {b) Compatible indeterminado 2x+ky+8z=3 c) Incompatible Transformación de enunciados complejos en un sistema de ecuaciones lineales. Resolución utilizando un programa computacional. * Ejercicio Nº 16 Un médico ordena a un paciente tomar 10 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y 19 unidades de vitamina E. El paciente puede elegir entre tres marcas de pastillas de vitaminas: La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina D, 5 unidades de vitamina E. La marca Y contiene 1 unidad de vitamina A, 3unidades de vitamina D, 4 unidades de vitamina E. La marca Z contiene 1 unidad de vitamina A, ninguna unidad de vitamina D y 1 unidad de vitamina E

a.- Plantear el sistema. b.- Resolver utilizando Mathematica.

• Determine todas las combinaciones posibles de pastillas que proporcionan exactamente las cantidades requeridas de vitamina.

• Si la marca X cuesta 1 peso por pastilla, la Y cuesta 6 pesos por pastilla y la Z cuesta 3 pesos por pastilla. Cuál es la combinación menos costosa .

Comparación de comandos del programa Mathematica y análisis de los resultados que se obtienen, en cada caso * Ejercicio Nº 17.

IMPORTANTE: Si el sistema es compatible indeterminado, el programa devolverá las soluciones, en función de una o más variables arbitrarias SIEMPRE que use el comando Solve.

Verifique qué solución le devuelve el programa cuando usa el comando LinearSolve con SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS. Se recomienda usar los dos comandos para resolver los ejercicios que siguen y prestar especial atención cuando resuelva sistemas compatibles indeterminados.

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a) -x+y=-1 b) x-y-3z-t=1 2x+4y=8 x+2y-t=1 2x-2y=2 3x+4y-2z=0 x+2y=4 2x+4z-6t=6 { { c) x+y+z+u+v=3 d) 2x-3y+z=0 2x+3y+3z+u-v=0 -x+y+4z=4 -x+2y-5z+2u-v=1 3x+2y-2z=3 3x-y+2z-3u-2v=-1 { {

e) x-3y+z-w=-5 f) 2x-y+3z-2w=9 2x+4y-z+2w=15 -x+2y+2z+4w=1 -x-3z+w=6 3x-2y-z+5w=3 3x+y+z-2w=0 2x+20y-12z+4w=-42 { {

¿En qué varía la salida de máquina que devuelve el programa cuando se trata de sistemas incompatibles y sistemas compatibles indeterminados usando uno u otro comando?.

* Ejercicio Nº: 18 En cada uno de los siguientes sistemas determine la solución general, si existe: Utilizando los comandos del Mathematica. a) x+y- 3z= -5 b) 3x+2y+ 4z =1 c) 3x-2y+5z- u=1 2x-y+3z=2 5x+3y+3z =2 x + y-3z+2u=2 -y +z =10 x+ y+5 z =1 6x+y-4z+ 7u=3 * Ejercicio Nº 19 La suma de 3 inversiones es de $7400. Las acciones x pagan 2% de dividendos anuales, las y pagan 4% y las z pagan 5%. La suma de los dividendos anuales es de $278. Las inversiones en acciones z es de $1000 menos que la suma de x y de y. ¿Cuál es el monto de cada una de las acciones?. a.- Plantear el sistema. b.- Resolver utilizando Mathematica. * Ejercicio Nº 20 Para la construcción de 3 tipos de automóviles se requiere 3 clases de materiales: Metal, Plástico y Caucho. La cantidad necesaria para producir cada automóvil es:

METAL Kg./auto PLÁSTICO kg./auto CAUCHO kg./auto 1 1500 25 100 2 1700 33 120 3 1900 42 160

Si se dispone de un total de 106 Ton. de metal, 2,17 Ton. de plástico y 8,2 Ton. de caucho. ¿Cuántos automóviles se pueden producir de cada tipo? a.- Plantear el sistema. b.- Resolver utilizando Mathematica. Reflexionar sobre la necesidad de obtener una solución aunque el sistema se incompatible * Ejercicio Nº 21 Una fábrica elabora 2 tipos de máquinas A y B. Cada unidad requiere las siguientes cantidades de horas de trabajo, en los departamentos de maquinado, armado y pintura. MAQUINADO ARMADO PINTURA A 0,2 0,3 0,5 B 0,4 0,2 0,3 Supongamos que el tiempo disponible por semana en cada departamento es el siguiente: 300 hs. de maquinado. 200 hs. de armado. 300 hs. de pintura. Llamaremos x1 y x2 a la cantidad de máquinas A y B, a elaborar por semana.

• Queremos determinar, si existen, los valores de x1 y x2 que permiten utilizar todo el tiempo disponible en los 3 departamentos.

• Si no existen sugerir valores de x1 y x2 que sean convenientes.

Ejercicio Nº 22.

