La Recta en El Plano

Álgebra y Geometría Analítica "LA RECTA EN EL PLANO"

INTRODUCCIÓN

Existen problemas del área de la Economía y de la Administración, que se resuelven

mediante el planteo y resolución de modelos matemáticos. Algunos de estos

modelos son ecuaciones lineales de oferta, demanda, costos, etc. Estos son casos

particulares de los llamados modelos lineales.

A modo de ejemplo supongamos la siguiente situación :

Un fabricante de bicicletas desea conocer la relación que existe entre

el precio por unidad, p, y la cantidad de bicicletas ofrecidas al

mercado, x. Para ello, le solicita a un especialista un "estudio de

mercado", quien luego de realizarlo, le informa que la relación entre x

y p puede responder a un modelo lineal con dos variables.

El fabricante dispone además de la siguiente información:

cuando el precio unitario es $ 100 se ofrecen

al mercado 150 unidades

cuando el precio unitario es $200 se ofrecen

al mercado 450 unidades

La pregunta que se plantea el fabricante es la siguiente :

Con los datos disponibles, ¿ qué cantidad corresponde ofrecer al mercado

cuando el precio unitario es $150?

Para aplicar modelos lineales es preciso conocer conceptos matemáticos

relacionados con la recta, limitando el tema de interés a la recta en el plano.

Para hacer el abordaje de este tema el alumno deberá contar con conocimientos

previos sobre:

Elementos de trigonometría

Vectores

Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

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MAPA CONCEPTUAL

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LA RECTA EN EL PLANO

Relación entre el lenguaje analítico y el geométrico

ECUACIONES DE LA RECTA

Ecuación Explícita

Ecuación General

Ecuación del haz de rectas

Rectas concurrentes

POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS. INTERSECCIÓN DE DOS

RECTAS

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Ecuación Segmentaria

Rectas Paralelas

Distancia entre rectas paralelas

Rectas Perpendiculares

APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN

Rectas coincidentes


La recta en el plano

1. Ecuaciones de la Recta

1.1 Ecuación general de la recta

Volvamos al ejemplo presentado en la introducción y recordemos la información disponible:

La relación entre las variables x y p se supone que responde a un modelo lineal, cuya representación gráfica es una recta.

Cuando el precio unitario es $100, se ofrecen al mercado 150 unidades.Cuando el precio unitario es $200, se ofrecen al mercado 450 unidades.

Interpretemos esta situación gráficamente:

Con los datos disponibles, la pregunta del fabricante es:¿Qué cantidad corresponde ofrecer al mercado cuando el precio unitario es $150?

La respuesta puede ser leída en el gráfico :“el punto C (x, 150) de la recta tiene abscisa x=300”

Vale decir:"Cuando el precio unitario es $150 le corresponde ofrecer 300 bicicletas"

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OBSERVEMOS:

Comencemos haciendo ciertas observaciones en el gráfico anterior :

La recta r es la recta sostén del vector AB, por lo tanto tienen la misma dirección.

AB tiene las siguientes componentes:

AB = (450-150,200-100) = (300 ,100)

Un vector perpendicular al AB , llamémoslo n , puede ser : n= (-1, 3)Lo verificamos: AB x n = (300,100) x (-1,3)= 300(-1)+100. 3 = 0

También se puede ver en el siguiente gráfico, que la condición que debe cumplir un punto C(x,p) para pertenecer a la recta que pasa por el punto A(150,100) es:

n x AC =0

Escribiendo los vectores por sus componentes y resolviendo el producto escalar se obtiene :

(-1,3) x (x-150, p-100) = 0

-x+150+3p-300 = 0

-x+3p-150=0

Este es el modelo lineal que responde a la relación entre x y p en el problema del fabricante.El modelo obtenido: -x+3p-150=0 es la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(150 ; 100) y es perpendicular al vector (-1 ; 3) .

