1. CURIOSIDADES Y PARADOJAS 1.Multiplicando con los dedos 2.Multiplicacin rusa 3.Multiplicacin rabe 4.Algoritmo de Colombia 5.Productos por el nmero 8 6.Productos por el nmero 9 7.Productos sin repetir cifras 8.Productos con una sola cifra 9.Los 6 mltiplos de 142857 10.Cuadrados notables 11.Otra del 8 y el 9 12. Dos ms sobre cuadrados 13.Demostracin sorprendente 14.Simplificaciones locas 15.Aquiles y la tortuga 16.El cretense mentiroso 17.En el cementerio 18.Dnde est la peseta? 19.Los canbales 20.Los tres cofres 21.Ms pena para el mismo reo 22.Los tres condenados 23.Paradoja de Feijo 24.Me librar del examen? 25.El sabio Sancho Panza Men PrincipalMen Principal

2. Men PrincipalMen Principal 1.Como multiplicar dos factores de una cifra, ambos mayores que cinco 1.Como multiplicar dos factores de una cifra, ambos mayores que cinco CuriosidadesCuriosidades 2.La tabla del nueve2.La tabla del nueve 3. Cmo multiplicar dos factores de una cifra, ambos mayores que cinco: Este truco, utilizado ya por los turcos en la Edad Media, hubiera sido interesante conocerlo cuando estabas aprendien-do la tabla de multiplicar. Recuerda que las tablas de los primeros nmeros eran muy fciles de recordar: la del 1, menuda tontera; la del dos, sencillsima; la del 3 y la del 4, tampoco ofrecan mucha dificultad, y la del 5, s que era sencilla (5,0,5,0,5,....). El fastidio comenzaba a partir de aqu. Bueno, pues con la ayuda de las manos, no es necesario aprender ms tablas que las cinco primeras: -Si queremos multiplicar 8 x 4 , no es necesario saber la tabla del ocho, ya que: 8 x 4 = 4 x 8 = 32 (la tabla del cuatro s hay que saberla) CuriosidadesCuriosidades 4. CuriosidadesCuriosidades 1.- El problema sera que se quieran multiplicar dos factores mayores que cinco, por ejemplo 7 x 9. Pues bien, se numeran los dedos de cada mano a partir del seis, comenzando por los meiques: 6 6 7 8 9 9 10 10 8 7 5. CuriosidadesCuriosidades 2.- Se juntan el dedo nmero 7 de una mano y el dedo nmero 9 de la otra. 3.- Si se cuentan los dos dedos que estn juntos y los que estn debajo ( en nuestro caso: 2 + 4 = 6 ), ya se tiene la cifra de las decenas. 4.- Multiplicando los que quedan libres de una mano por los que quedan libres en la otra ( 3 x 1 = 3 ) , obtenemos las cifras de las unidades. 5.- De esta manera se sabe que 7 x 9 = 63. 63 2 + 4 = 6 3 x 1 = 3 Ejemplo: DemostracinDemostracin 6. CuriosidadesCuriosidades La tabla del nueve: Este truco puede servir para aprenderse la tabla del nueve. Pero s puede ofrecer una alternativa vlida, ya que es mucho ms fcil que el anterior. -Se abren las dos manos y se numeran todos los dedos de derecha a izquierda, del 1 al 10. (Figura) -Para averiguar cunto es 9 x 4, por ejemplo, se cuentan los dedos que estn a la derecha del dedo nmero 4, que son 3; y los que estn a la izquierda, que son 6, luego: 9 x 4 = 36 !! Prueba con toda la tabla del nueve !! 1 2 34 56 78 9 10 7. Multiplicacin rusa: Los rusos, para multiplicar nmeros grandes, utilizaban el mtodo de dobles y mitades, hasta llegar a la unidad. Como ejemplo, multipliquemos 624 x 432 : DOBLES (x 2) MITADES (:2) 624 1.248 2.496 4.992 * 9.984 * 19.968 39.936 * 79.872 * 159.744 432 216 108 54 27 1 = 26 13 1 = 12 6 3 1 = 2 1 En la columna de la izquierda vamos multiplicando por dos, mientras que en la derecha vamos dividiendo por dos, sucesivamente. Cuando nos encontra- mos a la derecha un nmero impar que impedira la continuacin del proceso, le restamos una unidad, y sealamos el n- mero que est a su izquierda con un asterisco. Para conseguir el producto de los dos nmeros, basta sumar los nme- ros marcados con un asterisco. En efecto: 269568 159744 79872 19968 9984 + CuriosidadesCuriosidades Prefiero la ensaladilla rusa a la multiplica- cin rusa 8. CuriosidadesCuriosidades 2 2 2 0 0 0 1 1 0 1 1 8 8 6 6 4 4 6 2 4 4 2 2 6 9 5 6 8 8 3 Observas alguna relacin entre este mtodo y vuestro algoritmo de la multiplicacin? 