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Técnicas Administrativas II

Unidad I

Modelos de Programación Lineal: Formulación

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Introducción

Muchas decisiones administrativas implican la importante cuestión de utilizar con la máxima eficiencia los recursos de una organización Maquinaria, mano de obra, dinero, tiempo, espacio de

almacenamiento y materia prima

Programación Lineal (PL) es una técnica de modelado matemático ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores en la planificación y toma de decisiones con respecto a la asignación de recursos

Pertenece a la esfera más amplia de la programación matemática

En este sentido, programación se refiere a la modelación y solución de un problema matemático

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Requerimientos de un Problema de Programación Lineal

PL se ha aplicado en muchas áreas durante los últimos 50 años

Todos los problemas de PL comparten cuatro propiedades

1. Todos los problemas buscan maximizar o minimizar alguna cantidad (la función objetivo)

2. La presencia de limitaciones o restricciones que acotan el grado al cual se puede alcanzar un objetivo

3. Deben existir cursos de acción alternativos entre los cuales se pueda elegir

4. Los objetivos y restricciones en los problemas de PL se deben expresar en términos de ecuaciones o inecuaciones lineales

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Propiedades e Hipótesis de PL

PROPIEDADES DE PROGRAMAS LINEALES

1. Una función objetivo

2. Una o más restricciones

3. Cursos de acción alternativos

4. La función objetivo y las restricciones son lineales

HIPÓTESIS DE PL

1. Certeza

2. Proporcionalidad

3. Aditividad

4. Divisibilidad

5. Variables no negativas

Tabla 1

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Supuestos Básicos de PL

Se supone que existen condiciones de certeza, esto es, se conocen con certeza los números en la función objetivo y en las restricciones y no cambian durante el período que se está estudiando

Se supone que existe proporcionalidad entre el objetivo y las restricciones

Se supone la aditividad, es decir, que el total de todas las actividades es igual a la suma de las actividades individuales

Se supone la divisibilidad. Las soluciones no tienen que ser números enteros, son divisibles y pueden tomar cualquier valor fraccionario

Se supone que todas las respuestas o variables son no negativas

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Formulación de Problemas de PL

La formulación de un programa lineal implica desarrollar un modelo matemático para representar al problema administrativo

Los pasos para formular un programa lineal son:

1. Entender por completo el problema administrativo que se enfrenta

2. Identificar el objetivo y las restricciones

3. Definir las variables de decisión

4. Utilizar las variables de decisión para escribir las expresiones matemáticas de la función objetivo y de las restricciones

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Formulación de Problemas de PL

Una de las aplicaciones de PL más común es el problema de mezcla de productos

Se producen dos o más productos utilizando recursos limitados tales como personal, máquinas, materia prima, etc.

La utilidad que la firma busca maximizar está basada en la contribución a la utilidad por unidad de cada producto

A la compañía le gustaría determinar cuántas unidades de cada producto deberá fabricar para maximizar la utilidad total dados sus recursos limitados

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Flair Furniture Company

Flair Furniture Company produce mesas y sillas baratas

El proceso de producción de cada una es similar, pues ambas requieren un cierto número de horas de trabajo de carpintería y un cierto número de horas de mano de obra en el taller de pintura y barnizado

Cada mesa requiere 4 horas de carpintería y 2 horas de pintura y barnizado

Cada silla requiere 3 horas de carpintería y 1 hora de pintura y barnizado

Se dispone de 240 horas de carpintería y 100 horas de pintura y barnizado

Cada mesa vendida produce una utilidad de $70; cada silla producida se vende con una utilidad de $50

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Flair Furniture Company

La compañía quiere determinar la mejor combinación de mesas y sillas a producir para alcanzar el máximo beneficio

HORAS REQUERIDAS PARA PRODUCIR UNA UNIDAD

DEPARTAMENTO (T) MESAS (C) SILLAS HORAS DISPONIBLES ESTA SEMANA

Carpintería 4 3 240

Pintura y Barnizado 2 1 100

Utilidad por unidad $70 $50

Tabla 2

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Flair Furniture Company

El objetivo es

Maximizar la utilidad

Las restricciones son

1. Las horas de carpintería no pueden exceder de 240 por semana

2. Las horas de pintura y barnizado no pueden exceder de 100 por semana

Las variables de decisión que representan las decisiones reales que se tomarán se definen como