Con este modelo podemos responder a la pregunta del fabricante, reemplazando p por 150 y despejando x :

Modelo: -x + 3p - 150 = 0reemplazando p: -x + 3 . 150 - 150 = 0 despejando x : -x + 450 - 150 = 0

-x + 300 = 0 x = 300

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¿ Podremos encontrar un modelo lineal que nos proporcione la misma respuesta que hemos hallado geométricamente?

A(150,100)

C (x, p)

0

p

x

n


¿Cómo generalizamos formalmente este modelo?

Nos proponemos encontrar la ecuación general de una recta r que cumpla con las dos condiciones siguientes:

r pase por un punto conocido que simbolizamos P1 (x1,y1) r sea perpendicular a un vector conocido que simbolizamos =(a,b)

Interpretemos esta situación gráficamente:

es un vector contenido en la recta r, por lo tanto es perpendicular al vector : ésta es la condición que deben cumplir "los puntos P

pertenecientes a r ", tal que P P1.¿Y si P=P1? Notemos que en este caso es el vector nulo, entonces también

se cumple : Esta condición nos permite definir la recta r como el siguiente conjunto de puntos:

Escribiendo los vectores y por sus componentes y resolviendo su producto escalar obtenemos “la ecuación general de la recta” :

x = (x – x1, y – y1) x (a , b) = a (x – x1) + b (y – y1) = = ax + by + (-a x1 – b y1) = ax + by + c = 0 ecuación general de la recta

Definimos la recta r como el siguiente conjunto de puntos:

Luego: “Un punto P(x,y) del plano pertenece a la recta r, si y sólo si satisface la ecuación: ax + by + c = 0”

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Este término es un n° real conocido que llamamos “ c ”

r = / x

r = P(x,y) / ax + by + c = 0

"ax+by+c=0" es la ecuación general de la recta ylos números a, b, c, son sus coeficientes

vector perpendicular a r

P1 (x1 ,y1) punto fijo r

P (x , y) punto genérico de la recta, tal que P P1

vector contenido en la

recta r y distinto del vector nulo

Determinar si los puntos :A(0,2) B(-1,1)C(3,4)

pertenecen a la recta cuya ecuación es :2x - 3y + 6 = 0


Observación :

ax + by + c = 0 es una ecuación lineal de 1º grado en las variables x e y

Propuesta de trabajo

Significado geométrico de los coeficientes de la ecuación general de la recta

► Los coeficientes a y b son las componentes del vector “ = (a,b)”, perpendicular a la recta ; se lo llama “vector normal a la recta ”.► El coeficiente c, llamado término independiente, se interpreta geométricamente de la siguiente manera:

▪ Sea P(x,y) un punto cualquiera de la recta , por lo tanto verifica la ecuación: ax + by = -c

▪ Sea la distancia del origen de coordenadas a la recta.

▪ Interpretamos esta situación gráficamente:

Observar que es el módulo del vector proyección del vector sobre el vector

= = x = = =

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= =

Vale decir :

=

Piensa y responde: ¿cuándo es exactamente la distancia del origen a la recta ?

Observaciones :

1. Las rectas dibujadas son paralelas, difieren sólo en su distancia al origen, por lo tanto sus ecuaciones difieren sólo en el valor del término independiente c.

2. Si la recta pasa por el origen de coordenadas, su ecuación es: ax + by = 0

3. La ecuación ax+by+c = 0 es la ecuación de una recta si y sólo si =(a,b)0


Teniendo en cuenta las observaciones anteriores, verifica gráficamente cuáles de las siguientes rectas son paralelas o coincidentes:

3x – 2y + 4 = 0 3x – 2y + 2 = 0

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Interpretamos esta última igualdad del siguiente modo :

c, en valor absoluto, es proporcional a la distancia del origen a la recta.

c3 =0 porque r3 pasa por el origen


3x – 2y = 0 2x – 3y = 0 9x – 6y + 6 = 0

Síntesis

La ecuación general de la recta es:

r) ax + by + c = 0 ; donde

r pasa por el origen c = 0

Ejemplos

Dados = (4,2) y el punto P0 (-2,6)a) Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por P0 y es normal a b) Verificar si A (1,1) y B (2, -2) pertenecen a la recta obtenida en a).c) Interpretar a) y b) gráficamente.

