Presentación de PowerPoint...Método de Newton-Rhapson (multivariable) La formula recursiva de N-R...

Integración IV Revisión de Métodos Numéricos Aplicables en

Simulación de Estado Estacionario

2017

Profesor: Dr. Nicolás J. Scenna JTP: Dr. Néstor H. Rodríguez Aux. 1ra: Dr. Juan I. Manassaldi

Abiertos

Secante

Aproximaciones Sucesivas

Sustitución directa

(simple)

Método de Wegstein

(acelerado)

Newton – Rhapson

Tradicional

Múltiples Raíces

Acotados

Bisección

Regla Falsa

Introducción

Para aplicar el método se debe definir una nueva función F(x) del tipo:

Se desea hallar x* tal que

( )y f x

*( ) 0y f x

( )F x

Aproximaciones Sucesivas (univariable)

Sea la función:

Se obtiene sumando miembro a miembro en la expresión original x

Despejando x de algún termino

( )x F x

ln 4f x x x

ln 4F x x x x

2

4 lnF x x

4 xF x e

1k kx F x

1k k

rk

x x

x

1 1k kx F x

0

0x

1 0x F x

2 1x F x

Sustitución directa

A partir de un valor inicial (punto de arranque o valor semilla) se genera un nuevo valor utilizando F(x)

Se generan valores hasta satisfacer la tolerancia del error o alcanzar el numero máximo de iteraciones

max1, 2, ...,k k

2 4 6 8 10 12 140

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

2 4 6 8 10 12 140

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

2 4 6 8 10 12 140

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

2 4 6 8 10 12 140

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

2 4 6 8 10 12 140

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

2 4 6 8 10 12 140

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

Interpretación Grafica

1 11

k k kx qx q x

2 1k kx F x

1

q

1

1

k k

k k

F x F x

x x

Método de Wegstein

Mejora el proceso de sustitución directa. A partir del valor inicial se generan dos valores de manera tradicional y luego se aplica la siguiente ley recursiva:

max2, 3, ...,k k

1k k

rk

x x

x

1 1k kx F x


1

q

0 0

0x x

3 2 31x qx q x

1 0 1x F x x

2 1

2 1

F x F x

x x

2 1 2x F x x

3 2x F x

4 3x F x

1 11

k k kx qx q x

2 1k kx F x

1

q

1

1

k k

k k

F x F x

x x

Método de Wegstein

Paso a paso para una mejor comprensión:

max2, 3, ...,k k

1k k

rk

x x

x

1 1k kx F x

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)

2 4 6 8 10 12 14

2

4

6

8

10

12

14

16

x

F(x

)


El nuevo valor generado en la iteración k, o sea corresponde a la intersección de la

recta que une los puntos y con la recta y=x ,k k

x F x 1 1

,k k

x F x

1kx

0

1 0

0'

f xx x

f x

0

0x

1

2 1

1'

f xx x

f x

1

'

k

k k

k

f xx x

f x

Método de Newton-Rhapson (univariable)

A partir de un valor inicial (punto de arranque o valor semilla) se genera un nuevo valor que corresponde a la intersección de la recta tangente a la curva con el eje de las abscisas.

1k k

rk

x x

x

1kf x


max1, 2, ...,k k

0 1 2 3 4 5 6 7 8-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

x

f(x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

x

f(x)


1

'

k

k k

k

u xx x

u x

Las raíces múltiples corresponden a puntos en donde la función es tangente al eje x.

Ralston and Rabinowitz (1978) propusieron la función u(x) que tiene las mismas raíces que f(x)

'

f xu x

f x

2

'

' ' ''

u x f x f x

u x f x f x f x

1

2

'

' ''

k k

k k

k k k

f x f xx x

f x f x f x

Modificación para múltiples raíces

Por lo tanto, al aplicar N-R a la nueva función u(x) se obtiene:

luego,

1k k

rk

x x

x

1kf x


max1, 2, ...,k k

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

f(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

f(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

f(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

f(x)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x

f(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x

f(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x

f(x)

24 iteraciones N-R tradicional

Interpretación Grafica (N-R tradicional)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x

f(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x

f(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x

f(x)

Interpretación Grafica (N-R modificado)

5 iteraciones N-R modificado

n-m: grados de libertad

Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales

1 1 2

2 1 2

1 2

, , , 0

, , , 0

, , , 0

n

n

m n

f x x x

f x x x

f x x x

1,2, ,

: 1, 2, ,

i

n

j

x R i n

f R R j m

Sin perdida de generalidad supondremos m=n

1 1 2

2 1 2

1 2

, , , 0

, , , 0

, , , 0

n

n

n n

f x x x

f x x x

f x x x

:

n

n n

x R

f R R


1 1 2

2 1 2

1 2

, , ,

, , ,

, , ,

n

n

n n

f x x x

f x x xf x

f x x x

Se define la función vectorial f asociada al sistema de ecuaciones original y el vector de incógnitas x:

1

2

n

x

xx

x

0f x

Por lo tanto, la expresión compacta de un sistema de ecuaciones algebraicas no lineal corresponde a:


1 1 2

2 1 2

1 2

, , ,

, , ,

, , ,

n

n

n n

F x x x

F x x xF x

F x x x

Para aplicar algún método de aproximaciones sucesivas se debe reformular la función vectorial original a una del tipo:

Por lo que el sistema equivalente corresponde a:

x F x:

n

n n

x R

F R R

1

21 1 2 1 2 1

22 1 2 1

, 2cos 0

, 2 0x

xf x x x x x

xf x x e e x

1

21 2 1

21

2cos

2x

xx x x

fx

e e x

1

2

xx

x

1

21 2 1

21 2

2cos 2

2x

xx x x

Fx

e e x x

; : ; :n n n n nx R f R R F R R

Ejemplo

0f x x F x

1

1

k k

k k

rk

x x

x x

x

Sustitución directa (multivariable)

El valor de arranque o semilla corresponde a un vector:

0

1

00 0 2

0

n

x

1 0x F x

La primera aproximación se obtiene a partir de la función vectorial F asociada al sistema original.

Finalmente se desarrolla el proceso iterativo hasta satisfacer la tolerancia o alcanzar el máximo de iteraciones:

1k kx F x

max1, 2, ...,k k

Al tratarse de vectores el error corresponde a la norma de la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas

1

21 2 1

21 2

2cos 2

2x

xx x x

Fx

e e x x

0 0.9

3x

0

1 0.94678

3.16246

F x

x

2 1 -0.02488

0.16649e x x

1

2 0.92191

3.32896

F x

x

Implementación en el ejemplo

1

2

xx

x

0.16834e

El error de la iteración 7 corresponde a: 128.37665 10e

¡El sistema no converge!

0 0

0x x

1 0 1x F x x

2 1 2x F x x

3 2x F x

11

ii

i

q i a n

1

11

k k

i i

i k k

i i

F x F xi a n

x x

1ii iQ q i a n

2 1k kx F x

1 1k kkx Qx I Q x

Método de Wegstein (multivariable)

Corresponde a una extensión de lo presentado para una variable.

max2,3,...,k k

1k k

rk

x x

x

1 1k kx F x

1

2

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 n

q

qQ

q

0.52994

2.29723

-1.12741 0

0 1.77087Q

2

3 0.90872

3.71143

F x

x

2 33

i iix Qx I Q x


0 0.9

3x

0

1 0.94678

3.16246

F x

x

1

2 0.92191

3.32896

F x

x

2 1

2 11

i i

i

i i

F x F xi a n

x x

11

ii

i

q i a n

1ii iQ q i a n

3 -1.12741 0 0.92191 2.12741 0 0.90872

0 1.77087 3.32896 0 -0.77087 3.71143ix

3 0.89386

3.03412x

4 3x F x

3 2 0.89386 0.92191 -0.028050.29617

3.03412 3.32896 -0.29484e x x e


4 0.93517

3.24443x

El error de la iteración 90 corresponde a: 0.00427961e

Este es el menor error que se pudo encontrar en 100 iteraciones. La solución encontrada no es de “buena calidad”

* 0.99113

3.113416x

* 0.97641

3.11325F x

* -0.014725

-0.00017f x

1 1k k k kx x J x f x

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

n

n

n n n

n

f f f

x x x

f f f

x x xJ

f f f

x x x

Método de Newton-Rhapson (multivariable)

La formula recursiva de N-R multivariable corresponde a:

1kf x

1k k

rk

x x

x

max1,2,...,k k

Matriz Jacobiana de la función f

Inversa de la matriz J evaluada en el punto

:

:

n

n n

n n n

x R

f R R

J R R

1

21 2 1

21

2cos

2x

xx x x

fx

e e x

1

1 2 2 1 2 1

12 1 2

12

x

sen x x x sen x x x

J

e e e


0 0.9

3x

1 0.9 -0.32094 -0.16727 0.04678 0.94219

3 -1.10420 0.58021 0.16246 2.95740x

2 0.94219 -0.45979 -0.17906 0.00838 0.94644

2.95740 -1.52562 0.56158 0.00222 2.96893x

2 1 0.94644 0.94219 0.004250.01229

2.96893 2.95740 0.01153e x x e

3 40.94670

8.60794 102.96975

x e

4 60.94670

3.78051 102.96976

x e

5 110.94670

7.26989 102.96976

x e


* 0.94670

2.96976x

-10

*

-10

0.40478 10

0.01623 10f x

* 0.94670

2.96976F x

Podemos afirmar que es solución del sistema.

