Presentación IOP 2 Teoria de Colas - Copia

8/17/2019 Presentación IOP 2 Teoria de Colas - Copia

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TEORIA DE COLAS

Investigación deoperaciones II

Ricardo Manuel Alarcón Salinas

Rafael Aníbal arcía Rivas

David Alcides Me!ía Le"us

uiller"o Antonio #ue$ada %a$be&'(MD

Agosto)*+)


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I,DICE

• Modelo de colas de Poisson generalizado

• Colas especializadas de Poisson

• Notación general de la situación general

de colas• Medidas de rendimiento de estado estable

• Modelos de un solo servidor

• Modelos de servidores múltiples• Modelo de servicio de máquinas

• Formula Pollaczeek-Kintcine !P-K"


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Modelo de colas de -oissongenerali$ado

#on aquellos modelos utilizados para l$neasde espera que combinan procesos dellegadas % salidas& ' se basa en las ipótesisde Poisson( el tiempo entre llegadas % deservicio tienen una distribución e)ponencial&

Cualquier sistema de colas para por dos*ases básicas( +ransitoria % estable&


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,l desarrollo del modelogeneralizado se basa en elcomportamiento de estado estable&


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• Ecuaciones de balance de .u!o


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E!ercicios

& ,n una peluquer$a se atiende a un cliente cadavez. % tiene / sillas para los clientes que esperan&#i el lugar está lleno. los clientes van a otra parte&

0as llegadas siguen una distribución de Poissoncon una media de 1 clientes por ora& ,l tiempode un corte de pelo es e)ponencial con 2 min depromedio& 3etermine(

a"0as probabilidades de estado estable&b"0a cantidad esperada de clientes en la peluquer$a&

c"0a probabilidad de que los clientes va%an a otraparte por estar lleno el local&


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λ 4 1 clientes por ora

λn 4 1 n 4 6. .7./.1

λn 4 6 n 8 2 !si está lleno losclientes se van"

µn 4 96:2 4 1 clientes por ora


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!a"

P 4 !1 : 1" P6 4 P6P7 4 !1 : 1"7 P6 4 P6 ∴ P6 ; P ; P7 ;P/ ; P1

4

P/ 4 !1 : 1"/ P6 4 P6 P6 ; P6 ; P6 ; P6 ;

P6 4

P1 4 !1 : 1"1 P6 4 P6

-* / +01


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!b" 04 n!Pn"

,2"ero esperado 4 6P6 ; P ; 7P7; /P/ ;1P1

de clientes

4 :2 !;7;/;1" 4 )

!c" P14

-3 / *4)


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7& 3ado que la tasa de llegada a unatienda es de /6 personas por ora % la

tasa promedia de servicio es de 16personas por ora. ?Cuál es laprobabilidad de que un cliente que

llega no tenga que esperar servicio@


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#ea Po 4 la probabilidad de que uncliente que llega no tenga que esperar

servicio& ,sto es. Po es la probabilidadde que el sistema este vac$o&


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3eterminamos Po de la ecuación

Po ; 6&A2Po ; 6&A27Po ; B 4

Po ! ; 6&A2 ; 6&A27 ; B" 4

Con la *órmula para la suma de unaserie geomtrica obtenemos

-o/*4)1


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/& NeDell % Ee son peluqueros que operande manera independiente& +ienen dossillas para clientes que esperan su corte.

entonces el número de clientes en elsistema var$a entre 6 % 1& Para n4. 7. /.1. la probabilidad Pn de que a%a

e)actamente n clientes en el sistema esP64 :9 . P 4 1:9. P74 9:9 P/4 1:9.

P14 :9&


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a" Calcule 0& 04n!Pn"

04 6!:9" ; !1:9" ; 7!9:9" ; /!1:9" ; 1!:9" 4 )

que representa el numero promedio de clientes en latienda. inclu%endo los que están cortándose elpelo&

b" 3etermine el numero esperado de clientes queestán siendo servidos

,!clientes siendo servidos"4

P ; 7!P7 ; P/ ; P1" 4 1:9 ; 7!9:9 ; 1:9 ; :9" 4

+506


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Colas especiali$adas de-oisson

#on modelos para l$neas de esperaque representa la situación

especializada de Colas de Poissoncon c servidores paralelos idnticos&Gn cliente en espera se selecciona

de la cola para iniciar el servicio conel primer servidor libre&


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,otación general de lasituación general de colas

,sta notación *ue originada por

3&H& Kendall en I2/ en la *orma!a:b:c" % se le conoc$a comoNotación de Kendall& 0uego otrospersonaJes agregaron las letras!d:e:*"&


