Republica bolivariana de Venezuelainstituto universitario de tecnología

“Antonio José de sucre”Barquisimeto - Lara

Derivadas

Alumna: yoselin luquez

Derivadas logarítmicas La derivada de un logari tmo en base a es igual a la der ivada de la funcióndiv idida por la función, y por e l logari tmo en base a de e .

COMO , TAMBIEN SE PUEDE EXPRESAR ASI:

Derivada de un logaritmo neperiano

Ejemplos:

La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función dividida por la función.

1)

2)

3)

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos:

Derivada parciales

Las derivadas parciales para una función escalar de dos variables. Sea f(x, y) una función escalar de dos variables reales definida al menos en un entorno del punto (x0, y0). Se define la derivada parcial de f(x, y) con respecto a x en el punto (x0, y0) como el s iguiente l ímite (si existe):

𝑎𝑓𝑎𝑥= ሺ𝑥𝑜,𝑦𝑜ሻ= limℎ→𝑜 =f ሺxo+ ℎ,𝑦𝑜ሻ− 𝑓(𝑥𝑜,𝑦𝑜) h

De manera análoga , def iniremos la der ivada parcia l con respecto a y:

𝑎𝑓𝑎𝑥= ሺ𝑥𝑜,𝑦𝑜ሻ= limℎ→𝑜 =f ሺxo,yo+ ℎሻ− 𝑓(𝑥𝑜,𝑦𝑜) h

De estas definiciones se deduce fácilmente que el cálculo efectivo de una derivada parcial con respecto a una variable es idéntico al de las derivadas ordinarias, sin más que considerar el resto de las variables involucradas como constantes. Desde el punto de vista geométrico, y teniendo en cuenta que la gráfica de una función f(x, y) se visualiza como la superficie de ecuación: z = f(x, y), las derivadas

parciales 𝒂𝒇𝒂𝒙

𝑎𝑓𝑎𝑦 En (x0, y0) representan las pendientes de las rectas tangentes a las

curvas intersección entre dicha superficie y los planos y = y0 y x = x0, respectivamente, en el punto (x0, y0, z0), siendo z0 = f(x0, y0). De esta manera, si las derivadas parciales existen en el punto, la ecuación del plano tangente seria:

Z= 𝑍𝑜+ 𝑎𝑓𝑎𝑥ሺ𝑋𝑜,𝑌𝑜ሻሺ𝑋− 𝑋𝑜ሻ+ 𝐴𝐹𝐴𝑌= ሺ𝑋𝑜,𝑌𝑜ሻ(𝑌− 𝑌𝑜)

Figura 1: (izquierda) Curvas sobre la superficie z = f(x, y), obtenidas al cortarla con los planos x = x0 e y = y0. (Derecha) Plano tangente a la superficie en el punto (x0, y0, f(x0, y0)). Como vemos, la derivabilidad de una función f(x, y) se va a relacionar de manera directa con la existencia y “correcto” comportamiento del plano tangente a su gráfica. Resulta evidente, en cualquier caso, que para superficies del tipo a las presentadas en la Siguiente figura (con “picos”, o “dobleces”, el plano tangente no estaría bien definido).

Ejemplos:Calculemos las derivadas parciales de f(x, y) = 2𝒙𝟑y + cos(xy). 𝑎𝑓𝑎𝑥6𝑥3𝑦− 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 , 𝑎𝑓𝑎𝑦= 2𝑥3 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦

Ejemplo: Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie: z = x2 + y3 en el punto P ≡ (3, 1, 10). Evidentemente: f(x, y) = x2 + y3, y f(3, 1) = 10. 𝑎𝑧𝑎𝑥2𝑥 , 𝑎𝑧𝑎𝑦= 3𝑦2 ; 𝑎𝑧𝑎𝑥ሺ3,1ሻ= 6 𝑎𝑧𝑎𝑦= ሺ3,1ሻ= 3

De esta forma, el plano tangente será:

z = 10 + 6(x − 3) + 3(y − 1)