PresentacióN N°9 Psu De MatemáTica Clase 7 RazóN Y ProporcióN

Clase N°7 - N°8 y N°9 Preparación PSU De Matemática 2009

Razón y Proporción

Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases

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Razones y Proporciones

Aprendizajes Esperados:

Aplicar el concepto de razón como forma de comparar cantidades e interpretar su valor. Identificar y operar con las propiedades de las razones y de las proporciones. Expresar algebraicamente enunciados de proporcionalidad, calculando e interpretando la constante de proporcionalidad. Identificar proporcionalidad directa e inversa y resolver problemas de proporcionalidad utilizando diversos registros (tablas de valores, gráficos y expresiones algebraicas).








Razón

Definición

La comparación por cuociente de dos cantidades que forman parte de una misma magnitud (longitud, tiempo, producción, ingresos etc.) se denomina razón. La primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente.

Ejemplo 1

3 : 4 (se lee 3 es a 4 ), donde el 3 es el antecedente y el 4, el consecuente. Esta razón también puede escribirse como

.







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Ejemplo 2

Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24 de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena?

Solución:

La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente. Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.

La razón pedida es: Simplificando por 8, la razón queda en

lo que significa que la mezcla está conformada por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada 8 partes de mezcla hay 3 de cemento y 5 de arena.







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Ejemplo 3

Repartir $ 125.000 entre Pedro y Patricio en razón 2 : 3, respectivamente.

Solución:

La repartición debe ser en el orden dado, o sea, Pedro ---> 2 partes y Patricio ---> 3 partes.Esto significa que: 2 partes + 3 partes = $125.000.Algebraicamente:

2p + 3p = 125.0005p = 125.000p = 25.000O sea, cada parte es de $25.000. Por lo tanto a cada uno le corresponde:Pedro = 2 partes = 2 · 25.000 = $ 50.000Patricio = 3 partes = 3 · 25.000 = $ 75.000








Ejemplo 4

Dos números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60. ¿Cuáles son los números?

Solución:

5p - 2p = 603p = 60p = 20Los números son: 5p = 5 ·20 = 100 y 2p = 2 ·20 = 40








Proporción

Definición

Es la igualdad entre dos razones.

Por ejemplo, tenemos las razones 3 es a 4 y 9 es a 12.

Determinemos el valor de cada razón, efectuando las respectivas divisiones.3 : 4 = 0,75 y 9 : 12 = 0,75Como ambas tienen el mismo valor, podemos establecer una igualdad entre ellas. Así, se forma la proporción:3 : 4 = 9 : 12Que se lee: 3 es a 4 como 9 es a 12.

Esta proporción también puede escribirse como:








Propiedad fundamental de las proporciones

Esta relación se conoce como el teorema fundamental de una proporción y es frecuentemente enunciada como “El producto de los medios es igual al producto de los extremos”.







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Tipos de proporciones

Proporción Discontinua







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Cálculo del término desconocido de una proporción







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Propiedades de una proporción

Componer una proporción

Ejemplo: Hallar dos números cuya suma sea 55 y están en la razón 5 : 6.

Solución 1:

Sea X el primer número e Y el segundo. Entonces, se tiene que al interpretar el enunciado formamos la siguiente proporción:







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Componiendo y comparándola con el numerador se tiene:

Como en el enunciado, la suma de los números debe ser 55, se remplaza este valor en la igualdad, quedando:

Resolviendo:

Luego, el valor de X es 25 y el de Y es 30







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Solución 2:

Volviendo a la estrategia de razones, podríamos haber razonado que hay que repartir 55 en partes proporcionales, teniendo:

Entonces la primera parte es y el otro número es







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Descomponer una proporción

Es comparar la diferencia entre el antecedente y el consecuente con su respectivo antecedente y consecuente.

o bien:

Ejemplo: La diferencia de las edades de un Padre y la de su Hijo es 20 años y están en la razón 7: 3.

Solución:

Edad del padre = x ; Edad del hijo = y

Entonces, se tiene: 3

7=y

xAl descomponer se tiene:

7

37 −=−x

yx

Al sustituir el enunciado se tiene.








354

1401404

7204

=→=→=

⋅=

xxx

x

Lo que significa que el padre tiene 35 años, y como:

, entonces, el hijo tiene 15 años.

Componer y descomponer

Es comparar suma y diferencia simultáneamente

Serie de razones o serie de proporciones

La serie de razones: a : c : e = b : d : f

Puede ser expresada como ; con k = constante.







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Entonces, se verifica que:

Por ejemplo, en la serie de razones 2 : 4 : 6 = 3 : 6 : 9 o bien:

se puede verificar que:

Es decir que:

constante.







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Proporcionalidad Directa

Concepto de proporcionalidad directa

Observa la siguiente tabla, que muestra, para un libro determinado, el precio a pagar según el número de libros:

Nº libros Precio a pagar

1 $ 2.400

2 $ 4.800

3 $ 7.200

4 $ 9.600

A medida que aumenta el número de libros aumenta el precio a pagar y, mientras menos libros, menos precio a pagar. Esto nos ilustra el principio fundamental para reconocer una proporcionalidad directa, que es, “el aumento de una variable hace aumentar el valor de la otra variable. Al disminuir el valor de una variable disminuye también la otra.”







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Definición de proporcionalidad directa

Dos cantidades A y B son directamente proporcionales si su cuociente es constante. Esto es:







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Proporcionalidad Inversa

Concepto de proporcionalidad inversa

Consideremos la siguiente tabla, que muestra el número de días que emplean en pintar una casa un determinado número de obreros, suponiendo que el rendimiento es constante: Nº Obreros N° días

2 12

3 8

6 4

8 3

A medida que aumenta el número de obreros, disminuye el número de días que emplean en pintar la casa. Si disminuye el número de obreros, aumentan los días que emplean. Este es el principio de análisis para reconocer una proporcionalidad inversa, que es, “el aumento del valor numérico de una variable hace disminuir el valor de la otra variable. Al disminuir el valor de una variable, aumenta el valor de la otra.”En forma gráfica, este caso de proporcionalidad se representa por una curva denominada hipérbole. Para el caso de los obreros pintores, la grafica es la siguiente:







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Definición de proporcionalidad inversa







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Definición de proporcionalidad Compuesta








Vamos Ahora Practica tu resolviendo los siguientes ejercicios:








Aplicaciones de la Proporcionalidad

Estrategia general de resolución de problemas de proporcionalidad: 1º: Lectura comprensiva del texto del problema.

2º: Identificación y ordenación de los datos dados.

3º: Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa.

4º: Planteamiento de la proporción según tipo.

5º: Resolución algebraica.

6º: Respuesta y verificación de la solución








Ejemplo 1:

Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas ¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo?

Respuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja.El resultado al cual se llega es consistente con lo esperado, ya que a mayor cantidad de obreros, mayor cantidad de metros de zanja cavados.







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Ejemplo 2:

Ocho obreros demoran 3 semanas en construir una casa. ¿Cuántas semanas demorarán 6 obreros en construir la misma casa, si trabajan el mismo número de horas diarias, con el mismo rendimiento?

Para este caso se tiene que mientras menos obreros trabajan, se necesitan más semanas para construir la casa. Entonces se trata de una proporción inversa y nos permite igualar el producto de las variables.







Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.esnips.com/user/oliverclases Ejemplo 3:

No olvides que una proporción compuesta es aquella en donde intervienen Tres variables.







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