3.Multiplicacin rabe: -Colocamos el multiplicando y el multiplicador arriba y a la derecha de una tabla como la del ejemplo, esto es, arriba de izquierda a derecha; y a la derecha, de arriba hacia abajo. -Construimos una tabla de doble entrada disponiendo los productos de dos cifras de la siguiente manera: la cifra de las decenas arriba, y las de las unidades abajo. -Por ltimo se suman siguiendo las lneas inclinadas ......... Es decir: 6 2 4 x 4 3 2 = 2 6 9 5 6 8 9. 1 4 6 9 2 5 7 3 2 5 4 1 7 8 5 CuriosidadesCuriosidades 4.Algoritmo de Colombia: Se llama as porque el documento que lo contiene se conserva en la Universidad de Colombia en Nueva York. Consiste en un mtodo para realizar restas. Vemoslo con un ejemplo: 1.- Se coloca la lnea de la ope- racin sobre el minuendo, y se empieza a restar por la izquierda. Se lee as: 3 menos 1, 2. Escribe el 2, tal y como se ve en la si- guiente tabla: 2 3 2 5 4 1 7 8 5 2.- 22 menos 7, 15. Se escribe el 1 sobre el 2 y el 5 en la fila de abajo. 1 2 5 3 2 5 4 1 7 8 5 3.- 55 menos 8, 47. Se escribe como en la tabla: 1 4 2 5 7 3 2 5 4 1 7 8 5 4.- 74 menos 5, 69: El resultado es el que se indica en la primera fila. Anmate y haz otra resta utili- zando el algoritmo de Colom- bia. 10. CuriosidadesCuriosidades Productos por el nmero ocho: 1.- Si el nmero 8 lo multiplicamos por 1, 2, 3, ...(la serie natural de los nmeros en forma correlativa y sin limitacin) se van obteniendo productos que tienen la particularidad de que sumados los valores absolutos de sus cifras dan la serie decreciente de los nmeros dgitos, descomponindolos, a su vez, cuando estas sumas exceden de nueve: 11. CuriosidadesCuriosidades 1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321 2.- Tambin con la cifra 8 se tienen las siguientes igual-dades notables: 12. CuriosidadesCuriosidades 0 x 9 + 1 = 1 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 Productos por el nmero 9: 13. CuriosidadesCuriosidades Productos sin repetir cifras: Los siguientes productos tienen la particularidad de expre- sarse con igualdades en las que slo entran una vez cada una de las nueve primeras significativas; no se pone como problema encontrar estos productos, puesto que no hay principios generales para ello. Se les puede encontrar consultando pacientemente tablas como la de CRELLE, que presentan los productos de dos factores hasta 999 x 999, pero se corre el riesgo de soar con multiplicaciones. Por cierto, cuntos productos tendr la tabla referida?. 483 x 12 = 5796 157 x 28 = 4396 159 x 48 = 7632 297 x 18 = 5346 186 x 39 = 7254 1738 x 4 = 6952 198 x 27 = 5346 138 x 42 = 5796 1963 x 4 = 78852 14. CuriosidadesCuriosidades Productos que se escriben con una sola cifra: 1.- Una propiedad muy conocida del nmero 12345679 (que no deja de ser muy particular) es que al multiplicarlo por 9 da un producto que se escribe con la cifra 1, esto es el nmero 111.111.111. Por tanto, al multiplicarlo por 18 ( 9 x 2), por 27 (9 x 3), por 36, etc., se obtienen productos notables, a saber: 12.345.679 x 9 = 111.111.111 12.345.679 x 18 = 222.222.222 12.345.679 x 27 = 333.333.333 12.345.679 x 36 = 333.333.333 ................................................... 12.345.679 x 81 = 999.999.999 15. CuriosidadesCuriosidades 2.- De no haber conocido este multiplicando, podramos haber intentado hallarlos sin ms que dividir por 9 el nmero 1111..., bajando despus da cada resto un uno, en vez de un cero, hasta que la divisin fuese exacta. Del mismo modo vamos ahora a investigar cul es el nmero que multiplicado por 7, da un producto escrito slo con unos, para as generar nmeros que se escriban con una sola cifra. 0 21 51 61 41 11 15873 7 7 x 15.873 = 11.111 Por consiguiente: 15.873 x 7 = 111.111 15.873 x 14 = 222.222 15.873 x 21 = 333.333 ..................................... 