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Pontificia Universidad Javeriana-Cali Facultad de Ingeniería Departamento de Ciencias Naturales y Matemáticas – Área de Física Laboratorio de Cinemática y Dinámica

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PRÁCTICA No. 1

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES EN LAS MEDICIONES

1 INTRODUCCIÓN

En las ciencias naturales los resultados de las medidas experimentales sirven para verificar la validez de modelos, leyes y teorías. Por esta razón, en ciencia el experimento es "juez de última instancia". En general, los enunciados científicos están soportados en resultados de medición. No obstante, como toda actividad humana, la medición no esta exenta de imperfecciones. Todas las medidas, incluso las que se realizan con los métodos y equipos más sofisticados y por el personal más calificado, poseen algún grado de incertidumbre. Como consecuencia, es obligación de todo experimentador reportar cualquier resultado de medición junto con una estimación de su incertidumbre. En esta práctica se ilustrará, mediante un ejemplo concreto, el método para calcular incertidumbres que se describe en la sección 2.2 del Laboratorio Cero.

2 PROCEDIMIENTO

El sistema que se va a estudiar es un péndulo simple, es decir, una masa “puntual” que pende de una cuerda. Las cantidades por medir son las siguientes: - el período de oscilación del péndulo, - la longitud del péndulo, - la aceleración g debida a la gravedad terrestre. Una vez medida cada variable se procederá a estimar su incertidumbre. Se calculará la incertidumbre tanto para resultados de medición obtenidos directamente del instrumento (período y longitud) como para resultados de medición indirectos (en este caso, aceleración g). Adicionalmente, se calcularán componentes de incertidumbre por métodos tipo A y también por métodos tipo B. 2.1 MEDICIÓN DEL PERÍODO (T) DE OSCILACIÓN DEL PÉNDULO.

Construya un péndulo de longitud cualquiera l y póngalo a oscilar. Con el cronómetro mida el tiempo de una oscilación (tiempo de salida y regreso de la masa al mismo punto). Este tiempo se llama período y se simboliza con la letra T. Se recomienda iniciar la medición después de que el péndulo haya realizado al menos una oscilación. Ello con el fin de evitar el efecto sistemático proveniente de algún empujón involuntario que pueda darle la mano a la masa en el momento de su liberación. Registre el valor obtenido. Repita la operación anterior hasta completar 50 datos. Procure que cada uno de los datos se obtenga de la misma manera, es decir, mismo método, misma persona, mismo instrumento, etc.


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Se pueden hacer algunos ensayos preliminares a la toma de los 50 datos (3 o 4), a manera de entrenamiento, para garantizar la uniformidad del método. Anote sus resultados en la segunda columna de la tabla 1.

Al observar los datos obtenidos se ve que la mayoría de ellos son diferentes entre sí. Sin embargo, necesitamos reportar un solo resultado de medición. ¿Cómo saber cuál de todos los valores obtenidos debe reportarse como mejor estimado del período? La siguiente discusión ayudará a resolver dicha inquietud.

Organice los 50 datos escribiéndolos en orden ascendente en la tercera columna de la tabla

No. 1. No omita los datos que se repiten. A continuación debe construir un gráfico de barras llamado histograma de frecuencias, para

lo cual se debe diligenciar la tabla No. 2. Divida el rango de los datos (Tmax – Tmin) en 5 o más intervalos. Anote cada intervalo en la primera columna de la tabla No.2. (Precaución: Defina los intervalos de tal manera que NO sea posible contar el mismo dato en dos intervalos contiguos).

Ahora, en la columna de datos ordenados, cuente el número de datos que caen dentro cada uno de los intervalos definidos (si un dato se repite varias veces, cuéntelo tantas veces como se repita). El número de datos en un intervalo dado se llama frecuencia.

Registre la frecuencia de cada intervalo en la segunda columna de la tabla No. 2. Verifique que el conteo fue correcto sumando la columna de frecuencias. La suma debe ser igual a el total de datos medidos, es decir, 50.

con los datos de la tabla No. 2 haga una gráfica de barras (Histograma) sobre la figura No. 1. En el eje horizontal deben ir los intervalos y el eje vertical corresponde a la frecuencia.

Ahora Calcule el promedio de los 50 datos y escriba su valor al final de la tabla No. 1 (escriba el resultado con todas las cifras significativas que arroje la calculadora). Ubique el valor del promedio sobre el eje horizontal del histograma.

¿En cuál de los intervalos se ubica dicho promedio? ¿Cómo es la frecuencia de este intervalo comparada con las demás frecuencias?, ¿Qué se puede concluir acerca de la probabilidad de obtener el promedio como resultado de medición, en comparación con la probabilidad de obtener cualquier otro dato?

