PRÁCTICAS DE TOPOGRAFÍA · 2016-12-03 · PRÁCTICAS DE TOPOGRAFÍA Topografía – ETSIA - US...

PRÁCTICAS DE TOPOGRAFÍA

Topografía – ETSIA - US Página 1 Ejercicios propuestos por: M. González-Mediero M.J. León-Bonillo

Práctica 17: Métodos de Intersección Directa e Intersección Inversa.

Nº 1 Se desean conocer las coordenadas de un punto Q, inaccesible. Para calcularlas hemos

estacionado, una estación total, en dos puntos de coordenadas conocidas M y N, desde donde hemos tomado los ángulos que se detallan a continuación.

M= (269,682; 305,864) Ángulo leído desde M a Q= 291,0693

g

N= (761,494; 251,184) Ángulo leído desde M a N= 369,3473g

Ángulo leído desde N a M= 25,7732g

Ángulo leído desde N a Q= 100,1273g

Sabiendo que Q se encuentra a la derecha de la alineación NM. Calcular las coordenadas de los puntos Q.

Resultado Q= (563,213; 910,534)

Cálculo de la distancia MN: MN= √∆X

2 + ∆Y

2= √491,812

2 + 54,680

2= 494,842 m.

Cálculo de ángulos M, N y Q: M= (369,3473 – 291,0693)= 78,2780

g

N= (100,1273 – 25,7732)= 74,3541g

Q= 200 – (78,2780 + 74,3541)=47,3679g

Cálculo de acimutes: θM

N= 100 + atg ∆YM

N = 100 + atg 54,680= 107,0490

g

∆XMN 491,812

θM

Q= (θM

N - M)= (107,0490 - 78,2780)= 28,7710

g

Cálculo de la distancia MQ: MQ = MN MQ= MN * sen N= 494,842 * sen 74,3541= 672,148 m. sen N sen Q sen Q sen 47,3679 Cálculo de las coordenadas de Q: XQ= XM + (MQ * sen θM

Q)= 269,682 + (672,148 * sen 28,7710)= 563,213

YQ= YM + (MQ * cos θMQ)= 305,864 + (672,148 * cos 28,7710)= 910,531

MN

Q



Nº 2 Para conocer las coordenadas de un punto K, inaccesible, nos hemos estacionado en dos

puntos de coordenadas conocidas U y V, desde donde se han tomado los ángulos que se detallan a continuación.

U= (1.342,462; 1.184,942) Ángulo leído desde U a V= 294,2523g

V= (1.863,926; 1.299,791) Ángulo leído desde U a K= 377,4522g

Ángulo leído desde V a K= 291,5041g

Ángulo leído desde V a U= 368,7467g

Sabiendo que K se encuentra al sur de la alineación UV. Calcular las coordenadas de los puntos K.

Resultado K= (1.739,760; 423,067)

Cálculo de la distancia UV: UV= √∆X

2 + ∆Y

2= √521,462

2 + 114,849

2= 533,960 m.

Cálculo de ángulos U, V y K: U= (377,4522 – 294,2523)= 83,1999

g

V= (368,7467 – 291,5041)= 77,2426g

K= 200 – (83,1999 + 77,2426)=39,5575g

Cálculo de acimutes: θU

V= atg ∆XU

V = atg 521,462= 86,1991

g

∆YUV 114,849

θU

K= (θU

V + U)= (86,1991 - 83,1999)= 169,3990

g

Cálculo de la distancia MQ: UV = UK UK= UV * sen V= 533,960 * sen 77,2426= 859,241 m. sen K sen V sen K sen 39,5575 Cálculo de las coordenadas de K: XK= XU + (UK * sen θU

K)= 1.342,462 + (859,243 * sen 169,3990)= 1.739,760

YK= YU + (UK * cos θUK)= 1.184,942 + (859,243 * cos 169,3990)= 423,068

U

K

V

UV



Nº 3 Queremos conocer las coordenadas de un punto P, inaccesible. Para ello hemos situado

la estación en dos puntos de coordenadas conocidas A y B, desde donde se han tomado los ángulos que se detallan a continuación.

A= (1.328,299; 2.119,406) Ángulo leído desde A a P= 214,6154

g

B= (1.838,286; 2.221,183) Ángulo leído desde A a B= 310,6672g

Ángulo leído desde B a A= 351,5121g

Ángulo leído desde B a P= 26,5441g

Sabiendo que P se encuentra a la Izquierda de la alineación AB. Calcular las coordenadas de los puntos P. Resultado P= (1.180,928; 3.204,717)

Cálculo de la distancia AB: AB= √∆X

2 + ∆Y

2= √509,987

2 + 101,777

2= 520,044 m.