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Dónde7

• a7 3escribe la distribución de llegadas

• b7 3escribe la distribución de salidas

• c7 Número de servidores paralelos• d7 3isciplina de cola

• e7 Número má)imo !nito o innito"

permitido en el sistema !en cola % servicio"• f7 tamaLo de la *uente demandante !nito

o innito"


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0a notación estándar para representar lasdistribuciones de llegadas % salidas es(

• M( 3istribución de llegadas o salidas

Markovianas• D( +iempo constante !determin$stico"

• I( 3istribución general del tiempo entre

llegadas• ( 3istribución general del tiempo de

servicio


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epresentación de la 3isciplina de Colas(

• -E-S( primero que llega. primero que se

atiende• 'E-S( último que llega. primero que se

atiende

• SIRO( #ervicio de orden aleatorio• D( disciplina general !cualquier tipo de

disciplina"


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,Jemplos(

!M:3:6"( !3H:N:"

!M:M:" (!3H::"


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Medidas de rendi"iento deestado estable

,l obJetivo último de la teor$a decolas consiste en respondercuestiones administrativas

pertenecientes al diseLo % a laoperación de un sistema de colas&


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0as medidas de rendimiento o *uncionamientoque se utilizan para evaluar un sistema decolas(

897 es el tiempo promedio de espera

8 ó 8s7 es el tiempo promedio en el sistema

-o( Probabilidad de que no a%an clientes enel sistema

L97 es la longitud media de la cola

L ó Ls7 es el número medio en el sistema&


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-:7 es la probabilidad de bloqueo

'7 indica la probabilidad de que elservidor est ocupado % la *racción de

tiempo que un servidor está ocupado -n( Probabilidad de que e)istan n

clientes en el sistema

-d7 probabilidad de negación delservicio. si el espacio de espera es nito&


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• 0as relaciones entre las medidas derendimiento son(


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E!ercicios

& ,l estacionamiento de visitas de Ozark College se limitasólo a cinco caJones& 0os automóviles que lo usan llegansiguiendo una distribución de Poisson con *recuencia decinco por ora& ,l +iempo de estacionamiento tiene

distribución e)ponencial con /6 minutos de promedio&0as visitas que no pueden encontrar un lugar vac$oinmediatamente cuando llegan pueden esperarprovisionalmente 3entro del estacionamiento asta quesalga un automóvil estacionado& 0os caJones

Provisionales sólo pueden contener tres ve$culos& Otrosve$culos que no se puedan estacionar ni encontrar unespacio de espera temporal se deben ir a otra parte&3eterminar lo siguiente(


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a; 0a probabilidad pn de que a%a n automóvilesen el sistema&

b; 0a *recuencia e*ectiva de llegada para automóvilesque usen en realidad el estacionamiento&

c; 0a cantidad promedio de automóviles en elestacionamiento&

d; ,l tiempo promedio que espera un automóvil astaque a%a un caJón libre dentro del estacionamiento&

e; 0a cantidad promedio de caJones deestacionamiento ocupados&

f; 0a utilización promedio de ese estacionamiento&


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,l sistema tiene un total de c 4 2 servidoresen paralelola capacidad má)ima del sistema es 2 ;/4

automóviles&


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Gn automóvil no podrá entrar al estacionamiento si %a están automóviles en l& ,so quiere decir que la proporción de ve$culosque no pueden entrar al lote es p& ,ntonces.

λ-erdido / λ p6 / < = *4*)+*1 / *4+)ora

0a cantidad promedio de ve$culos en el estacionamiento !los queesperan o los que ocupan un caJón" es igual a 0s. la cantidadpromedio en el sistema& #e puede calcular 0s a partir de pn como

sigue(

Ls / *p* +p+ p 6p6 / 54+)6< auto"oviles4


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Gn automóvil que espera en los caJonesprovisionales en realidad es uno en unal$nea de espera& ,ntonces. su tiempo de

espera a que a%a un caJón vac$o es Qq&Para determinar Qq se usará la ecuación&


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0a cantidad promedio de caJonesocupados es la misma que la cantidadpromedio de servidores ocupados.