Sus respuestas al numeral anterior justifican por qué el promedio de una serie de medidas repetidas es el mejor estimado de la cantidad por medir.

Reporte el promedio como el resultado de la medición del período anotando este valor en el lugar que le corresponde en el encabezado de la tabla No.3.

2.2 ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEL PERÍODO Recordemos brevemente los pasos a seguir para estimar la incertidumbre de un resultado de medición:

I. Definir la cantidad por medir. II. Identificar las cantidades de entrada, esto es las variables de las cuales depende la cantidad

por medir.


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III. Escribir el modelo matemático que relaciona las cantidades de entrada con la cantidad por medir.

IV. Estimar la componente de incertidumbre asociada con cada cantidad de entrada. V. Combinar las componentes de incertidumbre para encontrar la incertidumbre combinada. VI. Reportar el resultado de medición con su incertidumbre. (Nota: En algunas ocasiones se suele

aplicar un factor de cobertura a la incertidumbre combinada con el fin de dar un nivel de confianza l valor de la incertidumbre. Este no será el caso en esta sencilla guía.)

Ahora apliquemos estos pasos para calcula incertidumbre del período: Paso (I). Definición de la cantidad por Medir: En la primera fila de la tabla No. 3 describa en palabras la cantidad por medir, es decir, el período. Pasos II y III. Cantidades de Entrada y Modelo matemático. Existe un principio metrológico que establece que ningún resultado de medición se puede reportar hasta tanto no se le apliquen las correcciones a que hubiere lugar. El VIM (2.53) define una corrección como “la compensación de un efecto sistemático estimado. Una corrección puede ser un sumando, un factor, o un valor que se deduce de una tabla”. El resultado de medición que se obtiene después de aplicar las correcciones se llama resultado corregido. Algunos ejemplos de correcciones son: Correcciones asociadas a los errores reportados en el certificado de calibración. Corrección por resolución del sistema de medición. Corrección por dilatación térmica del instrumento de medición, de la pieza a medir o de

ambos, Correcciones por elasticidad, por redondez, por planitud, etc. En el caso de termómetros, corrección por inmersión parcial etc.

La aplicación de correcciones es un importante elemento a tener en cuenta a la hora de construir el modelo matemático, sobre todo cuando se trata de variables de medición directa. En el caso que nos ocupa, es decir, el período, vamos a considerar solo dos correcciones, ambas de carácter aditivo: La corrección por calibración Ccal y la corrección por resolución Cres. De esta manera, el modelo quedaría:

calrescorregido CCTT (1)

Paso IV: Estimación de las componentes de incertidumbre. Del modelo anterior se ve que las variables o cantidades de entrada de las que depende el valor del período son: promedio T , la corrección por calibración Ccal y la corrección por resolución Cres. Estimemos la incertidumbre (o componente de incertidumbre) que corresponde a cada una de ellas: Incertidumbre T del promedio: El valor T se obtuvo de la repetición de 50 mediciones de

período cuya variabilidad se ilustra en el histograma de la figura 1. Así, es razonable pensar que la incertidumbre del promedio está relacionada con la variabilidad de los datos. De acuerdo con los principios de la estadística, la variabilidad de un conjunto de datos se mide con parámetros de dispersión estadísticos, entre ellos la desviación estándar. En este experimento se usará la desviación estándar como un indicador de la incertidumbre del


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período promedio T . La variabilidad de un conjunto de mediciones repetidas es consecuencia de las características del sistema de medición. Para el caso que nos ocupa, el sistema de medición es el conjunto persona–cronómetro y la variabilidad observada es consecuencia de la combinación de efectos tales como: - Estimación a simple vista de los momentos de inicio y terminación de la oscilación. - El tiempo de reacción de la persona en el instante de encender y de apagar el cronómetro.

Ee decir, el tiempo que tarda el estímulo en recorrer el trayecto: ojo-cerebro–mano. - Movimientos de torsión o rotatorios de la pesa, - Movimiento del punto de suspensión, - Cambios en longitud de la cuerda durante su recorrido debido a su elasticidad, etc. En estadística, el parámetro que refleja la incertidumbre de la media o promedio es la desviación estándar de la media, sm. Este parámetro está relacionado con la desviación estándar s del conjunto de datos de acuerdo con:

n

ssm (2)

Así, el valor de la incertidumbre de la variable T que se debe reportar en la tabla 3 msT . Este parámetro cuantifica de los efectos combinados de las distintas fuentes de variación citadas arriba.

