Práctica 4 Límites, continuidad y derivación En esta práctica utilizaremos el programa Mathematica para estudiar límites, continuidad y derivabilidad de funciones reales de variable real, así como algunas de sus aplicaciones (asínto-tas, extremos relativos y series de Taylor).

4.1.- Límites de funciones La orden que permite calcular el límite de una función es Limit. La sintaxis de la instrucción Limit es la siguiente: Limit[expresión, variable→a]

Calcula el límite de la expresión dada cuando la variable indicada tiende hacia el punto a (finito o infinito)

Limit[expresión, variable→a, Direction→-1]

Calcula el límite de la expresión dada cuando la variable indicada tiende hacia el punto a por la derecha.

Limit[expresión, variable→a, Direction→-1]

Calcula el límite de la expresión dada cuando la variable indicada tiende hacia el punto a por la izquierda

• El paquete Calculus`Limit`(no es necesario en la versión 5.0) contiene una instruc-

ción denominada igualmente Limit, que amplía su capacidad de cálculo.

• Por su parte, el paquete NumericalMath`Nlimit` contiene la instrucción NLmit, cuya sintaxis es la misma que la instrucción Limit y que nos da el valor aproximado a 6 dígitos (por defecto) del límite de una función.

Ejemplo 4.1 Calcular los siguientes límites:

El programa Mathematica no ha sido capaz de calcular el límite anterior. En este caso, esto es debido a que dicho límite no existe. De hecho la información facilitada por el programa nos indica que cualquier punto del intervalo [-1,1] es un límite de oscilación de la función cuando x tiende a 0. Esto se aprecia observando la gráfica de la función:

4.2.- Asíntotas de una función Asíntotas verticales: La recta vertical x = a es una asíntota de la función y = f (x) si se cumple que

Asíntotas horizontales: La recta horizontal y = b es una asíntota de la función y = f (x) en la dirección +∞ si cumple que:

Análogamente, la recta horizontal y = b es una asíntota de la función y = f (x) en la dirección -∞ si cumple que:

Asíntotas oblicuas: La recta y = m x + n es una asíntota de la función y = f (x) si se cumple que:

Los valores de m y n se determinan de la siguiente manera,

Análogamente, la recta y = m x + n es una asíntota de la función y = f (x) si se cumple que:

En este caso, los valores de m y n se determinan como

ED

Observación: Como puede apreciarse, la presencia de asíntotas horizontales en la dirección +∞ (ó -∞) no es compatible con la presencia de asíntotas oblicuas en la misma dirección.

jemplo 4.2 eterminar las asíntotas de las funciones:

a)

• Definimos la función

• Asíntotas verticales: Dado que el denominador se anula para x = -2 y x = 2, dichas

rectas (verticales) son candidatas a ser asíntotas. Para ello estudiamos los límites laterales en los puntos x = 2 y x = -2.

Por tanto, la recta vertical x = 2 es una asíntota de la función.

Por tanto, también la recta vertical x = 2 es una asíntota de la función.

• Asíntotas horizontales

Esto nos dice que la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función en la dirección +∞.

De igual forma, esto significa que la recta y = 0 es también una asíntota horizontal de la función en la dirección -∞.

• Gráfica de la función

Como puede apreciarse, Mathematica dibuja automáticamente las asíntotas vertica-les de la función y = f (x). No ocurre lo mismo con las asíntotas horizontales (si bien en la gráfica de este ejemplo quedan reflejadas por tratarse, precisamente del eje OX).

b) •

• Definimos la función

• Asíntotas verticales: (No tiene) • Asíntotas horizontales

No tiene asíntotas horizontales

• Asíntotas oblicuas

La recta y = x es una asíntota oblicua en la dirección +∞

La recta y = -x es una asíntota oblicua en la dirección -∞

• Gráfica de la función y sus asíntotas

4.3.- Continuidad Una función es continua en un punto Da∈ si se cumple que

(Estamos suponiendo que a es un punto de acumulación de D. Como sabemos, si a no es un punto de acumulación de D, es decir, a es un punto aislado del dominio, entonces la función f es trivialmente continua en a. De ahí que en la práctica sólo tenga interés estudiar la continuidad de una función en aquellos puntos del dominio que sean puntos de acumulación. Por lo general, todos los puntos del dominio suelen ser puntos de acumulación).

D∈

Ejemplo 4.3 Estudiar la continuidad de las funciones:

a)

• Definimos la función

• Estudiamos la continuidad. Sólo es necesario estudiar la continuidad en x = 0.

Dado que la función ex tiene un comportamiento distinto en +∞ y en -∞, calcula-remos los límites laterales en x = 0.

• Como los límites laterales son distintos entonces la función presenta una disconti-

nuidad de salto en x = 0, lo que se observa gráficamente:

b)

• Definimos la función

• Estudiamos la continuidad. De nuevo sólo es necesario estudiar la continuidad

en x = 0.

Como el valor del límite en x = 0 coincide con f (0), la función es continua en x = 0, es decir, la función es continua en todo R.

c)

Se trata de una función definida a trozos. Cada uno de los trozos viene dado por una función continua. Por tanto, sólo tenemos que estudiar la continuidad de la función f en los puntos x = −1 y x = 2. Para ello basta comprobar si cada uno de los trozos empalma con el siguiente

• Definimos los tres trozos que definen la función

• Continuidad en x = −1

La función es continua en x = −1.

• Continuidad en x = 2

La función tiene una discontinuidad de salto en x = 2.