3e R . se obtiene(


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7& 0os automóviles que llegan a una caseta de pagos enuna carretera. según una distribución de Poisson conmedia de I6 por ora& ,l tiempo promedio para pasarpor la caseta es de / segundos& 0os co*eres se queJan

de un largo tiempo de espera& 0os cobradores estándispuestos a disminuir a /6 segundos. el tiempo de pasopor la caseta. introduciendo nuevos mecanismosautomáticos& ,sto puede Justicarse únicamente si con

el sistema anterior el número de automóviles queesperan e)cede a 2& Sdemás. con el nuevo sistema elporcentaJe de tiempo ocioso de la caseta no deberá serma%or del 6T& ?Puede Justicarse la nuevadisposición@


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72T pasara de ocioso el sistema por lo tantopara esta condición no Justica el implementode este nuevo servicio&

#i Justica porque el número de autos queesperan se reducirán a 7&72 /


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/& #uponga que usted observa una peluquer$alos sábados en la maLana % encuentra quelos clientes aparecen como un proceso de

Poisson % que la rutina de llegada es de 2por ora& Sdemás que todos los clientes quellegan esperarán asta ser atendidos&#uponga aora que la atención en la

peluquer$a por tiempo es apro)imadamentee)ponencial % en promedio dura 6 minutoscada corte de pelo etc&


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Sl modelar la anterior in*ormación como M :M : se tiene que(

0o anterior nos da 4 2:9 % de acuerdo con lateor$a


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,s el número esperado de clientes en lapeluquer$a inclu%endo el que está en lasilla

,s el número de clientes esperando

sentados para ser peluqueados&


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Modelos de un solo


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Modelos de un soloservidor

Para el caso de un solo servidor!c4" se presentan dos modelos&

#e supone que los clientes llegancon una tasa constante de Uclientes por unidad de tiempo& 0a

tasa de servicio tambin esconstante e igual a V clientes porunidad de tiempo&

1 + Modelo BM0M0+; BD0 0 ;


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14+4 Modelo BM0M0+;7 BD0∞0∞;

,ste modelo de servidor único no tienel$mites en la capacidad del sistema ode la *uente de llamadas. con llegadas

% salidas de Poisson con tasa medias&


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3eniendo obtenemos lasiguiente *órmula general para estemodelo(

Pn = (1- ρ)∗ρn, n = 0, 1, 2,… ( ρ < 1)


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0as medidas de desempeLo son(

1 ) Modelo BM0M0+;7 BD0,0 ;


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14) Modelo BM0M0+;7 BD0,0∞;

0a di*erencia de ste modelo % elanterior. la es que tiene númeromá)imo de clientes permitidos en elsistema N !longitud má)ima de la l$neade espera es 4 N-"& Cuando a% N

clientes en sistema. no se aceptan masllegadas


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Para


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endimiento(

λef

= λ−λperdido

= λ( 1-pN

)

0q 4 0s-!le. * :m"4 0s - W! -pN "X:m pN

Wq = Lq / λe, f

= Ls / [λ( 1-pN)]

Ws = Wq +1/ µ = Ls / [λ( 1-pN)]


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E!ercicios

Modelo BM0M0+;7 BD00;

& Gn restaurante de comida rápida tiene una ventanilla deservicio para automóviles& 0os ve$culos llegan de acuerdo conuna distribución de Poisson. con una *recuencia 7 cada 2minutos& ,n el espacio *rente a la ventanilla pueden caber 6

ve$culos cuando muco. inclu%endo al que se está sirviendo& #ies necesario. otros automóviles pueden esperar *uera de esteespacio& ,l tiempo de servicio por cliente es e)ponencial. conuna media de &2 minutos& Calcule lo siguiente(

a" 0a probabilidad de que la instalación este vac$a&b" 0a cantidad estimada de clientes esperando que los atienda&

c" ,l tiempo estimado de espera para que un cliente llegue a laventanilla % aga su pedido&


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Modelo BM0M0+;7 BD00;

7& 0os clientes llegan en automóvil a una ventanilla bancaria deacuerdo con una distribución de Poisson. con una media de 6oras& ,l tiempo de servicio a cada cliente es e)ponencial. conuna media de 2 minutos& Ya% / espacios *rente a la ventanilla.

inclu%endo el del automóvil que es atendido& #i llegan másve$culos. deben esperar *uera de este espacio para / ve$culos&

a" ?Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega puedamaneJar directamente asta el espacio *rente a la ventanilla@

b" ?Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tendrá queaguardar *uera del espacio indicado@

c" ?Cuánto tendrá que esperar un cliente que llega antes de quecomience a dársele servicio@


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a;


