MATH 101Lección 12

Capitulo 6, Sección 6.1Razón y TasaSección 6.2Proporción

Razón y Tasa

• Una razón es una comparación por división de dos números o cantidades con unidades semejantes.

• Por ejemplo:– La razón de 5 pulgadas a 2 pies se puede

escribir como,

5 pulg5 pulg2 pies

24 pulg

524

Razón y Tasa

• Una medida se escribe con un número y una unidad de medida.

• Las medidas semejantes tienen la misma unidad de medida.– Ejemplos: 1. 5 yardas y 12 yardas son medidas

semejantes.2. 9 galones y 105 dólares son medidas no-

semejantes.

Razón y Tasa

• Una tasa es una comparación por división de dos cantidades no-semejantes.

• Una tasa unidad es una tasa con denominador de 1 unidad.

Razón• Expresar una razón como comparación de

dos números o medidas semejantes como una fracción.

• Ejemplo– Juan gana $6,500 mensuales, y su hijo

Rubén gana $2,600 mensuales.– La razón de su sueldo mensual es:$6,500 6,500$2,600 2,600

65 526 2

Las unidades son las mismas, por lo tanto se cancelan.

Se reduce a términos simples.

Razón

• Cuando comparamos dos números (o cantidades de la misma clase) por división, decimos que tenemos formada una razón de los dos.

1515 3 o se llama la razón de 15 y 3.3

15El cociente es usado para expresar la razón de 15 y 3.3

Se lee como "15 a 3".

Razón

• El concepto de razón puede usarse para comparar dos medidas con unidades semejantes.

• Ejemplos:1. La razón de 20 dólares a 25 dólares es,

$20 20 4$25 25 5

Noten que como comparamos 20 a 3, 20 se escribe primero, por lo tanto 20 y 25 son los términos de la razón.

Cancelamos las unidades al ser las mismas, y reducimos en términos simples.

Razón

2. La razón de 36 yardas a 27 yardas es,

3. Escribe la razón de 234 a 36 en términos simples.

36 yds 36 427 yds 27 3

Las unidades comunes se cancelan (o omiten) y la fracción se reduce.

234 2 3 3 13 1336 2 2 3 3 2

Escribe la razón como fracción y reduce.

Razón

4. El largo de una vara es 45 pulg y la otra es 54 pulg. Compare el largo de la segunda vara a la de la primera y expresa el resultado como una fracción.

• Solución:– El largo de la segunda vara, 54 pulg, se

menciona primero en la razón, así que, se escribe primero en la posición del numerador.

Razón

• Solución:

– La razón del largo de la segunda vara a la primera es 6 a 5.

54 pulg 5445 pulg 45

2 3 3 3 63 3 5 5

Se expresa como una fracción y se omiten las unidades.

Se reduce.

Tasa

• Expresar la tasa de dos medidas no semejantes como una fracción.

• Ejemplo:– Si hay 15 manzanas para 6 niños, exprese

esta información como una tasa:

15 manzanas 5 manzanas6 niños 2 niños

Las unidades no se omiten ya que no son las mismas.

Tasa

1. Compare 38 sillas con 19 estudiantes,

2. Su carro viaja 350 millas con 20 galones de gasolina, expresándolo como tasa:

38 sillas 2 sillas19 estudiantes 1 estudiante

2 sillas a 1 estudiante

Esto significa que hay 2 sillas por cada estudiante.

350 millas 35 millas 35 millas a 2 galones20 galones 2 galones

Tasa

3. Escribe como tasa: 80 niños a 55 niñas

80 niños 16 ninos55 niñas 11 ninaso 16 niños a 11 ninas

Se reduce la fracción (divide entre 5/5)

Tasa4. Una biblioteca tiene 8,750 libros, de los

cuales 1,750 son de matemáticas y los restantes de literatura. ¿Cuáles son las tasas de:

a. el número de libros de matemáticas al número de libros de literatura?

b. el número de libros de literatura al número de libros de matemáticas?

c. el número de libros de matemáticas al total de libros en la biblioteca?

Interpreta la tasa en cada caso.