Resolución

a) Ecuación general de la recta:

r) ax + by + c = 0 ; = (a,b)

Reemplazo = (a,b) por = (4,2) obtenemos:

4x + 2y + c = 0 familia de rectas perpendiculares a

P0 (-2,6) 4 (-2) + 2 (6) + c = 0 c = -4

Rta: r) 4x + 2y –4 = 0

b) Para saber si un punto pertenece a dicha recta bastará verificar si sus coordenadas satisfacen la ecuación encontrada:

4 . 1 + 2 . 1 - 4 = 2 0 A (1,1) r4 . 2 + 4 . (–2) – 4 = 0 B (2,-2) r

c) Interpretación gráfica:

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es el vector normal a r es proporcional a la distancia del origen de coordenadas a la recta:

1


Una compañía fabrica dos productos y dispone de 120 hs semanales para su elaboración. Cada unidad del producto A requiere 3 horas de trabajo; cada unidad del producto B requiere 2,5 horas de trabajo.a) Encontrar la ecuación que permita producir “x” unidades de A e “y” unidades de B, disponiendo para su elaboración de 120 hs semanales de trabajo.b) ¿Cuantas unidades de A pueden fabricarse si se decide elaborar 30 unidades de B?c) Si la gerencia decide fabricar un único artículo ¿cuál será la cantidad máxima de A y cual será la cantidad máxima de B que puede elaborarse?

Resolución

a) Total de horas para elaborar “x” unidades del producto A + total de horas para elaborar “y” unidades del producto B = 120

Rta: 3x +2,5y = 120

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(1,1)

(2,-2)

)4x+2y-4=0

2


b) Si se fabrican 30 unidades de B y = 30. Luego: 3x + 2,5 . 30 = 120

3x = 45

x = 15

Rta: Si se elaboran 30 unidades del producto B se podrán fabricar 15 unidades de A.

c) Si solo se fabrica el producto A entonces y = 0. Luego: 3x = 120

x = 40

Si sólo se fabrica el producto B entonces x = 0. Luego:2,5 y = 120

y = 48

Rta: En las 120 horas de trabajo se podrán fabricar sólo 40 artículos del producto A o sólo 48 artículos del producto B.

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Casos particulares de la ecuación general de la recta: ax + by + c =0

Los distintos casos se presentan a continuación y se producen cuando se anulan algunos de los coeficientes de la ecuación general de la recta :

► Sea a 0 , b 0, c 0 , entonces la ecuación ax + by = 0 corresponde a una recta que pasa por el origen de coordenadas y su dirección está dada por su vector normal = .

► Sea a = 0 , b 0, c 0 , entonces el vector normal a la recta es: = = = // r es paralela al eje X Luego, la ecuación correspondiente a una recta paralela al eje x es : r) by+c = 0 r) y = -c / b, x

► Si a = 0 , b 0 , c = 0 , entonces: r) by = 0 , x r) y = 0 , x es la ecuación del eje X

► Sea a 0 , b = 0, c 0 entonces el vector normal a la recta es: = = = // r es paralela al eje Y Luego la ecuación correspondiente a una recta paralela al eje y es:

r) ax+c = 0 r)x = -c / a ; y

► Si a 0 , b = 0 , c = 0 , entonces :

r) ax = 0 , y r) x = 0 , y es la ecuación del eje Y

► Si a = 0 , b = 0 , c 0, entonces ningún punto satisface la ecuación, siendo su conjunto solución el conjunto vacío.► Si a = 0 , b = 0 , c = 0, entonces todo punto del plano satisface la ecuación, por lo tanto la misma no corresponde a una recta.

