Presentación Optimizacion MILP MINLP

7/24/2019 Presentacin Optimizacion MILP MINLP

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Simulacin y Optimizacin de Procesos Qumicos

Titulacin: Ingeniera Qumica. 5 Curso

Optimizacin

MILP, MINLP

(Mixed Integer (Non) Linear Programming) .

Octubre de 2009. Jos A. Caballero

Esta obra est bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 Espaa de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.

Citar como: J.A. Caballero Surez, material docente para la asignatura Simulacin y Optimizacin de procesos Qumicos, Octubre 2009. Universidad de Alicante.


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Jos A. CaballeroSimulacin y Optimizacin de Procesos Qumicos.Esta obra est bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas 3.0 Espaa de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visitehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/es/ o envie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.


Optimizacin Discreta

Programacin Lineal de con variables discretas (MILP)

{ }1,0,,0

0..

min

+

+=

yxx

bByAxas

yaxcZ

n

TT

Algoritmos

I. EnumeracinRamificacin y Acotamiento (Land, Doig 1960; Dankin 1965)

Idea Bsica: Particin sucesiva del espacio entero para eliminar regiones. Selleva a cabo una bsqueda en rbol, donde cada nodo es un LP.

II. ConvexificacinPlanos de corte (Gomory 1958; Crowder y col, 1983; Balas y col. 1993)

Idea Bsica: resolver una serie de subproblemas LP aadiendo cada vezdesigualdades vlidas que corten soluciones previas.

Ramificacin y Acotamiento ampliamente utilizadoIntegracin de los mtodos : RAMIFICACIN Y CORTE


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Enumeracin exhaustiva slo vlida para problemas pequeos

5. Variables binarias 32 combinaciones enteras10 Variables binarias 1024 combinaciones enteras

50 Variables binarias 1015

combinaciones enteras100. Variables binarias 1030 combinaciones enteras1000. Variables binarias 103000 combinaciones enteras

Escala de

tiempo(Microsegundos)

0

1020

1040

1010

1030

Microsegundos en un da

Microsegundos desde el Big Bang(Unos trece mil setecientos millones de aos)

No funciona en MILP


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No funciona en MILP

Relajacin y Redondeo

Optimo entero

Optimorelajado

Redondeo: no-factible

NO-FACTIBLE

1

0

0 1

y2

y1

1

0

0

y2

y1

Optimo entero

Optimorelajado

Redondeo: factible

SUB-OPTIMO !


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No funciona en MILP

{ }

1 2

1 2

1 2

min : 2

. . 2 1

, 0,1

Z y y

s a y y

y y

= +

+

Reemplazar{ }0,1y

( )

( )

1 1 1

2 2 2

0 1 1 0

0 1 1 0

y y y

y y y

Utilizando el cdigo CONOPT2:

Punto Inicial: Resultado

1 2

1 2 1 2

0; 0

0.5; 0.5 0; 1; 2

y y no factible

y y y y Z

= =

= = = = = Sub-ptimo

Solucin optima: 1 21; 0; 1y y Z= = =

Reformulacin del problema como no lineal:


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Ramificacin y Acotamiento

Particionamiento del espacio entero a travs de una rbol binario

Nodo raz (relajacin LP)

y2= 0 y2= 1 y2= 0 y2= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y1= 0 y1= 1

Nodo l

Nodo k

Nota: 15 nodos para 23 = 8 combinaciones 0-1

Nodo kdescendiente del nodo l


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Nodo raz (relajacin LP)

y2= 0 y2= 1 y2= 0 y2= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y3= 0

y3= 1

y1= 0 y1= 1

Nodo l

Nodo k


Sea el nodo k un nodo

descendiente del nodo l


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{ }1,0,,0

0..

min

+

+=

yxx

bByAxas

yaxcZ

n

TTDado que el nodo kes descendiente del nodo l

3.- SiLPkes una solucin ENTERAZk Z*

Zk: LIMITE SUPERIOR

Reglas de eliminacin de nodosNodo no factibleLmite inferior supera lmite superior

1.- SiLPl es NO-FACTIBLE entoncesLPkes NO-FACTIBLE

2.- SiLPkes FACTIBLE entoncesZl Zk

Incremento montono de funcin objetivo

Zl : LIMITE INFERIOR


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Para utilizar un algoritmo de R. A. hay dos decisiones que tomar:

1. Qu variable se selecciona para ramificar en cada nodo

2. Qu nodo, entre los abiertos, es el siguiente en la enumeracin

Reglas de ramificacin: Seleccin de variable

1.- Fijar prioridades en la variables para ramificacin

2.- Seleccionar para ramificar aquella variable, entre las binarias, con un valor mscercano a 0.5.

3.- Coste Penalizado (Driebneck, 1966)


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1,0,,;0

9385

023..

