Realizado por:Ceila Osorio.Dismery Martinez.Deybis Avendano.Petit Vásquez.Area: Ing Industrial.

San Felipe, Febrero 2014

República Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario Politécnico

Santiago Mariño Extensión Barinas.

Introducción.

En la siguiente actividad hablaremos del Centro Instantáneo de Rotación (CIR) que también es conocido como el polo de velocidades, es un concepto fundamental en la cinemática y la geometría del movimiento plano. Aunque se intuye en algunas construcciones cinemáticas atribuidas a René Descartes, e Isaac Newton estuvo a punto de descubrirlo, en general se atribuye su descubrimiento a Johann Bernoulli (1742). En el desarrollo de la siguiente actividad definiremos claramente sobre el Centro Instantáneo de Rotación.

Centro Instantáneo de Rotación.

Punto en torno al cual gira un cuerpo en un instante determinado. Se define como la intersección de las perpendiculares a las trayectorias que recorren los puntos del cuerpo en movimiento. Durante el movimiento rectilíneo de un cuerpo, el centro instantáneo de rotación se halla en el infinito en dirección perpendicular al movimiento. Debido a que todo movimiento debe considerarse con relación a un sistema de referencia, también la rotación y su centro instantáneo son relativos a dicho sistema. Por ejemplo, la rueda de un vehículo posee, respecto a éste, un centro instantáneo de rotación que coincide con su eje, mientras que, con relación al suelo, el centro instantáneo de rotación se halla sobre la huella del neumático.

Un cuerpo rígido unido al sistema de referencia por medio de un eje, posee un centro instantáneo de rotación, con relación a este sistema, que coincide con dicho eje. Si está unido por medio de una varilla (por ejemplo, el brazo longitudinal de una suspensión), el centro instantáneo de rotación se halla sobre la recta que pasa por la varilla. Si está unido al sistema por medio de 2 varillas (por ejemplo, las suspensiones de trapecio oscilante), su centro instantáneo de rotación deberá pertenecer a las 2 rectas representadas por las varillas y, por tanto, se hallará en el punto de intersección de las mismas. Con razonamientos análogos puede hallarse el centro instantáneo de rotación de cualquier sistema articulado, por complicado que el mismo sea.

El centro instantáneo de rotación, referido al movimiento plano de un cuerpo, se define como el punto del cuerpo o de su prolongación en el que la velocidad instantánea del cuerpo es nula.

Si el cuerpo realiza una rotación pura alrededor de un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación. 

El Centro Instantáneo de Rotación.

Si el cuerpo realiza una traslación pura el centro instantáneo de rotación se encuentra en el infinito en dirección normal a la velocidad de traslación.

Si el cuerpo realiza un movimiento general el centro instantáneo de rotación se mueve respecto al cuerpo de un instante a otro (de ahí que se llame centro instantáneo de rotación). Su posición se puede conocer en cada instante por intersección de las direcciones perpendiculares a la velocidad de dos de sus puntos. 

Centro instantáneo de rotación relat ivo.

El centro instantáneo de rotación relativo o polo común entre dos sólidos rígidos, referido al movimiento plano de ambos sólidos, se define como el punto de los dos sólidos o de su prolongación en el que la velocidad instantánea es igual para los dos sólidos. Es decir, es el punto en el que no existe velocidad relativa entre ambos sólidos.

El centro instantáneo de rotación de un sólido rígido es un caso particular de centro instantáneo de rotación relativo en el que uno de los dos sólidos es el eslabón fijo (suelo).

El teorema de los tres centros (o de Kennedy) es útil para encontrar aquellos centros instantáneos de rotación relativos en un mecanismo, que no sean de obtención directa (obvios). Su enunciado es el siguiente:  "Si tenemos tres eslabones (sólidos rígidos) animados de movimiento relativo entre ellos (ya sea que estén o no conectados entre sí) los centros instantáneos de rotación relativos entre los tres eslabones han de estar alineados“. Se puede demostrar este teorema por contradicción, como se muestra en la siguiente figura. Suponemos que uno de los eslabones es fijo (suelo). En ese caso, el centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3 no puede estar en el punto P de contacto entre dichos eslabones, pues dicho punto no tendría la misma velocidad como perteneciente al eslabón 2 (vP2), que la que tendría como perteneciente al eslabón 3 (vP3).

Teorema de los tres Centros.

Estas dos velocidades sólo pueden ser iguales en un punto Q que esté alineado con los centros instantáneos de rotación relativos de cada eslabón respecto del eslabón fijo. Ya que esta es la única forma de que las direcciones (y sentidos) de vQ2 y vQ3 coincidan.