Cálculo de ángulos A, B y P: A= (310,6672 – 214,6154)= 96,0518

g

B= (400 – 351,5121) + 26,5441= 75,0320g

P= 200 – (96,0518 + 75,0320)=28,9162g

Cálculo de acimutes: θA

B= atg ∆XA

B = atg 509,987= 87,4599

g

∆YAB 101,777

α= (A - θA

B)= (96,0518 – 87,4599)= 8,5919

g

θA

P= (400 - α)= (400 - 8,5919)= 391,4081

g

Cálculo de la distancia AP: AP = AB AP= AB * sen B= 520,044 * sen 75,0320= 1.095,272 m. sen B sen P sen P sen 28,9162 Cálculo de las coordenadas de P: XP= XA + (AP * sen θA

P)= 1.328,299 + (1.095,272 * sen 391,4081)= 1.180,928

YP= YA + (AP * cos θAP)= 2.119,406 + (1.095,272 * cos 391,4081)= 3.204,718

A

P

B



Nº 4 Para obtener las coordenadas de dos puntos A y B, referidos a un sistema del cual se

conocen las coordenadas, puntos C y D, nos hemos estacionado en los puntos A y B. Se sabe que los puntos A y B se encuentran a la derecha de la alineación C–D. Situados en A se ha visado a los puntos C, D y B. Situados en B se ha visado a los puntos A, C y D. Los datos obtenidos en campo son los siguientes: Est. P.O. Áng. Horiz. A C 47,3187

g

" D 118,2773g

" B 184,5054g

B A 85,5128g

" C 129,6600g

" D 197,4969g

Sabiendo que las coordenadas de C y D son, respectivamente: C= ( 828,056 / 982,741) D= (1.137,837 / 436,811) Con los datos anteriores calcular las coordenadas de los puntos A y B.

Resultado A= (500,427; 607,049) B= (560,438; 389,791)

Cálculo de ángulos.-

α1= (118,2773 – 47,3187)= 70,9586g

β1= (184,5054 – 118,2773)= 66,2281g

α2= (129,66 – 85,5128)= 44,1472g

β2= (197,4969 – 129,6600)= 67,8369g

γ1= 200 – (α1+ β1 + α2) = = (200 – 181,3339)= 18,6661g

γ2= 200 – (β1+ α2 + β2) = = (200 – 178,2122) = 21,7878g

Distancia CD= √ Δx2 + Δy2= √309,7812 + 545,9302= 627,697 m.

S = (α + β) = (β1+ α2) (α + β) = 110,3753g

β = (110,3753 - α)

B

A

C

D

1

1

1

2

2

2



DCA=> DC = CA => DC = sen α1 sen α1 sen β CA sen β

CAB=> CA = AB => CA = sen α2 sen α2 sen γ1 AB sen γ1

ABD=> AB = BD => AB = sen γ2 sen γ2 sen β1 BD sen β1

BDC=> BD = DC => BD = sen α sen α sen β2 DC sen β2 1= sen α1 * sen α2 * sen γ2 * sen α sen β * sen γ1 * sen β1 * sen β2 K = sen α = sen γ1* sen β1 * sen β2 = 0,218154868= 1,132798129 sen β sen α1* sen α2 * sen γ2 0,192580533 sen α = 1,132798129 sen (110,3753 - α) sen α = K [(sen 110,3753 * cos α) - (cos 110,3753 * sen α)] sen α = 1,132798129* [(sen 110,3753 * cos α) - (cos 110,3753 * sen α)] sen α = (1,117787388* cos α) - (-0,183801403 * sen α) 0,816198596 * sen α = 1,117787388* cos α sen α = 1,117787388 α = atg 1,369504179 = 59,8482g cos α 0,816198596

β= (110,3753 – 59,8482)= 50,5271g Cálculo de acimutes.- θC

D = (100 + atg ΔY ) = 100 + atg 545,930 = 167,1420g ΔX 309,781 θC

A = (θCD + α + γ1)= 245,6563g

θD

B = θDC - (β + γ2)= 367,1420 – (50,5271 +21,7878)= 294,8271g

Multiplicando miembro

a miembro.