23min

321

321

321

321

=

+++

+++=

yyyx

yyy

yyyxas

yyyxz

1

z =5.8

[0.2, 1, 0] 5

4

y3=1

y3=0

z=6.75

no factible

[0, 0.75, 1]

3

2

y1=1

y1=0z=6

z=6.5

[0, 1, 0.333]

[1, 0.5, 0]

7

6y2=0

y2=1

no factible

[0, 1, 1]

z=8

ptimo

9

8no factible

z=9

y2=1

y2=0

[1,1,0]

Ejemplo 1 MILP(DFS)


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1,0,,;0

9385

023..

23min

321

321

321

321

=

+++

+++=

yyyx

yyy

yyyxas

yyyxz

1

z =5.8

[0.2, 1, 0] 5

4

y3=1

y3=0

z=6.75

no factible

[0, 0.75, 1]

3

2

y1=1

y1=0z=6

z=6.5

[0, 1, 0.333]

[1, 0.5, 0]

9

8y2=0

y2=1

no factible

[0, 1, 1]

z=8

ptimo

7

7no factible

z=9

y2=1

y2=0

[1,1,0]

Ejemplo 1 MILP(BFS)


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( )

{ }

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 4

min 5 3 2.3 1.4 0.95 10

. . 2.5 2 2 0.2 0.85 3

0.5 0.3 0.3 1

0,1 1, 2, 3, 4, 5i

z y y y y y

s a y y y y y

y y y

y i

= + + + +

+ + +

+ +

=

1

z =2.9

[1, 0.55, 0, 1, 1]

3

z =3.35

[0.64, 0, 1, 1, 1]

2z =3.225

[1, 0, 0.15, 1, 0]

4

z =4.05

[0.64, 0, 1, 1, 1]

5

z =3.60

[1, 0, 0, 1, 0]

Cota superior

Nodo con valor mayorque cota superior. No esnecesario continuar poresta rama

6

no-factible

7

z =4.68

[0, 1, 0.4, 1, 1]


OPTIMO

Ejemplo 2


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Ejemplo 3 (DFS)

1

z =2.35

[1, 0.55, 0, 1, 1]

2

z =2.35

0.64, 1, 0, 1, 1]

3

z =3.405

[1, 0, 0.15, 1, 0]

4

z =4.08

[0, 1, 0.4, 1, 0]

5

[no-factible]

6

[no-factible]

7z =4.60

[0, 1, 0, 1, 0]

8

z =5.05

[0.64, 0, 1, 1, 1]

9

z =3.6

[1, 0, 0, 1, 1]

Cota superior

Cota superior


OPTIMO


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Algunas consideraciones importantes

La dificultad para resolver un M ILP est relacionada con:

1. Tamao del GAP de relajacin2. N de variables 0-1

3. N de restricciones.Sin embargo esto es especfico de cada problema. Un problema con 20 variablesbinarias podra ser mucho ms difcil de resolver que otro con 1000.

El correcto modelado del problema, es para los MILP de crucial importancia.

Algunas mejoras en los algoritmos de Ramificacin y Acotamiento:

1. Reduccin de coeficiente

2. Eliminar restricciones redundantes3. Aadir desigualdades lgicas (aunque estrictamente no sean necesarias)4. Estrechar los lmites de las variables5. Estrategias de ramificacin especiales para algunas restricciones (o variables ej SOS1)6. Etc


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Reduccin de coeficiente

Considere la siguiente restriccin { }0 0,1j j j jj

a y b a y >

Si ak> b reemplazar akpor b: { }0 0,1k j j j jj k

b y a y b a y

+ >

Ejemplo:

1 2

1 2

2 1 (1)

1 (2)

y y

y y

+

+

10

1

(2)

(1)


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Correcto modelado y relaciones lgicas

Si la tarea Yi se lleva a cabo en cualquier perodo i=1..n entonces seleccionar la unidad Z.

Intuitivamente se pueden escribir 2 conjuntos de restricciones algebraicas vlidas

Si el conjunto de restricciones lineales no es nicoEntonces. Cul es la mejor opcin?

Ejemplo: Una restriccin habitual

znyn

i

i=1

Una nica desigualdadA-

niyz i ,....,2,1= Conjunto de n desigualdadesB-

Considerese el caso con i=2

2

1

yz

yz

( )2

21 yyz + A

B


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y2 y1

z

Caso A ( )

221 yy

z +

Regin factible

Punto no enteroPunto no entero


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Caso B Regin factible

y2y1

z

2

1

yzyz


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Conjuntos de ordenacin especial

SOS1 Considere la siguiente restriccin 1ii I

y

=

En lugar de la regla habitual de ramificacin :

Se divide I en dos subconjuntos iguales I1

e I2

Se ramifica sobre la dicotoma:1 2

0 0i ii I i I

y y

= =

1 2 3 4 0y y y y+ + + = 5 6 7 8 0y y y y+ + + =

5 6 0y y+ = 7 8 0y y+ = 1 2 0y y+ = 3 4 0y y+ =

7 0y = 8 0y = 5 0y = 6 0y = 3 0y = 4 0y = 1 0y = 2 0y =


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Programacin No-Lineal de con variables discretas (MINLP)

{ }pn

y

Xx

yxg

yxhas

yxf

1,0

0),(

0),(..