T = número de mesas que deben ser producidas por semana

C = número de sillas que deben ser producidas por semana

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Flair Furniture Company

Crear la función objetivo en términos de T y C

Maximizar la utilidad = $70T + $50C

Desarrollar las relaciones matemáticas para las dos restricciones

Para carpintería, tiempo total utilizado es (4 horas por mesa)(Número de mesas producidas)

+ (3 horas por silla)(Número de sillas producidas)

Sabemos que

Tiempo de carpintería utilizado ≤ Tiempo de carpintería disponible

4T + 3C ≤ 240 (horas de tiempo de carpintería)

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Flair Furniture Company

Similarmente

Tiempo de pintura y barnizado utilizado ≤ Tiempo de pintura y barnizado disponible

2 T + 1C ≤ 100 (horas de pintura y barnizado)

Esto significa que para producir cada mesa se emplean 2 horas del recurso pintura y barnizado.

Ambas restricciones representan limitaciones de la capacidad de producción y, por supuesto, afectan la utilidad total.

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Flair Furniture Company

Los valores de T y C deben ser números no negativos

T ≥ 0 (el número de mesas producidas es mayor o igual a 0)

C ≥ 0 (el número de sillas producidas es mayor o igual a 0)

El problema completo puede ser replanteado matemáticamente como

Maximizar la utilidad = $70T + $50C

Sujeta a

4T + 3C ≤ 240 (restricción de carpintería)

2T + 1C ≤ 100 (restricción de pintura y barnizado)

T, C ≥ 0 (restricciones de no negatividad)

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Problemas de Minimización

Muchos problemas de PL implican minimizar un objetivo tal como el costo en lugar de maximizar una función de utilidad.

Un restaurant desea desarrollar un horario de trabajo para satisfacer las necesidades de personal al mismo tiempo que minimizar el número total de empleados.

Un fabricante pretende distribuir sus productos de varias fábricas a sus almacenes regionales de tal modo que se reduzcan al mínimo los costos de embarque.

Un hospital puede que desee proporcionar un plan de alimentación diario para sus pacientes que satisfaga ciertos estándares nutricionales al mismo tiempo que reducir al mínimo los costos de adquisición de alimentos.

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El Holiday Meal Turkey Ranch piensa adquirir dos marcas diferentes de alimento para pavos y mezclarlos para proporcionarles una buena dieta a bajo costo

Cada alimento contiene proporciones variables de algunos o los tres ingredientes nutricionales esenciales para engordar a los pavos

Cada libra de la marca 1 contiene 5 onzas del ingrediente A, 4 onzas del ingrediente B y ½ onza del ingrediente C

Cada libra de la marca 2 contiene 10 onzas del ingrediente A, 3 onzas del ingrediente B, pero ninguna cantidad del ingrediente C.

El alimento de la marca 1 le cuesta al rancho 2 centavos la libra, mientras que el alimento de la marca 2 cuesta 3 centavos la libra

Cada pavo debe satisfacer requerimientos de ingesta mensual mínima de 90 onzas del ingrediente A, 48 onzas del ingrediente B y 1 ½ del ingrediente C.

Holiday Meal Turkey Ranch

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Holiday Meal Turkey Ranch

INGREDIENTE

COMPOSICIÓN DE CADA LIBRA DE ALIMENTO (ONZAS)

REQUERIMIENTO DE INGESTA MENSUAL MÍNIMA POR PAVO (ONZAS)

ALIMENTO MARCA 1

ALIMENTO MARCA 2

A 5 10 90

B 4 3 48

C 1/2 0 1 ½

Costo por libra 2 centavos 3 centavos

Datos del Problema de Holiday Meal Turkey Ranch

Tabla 4

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Al propietario le gustaría utilizar la PL para determinar la dieta de menor costo que satisfaga los requerimientos de ingesta mensual mínima de cada ingrediente nutricional.

Minimizar costos (en centavos) = 2X1 + 3X2

sujeto a:

5X1 + 10X2 ≥ 90 onzas (restricción del ingrediente A)

4X1 + 3X2 ≥ 48 onzas (restricción del ingrediente B)

0.5X1 ≥ 1.5 onzas (restricción del ingrediente C)

X1 ≥ 0 (restricción de no negatividad)

X2 ≥ 0 (restricción de no negatividad)

Holiday Meal Turkey Ranch

X1 = número de libras del alimento marca 1 adquiridas

X2 = número de libras del alimento marca 2 adquiridas

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