Cálculo de distancias CA y BD.- CA= DC * sen β= 627,697 * sen 50,5271 = 498,483 m sen α1 sen 70,9586 BD= DC * sen α = 627,697 * sen 59,8482 = 579,310 m sen β2 sen 67,8369 Coord. de A: XA= XC + (CA * sen θC

A)= 828,056 + (498,483 * sen 245,6563)= 500,427 YA= YC + (CA * cos θC

A)= 982,741 + (498,483 * cos 245,6563)= 607,049 Coord. de B: XB= XD+ (BD * sen θD

B)= 1.137,837 + (579,310 * sen 294,8271)= 560,438 YB= YD+ (BD * cos θD

B)= 436,811 + (579,310 * cos 294,8271)= 389,791



Nº 5 Conocidas las coordenadas de tres puntos A, B y C; queremos darle coordenadas relativas en éste mismo sistema, a un punto P, situado al este de los puntos antes citados. Coordenadas de A, B y C:

XA= 530,379; YA= 219,466 XB= 592,531 YB= 417,179 XC= 476,438 YC= 652,637

Los datos tomados en campo desde el punto P son los siguientes:

Ángulo APB= 21,3434g

Ángulo BPC= 21,1389g

Calcular las coordenadas del punto P. Resultado P= (1.120,000; 383,000)

Distancias AB y BC: Distancia AB= √(Δx2 + Δy2)= √ 62,1522 + 197,7132= 207,252 m.

Distancia BC= √(Δx2 + Δy2)= √116,0932 + 235,4582= 262,522 m.

Ángulos: θB

A= 200 + atg ΔX= 200 + atg 62,152= 219,3898g ΔY 197,713

θB

C= 300 + atg ΔY= 300 + atg 235,458= 370,8383g ΔX 116,092

P

A

B

C



Ángulo exterior= (θB

C - θBA)= (370,8383 – 219,3898)= 151,4485 g

Ángulo B= (400 – ángulo exterior)= 248,5515 g

(A + C)= 400 – (B + α + β)= 108,9662g C= (108,9662 – A)

AB = BP => BP= AB * sen A sen α sen A sen α

Igualando tenemos: BC = BP => BP= BC * sen C sen β sen C sen β AB * sen A = BC * sen C sen α sen β

sen A = BC * sen α= 262,522 * sen 21,3434= 1,278473915 sen C AB * sen β 207,252 * sen 21,1389 sen A = 1,278473915 sen(108,9662 - A) sen A= 1,278473915 * [(sen 108,9662 * cos A) - (cos 108,9662 * sen A)] sen A= (1,265814884 * cos A) + (0,179466516 * sen A) 0,820533483 * sen A = 1,265814884 * cos A



sen A= 1,265814884 Ángulo A= 63,3863g cos A 0,820533483

Ángulo C= (108,9662 – 63,3863)= 45,5799g

Cálculo de la distancia BP:

AB = BP sen α sen A

BP= AB * sen A = 207,252 * sen 63,3863 = 528,576179 m sen α sen 21,3434 ω= 200 - (α + A)= 200 - (63,3863 + 21,3434)= 115,2703g

θBP= (θB

A - ω)= 219,3898 - 115,2703= 104,1195g Coordenadas de P: XP= XB + (BP * sen θB

P)= 592,531 + (528,576 * sen 104,1195)= 1.120,000 YP= YB + (BP * cos θB

P)= 417,179 + (528,576 * cos 104,1195)= 383,000



Problemas de Hansen Nº 1 A= (1054.728 / 1793.818) Ángulo leído desde M a A= 41.3792

g

B= ( 146.679 / 3423.778) Ángulo leído desde M a B= 130.0951g

Ángulo leído desde M a N= 162.8749g

Ángulo leído desde N a M= 112.4954g

Ángulo leído desde N a A= 170.6257g

Ángulo leído desde N a B= 264.7009g

Sabiendo que MN se encuentra a la derecha de la alineación AB. Calcular las coordenadas de los puntos M y N. Resultado M= (1642.964 / 2998.271) N= (1268.671 / 3377.513)