),(:min

=

Ramificacin y AcotamientoRavindran y Gupta 1985; Leyffer y Fletcher 2001

Ramificacin y corte: Stuubs y Mehrota 1999

Descomposicin de Benders GeneralizadaGeofrion, 1972

Aproximaciones ExterioresDuran y Grossmann 1986; Yuan y col 1988;

Fletcher y Leyffer 1994

LP/NLP Ramificacin y Acotamiento

Quesada y Grossmann 1992

Plano de Corte ExtendidoWesterlund y Petersen 1995

Algoritmos

MINLP


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Enumeracin en rbol

min : ( , ). ( , ) 0

, 0 1

0

1

k

LB

j

ki FL

ki FU

Z f x ys a g x y

x X y

y i I

y i I

=

Cada nodo es un NLP-1

Ventaja: Formulacin sencilla, slo requiere problemas de tipo NLP-1

Inconveniente: Potencialmente sera necesario resolver muchos NLPs

Convergencia global: slo necesita que cada NLP-1 alcance su ptimo global

MINLP


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Los diferentes algoritmos se pueden derivar por la combinacin de diferentes sub-problemas

min : ( , )

. ( , ) 0

, 0 1

0

1

kLB

j

ki FL

ki FU

Z f x y

s a g x y

x X y

y i I

y i I

=

a) NLP Relajado (relajacin de alguna binaria).Lmite inferior

(NLP-R) min : ( , )

. ( , ) 0

k kU

k

j

Z f x y

s a g x yx X

=

b) NLP Variables binarias fijas.Lmite Superior

(NLP-1)

1

min :

. ( , )

,

kj

u

s a g x y u

x X u R

c) NLP De Factibilidad para unaykfija.

Minimizacin de la norma infinito delvector de no-factibilidades(NLP-F)

MINLP


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MINLP

Problema Maestro (Duran y Grossmann, 1986)

min :

. . ( , ) ( , )

1...

( , ) ( , ) 0

kL

kk k k k T

k

kk k k k T

j j k

Z

x xs a f x y f x y

y yk K

x x

g x y g x y j J y y

=

+

=

+

M-MILP

Notas:

a) El punto (xk, yk) k = 1K se obtiene normalmente de NLP-1

b) Las linealizaciones se acumulan en cada iteracin

c) Produce una secuencia no-decreciente de lmites inferiores


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x2

f(x)

x

Funcin objetivo convexa

x2

x2

x1

x1x1

Regin factible convexa

Subestimacin de lafuncin objetivo Sobreestimacin de laregin factible

MINLP


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MINLP

Algoritmo de las aproximaciones exteriores (implementado en GAMS como DICOPT)

NLP-1Factible

S

ZM > Z*No

CorteBinario

SFin

NLP-1

(y fijas)Cota Superior. Posible Solucin.

Nueva linealizacin en x ptimaZ* = mejor cota superior

MILP-MCota Inferior:Valores de yk para NLP-1

Funcin objetivo = ZM

NLP-RProblema relajado. Binarias

relajadas a continuas entre 0 y 1

NoNLP-F Problema de factibilidad


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MINLP

Extensin a problemas con restricciones de igualdad:

La nica modificacin necesaria es a nivel del problema MASTER

min :

. . ( , ) ( , )

( , ) ( , ) 0

kL

kk k k k T

k

kk k k k T

j j k

Z

x xs a f x y f x y

y y

x x

g x y g x y j J y y

=

+

+

( ) ( , ) 0

kk k T

i i k

x xsign h x y i I

y y

1....k K=

Relajacin de la igualdad en desigualdad utilizando el signo del multiplicador de Lagrange


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Cdigos comerciales para MINLP

DICOPT++ (GAMS) Viswanathan y Grossmann (1990)

Aproximaciones exteriores

AOA (AIMSS)Aproximaciones exteriores

MINLP (AMPL) Fletcher y Layffer (1999)

Ramificacin y acotamiento

-ECP Westerlund y Petersson (1996)Plano de corte extendido (tambin bajo GAMS)

MINOPT Scheweiger y Floudas (1998)

Descomposicin de Benders

BARON Sahinidis y col (1998)Optimizacin global (tambin bajo GAMS)

SBB (GAMS)

Ramificacin y acotamiento simple.


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Sistemas de modeladoProgramacin Matemtica

GAMS (Meeraus y col, 1997)

AMPL (Fourer y col, 1995)AIMSS (Bisschop y col, 2000)

1. Sistemas de modelado algebraico: Modelos basados en ecuaciones

2. Capacidad de indexado. Permite plantear problemas grandes con poco esfuerzo

3. Diferenciacin automtica. El usuario no tiene que proporcionar informacin de

derivadas.

4. Conexin automtica don diferentes cdigos (sin cambiar la formulacin del

modelo) y diferentes tipos de modelos (LP, MILP, NLP, MINLP )

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