15.873 x 63 = 999.999 16. CuriosidadesCuriosidades Ejercicio: Requiere ms paciencia contestar a esta pregunta: Cul es el nmero que multiplicado por 49 da un producto que se escribe con slo unos?. En efecto, procediendo como antes, se encuentra: 3.- Con la imaginacin del lector, pueden idearse ms actividades basndose en la misma estrategia. Obsr- vese que en esta misma idea, pero utilizando al 3 como divisor se plante el juego de magia nmero 15, titulado treinta y siete. 2267573696144124716553287981859410430839 17. 142.857 x 1 = 142.857 x 4 = 142.857 x 2 = 142.857 x 5 = 142.857 x 3 = 142.857 x 6 = CuriosidadesCuriosidades Los seis primeros mltiplos de 142.857: Son bastante fciles de calcular, ya que tomando el nmero anterior como multiplicando y cualquiera de los seis primeros dgi-tos, todos los productos tienen las mismas cifras que el multiplicando, y en el mismo orden; de modo que, para hallar rpidamente uno cualquiera de esos mltiplos, basta multiplicar la cifra de las unidades (7), y luego, a partir de la que indique dicho producto, ir copiando las dems correlativamente. Ejemplo: 142.857 x 4 = Como el producto de las unidades por 7 termina en 8, el resultado ser = 571.428 Ejercicio: Completa la siguiente tabla: 18. CuriosidadesCuriosidades 10.Notables sucesiones de cuadrados: En el Taljis o libro de Aritmtica de ABENAL- BANA (1256-1323), famoso matemtico hispanorabe hijo de un albail granadino, se registran los siguientes cuadrados notables: 12 = 112 = 1112 = 11112 = 111112 = 1111112 = 11111112 = 111111112 = 1111111112 = 1 121 12321 1234321 123454321 12345654321 1234567654321 123456787654321 12345678987654321 92 = 992 = 9992 = 99992 = 999992 = 9999992 = 99999992 = 999999992 = 9999999992 = 81 9801 998001 99980001 9999800001 999998000001 99999980000001 9999999800000001 999999998000000001 19. CuriosidadesCuriosidades 0 x 9 + 8 = 9 x 9 + 7 = 9 8 x 9 + 6 = 9 8 7 x 9 + 6 = 9 8 7 6 x 9 + 6 = 9 8 7 6 5 x 9 + 6 = 9 8 7 6 5 4 x 9 + 6 = 9 8 7 6 5 4 3 x 9 + 6 = 9 8 7 6 5 4 3 2 x 9 + 6 = 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x 9 + 6 = 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 Otra vez la magia del 8 y del 9: 20. CuriosidadesCuriosidades a) Si los enteros consecutivos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13..., se elevan al cuadrado: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169..., se observar esta ley, que es fcil de demostrar: Las cifras de las unidades de los cuadrados de los enteros forman un periodo simtrico, 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0, en el cual las cifras simtricas con relacin a 5 con relacin a 0 son iguales. b) Los pares de cuadrados perfectos: 144 y 441, 169 y 961, 14.884 y 48.841 lo mismos que sus res- pectivas races, 12 y 21, 13 y 31, 122 y 221, estn escritas por las mismas cifras escritas al revs. El matemtico V. THBAULT ha investigado cules son todos los pares que gozan de esta curiosa propiedad. Por ejemplo, hall tambin el par siguiente: 11132 = 1238769 y 31112 = 9678321 Dos curiosidades ms sobre cuadrados: 21. Una demostracin sorprendente: -Sean x e y dos nmeros proporcionales a 6 y 4, es decir: X/6 = y/4 , de lo que se deduce que 4 x = 6 y -La igualdad anterior se puede transformar en: 14 x 10 x = 21 y 15 y -De ella podemos obtener: 5 ( 3 y 2 x ) = 7 ( 3 y 2 x ) -Dividiendo los dos miembros por ( 3 y 2 x ), queda: (Naturalmente se impone la proposicin como ejercicio de la justificacin de este paradjico resultado) !!! 5 = 7 !!! CuriosidadesCuriosidades 22. Simplificaciones escandalosas: Pepe Pinto, llama a su primognito Pepito, le hace escribir la fraccin: , y le pide que la simplifique. Puedo quitar un 6 al numerador y otro seis al denominador dice Pepito. Una vez hecha la operacin la fraccin queda as: Est bien aprueba Pepe Pinto -. Pero puedes hacer algo mejor. Es cierto reconoce Pepito- , todava puedo simplificar dos veces con el seis. 6656 6662 . . 