Incertidumbre Cres de la corrección por resolución. En este experimento los tiempos se

miden con un cronómetro digital que lee hasta centésimas de segundo, es decir, el cambio más pequeño de tiempo que el cronómetro puede detectar es de 0,01 s. Así, cuando en el cronómetro se lee, por ejemplo, el tiempo 1,43 s, se entiende que el instrumento no “sabe” cuáles son las cifras que siguen después del dígito 3. Esto es, no puede informarnos nada acerca de las milésimas, las diezmilésimas, etc., del valor verdadero de la cantidad medida. Por tanto, el resultado 1,43 s significa que el valor verdadero de la medición debe estar en el intervalo 1,425 s < T < 1,435 s. Como consecuencia, la corrección asociada con la resolución del instrumento, que debería aplicarse al resultado 1,43 s para que coincida con el valor verdadero, debe ser un valor entre -0,005 s y 0,005 s. Ahora, como el valor verdadero de la medida es desconocido por naturaleza, también lo será la corrección. Por tanto, lo único que puede decirse sobre la corrección por resolución es que:

-0,005 s < Cres < 0,005 s

Otra forma de expresar este mismo hecho es que Cres =0 s ± 0,005 s. Es decir, puesto que es imposible saber cuánto vale realmente Cres, el valor a reemplazar en la ecuación (1) y en la tabla No.3 es: Cres =0 s. Mientras tanto, la incertidumbre de Cres no es cero: Cres = 0,005 s.

Incertidumbre Ccal de la corrección por calibración. Otro principio básico en metrología es

que todo instrumento de medición debe haber sido calibrado antes de su uso. De esta manera se garantiza que el instrumento está funcionando correctamente y, al mismo tiempo, se


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asegura que las medidas tengan trazabilidad a patrones internacionales. Recordemos que una calibración es la comparación de las lecturas de un instrumento contra las de otro instrumento de mejor clase de exactitud, llamado patrón. Si los errores, es decir, las diferencias entre las lecturas del instrumento y las lecturas del patrón son menores que las tolerancias establecidas en los estándares pertinentes, el instrumento pasa la prueba. Los certificados de una calibración pueden venir acompañados de una tabla donde está consignados los errores que dio el instrumento junto con la incertidumbre de cada error. Cuando este es el caso, los valores de la corrección Ccal y de su incertidumbre Ccal se toman directamente del certificado.

De otro lado, si el certificado no contiene tabla de errores, los valores de Ccal y Ccal se calculan a partir de las tolerancias permitidas en los estándares de calibración del instrumento, o de alguna otra información confiable relacionada. En nuestro caso, por ejemplo, no tenemos certificados de calibración de los cronómetros (no han sido calibrados). No obstante, en la literatura se encuentra que el tiempo es una de las variables metrológicas que pueden reproducirse con mayor exactitud, y en promedio, los cronómetros ofrecen una exactitud del orden de ±0,0005%. (ver el enlace: http://www.inymet.com.mx/web_inymet/ingenieria_y_metrologia/informacion/info/Cronometros.pdf ). Por lo tanto, para un tiempo del orden de 2,00 s, la corrección por error o tolerancia de calibración de este instrumento debe ser del orden de ±0,000 01 s. Que equivale a, Ccal = 0 ± 0,000 01 s. Por razones similares a las del caso de la resolución, tomamos el valor de la corrección igual a cero (pues no sabemos si es por exceso o por defecto) pero su incertidumbre es distinta de cero: Ccal = 0,000 01 s.

Paso V: Combinación de las componentes de Incertidumbre: Registre en la tabla No. 3 los diferentes valores de las cantidades de entrada y de sus incertidumbres. Combine dichas incertidumbre y obtenga la incertidumbre combinada. Paso VI: Reporte de incertidumbre: En la última fila de la tabla No. 3 reporte el resultado de medición que obtuvo para el período, junto con su. Tenga en cuenta las normas de redondeo que se explican en el laboratorio cero. 2.3 MEDICIÓN DE LA LONGITUD DE LA CUERDA.

Ahora mida la longitud del péndulo desde el punto de suspensión o nudo hasta el “centro” de la masa. Registre su resultado en la 2ª fila de la tabla No 4.

2.4 ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE PARA LA LONGITUD No siempre se dispone del tiempo, los recursos o la información necesarios para repetir la medida y evaluar la incertidumbre por el método tipo A. En estos casos se debe recurrir a métodos tipo B. En general, estos métodos se basan en la experiencia, la intuición, el tanteo, el conocimiento previo de la magnitud por medir, información extraída tablas o manuales, etc. Aplicaremos solo métodos tipo B para el caso de la longitud del péndulo, cuya medida se realizó


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una sola vez. Siga los siguientes pasos para hallar la incertidumbre de la longitud. A medida en que los vaya realizando, consigne sus resultados y estimaciones en la tabla No. 4. - Identifique cuáles pueden ser las diferentes fuentes de error en la medida de la longitud del

péndulo y las correcciones correspondientes. Escriba la lista de estas cantidades de entrada en la segunda columna de la Tabla 4 (considere en su discusión, el instrumento, el procedimiento de medida etc.).