Tasa• Solución:

– Total de libros en la biblioteca = 8,750– Número de libros de matemáticas = 1,750– Número de libros de literatura (8,750 - 1,750)

= 7,000a. La tasa deseada es:

1,750 libros de matematicas7,000 libros de literatura1 libro de matemáticas4 libros de literatura

Tasa• Solución:

b. La tasa requerida:

b. La tasa es:

7,000 libros de literatura1,750 libros de matemática

4 libros de literatura1 libro de matemáticas

1,750 libros de matemáticas8,750 total de libros

1 libro de matemáticas5 total de libros

Tasa Unidad

• Es costumbre expresar la tasa de dos medidas no-semejantes como unidad de tasa por unidad.

• Cuando una tasa es reducida a denominador uno, tenemos una tasa unidad.

Tasa Unidad

• Ejemplo 1:– Escribir como tasa unidad: 340 pies a 8

segundos.

340 pies8 segundos

340 8 pies8 8 segundos42.5 pies

1 segundos

La tasa unidad es 42.5 pies por segundo.

Tasa Unidad

• Ejemplo 2:– Jorge guía su carro y cubre una distancia de

123 millas en 2.2 horas. Halla su velocidad (distancia cubierta por hora). Redondea la respuesta a la décima mas cercana.

Tasa Unidad

• Solución:

123 millasVelocidad = 2.2 horas123 2.2 millas2.2 2.2 horas

59.9 millas1 horas

La velocidad a la décima más cercana es 55.9 millas por hora.

Sección 6.2

Proporción

Resolución de Proporciones

• Dos tasa o razones iguales forman una proporción.

• Una proporción puede ser cierta o falsa.• El número (o cantidades) a, b, c, d se dice

que están en proporción o son proporcionales si,

a cb d

Resolución de Proporciones• Resolver una proporción significa hallar el

término que falta que haga la proporción cierta.

• Ejemplo: Define proporción y coteja si la proporción es cierta o falsa.

30 4516 24

30 24 16 45720 720

30 45 es cierta16 24

Para cotejar si la proporción es cierta hallamos el producto diagonal cruzado.

Como estos dos productos son iguales, la proporción es cierta.

Resolución de Proporciones

• Una proporción es un enunciado de igualdad entre dos razones.

• Una proporción puede ser cierta o falsa.

3 18 2 6 y 7 42 3 8 Ejemplos de dos proporciones.

3 18 18 3 es una proporción cierta, ya que al reducir es 7 42 42 72 6 6 3 2 es una proporción falsa, ya que al reducir es 3 8 8 4 3

Resolución de Proporciones

• Como las razones son, esencialmente fracciones, es simple manejar problemas de proporción como problemas de fracciones.

• Para cotejar si una proporción es cierta podemos aplicar el método de multiplicación cruzada.

Resolución de Proporciones

1. Determine si es cierta o falsa la proporción,

4 2512 75

4 75 12 25300 300

Multiplicamos cruzado.

Es cierta la proporción.

Resolución de Proporciones

2. Determine si es cierta o falsa la proporción, 2.4 es a 5 como 5 es a 2.4:

2.4 55 2.4

2.4 2.4 5 55.76 25

Multiplicamos cruzado.

Es falsa la proporción.

Resolución de Proporciones3. Determina si las proporciones son ciertas

o falsas,3 dolares 12 vellones5 pesetas 10 níqueles3 dolares 300 centavos5 pesetas 125 centavos

12 vellones 120 centavos10 níqueles 50 centavos

300 120125 50

300 50 125 12015,000 15,000

La tasa no tienen las mismas unidades. Cambiamos todas las unidades a centavos y omitimos la unidad común.

Multiplicamos cruzado.

La proporción es cierta.

Resolución de Proporciones

4. Halla el término que falta, 27 es a 3 como 18 es a x.

27 183

27 3 183 18 3 9 227 3 9

2

xx

x

x

Establecemos la proporción.

Multiplicamos cruzado.

Despejamos por x, dividimos y simplificamos.

Resolución de Proporciones

5. Resuelve la proporción,

3 4.85.76

3 5.76 4.817.28

4.83.6

o3.6

xx

x

x

x

Resolución de Proporciones6. Juan gana $126 en 3 días. A esta tasa,

¿cuánto ganará en 7 días?

$126 dolares3 días 7 días

126 7 3882

3294

o$294 en 7 días

x

x

x

x

x

Resolución de Proporciones7. Un mapa de los Estados Unidos tiene una

escala donde ½ pulgada representa 50 millas. ¿Cuántas pulgadas representan 725 millas entre dos ciudades del mapa?

12

50 7251 725 502

362.5507.25

y

y

y

y

De modo que, en el mapa 725 millas equivalen a 7.25 pulgadas.