El error es del orden de 10-11

21

C

T1

P1

m1

xi,1

h1

s1

WRChis

T2

P2

m2

xi,2

h2

s2

Modelo de un Compresor

1 1 2 2 0W m h m h 2 1W m h h 1 2

Wh

m

1 2 0m m m

1 1, 2 2, 0i im x m x i 1, 2,i ix x

*2

1

ln 0

T IG

T

cpdT R RC

T

2

1

1 2

T

IG

T

h cp dT

*1 2

1 2

is

h

hh

Ejemplo: Compresión de Metano

Hipótesis: • Sin cambio de fase • Gas Ideal • Rendimiento isentrópico conocido • Relación de compresión Conocida

21

Ci=MetanoT1: 298.15 KP1: 1.01325 bar

¿W/m?RC=4his=0.8

T2: ¿?P2: 4.053 bar

*2

*

1

2

1 21

ln 0

T IG

T

Pcps dT R

T P

*2

*

1

1 2

T

IG

T

h cp dT

*2

*

1

1 2ln 0

T IG

T

cps dT R RC

T

2

1

1 2

T

IG

T

h cp dT

*1 2

1 2

is

h

hh

*2

*

1

1 2

T

IG

T

h cp dT

Estrategia de resolución Paso a Paso

Newton-Rhapson Sustitución Directa Wegstein

Cálculo directo

Cálculo directo

Newton-Rhapson Sustitución Directa Wegstein

*

2T

*1 2h

1 2h *1 2

1 2

is

hh

h

2T2

1

1 2 0

T

IG

T

cp dT h

*2

298.15

8.314472ln 4 0

T IGcpdT

T

*2

2 3 2 3 4

298.15

1 1 1ln

2 3 4

TIG IGcp a cpb cT dT eT dT a T bT cT dT eT C

T T T

*2

2 3 4

298.15

1 1 1ln 8.314472ln 4 0

2 3 4

T

a T bT cT dT eT

* 2 * 4 *2 7 *3 11 *4

2 2 2 2 2

1 1 137.93488ln 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021 0

2 3 4T T T T T

Paso 1: Temperatura ideal de descarga

2 3 4

2

4

7

11

8.314472

37.9348811130523 4

0.86.84220062904357 10

2.72495075111389 10

2.39023810089111 10

6.90563425598144 10

IG

is

J Jcp a bT cT dT eT R

molK molK

a RC

b

c

d

e

h

* 2 * 4 *2 7 *3 11 *4

2 2 2 2 2

1 1 137.93488ln 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021

2 3 4f T T T T T

298.15

ln 4

0*

2 298.15IG

R

cp

T e

2 4 * 7 *2 11 *3

2 2 2*

2

37.93488' 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10f T T T

T

0*1 0* *

21 0 1* * * 2 22 2 2 0*0*

22

403.33297 0.018122882539521'

r

f T T TT T T e

Tf T

2* -5

2 403.36466 7.85729 10rT e

3* -9

2 403.36466 1.47398 10rT e

*

2 403.36466T K

Paso 1: Temperatura ideal de descarga (N-R)