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1.2. Ecuación Segmentaria

Partimos de la ecuación general de la recta: ax+by+c=0 ax+by = -cSi c es distinto de cero, es posible dividir ambos miembros de la ecuación por -c:

; ; ;

Simbolizando ; , se obtiene:

ésta es la “ecuación segmentaria de la recta”

Observaciones :

1. Esta forma de la ecuación de la recta tiene sentido, bajo los supuestos: ; vale decir que se eliminan las rectas paralelas a los ejes

coordenados y las que pasan por el origen de coordenadas.Luego : “las rectas que pasan por el origen de coordenadas y las que son paralelas a los ejes coordenados no tienen ecuación segmentaria”.

2. En la ecuación segmentaria: p es la abscisa del punto de intersección de la recta con el eje X q es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y

Interpretación gráfica: Podemos observar en la ecuación segmentaria que :

Si x=0 ; y = q P1(0,q) es el punto de intersección de la recta con el eje Y

Si y=0 ; x = p P2(p,0) es el punto de intersección de la recta con el eje X3. La ecuación segmentaria es útil para graficar la recta.

1.3 Ecuación Explícita de la recta

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Nos planteamos el problema de encontrar la ecuación de una recta que pase por un punto dado P1 (x1;y1) y que forme con el semieje positivo del eje x un ángulo también conocido :

P1 (x1;y1) es un punto fijo, conocido de la recta. P(x;y) es un punto genérico de la recta. es el ángulo que forma la recta con el sentido positivo del eje X.

En el triángulo rectángulo P1RP sabemos que se verifica la siguiente relación:

r) es la “ecuación explícita de la recta ”

si x = 0 y = h “h” se llama ordenada al origen de la recta.“m” se llama pendiente o coeficiente angular de la recta

También se llega a esta ecuación a partir de la ecuación general de la recta, despejando “y”, suponiendo b 0.


Partiendo de la ecuación general de la recta, encuentra su ecuación explícita.Sugerencia: despeja “y” en la ecuación general. ¿Toda recta del plano puede ser expresada en forma explícita?. Justifica tu respuesta.

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R

y = mx+ (y1 – mx1) |_______| es un número conocido, lo llamamos h


Como resultado de la propuesta anterior, se puede hacer la siguiente

Observación :

Hemos visto que uno de los casos particulares de la ecuación general de la recta se presenta cuando b=0 :

r) r) , ecuación de la recta paralela al eje “y”

Luego :r) ax + c = 0 es la ecuación de una recta paralela al “eje Y”, la cual no tiene forma explícita . ¿Porqué?:Observar que en este caso, el ángulo que la recta forma con el sentido positivo del eje X es igual a 90º y la tg 90º no existe; por lo tanto no existe m = tg y en consecuencia las ecuaciones de las rectas paralelas al eje Y no tienen forma explícita .

Síntesis

La ecuación explícita de la recta es :

r) ; m es la pendiente de r ; m = , donde es el ángulo que forma la recta con el

sentido positivo del eje X.h es la ordenada al origen de r.

Si la recta es paralela al “eje Y”, entonces la recta no tiene ecuación explícita. Si la recta es paralela al “eje X”, entonces su ecuación explícita es : r) y = h ; x Si la recta pasa por el origen de coordenadas su ecuación explícita es : r) y = mx

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1.4 Ecuación del Haz de Recta

¿A qué llamamos haz de rectas con centro en un punto dado P1(x1,y1)?

En el gráfico se seleccionó una recta cualquiera del haz y se consideró el ángulo que la recta forma con el sentido positivo del eje X.

Vale decir que haciendo variar m, se obtienen todas las rectas del haz con excepción de la recta perpendicular al eje x ¿por qué?

Recordar que el ángulo de 90° no tiene tangente, por lo cual no existe un valor numérico “m” para dicha recta, cuya ecuación es: x=x1 ; y

SíntesisTodas las rectas del haz están representadas por las ecuaciones:

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Al dibujar las distintas rectas del haz, se observaque m es la pendiente de cualquiera de esas rectas que pasan por P1

y

Es el conjunto de todas las rectas que pasan por P1


2. Posiciones relativas entre rectas . Intersección de dos rectas

2.1. Rectas Concurrentes: Son rectas que tienen un único punto en común

Observamos en la figura que:P1(x1,y1) r1 Verifica su ecuación: a1x1+b1y1+c1 =0P1(x1,y1) r2 Verifica su ecuación: a2x1+b2y1+c2 =0

Luego el punto de intersección de r1 con r2 , P1(x1,y1) , debe verificar el siguiente sistema de “dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y” :

Analíticamente, el punto P1(x1,y1) lo encontraremos resolviendo el sistema planteado por alguno de los métodos conocidos.

