MATEMÁTICA 3º CBC

Números realesExpresiones algebraicas

Teorema de Thales, Proporcionalidad

FuncionesSistema de ecuaciones

Volumen y capacidad.

NÚMEROS REALESNúmeros racionales

Un número racional cuando puede ser expresado como un cociente entre 2 números enteros.

Todo número racional puede escribirse mediante una fracción o una expresión decimal.

La expresión decimal de un numero racional tiene una cantidad finita o una cantidad infinita periódica de cifras decimales.

Ejemplos: 2/5 = 0,4 ; - = - 0,125 ; = 0,222… = 0,2

Números fraccionarios

Cada fracción es un par ordenado de números naturales con la segunda componente distinta de 0.

El primer elemento del par ordenado es el numerador. El segundo elemento del par ordenado es el denominador.

(3 ; 7) 3/7Entero dividido en 7 partes iguales.3 partes coloreadas. Toda fracción indica una división. Si la división es exacta el resultado es un numero natural y la fracción es aparente.

= 2 ; = 5 ; = 3

Todo numero natural puede expresarse como fracción de denominador 1.

Las cifras decimales de una expresión decimal se pueden acortar por razones prácticas aproximando o truncando a la cifra de lo décimos, centésimos, milésimos, etc.

Para aproximar, primero se debe determinar hasta que cifra decimal se va a considerar y luego, observar la cifra que se encuentra a su derecha.

*si la cifra de la derecha es 0,1,2,3 o 4, cifra considerada se deja igual (por defecto).*si la cifra de la derecha es 5,6,7,8 o 9, a la cifra considerada se le suma 1 (por exceso).

Por ejemplo: 1. A los décimos 2. A los centésimos 3. a los milésimos a) 1,43 = 1,4 a) 4,584 = 4,58 a) 5,8062 =

5,806 b) 2,68 = 2,7 b) 7,135 = 7,14 b) 8,0109 = 8,011

Porcentaje El A% de una cantidad B de las 100 partes en que se divide a B, o sea: A . B/100 = B .

A/100

Por ejemplo, el 15% de 180 es: 180 . 15/100 = 180 . 0,15 = 27

para calcular el porcentaje de una cantidad, se multiplica a esta por un número decimal.

Por ejemplo: a) el 5% de 60 es: 60 . 0,05 = 3 b) el 75% de 300 es: 300 . O,75 = 225

APROXIMACIÓN Y TRUNCAMIENTO

•Para calcular cualquier potencia de una fracción:

•El exponente entero negativo se define: = y =

•Para calcular potencia de una expresión decimal, la cantidad de lugares decimales de la cantidad de lugares decimales de la potencia es igual al producto de la cantidad de lugares decimales de la base por el exponente.

a) 0,05 . 0,05 = 0.0025

2 lugares . 2 lugares = 4 Lugares

decimales decimales decimales

2 . 2 = 4

Radicación de números racionales•Para calcular cualquier raíz de una fracción:   = / •Para calcular cualquier raíz de un expresión decimal, la cantidad de lugares de la raíz es igual a la cantidad de lugares decimales de la base divida el índice.

RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

•Para sumar o restar radicales, el índice y la base deben ser semejante. a) 3 + 4 = 7 b) 9 - 5 = 4 •En ocasiones, dos radicales pueden no ser semejantes y luego extraer factores sí lo son.

a) + 5 = + 5 = 2 + 5 = 7

Notación Científica• la notación científica es una forma de escribir números muy grandes o muy pequeños. Se utiliza para poder expresarlos de una manera abreviada y para operar con mayor facilidad.•Un número esta escrito en notación científica cuando se lo expresa como:

a . ˄ 1 ≤ a ˂ 10 ˄ n ɛZ

a) 5.000 = 5 . 1.000 = 5 .

b) 0,02 = = 2 .   = 2.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RACIONALES

• una expresión algebraica, es una combinación de números reales y / o letras (variables) ligadas entre sí con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

a) b) 2 + C) d) - n +

Se clasifican en: 1.Irracionales: alguna de las variables es base de una raíz. Ejemplo d)2.Racionales: ninguna variable es base de una raíz.

Fraccionarios: alguna variable actúa como divisor. Ejemplo c)

Enteras: ninguna variable actúa como divisor. Ejemplo b)

• Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 término) y polinomios (varios términos).

• Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 términos), trinomio (3 términos),

• Dos expresiones algebraicas separadas por un signo   se llama ecuación.

• Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

TEOREMA DE THALESCuando tres o más rectas paralelas (A, B y C) son cortadas por dos transversales (D, E), quedan determinados en ambas transversales varios segmentos (ab, bc, de, ef, etc).Los segmentos homólogos son los que se encuentran entre dos paralelas y uno en cada transversal. Por ejemplo: ab y de son homólogos, y también lo son ac y df .La razón entre cualquier par de segmentos determinados en una de las transversales es igual a la razón de sus homólogos.Los segmentos homólogos son proporcionales entre sí.

CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALESToda recta paralela a cualquier lado de un triángulo determina, sobre las rectas que contienen a los otros dos lados, segmentos proporcionales a ellos.

PROPORCIONALIDADLa receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 160 g de harina, 120 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo hacer que la receta se la realice para 5 personas? Se calcularía las cantidades para una persona y luego las multiplicaría por el número de personas. Lo que serias igual a agregarle ¼ a 1 entero ( = cinco huevos, 200 g de harina; 160 g de mantequilla y 150 g de azúcar).Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad.

Una proporción está formada por dos razones iguales: a : b = c : d. Hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios. En toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios(a . d = b .c). Por ejemplo: teniendo una proporción 1 : 2 = 2 : 4 , si se cumple el producto de los extremos y los medios , nos daría que 1 . 4 = 2 . 2

Proporción es una relación entre números o magnitudes, que pueden darse en 2 sentidos:

• Las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden aumentar o disminuir en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales.• Si una magnitud aumenta la otra disminuye en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.

FUNCIONESUna relación es una función cuando se cumplen dos condiciones:1. Todos los elementos del conjunto A están relacionados con algún

elemento del conjunto (existencia).2. Cada elemento del conjunto A se relaciona con un único elemento del

conjunto B (unicidad).

DOMINIO DE IMAGENSe llama dominio de una función al conjunto de valores de la variable

independiente, x, para losque existe la función, es decir, para los que hay un valor de la variable

dependiente, y.Se llama imagen de una función a todos los valores de la variable dependiente

que tienen algúnvalor de la variable independiente que se transforma en él por la función.

CONJUNTO DE CEROS O RAÍCES Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.

INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTOSi a medida que los valores de x aumentan, el valor de la función aumenta, entonces, la función CRECE; pero si disminuyen, la función DECRECE

MAXÍMO Y MÍNIMO RELATIVO

Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o lamenor (máximo – mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No seexcluye que haya otros puntos "alejados" de x cuya imagen sea mayor o menor.

SISTEMA DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos rectas de una plano. Resolver el sistema es hallar el punto donde esas rectas se cortan, tiene que a ver 2 ecuaciones que general mantente una se representa con la letra X y la otra con la letra Y.

Los métodos que se utilizan son los de igualación, sustitución y el de grafico. El de sustitución e igualación también se los puedo llamar analíticos.

2x+3y=11-----------------a)2x=-3y+11

-4 (- 3y + 11) = 2 (18 - 6y)

12y - 44 = 36 -12y

24y = 36 + 44

Y = 80 : 24

Reemplazar “Y” en la ecuación:

Sustracción:

1) igualación: elijo una letra “X” despejo en ambas ecuaciones.

-4x+6y=18 ---------------b)4x=18-6y

x= (-18-6y):-4

x=(-3y+11):2Iguala las “X” X(a)=X (b)

En el método grafico nos dan las ecuaciones y cada uno tiene que graficarlas y las soluciones de estas ecuaciones son: única solución; las dos rectas se cortan en un punto sistema compatible determino. Solución infinita; en este los 2 segmentos esta siempre juntos 0=0 sistema indeterminado compatible. Sin solución: los segmentos nunca se cortan entre si nunca se unen.

EN ESTE EJEMPLO SE MUESTRA SUSTITUCION E IGUALACION DE ECUACIONES LINEALES

Capacidad y Volumen

Equivalencia entre Masa y Volumen“el litro (1dm3) es el volumen de 1 kg de agua destilada a 4 ° C de temperatura y a presion atmosférica normal.”La equivalencia entre las unidades de masa y volumen sólo vale para el agua destilada.Para otra sustancia cualquiera 1 dm3 no es 1kg. Ejemplo:La masa de 1 dm 3 de hierro es 7,8 kg.La masa de 1 dm3 de aceite es o,82 kg.

La capacidad y el volumen son términos que se encuentran estrechamente relacionados. Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para contener a otra u otras cosas; se define el volumen como el espacio que ocupa un cuerpo, por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad de volumen).

Volumen• Volumen cuerpos equivalentes: Dos o más

cuerpos equivalentes, tienen igual volumen. En el espacio existen tres dimensiones: largo, ancho y alto .

• Volumen del cubo = l x a x h

• Volumen del paralelepípedo: sup. Base x long. H

• Volumen del prisma: sup. Base x long. H

• Volumen del cilindro: r2 x h

• Volumen de la pirámide: volumen del prisma/3

• Volumen del cono: volumen del cilindro/3

• Volumen de la esfera: 4/3π(long. r)3

Ana Cardozo.

Franco Gómez.

Aixa Larrahona.

Sofía López Sierra.

Facundo Oliver.

Victoria Retambay Fernández.

3º 1º Humanidades