RECTA EN PLANO – CIRCUNFERENCIA

PROF. ORLANDO MANUEL ARIASUNELLEZ - GUANARE

1.1.- Distancia entre dos puntos

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. 

   La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =              esta dada por:

                                                                                                                                                                                                                       (1)

En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también

el segmento de recta      

Figura 1

I.- RECTA EN EL PLANO

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al

eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el puntoR, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

                                                                                       

Pero:                                                                   

                                                  y                                                        

Luego,                                                                                                                                                

  

                                                                                                                  

En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y  P2 no afecta el valor de la distancia.

1.2.- Coordenadas del punto medio

                       

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

                                       Las coordenadas del punto medio de un segmento

coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.

                                                                             

1.3.- Pendiente de una recta (m) Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x. Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente

(m) está dada por:

 

                                                                                                                              

Esto es,

                                                                                                                                                                                     

1.4.- Ecuación de una línea recta

La ecuación GENERAL de una línea recta tiene la forma:

Ax + By + C = 0

1.5.- Fórmula punto pendiente

Cuando se conoce la pendiente (m) de la recta y un punto P = (x1, y1) por

donde ella pase, es posible encontrar su ecuación general mediante el empleo de la

fórmula:

1.6.- Pendiente (m) cuando se conocen dos puntos

La pendiente (m) de una recta se define como la tangente del ángulo de inclinación de

dicha recta. Por tanto:

De allí que:

1.7.- Distancia de un punto a una recta                                        La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.          

                  

1.8.- Distancia entre rectas paralelas

                                                           

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto

cualquiera, P, de una de ellas y calcular su distancia a la otra recta. Siendo la

fórmula de cálculo:

                                  

1.9.- Paralelismo y perpendicularidad

Rectas paralelas Dos rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, esto implica que sus tangentes son iguales, es decir, las pendientes coinciden.

Rectas perpendiculares

Dos rectas perpendiculares tienen ángulos de inclinación que difieren en 90 grados , esto implica que sus tangentes son reciprocas y difieren en signo, es decir,  el producto de sus pendientes es -1

II.- LA CIRCUNFERENCIA

2.1.- Definición de circunferencia

En general, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano real que equidistan de un punto fijo.

2.2.- Elementos principales

Dos elementos son suficientes para definir geométricamente a una circunferencia. Ellos son el Centro (C) y el radio (r).

El centro: Es el punto fijo de la circunferencia y lo denotaremos como C = (h, k). Donde h y k son las coordenadas en los ejes X (abscisas) e Y (ordenadas) respestivamente.

El radio: Es la distancia que hay desde el centro hasta cualquier punto P = (x, y) por

donde pase la circunferencia. Lo denotaremos con la letra “r”.

2.3.- Ecuación General de una circunferencia

Una ecuación de la forma: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 con A = B pero A y B

distintas de cero; representa la ecuación general de una circunferencia.

2.4.- Fórmulas

La ecuación general de una circunferencia se puede calcular conociendo

cuanto mide el radio y cuales son las coordenadas del centro. Esto es:

a.- Si el centro (C) se encuentra en el origen de coordenadas y el radio es r:x2 + y2 = r2

b.- Si el centro (C) está fuera del origen de coordenadas y el radio es r:(x – h)2 + (y – k)2 = r2