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Modelo BM0M0+; 7 BD0∞0∞;/& ,n un servidor en un autoservicio de venta de

ca* la tasa de llegada al servidor es 6ve$culos por minuto. % el tiempo de eJecución

en todo el sistema es de 2 segundos. estostiempos se distribu%en e)ponencialmente&

a"?Zu proporción de tiempo está el servidorocioso@

b"?Cuál es el número promedio de ve$culosesperados en la cola del sistema@


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Modelos de servidores "2ltiples


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Modelos de servidores "2ltiples


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Medidas de desempeLo(


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Medidas de desempeLo

6 3 Modelo de autoservicio (M/M/ ):


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6.3 Modelo de autoservicio (M/M/

):(GD/

/

)

,n este modelo el número deservidores es ilimitado porque el clientemismo es tambin el servidor& ,ste es

normalmente el caso en losestablecimientos de autoservicio&


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Nótese que Qq 4 6 porque cada cliente

se atiende a s$ mismo& ,sta es la razónpor la que Qs es igual al tiempo deservicio medio :u &

E!ercicios


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E!ercicios

Modelo BM0M0c;7 BD0 0 ;& Gna pequeLa ocina de correos tiene dos ventanillas abiertas&

0os clientes llegan siguiendo una distribución de Poisson con la*recuencia cada / minutos& #in embargo solo el 6T debenser atendidos en las ventanillas& ,l tiempo de servicio a los

clientes es e)ponencial. con 2 minutos de promedio& Ss$ ese6T de los clientes que llegan se *orman en una cola % llegana las ventanillas disponibles en disciplina P0P#&

a" ?Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue debaesperar en la la@

b" ?Cuál es la probabilidad de que las dos ventanillas estnvac$as@

c" ?Cuál es la longitud promedio de la cola@


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a" b"


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c"


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Modelo BM0M0c;7 BD0,0∞ c ≤ ,7& Gn pequeLo taller de aJuste de motores ocupa a tres mecánicos& S

principios de marzo cada aLo las personas llevan al taller lassegadoras % podadoras que reciben mantenimiento& ,l taller quiereaceptar todas las segadoras % podadoras que le lleven& #inembargo. cuando los clientes que llevan ven que el piso del tallerestá cubierto con trabaJos en espera. van a otra parte para recibirun servicio más inmediato& ,l piso del taller puede dar cabidacuando muco a 2 segadoras o podadoras. además de las quereciben el servicio& 0os clientes llegan al taller cada 2 minutos enpromedio % un mecánico tarda un promedio de /6 minutos en

terminar cada trabaJo& ,l tiempo entre llegas % el tiempo de serviciotienen distribución e)ponencial& 3etermine lo siguiente(

a" 0a Probabilidad de que el siguiente cliente que llegue recibaservicio

b" 0a probabilidad de que al menos un mecánico este sin trabaJo&


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Modelo (M/M/∞): (GD/∞/∞) autoservicio/& S los conductores nuevos se les pide pasar un e)amen por

escrito. antes de acer las pruebas de maneJo& 0os e)ámenesescritos suelen acerse en el departamento de polic$a de laciudad& 0os registros de la ciudad de springdale indican que la

cantidad promedio de e)ámenes escritos es de 66 por d$a de oras& ,l tiempo necesario para contestar el e)amen es de /6minutos. más o menos& #in embargo. la llegada real de losaspirantes % el tiempo que tarda cada uno en contestar sontotalmente aleatorios& 3etermine lo siguiente(

a" 0a cantidad promedio de asientos que debe tener losdepartamentos de polic$a en el salón de e)amen&

b" 0a probabilidad de que los aspirantes rebasen la cantidadpromedio de asientos que a% en el salón de e)amen&


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Modelo de servicio de "9uinas


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ode o de se c o de 9u as@4+ BM0M0R;7 BD0F0F;

Mediante el modelo de servidor demáquinas se propone la idea de

disponer de cantidad de tcnicoscon el propósito de o*recerlereparaciones a un número [k\ de

máquinas&

Gariables en las fór"ulas para el "odelo


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pde servicio de "9uinas7


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E!ercicios


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E!ercicios

& ,n una empresa la reparación de un cierto tipo demaquinaria e)istente en el mercado se realiza en 2operaciones básicas que se e*ectúan de una manerasecuencial] si el tiempo que se lleva en realizar cada unode los 2 pasos tiene una distribución e)ponencial con

media de 2 minutos& ,stas máquinas se descomponensegún una distribución Poisson con una razón media de 7máquinas : ora % en la *ábrica solo a% un mecánico quelas repara& Calcular las caracter$sticas de operación de laempresa&