• Gráfica de la función

En Mathematica 5.0 es posible calcular directamente los límites laterales de funciones que han sido definidas a trozos mediante la instrucción Which. En nuestro ejemplo:

• Definimos la función mediante la instrucción Which

f x_ := Which x< −1, x3−2 x, −1≤ x< 2, 3+2 x, x≥ 2, x2− 2 xD @ D @• Calculamos límites laterales en x = −1

Limit[f[x],x→-1,Direction→1]

1 Limit[f[x],x→-1,Direction→-1]

1 Como los límites laterales coinciden, la función es continua en x = −1

• Calculamos límites laterales en x = 2 Limit[f[x],x→2,Direction→1]

7 Limit[f[x],x→2,Direction→-1]

0 Como los límites laterales son distintos, la función no es continua en x = 2.

4.4.- Derivación Mathematica puede calcular la derivada de una función con las instrucciones, D[expresión, variable]

Calcula la derivada de la expresión dada con respecto a la variable indicada.

D[expresión, {variable,n}] Calcula la derivada de orden n de la expresión dada con respecto a la variable indicada.

Si tenemos definida una función f[x], entonces la derivada también puede calcularse como:

Calcula la derivada primera, segunda, tercera, etc. de la función f[x]

Mathematica también calcula la derivada de expresiones simbólicas:

Ejemplo 4.4 Probar que la ecuación tiene una única solución real. 013 =−+ xartgx • Definimos la función

• Existencia de solución: (Buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo)

Hay al menos una solución en el intervalo [0,1].

• Unicidad (comprobamos que la derivada no se anula)

Dado que f ’(x) ≠ 0 para cualquier Rx∈ , la solución es única.

• Visualización gráfica

• Solución de la ecuación

Mathematica no ha podido resolver la ecuación utilizando la instrucción Solve. Sin embargo, podemos encontrar un valor aproximado de la solución mediante la instrucción FindRoot (partiendo de un valor próximo a la solución).

Ejemplo 4.5 Calcular la recta tangente a la función en el punto de abscisa x = 3. xxxf 2)( 2 −=

La ecuación de la recta tangente a una curva y = f (x) en el punto de abscisa x = a viene dada por

))((')( axafafy −+= • Definimos la función

• Calculamos la recta tangente

• Representación gráfica

Ejemplo 4.6 Calcular los máximos y mínimos relativos de la función . xexxf 3)1()( −=• Definimos la función

• Calculamos los puntos críticos

Hay dos puntos críticos x = −2 y x = 1. Para determinar si se trata de máximos o mínimos relativos calculamos las derivadas de orden superior:

Hay un máximo relativo en x = −2.

Como la segunda derivada es cero calculamos la tercera derivada.

Como la primera derivada distinta de cero es de orden impar, la función tiene un punto de inflexión en x = 1.

• Gráfica de la función

4.5.- PolinomioEl polinomio de Taylor de

El polinomio de Taylor es uCuando a = 0 el polinomio

Ejemplo 4.7 Calcular el polinomio de M

• Definimos la funció

• Calculamos el polin

Mínimo relativo

de Taylor orden n de la función f (x) centrado en el

na buena aproximación de la función en de Taylor se denomina también polinom

acLaurin de orden 3 de la función xf )(

n

omio de MacLaurin de orden 3

Punto de inflexión

punto x = a viene dado por

un entorno del punto x = a. io de MacLaurin.

xsen= .

• Representación gráfica

Puede observarse que la gráfica de la función (rojo) y la gráfica del polinomio (azul) son muy parecidas en las proximidades del punto x = 0. Esta “buena aproximación” puede también constatarse si representamos la gráfica de la función |f (x) - p(x)| (función que nos da el error cometido al sustituir la función f (x) por su polinomio de Taylor).

Se aprecia en la gráfica que el error aumenta a medida que nos alejamos del punto x = 0, siendo muy pequeño en el intervalo [-2,2].

Mathematica incorpora la instrucción Series que nos permite calcular directamente el polino-mio de Taylor de orden n de una función en un punto. La sintaxis de esta instrucción es:

Series[f[x],{x,a,n}] En nuestro ejemplo anterior podemos escribir

El término O(x4) nos indica que el error cometido al sustituir la función f (x) por el polinomio será del orden de x4, lo cual viene a decirnos que para valores de x próximos a 0 el error será muy pequeño, mientras que para valores grandes de x el error será también muy grande.

Podemos pedirle a Mathematica que nos muestre el polinomio de Taylor sin que aparezca el orden del error mediante la instrucción:

Ejemplo 4.7 Calcular el valor aproximado de 3 2.1 a partir del polinomio de Taylor de orden 5 centrado en a=1 de la función 3)( xxf = .

• Definimos la función

• Calculamos el polinomio de Taylor de orden 5 centrado en a = 1

• Valor aproximado de 3 2.1 utilizando el polinomio

• Error cometido

4.5- Ejercicios propuestos 1.- Calcular los siguientes límites

2.- Calcular a y b para que la función

sea derivable.

3.- Calcular las derivadas laterales de la función 1

||)( 2 +=

xxxf en el punto x = 0.

4.- Determinar los puntos de la gráfica 23 231 xxy −= en los que la recta tangente es paralela

a la recta de ecuación y = −3x+1.

5.- Calcular el valor aproximado (indicando el error cometido) de ( )8/cos π utilizando el poli-nomio de MacLaurin de orden 5 de la función xxf 2cos)( = .