32.7

798g

88.7

159g

94.0752g58.1303g

Datos Resultados parciales Coordenadas de P1 y P2

Vértices

X Y Acimut AB 367,6421 X de P1 1642,964

A 1054,728 1793,818 Distan. AB 1865,830 Y de P1 2998,271

B 146,679 3423,778

X de P2 1268,671

Constante S 90,9101 Y de P2 3377,513

Constante K 0,84740701

AngulosAngulo P2AB 40,9063

a1 88,7159 Angulo ABP1 50,0038

b1 32,7798

a2 58,1303 Acimut AP1 28,9224

b2 94,0752 Distan. AP1 1340,421

Acimut AP2 8,5484

Distan. AP2 1598,081



Nº 2 N= (3672.041 / 2190.891) Ángulo leído desde Q a N= 200.2125g

M= (1947.625 / 2798.405) Ángulo leído desde Q a M= 286.0193g

Ángulo leído desde Q a P= 339.8405g

Ángulo leído desde P a Q= 79.0428g

Ángulo leído desde P a N= 126.7884g

Ángulo leído desde P a M= 200.8817g

Sabiendo que PQ se encuentra a la izquierda de la alineación MN. Calcular las coordenadas de los puntos P y Q. Resultado P= (2355.544 / 3671.515) Q= (2833.930 / 3626.403)

74.0933g

47.7

456g

53.8

212g

85.8068g


Vértices

X Y Acimut AB 321,5638 X de P1 2833,930

A 3672,041 2190,891 Distan. AB 1828,301 Y de P1 3626,403

B 1947,625 2798,405

X de P2 2355,544

Constante S 101,5668 Y de P2 3671,515



a1 85,8068 Angulo ABP1 69,3994

b1 53,8212

a2 47,7456 Acimut AP1 366,3576

b2 74,0933 Distan. AP1 1662,265

Acimut AP2 353,7312




Nº 3 S= (1925.547 / 1909.078) Ángulo leído desde M a S= 216.1744

g

T= (1378.730 / 273.330) Ángulo leído desde M a T= 297.5177g

Ángulo leído desde M a L= 345.2662g

Ángulo leído desde L a M= 172.5791g

Ángulo leído desde L a S= 227.5335g

Ángulo leído desde L a T= 307.0729g

Sabiendo que LM se encuentra a la izquierda de la alineación TS. Calcular las coordenadas de los puntos M y L. Resultado M= ( 557.120 / 1476.842) L= ( 486.663 / 1013.876)

79.5

394g

54.9544g

47.7485g

81.3

433g


Vértices

X Y Acimut AB 220,5382 X de P1 557,120

A 1925,547 1909,078 Distan. AB 1724,726 Y de P1 1476,842

B 1378,730 273,330

X de P2 486,663

Constante S 102,7029 Y de P2 1013,876



a1 81,3433 Angulo ABP1 58,6720

b1 47,7485

a2 54,9544 Acimut AP1 280,5229

b2 79,5394 Distan. AP1 1435,068

Acimut AP2 264,5691




Nº 4 V= (1850.189 / 1246.860) Ángulo leído desde A a V= 95.0865g

W= (3879.977 / 1998.308) Ángulo leído desde A a W= 173.6783g

Ángulo leído desde A a B= 217.0589g

Ángulo leído desde B a A= 74.4687g

Ángulo leído desde B a V= 128.2319g

Ángulo leído desde B a W= 217.1711g

Sabiendo que AB se encuentra a la derecha de la alineación VW. Calcular las coordenadas de los puntos A y B. Resultado A= (2540.450 / 215.978) B= (3139.300 / 365.626)

Ejercicios propuesto por el profesor D. Miguel Ángel González Mediero (2007).

53.7

632g

88.9392g

43.3806g

78.5918g


Vértices

X Y Acimut AB 77,4277 X de P1 2540,450

A 1850,189 1246,860 Distan. AB 2164,420 Y de P1 215,978

B 3879,977 1998,308

X de P2 3139,300

Constante S 97,1438 Y de P2 365,626



a1 78,5918 Angulo ABP1 36,3977

b1 43,3806

a2 53,7632 Acimut AP1 162,4382

b2 88,9392 Distan. AP1 1240,636

Acimut AP2 138,1738




Problemas de Pothenot Nº 1 O= ( 207.068 / 1101.873) Ángulo OWP= 28.6704

g

P= ( 554.938 / 1369.908) Ángulo PWQ= 16.1232g

Q= ( 323.024 / 1594.477) Sabiendo que W se encuentra a la izquierda de los puntos QPO. Calcular las coordenadas del punto W. Resultado W= ( 946.292 / 1290.222)