665 266 Y entonces escribe: Ol! dice Pepe- . Te felicito!. El mtodo de simplificacin em- pleado por Pepito Pinto es poco ortodoxo y sin embargo, los re- sultados son exactos. Podras encontrar una fraccin de la mis- ma forma ( con el mismo nmero de b en el numerador y en el denominador) que pueda simplificarse de la misma manera y que sea equivalente a 1/2 ? 5 2 665 266 6656 6662 == . . cbbbb bbba CuriosidadesCuriosidades 23. Aquiles y la tortuga: Muestra de la saga de Los eleticos o sofistas, para los que los que lo primordial era convencer de sus habilidades oratorias, fue Zenn de Elea autor de numerosas para-dojas dialcticas, de las que sin duda la ms conocidas es la de Aquiles y la tortuga: ....... Aquiles fue un hroe troyano de la mitologa griega, que segn la leyenda, era invulnerable debido a su madre, que para hacerle invencible, le llev al Lago Estigio, morada de Medusa, y le sumergi en sus aguas sujeto de un taln. Como su taln fue lo nico que no se moj, este era su nico punto dbil. Pues bien, Zenn aprovech la fama de buen corredor de Aquiles para plantear su clebre paradoja: CuriosidadesCuriosidades 24. Una osada tortuga reta al veloz Aquiles a competir en una carrera, con la condicin de que consciente del pesado lastre que debe trans- portar ella tras su espalda, debe dejarle ciertos metros de ventaja. Los dos comienzan a correr y, cuando Aquiles llega al punto A, de donde sali la tortuga, sta ya se encuentra en otro punto B. Cuando Aquiles llega a B, la tortuga ha avanzado otro pequeo trozo y ya se encuentra en otro punto C. Cuando Aquiles llega a C, la tortuga ya se encuentra en otro punto D. De manera que, si bien va acercndose peligrosamente a la tortuga, .................................................. Aquiles nunca alcanzar a la tortuga! CuriosidadesCuriosidades 25. El cretense mentiroso: Una paradoja, producida por la imprecisin del lenguaje, conocida en la Grecia clsica, cuenta como Epimenides, un cretense, afirmaba que los cretenses eran embusteros. La afirmacin parece lgicamente inofensiva, pero analicemos lo que sucede: Si la frase fuese verdad, debiera ser falsa, puesta que la enunciaba un cretense que (al menos en aquella ocasin) no menta. Pero si la frase fuese falsa, debiera ser cierta, porque entonces los cretenses no mentiran y Epimenides era un cretense. Con toda evidencia, lo que Epimenides quera decir es que lo cretenses, ordinariamente (no siempre) mentan, y desde luego, daba por supuesto que l, cretense, no menta en aquella ocasin. Pero la confusin originada, justifica la frase del ilustre matemtico POINSOT: Nunca se es demasiado claro hablando de Matemticas. Como la del no menos ilustre FRECHET, en uno de sus tratados: Todo aquello que se sobreentiende sin decirlo, queda mejor entendido, dicindolo. CuriosidadesCuriosidades 26. En el cementerio: En una tumba en el cementerio de Alencourt, en las cercanas de Pars, se encuentra la siguiente inscripcin, que damos traducida al castellano: Aqu yace el hijo; aqu yace la madre; Aqu yace la hija; aqu yace el padre; Aqu yace la hermana; aqu yace el hermano; Aqu yacen la esposa y el marido. Sin embargo, hay solamente tres personas aqu. CuriosidadesCuriosidades SolucinSolucin 27. CuriosidadesCuriosidades Solucin: La explicacin lgica, pero siempre incestuosa, es la del joven adinerado y mujeriego que perda a una muchacha humilde y, cosa entonces bastante frecuente, no volva a preocuparse por lo que hubiera podido acaecer a la hija, fruto de sus amores. Ms tarde, ya cuarentn, conoca a una hermosa joven, con la que se casaba sin saber que era su propia hija y con la que tena un hijo. De esta forma se tiene, en tres personas, al hijo, la hija, el padre, la madre, la esposa, el marido, el hermano y la hermana. 