0*

2 410.77744T

*1 21 2

4025.25669

0.8is

hh

h

*2

*1 2

298.15

T

IGh cp dT

1 2 5031.57086J

hmol

2 3 4 51 1 1 1

2 3 4 5

IGcp aT bT cT dT eT C

*

* 2 *2 4 *3 7 *4 11 *5

2 2 2 2 21 2

1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140

2 3 4 5h T T T T T

*

2 403.36466T K *1 24025.25669

Jh

mol

Paso 2 y 3: Saltos de entalpía

*2

*

2 3 4 5

1 2298.15

1 1 1 1

2 3 4 5

T

h aT bT cT dT eT

2 2

1 2 1 2

298.15 298.15

0

T T

IG IGh cp dT cp dT h

2 2 4 3 7 4 11 5

2 2 2 2 2

1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140 5031.57086 0

2 3 4 5T T T T T

2 2 4 3 7 4 11 5

2 2 2 2 2

1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 15268.43226

2 3 4 5f T T T T T

2 4 2 7 3 11 4

2 2 2 2' 37.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10f T T T T

0 0

2 2

298.15

5031.57086298.15 438.03795

IGT T

cp

1

2 427.70483 0.02359rT e

2 -4

2 427.63429 1.64927 10rT e

3 -9

2 427.63429 7.61126 10rT e

2 427.63429T K

Paso 4: Temperatura real de descarga

2

298.15

5031.57086 0

T

IGcp dT

427.63176Hysys K

*2

298.15

R ln 0

T IGcpdT RC

T

*2

*1 2

298.15

T

IGh cp dT

*1 2

1 2

is

h

hh

*2

1 2

298.15

0

T

IG

iscp dT hh

2

1 2

298.15

0

T

IGcp dT h

*2

*2

2

298.15

1 2

298.15

1 2

298.15

ln

T IG

T

IG

is

T

IG

cpdT R RC

T

f x cp dT h

cp dT h

h

*

2

1 2

2

T

x h

T

Resolución como sistema de ecuaciones

* 2 * 4 *2 7 *3 11 *4

2 2 2 2 2

* 2 *2 4 *3 7 *4 11 *5

2 2 2 2 2

1 1 137.93488ln 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021

2 3 4

1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.8614

2 3 4 5

T T T T T

f x T T T T T

1 2

2 2 4 3 7 4 11 5

2 2 2 2 2 1 2

0 0.8

1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140

2 3 4 5

h

T T T T T h

*2

*2

2

298.15

1 2

298.15

1 2

298.15

R ln

T IG

T

IG

is

T

IG

cpdT RC

T

f x cp dT h

cp dT h

h

*

2

1 2

T

x h

T

Resolución como sistema de ecuaciones

* 2 * 4 *2 7 *3 11 *4

2 2 2 2 2

* 2 *2 4 *3 7 *4 11 *5

2 2 2 2 2

1 1 137.93488ln 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021

2 3 4

1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.8614

2 3 4 5

T T T T T

f x T T T T T

1 2

2 2 4 3 7 4 11 5

2 2 2 2 2 1 2

0 0.8

1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140

2 3 4 5

h

T T T T T h

* * 4 *2 7 *3 11 *4

2 2 2 2 22

1 1 1 137.93488ln 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021

6.84220 10 2 3 4T T T T T

* 2 *2 4 *3 7 *4 11 *5

1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140

0.8 2 3 4 5h T T T T T

2 2 4 3 7 4 11 5

2 2 2 2 2 1 2

1 1 1 1 16.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140

37.93488 2 3 4 5T T T T T h

* 4 *2 7 *3 11 *4

2 2 2 22

* 2 *2 4 *3 7 *4 11 *5

2 2 2 2 2

1 1 1 137.93488ln 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 217.40021

6.84220 10 2 3 4

1 1 1 1 137.93488 6.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 102

0.8 2 3 4 5

T T T T

F x T T T T T

2 2 4 3 7 4 11 5

2 2 2 2 1 2

36.86140

1 1 1 1 16.84220 10 2.72495 10 2.39024 10 6.90563 10 10236.86140

37.93488 2 3 4 5T T T T h

Resolución utilizando el método de Wegstein

0

410.77744

5063.81132

438.93430

x

298.15

ln 4

0*

2 298.15IG

R

cp

T e

0

1 2 298.15

1410.77744 298.15

0.8

IGh cp

0

2

298.15

5063.81132298.15

IGT

cp

1 0

421.69204

5411.56631

427.14307

x F x

2

448.51236

5977.78708

437.70540

x

3

513.66230

7403.96123

451.39128

x

3

402.92512

5038.74846

391.42633

x

0.15660re

4

402.27497

5009.15375

430.88847

x

4

403.37555

5057.83842

462.27722

x

0.01447re

10

403.36465

5031.57086

427.63429

x

-9 2.59647 10re

Resolución utilizando el método de Wegstein

Enfriamiento final

21

C

IC

3

T1

P1

m1

xi,1

h1

s1

WRChis

T2

P2

m2

xi,2

h2

s2

T3

P3

m3

xi,3

h3

s3

QUA

LMTD

Simulación modular secuencial Simulación global u orientada a ecuaciones

Compresión por etapas


21

C1

IC1

3

C2

4

IC2

5

T1

P1

m1

xi,1

h1

s1

W1

RC1

his1T2

P2

m2

xi,2

h2

s2

T3

P3

m3

xi,3

h3

s3

Q1

UA1

LMTD1

W2

RC2

his2T4

P4

m4

xi,4

h4

s4

Q2

UA2

LMTD2

T5

P5

m5

xi,5

h5

s5

Compresión por etapas y recirculación


21

C1

IC1

3

C2

4

IC2

5 6

R

0

T1

P1

m1

xi,1

h1

s1

W1

RC1

his1T2

P2

m2

xi,2

h2

s2

T3

P3

m3

xi,3

h3

s3

Q1

UA1

LMTD1

W2

RC2

his2T4

P4

m4

xi,4

h4

s4

Q2

UA2

LMTD2

T5

P5

m5

xi,5

h5

s5

T0

P0

m0

xi,0

h0

s0

TR

PR

mR

xi,R

hR

sR

T6

P6

m6

xi,6

h6

s6

Presentación de PowerPoint...Método de Newton-Rhapson (multivariable) La formula recursiva de N-R...

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