16.1232g

28.6704g

Datos Resultados parciales Coordenadas de P

Vértices

X Y Angulo ABC 309,2305 X de P 946,292

A 207,068 1101,873 Distan. BA 439,154 Y de P 1290,223

B 554,938 1369,908 Distan. BC 322,824

C 323,024 1594,477

Constante S 45,9759


Angulo PAB 25,9110

Angulo BCP 20,0649

Angulo PBC 163,8119

Angulos

a 28,6704 Acimut BP 112,7876

b 16,1232 Distan. BP 399,384



Nº 2 S= (1582.114 / 1583.811) Ángulo SLV= 21.8546

g

V= (1751.593 / 1375.351) Ángulo VLT= 29.7649g

T= (1666.898 / 1030.238) Sabiendo que L se encuentra a la derecha de los puntos SVT. Calcular las coordenadas del punto L. Resultado L= ( 976.180 / 1238.641)

29.7649g

21.8546g


Vértices


A 1582,114 1583,811 Distan. BA 268,661 Y de P 1238,641

B 1751,593 1375,351 Distan. BC 355,354

C 1666,898 1030,238

Constante S 207,1581


Angulo PAB 110,4925

Angulo BCP 96,6656

Angulo PBC 73,5695

Angulos

a 21,8546 Acimut BP 288,8901

b 29,7649 Distan. BP 787,372



Nº 3 M= ( 305.507 / 1056.666) Ángulo MQN= 33.9358

g

N= ( 696.861 / 1114.619) Ángulo NQP= 27.3446g

P= ( 950.516 / 984.224) Sabiendo que Q se encuentra a la izquierda de los puntos PNM. Calcular las coordenadas del punto Q. Resultado Q= ( 791.079 / 448.157)

27.3446g

33.9358g


Vértices


A 305,507 1056,666 Distan. BA 395,622 Y de P 448,157

B 696,861 1114,619 Distan. BC 285,208

C 950,516 984,224



Angulo PAB 66,4828

Angulo BCP 111,8251

Angulo PBC 60,8303

Angulos

a 33,9358 Acimut BP 191,0593

b 27,3446 Distan. BP 673,089



Nº 4 J= (1026.029 / 1153.017) Ángulo JOK= 19.8014

g

K= (1344.910 / 913.960) Ángulo KOL= 35.2726g

L= (1772.501 / 1022.622) Sabiendo que O se encuentra a la derecha de los puntos JKL. Calcular las coordenadas del punto O. Resultado O= (1410.136 / 276.471)

35.2726g

19.8014g


Vértices


A 1026,029 1153,017 Distan. BA 398,539 Y de P 276,471

B 1344,910 913,960 Distan. BC 441,182

C 1772,501 1022,622

Constante S 88,1299


Angulo PAB 32,7541

Angulo BCP 55,3758

Angulo PBC 109,3516

Angulos

a 19,8014 Acimut BP 193,5088

b 35,2726 Distan. BP 640,817



Nº 5 A= ( 71.851 / 400.711) Ángulo CPB= 35.1872

g

B= (405.226 / 168.897) Ángulo BPA= 33.2000g

C= (745.849 / 407.955) Sabiendo que P se encuentra a la izquierda de los puntos ABC. Calcular las coordenadas del punto P. Resultado P= (267.526 / 944.023)

33.2000g

35.1872g


Vértices


A 745,849 407,955 Distan. BA 416,140 Y de P 944,023

B 405,226 168,897 Distan. BC 406,050

C 71,851 400,711



Angulo PAB 92,5780

Angulo BCP 116,6739

Angulo PBC 50,1261

Angulos

a 35,1872 Acimut BP 388,8073

b 33,2000 Distan. BP 787,262



Nº 6 O= (770.212 / 31.690) Ángulo OSP= 18.3878

g

P= (629.561 / 248.387) Ángulo PSQ= 26.4058g

Q= (882.799 / 509.980) Sabiendo que S se encuentra a la izquierda de los puntos QPO. Calcular las coordenadas del punto S. Resultado S= (1487.961 / 214.376)

Ejercicios propuesto por el profesor D. Miguel Ángel González Mediero (2007).

26.4058g

18.3878g


Vértices


A 770,212 31,690 Distan. BA 258,341 Y de P 214,376

B 629,561 248,387 Distan. BC 364,088

C 882,799 509,980



Angulo PAB 120,7847

Angulo BCP 120,0401

Angulo PBC 53,5541

Angulos

a 18,3878 Acimut BP 102,5211

b 26,4058 Distan. BP 859,073

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