La posición de Q dependerá de las velocidades angulares de los eslabones 2 y 3 (tanto de su módulo, como de su sentido). En el ejemplo mostrado, es claro que ω2 ha de ser mayor que ω3. Este teorema también puede demostrarse planteando el cálculo de la velocidad del punto Q (centro instantáneo de rotación relativo entre los eslabones 2 y 3) como perteneciente al sólido 2 y como perteneciente al sólido 3:

Esta última igualdad sólo es posible si los dos vectores de posición del punto Q (respecto a los centros de rotación O2 y O3) tienen la misma dirección. Y, por lo tanto, los tres centros instantáneos de rotación relativos (O2, O3 y Q) han de estar alineados. 

Análisis de la Velocidad.

Cuando se conocen los centros instantáneos de rotación de un mecanismo resulta inmediato determinar la velocidad de cualquier punto del mismo, sin necesidad de calcular primero las velocidades de otros puntos. Con el método de los CIR, no es necesario calcular la velocidad de un punto que una físicamente dos barras, sino que calculando la velocidad del CIR relativo de dos eslabones podemos considerar que conocemos la velocidad de un punto que pertenece indistintamente a cualquiera de los dos eslabones. Es importante resaltar que el CIR se comporta como si perteneciera simultáneamente a ambos eslabones, por tanto su velocidad debe ser la misma si la obtenemos en base a uno u otro eslabón.

1. Identificar los eslabones a los que pertenecen: a) El punto de velocidad conocida. b) El punto de velocidad desconocida. c) El eslabón de referencia o barra fija. 2. Se hallan los tres CIR relativos correspondientes a las barras, que estarán en línea recta según nos indica el Teorema de Kennedy. 3. Se calcula la velocidad del CIR relativo de los dos eslabones no fijos, considerándolo como un punto perteneciente a la barra de velocidad conocida. 4. Se considera la velocidad hallada como la de un punto del eslabón cuya velocidad queremos hallar. Conociendo la velocidad de un punto del eslabón (CIR) y su centro de giro podemos encontrar la de cualquier otro punto del mismo. • Aplicación de los CIR a un mecanismo de cuatro barras. • Aplicación de los CIR a un mecanismo de biela - manivela.

Calculo de Velocidades.

Curvas Polares.

Una curva polar es el lugar geométrico de todas las posiciones alcanzadas por el centro instantáneo de rotación, o polo de velocidades, de un eslabón con respecto a otro. La Fig. 3.9a muestra la curva polar correspondiente a diversas posiciones del mecanismo de 4 barras y generada por el punto P24. Como tal punto tiene la misma velocidad, tanto si se considera del eslabón 2 como si se hace del 4, se desprende que tal punto no tiene velocidad. Por tal razón a esta curva polar se denomina curva polar fija, o base. Debe tenerse especial cuidado en no confundir la curva polar con la trayectoria de ningún punto cuando evoluciona el mecanismo. Piénsese que el punto P24 es centro instantáneo solo para una posición; al moverse el cuadrilátero articulado, otros puntos irán sucediéndose como centros instantáneo y configurarán la curva polar.

Cuando se realiza la inversión del mecanismo, tal como refleja la Fig.3.9b, se obtiene otra curva polar que se denomina móvil, o ruleta y que se ha generado por el mismo punto P24. Ambas curvas, según se va moviendo el cuadrilátero, se mantienen tangentes en todo momento. Para una posición cualquiera el punto de tangencia es el polo de velocidades actual a tal posición.

En conclusión decimos que el centro instantáneo de rotación se obtiene como la intersección de las normales a las trayectorias (o a las velocidades) de dos puntos cualesquiera de un sólido plano. Ocurre que en un movimiento infinitesimal, la posición del polo no varía, de tal suerte que ha de tener necesariamente velocidad nula: el polo es un punto (en el caso más general, el único) de velocidad nula del sólido plano. Además, dicho movimiento infinitesimal va a equivaler a un giro diferencial del sólido alrededor del CIR, por lo que el movimiento real de un sólido plano puede interpretarse como una secuencia de rotaciones infinitesimales en torno a las sucesivas posiciones del polo (cabe esperar que el polo, en el movimiento del sólido, cambie de posición).

Conclusión.

El polo podrá ser un punto impropio (en el infinito) cuando en el sólido haya dos puntos de velocidades paralelas; en caso contrario, será un punto de sólido móvil, aunque esté fuera de los límites físicos de dicho sólido (el sólido móvil define un plano, el plano móvil, al que pertenece él, su CIR). En su movimiento, el CIR describe dos trayectorias: la base (curva polar fija) y la ruleta (curva polar móvil); siendo la primera el lugar geométrico de los puntos del plano fijo que en algún instante han coincidido con el CIR del plano móvil, y la segunda el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que en algún instante han sido CIR. EL movimiento de un sólido móvil plano queda totalmente definido mediante el movimiento de rodadura de la ruleta sobre la base, tal y como lo demostró Cauchy en 1827.De ahí la importancia del CIR.

Muchas Gracias por su Atención.