28. Dnde est la peseta?: A ver si sabes darle explicacin a la siguiente paradoja: Tres amigos van a un Kiosco y compran chucheras por valor de 25 pesetas. Cada nio pone una moneda de 10 pesetas. Con las cinco pesetas que les devuelve el vendedor, se queda una cada uno y le dan dos pesetas al vendedor de propina, de modo que realmente cada uno ha aportado 9 pesetas, es decir, entre los tres han puesto 27 pesetas, y el vendedor se ha quedado con dos pesetas ms, dnde est la peseta que falta?. SolucinSolucinCuriosidadesCuriosidades 29. CuriosidadesCuriosidades Solucin: Se trata de una formulacin confusa de la situa- cin. En realidad, la distribucin del dinero es bien sencilla: 25 pesetas para el vendedor 3 pesetas devueltas 2 pesetas de propina para el vendedor No desapareci nada. En otras palabras, de las 27 pesetas pagadas (3 veces 9), 25 se emplearon en la compra y 2 fueron la propina. 30. Los canbales: Iba un explorador de safari por la selva, cuando fue apresado por una tribu de canbales. El jefe de la tribu quiso darle una oportunidad y as le ofreci la siguiente alternativa de escapar: Le enseo dos caminos, cada uno de los cules estaba custodiado por un guardin. l podra formular slo una pregunta a uno de ellos, y elegir un camino hacia la muerte o hacia la libertad.... Pero hay una pequea pega: uno de los dos guardias siempre miente, y el otro siempre dice la verdad. Cul puede ser la pregunta salvadora? CuriosidadesCuriosidades SolucinSolucin 31. CuriosidadesCuriosidades Solucin; Le preguntara a cualquiera de los dos guardianes, qu respondera el otro guardin si yo le preguntara qu camino conduce a la libertad. Luego tomara el camino contrario al que me respondiera el guardin al que le formul la pregunta. 32. CuriosidadesCuriosidades Los tres cofres: (Este problema y el siguiente son debidos a Raymond Smullyan) Un sultn propuso el siguiente problema a un reo: He aqu tres cofres: uno rojo, otro azul y otro blanco. Cada uno tiene una inscripcin. En el rojo dice: - La llave de la celda est en este cofre -. En el azul dice: - La llave de la celda no est en este cofre -. En el blanco dice: - La llave de la celda no est en el cofre rojo -. De las tres inscripciones, a lo sumo una es cierta. Si sois capaz de adivinar en cul est la llave os dejar ir libre. Qu cofre debi elegir el reo? SolucinSolucin 33. CuriosidadesCuriosidades Solucin: Aunque hay otras maneras de razonar que tambin llevan a la respuesta correcta, la ms rpida e la siguiente: Observemos que las inscripciones del cofre rojo y del cofre blanco son contradictorias. Por tanto, una de ellas es cierta, y como no puede haber ninguna ms que lo sea, la del cofre azul es falsa y en l est la llave. 34. Ms penalidades para el reo: As pues, el reo del problema anterior, habiendo abierto el cofre azul y encontrado en l la llave de la celda, alegremente abri la puerta y sali hacia la libertad... Pero antes de franquear la puerta principal de la prisin fue detenido por un guardia que por orden del sultn le presentaba otros dos cofres: uno rojo y otro azul. En el rojo deca: - La llave de la puerta principal no est aqu -. En el azul deca: - Exactamente una de estas sentencias es cierta -. El sultn, que le haba dejado salir de la celda, le exiga pasar una prueba ms, acertando el cofre en que estuviese la llave de entrada de la prisin. Qu hizo el reo? CuriosidadesCuriosidades SolucinSolucin 35. CuriosidadesCuriosidades Solucin: El reo sac una moneda y se jug a cara o cruz la eleccin de uno u otro cofre, ya que no se dijo nada sobre la veracidad o falsedad de las inscripciones, lo que nos permite poner la llave donde nos plazca, sin que por ello exista contradiccin alguna. Como el reo se dio cuenta de ello, el sultn comprendi que tena encarcelado al cerebro del pas y lo dej en libertad antes de que eligiera. 36. 