En este caso, el sistema S es compatible con una única solución. Su conjunto solución es el conjunto formado por el par ordenado de números reales (x1,y1) .

2.2. Rectas Perpendiculares:

Sean r1) a1x+b1y+c1=0 tal que 1=(a1,b1) r2) a2x+b2y+c2=0 tal que 2=(a2,b2)

Si r1 es perpendicular a r2 entonces sus vectores normales, 1 y 2 , son perpendiculares

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P1(x1;y1) es el centro del haz r1 haz de rectas con centro en P1

P(x;y) es un punto genérico de r1 tal que PP1

Condición de perpendicularidad entre r1 y r2

Observamos en la figura que también en este caso el sistema S es compatible con una única solución, pues dos rectas perpendiculares son un caso particular de dos rectas concurrentes.

r1) a1x+b1y+c1 = 0

r2) a2x+b2y+c2 = 0x1

y1 P1 (x1 , y1)

n1 =(a1,b1)

n2 =(a2,b2)

r1) a1x+b1y+c1 = 0

r2) a2x+b2y+c2 = 0


2.3. Rectas Paralelas:

En este caso, el sistema S es incompatible. Su conjunto solución es el conjunto vacío. Observar que no existe punto de intersección entre r1 y r2.

2.4. Rectas Coincidentes:

Si r1 es coincidente con r2:

( ; ;

En este caso el sistema S, es compatible con infinitas soluciones. Su conjunto solución es el conjunto formado por los infinitos pares ordenados de números reales (x,y) que verifican las ecuaciones de r1 y r2 .

Propuesta de trabajo Justifica que si dos rectas r1)a1x+b1y+c1=0 y r2)a2x+b2y+c2=0

son coincidentes , entonces : ;

¿Cómo expresar las condiciones de paralelismo y de perpendicularidad cuando las ecuaciones de las rectas están expresadas en forma explícita?

Propuesta de trabajo Sean: Demuestra que en este caso, las condiciones son las siguientes:

De paralelismo:

De Perpendicularidad:

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Observamos en la figura :

y )

( y ;

Condición de paralelismo entre r1 y r2


Síntesis►Dadas las rectas r1 y r2 cuyas ecuaciones generales son las siguientes:

/ /

Condición de paralelismo entre y :

( ; ;

Si r1 es coincidente con r2:

( ; ; ;

Condición de perpendicularidad entre y :

►Si las ecuaciones están expresadas en forma explícita: ;

entonces las condiciones son las siguientes :

De paralelismo:

De perpendicularidad: ;

Ejemplo 1

Dado el siguiente par de rectas : y a) Analizar si es paralela a . En el caso que no lo sean, encontrar el punto de

intersección de ambas rectas.b) Verificar gráficamente la conclusión obtenida en el punto a)

Resolución

a) Observando los vectores normales a r1 y r2, y recordando que

resulta :

; ;

Para encontrar el punto de intersección de ambas rectas planteamos el sistema:

Elegimos un método para resolverlo, por ejemplo, el de eliminación por suma oresta :

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resolviendo obtenemos :

sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones y obtenemos :

P1(2,7) es el punto de intersección de r1 con r2

El sistema es compatible con solución única.El conjunto solución del sistema es : {(2,7)} .

b) Gráficamente

Ejemplo 2

Dados los siguientes dos pares de rectas, r1 y r2 , cuyas ecuaciones son :

i)

ii)

Encontrar el conjunto solución del sistema formado por las ecuaciones de r1 y r2 en cada caso .Interpretar gráficamente cada situación.