- Escriba el modelo (fórmula) matemática que relaciona la cantidad por medir con las diferentes variables o cantidades de entrada.

- Asígnele un valor a cada cantidad de entrada,1, y estime su incertidumbre. - Halle la incertidumbre combinada l combinando las diferentes componentes que cuantificó

en el paso anterior. Use la regla de combinación que correspondan al modelo matemático de esta variable. Tenga en cuenta la sección 2.2.5 del laboratorio cero.

- En la casilla respectiva de la tabla No.4, reporte los valores de l y l con el número correcto

de cifras significativas. Al término de esta sección, la tabla No. 4 debe quedar completamente diligenciada. 2.5 CÁLCULO DEL VALOR DE LA ACELERACIÓN GRAVITACIONAL g EN CALI

Empleando las leyes de la mecánica newtoniana, puede probarse teóricamente que el período de un péndulo que oscila con pequeñas oscilaciones está dado por la expresión:

g

l2T

Con los resultados de medición para T y l obtenidos en las secciones anteriores calcule el valor de la aceleración de la gravedad g en el laboratorio de física. De nuevo, use y conserve en los cálculos intermedios todas las cifras significativas que da la calculadora. Redondee únicamente al final, cuando vaya reportar el resultado con su incertidumbre.

2.6 ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE PARA LA GRAVEDAD

De manera semejante a como lo hizo para el período y la longitud, siga los pasos necesarios para hallar la incertidumbre g. Diligencie la tabla No. 5 a medida que sigue el procedimiento. Para facilitar sus cálculos exprese la función g = f(T, l) como un producto de potencias. Termine de diligenciar la tabla No. 5 expresando g y su incertidumbre con el número correcto de cifras significativas.

1 Se asume de nuevo que los errores considerados se deben a efecto aleatorios, esto es, que en caso de que se repitiera la medida el error tiene la misma probabilidad de ser positivo o negativo, oscilando su valor alrededor de cero. Por tanto, el valor más probable para una corrección debida a ese efecto es cero.


7

2.7 ERROR

Mediciones más confiables que la de esta práctica han establecido que la gravedad en Cali tiene un valor de g = 9,77 m/s2 + 0,10 m/s2. Tomando este valor como referencia halle el error y el porcentaje de error de su resultado de medición.

3 CONCLUSIONES.

Compare sus resultados, discuta acuerdos y diferencias y haga sus conclusiones.


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Tabla No. 1

Medida Nº T i (s) Ti (s)

(ordenado) (Ti - T )(s) (Ti - T )2(s2)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

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19

20

21

22

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24

25

26

27

28

29

30


9

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

n=50

)(1

n

i

Ti

)(1

TTin

i

2

1

)( TTin

i

n

i

Tin

T1

1

2n

1i

2 )TTi(1n

1s

s = n

ssm =


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Tabla No 2

Intervalo frecuencia

[ , )

[ , )

[ , )

[ , )

[ , )

[ , )

[ , )

[ , )

Figura No1.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5 6 7 8

F

r

e

c

u

e

n

c

i

a


11

Tabla No. 3 Magnitud por medir (Definición de T, en palabras):

Función (Relación de T con las cantidades de entrada):

T =

Resultado de Medición ( mejor estimado de T)

T =

Xi

Nombre de la cantidad de entrada

xi

Valor de la cantidad de entrada

xi

Incertidumbre estimada para el valor de cada cantidad de entrada

Método de estimación

(A o B)

T

Cres 0

Ccal

Expresión para calcular la incertidumbre combinada de la magnitud por medir:

T = Valor de la incertidumbre combinada

T = Reporte del resultado de medición con su incertidumbre: T = +


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Tabla No. 4

Magnitud por medir (Definición de l, en palabras): Longitud de la cuerda

Función (Relación de l con las cantidades de entrada):

l =

Resultado de Medición ( mejor estimado de l)

l =

Xi


xi


xi



(A o B)

Expresión para calcular la incertidumbre combinada de la magnitud por medir:

l =

Valor de la incertidumbre combinada l =

Reporte del resultado de medición con su incertidumbre: l = +


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Tabla No. 5 Magnitud por medir (Definición g, en palabras): Aceleración de la gravedad en Cali

Resultado de Medición ( mejor estimado de g)

g =

Función (Relación de g con las cantidades de entrada): g =

Xi


xi


xi



(A o B)

Expresión para calcular la incertidumbre combinada de la magnitud por medir (deducir en casa):

g = Valor de la incertidumbre combinada

g = Reporte del resultado de medición con su incertidumbre: g = +

Revisión 2012.02.09

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