22.Los tres condenados: Tres ladrones, que llamaremos A, B y C, fueron capturados mientras robaban en el palacio de un Gobernador desptico, y condenados a muerte por el mismo. Antes de cumplirse la sentencia, el Gobernador se arrepinti de su severidad, y decidi indultar a uno de los tres presos. Para procurar que este beneficio recayese en el ms inteligente de los tres condenados, dispuso lo siguiente: A la vista de los presos mostr tres tiras de pao blancas, y dos tiras negras. Despus, orden que a la espalda de cada preso, por separado, se colgase una de estas cinco tiras. Hecho esto permiti que los presos se viesen libremente entre s, pero que no se comunicasen. Prometi libertad al que primero supiese acertar, con razonamiento infalible, eso s, el color de su propia tira. El preso A vio que las tiras de B y C eran blancas, y a los pocos segundos pidi ser llevado ante el Gobernador, a quien expuso la respuesta correcta. Qu fue lo que le dijo A y cmo lo razon? CuriosidadesCuriosidades SolucinSolucin 37. CuriosidadesCuriosidades Solucin: Sabiendo la inteligencia de sus compaeros, afirm: !Mi tira es blanca! Porque si fuera negra alguno de los otros dos hubiera podido encontrar la respuesta: El 1 vera blanca+blanca o blanca+negra. Si ocurri lo primero, su cinta era blanca. Si ocurri lo segundo, cul de los otros tendra la blanca?. Si la tira negra la tuviera yo, el otro hubiera acertado al ver que el 1 no contestaba con seguridad, ya que habra visto una blanca y otra negra, en cuyo caso el 2 sabra que la suya era blanca. Luego sabiendo que mis compaeros son inteligentes, yo s que mi tira tiene que ser blanca. 38. Una de las paradoxas matemticas del P. Feijo: En el Discurso sptimo de su Teatro crtico Universal (1729), el P. Benito J. Felio (1676-1764) ofrece una miscelnea de paradojas sobre cada una de las partes de las matemticas. Por ejemplo, una de las que hablan de Geometra dice lo siguiente: (Demostracin: Tngase en cuenta que las rectas que contie- nen a las plomadas se cortaran en el centro de la Tierra) Dos paredes de un edificio si estn bien hechas a plomo, no pueden ser paralelas o equidis- tantes; antes bien, es preciso que disten ms una de la otra por la parte superior que por la inferior. CuriosidadesCuriosidades 39. CuriosidadesCuriosidades Voy a escribir en un papel una proposicin, que en el transcurso de la hora de clase, es decir antes de que toque el timbre, se cumplir o no se cumplir. Vosotros/as debis escribir en un papel: SE CUMPLE o NO SE CUMPLE. Lgicamente si se ha cumplido ganan los primeros y si no, los segundos. Y los que ganan no tendrn que hacer el examen de maana, !!! SUERTE !!!. Pues bien, sabes cul es la frase escrita por el/la profesor/a?. Me librar del examen?: Un da previo a un examen de evaluacin, el profesor de ma- temticas dice encontrarse muy generoso y les propone a los alumnos y alumnas una sencilla adivinanza: SolucinSolucin 40. CuriosidadesCuriosidades Solucin: Pues bien, sabes cul es la frase escrita por el/la profesor/a?. HAS ESCRITO: NO SE CUMPLE Para los/as que escribieron SE CUMPLE, no se cumpli la proposicin, por lo que como ellos dijeron que se cumpla, no ganaron. Para los/as que escribieron NO SE CUMPLE, se cumpli, pero como ellos haban vaticinado que no se cumplira, tampoco ganaron. As que.... LO SIENTO, !! A ESTUDIAR !! 41. CuriosidadesCuriosidades La sabia decisin de Sancho Panza: Para presentar otro tipo de paradojas, de cuyo enunciado caben numerosas variantes, parece lo ms conveniente reproducir unas pginas del Quijote, en el Captulo L1 de la Segunda Parte. Es, sin duda, el escrito de CERVANTES ms profesionalmente vinculado a la matemtica, y se refiere a un episodio del gobierno de Sancho Panza en la nsula Barataria. He aqu pues, la cuestin que cierto da ofreci un forastero al juicio y sentencia de Sancho Gobernador: Seor, un caudaloso ro divida dos trminos de un mismo seoro... Y est vuesa merced atento, porque el caso es de importancia y algo dificultoso. Digo, pues, que sobre 42. CuriosidadesCuriosidades Si alguno pasare por este