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7&+oolco opera un taller que contiene 77 máquinas& #esabe que cada máquina se aver$a cada dos oras. enpromedio& #e requiere un promedio de 7 minutospara terminar una reparación& +anto el tiempo entreaver$as como el tiempo de reparación siguen unadistribución e)ponencial& +oolco está interesada endeterminar el número de mecánicos necesarios paramantener continuamente *uncionando el taller&

0a situación se analiza investigando la productividadde las maquinas como una *unción del número demecánicos& ,sta medida de productividad se denecomo(


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0a productividad asociada es baJa!412&11T"& #i se incrementa el numerode mecanicos a dos. laproductividadsalta de /1&AT a 6&2T& Cuandoempleamos a tres mecanicos. laproductividad aumenta solo &91T a

&AIT. mientras que cuatromecanicos aumentaran laproductividad &99T. solo a I6&12T&


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S Juzgar por estos resultados. se Justica el usode dos mecanicos& Contratar tres empleadosno sirve por que eleva la productividad en solo&91T& Zuiza una comparacion monetariaentre el costo de contratar una tercera persona% el ingreso atribuido a &91T de aumento enproductividad se aprovece para establecereste punto& ,n cuanto a contratar un cuartomecanico. el magro aumento de &99T en laproductividad no Justica tal acción&


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/&Gna CompaL$a debe tomar una decisión con respecto a supol$tica de contratar un mecánico para reparar unmecanismo que se descompone con una tasa promedio de1 por ora de acuerdo con una distribución Poisson] eltiempo improductivo de cualquiera de los mecanismosestá costando ^2666 por ora a la ,mpresa& 0a CompaL$apuede contratar dos tipos distintos de mecánicos( unolento. pero poco costoso a ^7266 por ora % el otro rápido.pero más costoso a ^1266 por ora] el mecánico lentopuede reparar e)ponencialmente los mecanismos a unatasa promedio de 9 por ora. mientras que el mecánicorápido repara e)ponencialmente a razón de por ora&_asándose en los datos anteriores cuál mecánico debecontratarse@


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3onde CO0. CO. C+0 % C+corresponden a costo ocioso para elmecánico lento. costo ocioso para el

mecánico rápido. costo total para elmecánico lento % costo total para elmecánico rápido& 0a decisión es

entonces nalmente contratar elmecánico rápido. porque la CompaL$aaorra costo&

Hor"ula -ollac$ee&?F>intc>ine B-?F;


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Hor"ula -ollac$ee& F>intc>ine B- F;

64+ Modelo BM00+;7 BD00;,l que el tiempo de servicio. t. estárepresentado por cualquier

distribución de probabilidad conmedia ,!t" % varianza var!t"& 0osresultados del modelo inclu%en lasmedidas básicas de rendimiento. 0s.0q. Qs % Qq& ,l modelo noproporciona una e)presión de *ormacerrada para Pn debido a la

dicultad anal$tica


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E!ercicios


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E!ercicios

& ,n una instalación de servicio de lavado de autos. lain*ormación recolectada indica que llegan autos para seratendidos según una distribución de Poisson con lamedia de 2 por ora& ,l tiempo para lavar % asear cadaautomóvil varia. pero se advierte que sigue una

distribución e)ponencial con media de 6 minutos porautomóvil& 0a instalación no puede dar aloJamiento amás de un auto a la vez& !#upóngase que en elestablecimiento de lavado de autos de este eJemplo. ellavado lo realizan maquinas automáticas. de manera queel tiempo de servicio se puede considerar el mismo %constante para todos los autos& ,l ciclo de la maquinalavadora tarda e)actamente 6 minutos"&


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7& ,n un ca* e)prs& 0os clientes siguenun proceso Poisson con tasa media de/6 por ora& ,l tiempo necesario para

que se sirva a un cliente tienedistribución e)ponencial con media deA2 segundos&


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/& 0a%son oong `nc& ̀ nstala teJados en residencias nuevas %vieJas& 0os posibles clientes piden el servicio aleatoriamente.con una *recuencia de nueve trabaJos mensuales !meses de /6d$as" % se pone en la listad de espera para atenderlos con baseP0P#& 0os tamaLos de las casas ar$an. pero es razonable

suponer que las supercies de los tecos tiene unadistribución uni*orme entre 26 % /66 cuadrados& 0a cuadrillade trabaJadores suele terminar A2 cuadrados por d$a calcule losiguiente(

a" 0a cantidad de trabaJos que tiene 0a%son oong pendienteal d$a&

b" ,l tiempo promedio de espera de los clientes asta que setermine su trabaJo&


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