Un dietista está planeando una comida que conste de tres tipos de alimentos y que satisfaga las necesidades diarias mínimas (NDM) de tres vitaminas. La tabla resume el contenido vitamínico 6

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por gramos de cada tipo de alimento, expresado en miligramos. Determine si hay combinaciones de los tres alimentos que satisfagan exactamente las necesidades diarias mínimas de las tres vitaminas. Contenido vitamínico/gr. [mg]

Tipo de alimento Vitamina 1 Vitamina 2 Vitamina 3 1 4 2 1 2 6 8 6 3 3 4 2 NDM 52 56 34

*Ejercicio Nº 23. Se dan tres aleaciones de plata, cobre y oro, con la siguiente composición PLATA COBRE ORO -------------------------------

Plot[{f1, f2, … ,fn}, {x, xmin, xmax}]

1 5% 15% 80% ------------------------------- 2 10% 25% 65% ------------------------------- 3 15% 30% 55%

Para obtener 20 gramos de una aleación que contenga 12% de plata, 26% de cobre y 62% de oro. ¿Cuántos gramos deberé extraer de cada aleación?

Graficación el programa Mathematica Para graficar ecuaciones en forma implícita, deberá cargar el paquete correspondiente de la siguiente manera << Graphics`ImplicitPlot` ( en la versión 4.0) una vez cargado, usará el comando ImplicitPlot[ argumento], y como argumento la lista de funciones, y el rango de la variable x. ( Recordar: la lista de funciones entre llaves, separadas por comas, no olvidar el doble signo igual en cada función) Ejemplo: si graficamos el siguiente sistema: 2x+y=8 3x-2y=-2

En el caso del sistema homogéno: 2x+y=0 3x-2y=0

In[1] ImplicitPlot[{2x+y==8,3x-2y==-2},{x,-10,10}]

In[2] ImplicitPlot[{2x+y==0,3x-2y==0},{x,-10,10}]

-10 -5 5 10

-20

-10

10

20

-10 -5 5 10

-20

-10

10

20

Para graficar ecuaciones en forma implícita, puede utilizar el comando Plot,

Que grafica varias funciones cargando previamente el paquete: << Graphics`FilledPlot`

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UTN – Facultad Regional Bahía Blanca Álgebra y Geometría Analítica Departamento de Ciencias Básicas María Mercedes Marinsalta Plot[{-2x + 1, -5x - 2}, {x, -2, 2}, GridLines -> Automatic , Axes -> True, AxesOrigin -> {.0, .0}]

* Ejercicio Nº 24

2x + y - z = 0 3x + 4y - z = 0 x - 2y - z = 0

Dado el siguiente sistema: 1. Resolver utilizando el comando Solve. 2. Resolver utilizando el comando LinearSolve 3. Verificar si las soluciones son iguales. 4. En caso de que difieran, utilice el concepto de característica para justificar cuál es la

solución general. 5. Graficar la solución obtenida. Para graficar una ecuación lineal en el espacio geométrico el comando a utilizar es:

Plot3D[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] Ejemplo: a = Plot3D[2x + y, {x, 0, 3}, {y, -2, 3}] Siendo a: 2x + y - z = 0

0

1

2

3 -2

-1

0

1

2

3

02.5

57.5

0

1

2

3 Para visualizar todas las ecuaciones en el espacio geométrico hay que utilizar el comando: Show[a, b, c, AxesLabel -> {"Eje X", "Eje Y", "Eje Z"}]

-2

0

2Eje X-2

0

2

Eje Y

-100

1020

Eje Z

-2

0

2Eje X

Para cambiar el punto de vista Show[a, b, c, AxesLabel ->{"Eje X", "Eje Y", "Eje Z"},ViewPoint ->{4.839, -0.947, 0.193}]

-20

2Eje X

-2 0 2

Eje Y

-10

0

10

20

Eje Z

-20

2Eje X

-10

0

10

20

Eje Z

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Interpretación gráfica de las soluciones Ejercicio Nº 25 ¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponde a un sistema lineal homogéneo y qué tipo de solución representa cada una de ellas?

0

0

0

0

Auto evaluación. Si lo desea puede ingresar a los siguientes sitios web y realizar las evaluaciones allí propuestas: Curso básico de matemáticas para estudiantes de económicas y empresariales Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal http://www.unizar.es/aragon_tres/u6sistest.htm Página dirigida a los estudiantes de Bachillerato del Instituto Avenida de los Toreros de Madrid, elaborada por Jesús García de Jalón http://www.educa.madrid.org/web/ies.avenidadelostor.madrid/matematicas/test/test02.htm Test para los estudiantes de Matemáticas de 2 º de Bachillerato de Asturias generado por los profesores Cristina Díaz Sordo y Luis Vaamonde Portas http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2000/algebra/test/testsist.htm Universidad Metropolitana de Venezuela. Archivo de word que se puede guardar y luego utilizar, se accede a las soluciones mediante un hipervínculo http://ares.unimet.edu.ve/matematica/alineal/ Bibliografía

Álgebra Lineal con Aplicaciones. Nakos George y Joyner David. Editorial Thomson International. 1999

Introducción al Algebra Lineal, Anton, H. Ed. Limus 1986. Nociones Geometría Analítica y Álgebra Lineal. Kozak, A.M.- Pastorelli, S. -

Vardanega, P .Editorial: Mc Graw Hill. 2007 Álgebra Lineal Elemental con aplicaciones, Hill, Richard, Ed. Prentice Hall. 1996 Álgebra Lineal con aplicaciones y Matlab, Kolman, Bernard, , Ed. Prentice Hall. 1999

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