puente de una parte a otra, ha de jurar primero a dnde y a qu va; y si jurare verdad, djanle pasar, y si dijera mentira, muera por ello ahorcado en la horca que all se muestra, sin remisin alguna. Sabida esta ley y la rigurosa condicin de ella, pasaban muchos, que luego en lo que juraban se echaba de ver que decan verdad, y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedi, pues, que tomando juramento a un hombre, jur y dijo, que para el juramento que haca, que iba a morir en aquella horca que all estaba, y no a otra cosa. sobre este ro estaba un puente, y al cabo de l una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario haba cuatro jueces que juzgaban por la ley que puso el dueo del ro, del puente y del seoro, que era de esta manera: 43. Repararon los jueces en el juramento y dijeron: Si a este hombre le dejamos pasar libremente, minti en su juramento, y confor-me a la ley debe morir; y habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre. Pdese a vuesa merced, seor Gobernador, qu harn los jueces de tal hombre? Que an agora estn dudosos y suspensos; y ha-biendo tenido noticia del agudo y elevado entendimiento de vuesa merced, me enviaron a m a que suplicase a vuesa merced de su parte, diese su parecer en tan intrincado y dudoso caso. A lo que respondi Sancho: Por cierto que esos seores jueces, que a m os envan, lo pudieran haber excusado; porque yo soy hombre que tengo ms de mostrenco que de agudo; pero, con todo eso, repetidme otra vez el negocio de modo que yo lo entienda; quiz podra ser que diese con el hito. Volvi una y otra vez el preguntante a referir lo que primero haba dicho, y Sancho dijo: CuriosidadesCuriosidades 44. CuriosidadesCuriosidades A mi parecer, este negocio en dos paletas le declarar yo si es as; el tal hombre jura que va a morir en la horca; y si muere en ella jur verdad; y por tal ley puesta merece ser libre, y que pase el puente; y si no le ahorcan jur mentira, y por la misma ley merecen que le ahorquen. -As es como vuesa merced dice, dijo el mensajero; y en cuanto a la entereza y entendimiento del caso, no hay ms que pedir ni que dudar. -Venid ac, seor buen hombre, respondi Sancho; este pasajero que decs, o yo soy un porro, o l tiene la misma razn para morir que para vivir y pasar el puente; porque si la verdad le salva, la mentira le condena igualmente; y siendo as como lo es, soy de parecer que digis a esos seores que a m os enviaron, que pues estn en fil las razones de condenarle o absolverle, que le dejaran pasar libremente, pues siempre es alabado ms el hacer bien que mal; y esto le diera firmado en mi nombre, si supiera mejor firmar; y yo en este caso no he 45. CuriosidadesCuriosidades hablado de mo, sino que se me vino a la memoria un precepto, entre otros muchos, que me dio mi amo don Quijote, antes que viviese a ser gobernador de esta nsula, que fue cuando la justicia estuviese en duda, me decantase y acogiese a la misericordia; y ha querido Dios que agora se me acordase, por venir en este caso como de molde. Buen Sancho Panza!... Podamos alabar, despus de esta lectura, la no fingida modestia que sus contestaciones transparentan, y tambin su fidelidad al cristiano y cabal precepto que don Quijote le diera.; pero lo que a cualquier matemtico debe resultar simptico es su buen deseo de declarar en dos paletas el planteo de una cuestin cuando, como sucede muchas veces, viene estorbada en su comprensin por una multitud de detalles no esenciales. Existen muchos problemas, que pareciendo distintos, son matemticamente idnticos al que plantea Cervantes..... 46. CuriosidadesCuriosidades Demostracin: Expresemos los dos factores algebraicamente de la siguiente manera genrica: 5+x y 5+y. Si te das cuenta la demostracin de la regla es equivalente a la justificacin de la siguiente identidad algebraica, que por otro lado es trivial: (5+x)(5+y) = 10(x+y)+(5-x)(5-y)