Resolución

i) Observando los vectores normales a r1 y r2 , , resulta :

Otra manera de razonar :

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Las rectas del sistema tienen igual pendiente, ½, y distinta ordenada al origen, por lo tanto son paralelas.

El sistema es incompatible. Su conjunto solución es el conjunto vacío :

ii) Observando los vectores normales a r1 y r2 , ,

resulta :

El sistema es compatible con infinitas soluciones. El conjunto solución del sistema es : { (x,y)2 / y= 5x+3, x }


Interpretar gráficamente el Ejemplo 2

Síntesis

¿Cuál es la relación entre el lenguaje geométrico y el analítico?¿Cómo interpretamos analíticamente la intersección de dos rectas en el plano?¿Cómo interpretamos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas?

Cada ecuación del sistema representa una recta en el plano. Luego :El sistema es compatible con solución única las rectas son concurrentesEl sistema es compatible con infinitas soluciones las rectas son coincidentesEl sistema es incompatible las rectas son paralelas

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3. Aplicación del concepto de distancia

3.1 Distancia de un punto a una recta

Podemos interpretar esta definición a partir de la figura: ;

Observacion : es un número no negativo

3.2 Distancia de un punto dado P1(x1,y1) a una recta de ecuación conocida.

Nos planteamos el problema: encontrar una “expresión” que nos permita hallar el valor de . Nos ayudamos con la figura para interpretar nuestro problema:

P1(x1;y1) es un punto conocido r Po(xo;yo) es un punto cualquiera de la recta, por lo tanto verifica su

ecuación: ax0 + by0 = -c Observamos que es el módulo de la proyección de sobre Luego :

por lo tanto:

Observación :

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Se llama distancia de un punto P1 a una recta r, a la “longitud del segmento determinado por P1 y el pie de la perpendicular trazada por P1 a r”. Se simboliza con la letra .

P1 (x1 , y1)

P0(x0 , y0)


Si = distancia del origen a la recta,

resultado ya obtenido al hacer la interpretación geométrica de “c”

SíntesisEl valor de la distancia del punto a la recta de ecuación

se obtiene con la siguiente expresión:

Si =

Ejemplo

Hallar la distancia del punto a la recta

Resolución

Rta: la distancia del punto a la recta es

3.3 Distancia entre dos rectas paralelas

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Sean y tal

que , vale decir se verifica que:

Observamos en la figura que es posible calcular la distancia entre ambas rectas, tomando un punto perteneciente a una de ellas y calculando la distancia de dicho punto a la otra.

Origen del sistema de coordenadas


Ejemplo

Dadas las rectas y , verificar si son paralelas y en caso de serlo encontrar la distancia entre ellas:

;

Resolución

Tomemos un punto :

Si

Luego

La distancia entre r1 y r2 es igual a la distancia entre P1 y r1.

Aplicando la fórmula correspondiente obtenemos:

= =

Rta: la distancia entre las dos rectas es

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5. Aplicaciones a la Economía y Administración

En la práctica algunas ecuaciones de oferta y de demanda son aproximadamente lineales y se pueden ajustar por una recta.

5.1. Ecuación lineal de demanda:

r) p=mx+p0 es una ecuación lineal de demanda (caso normal), si se cumplen las siguentes condiciones:

x 0 ; p 0m < 0 ; p0 > 0

Casos no normal:

SíntesisLa ecuación lineal de demanda es:

Siendo x 0 ; p 0m < 0 ; p0 > 0

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No varía la cantidad demandada, cualquiera sea el precio (artículo de 1° necesidad)

No varía el precio cualquiera sea la cantidad demandada.El precio no depende de la cantidad demandada.

Observación :Sólo se considera ecuación de demanda la parte de la recta que se encuentra en el 1° cuadrante


Ejemplo:Los clientes demandan 40 unidades de un producto cuando el precio es de $12 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18 por unidad.

a) Encontrar la ecuación lineal de demanda en forma analítica y gráfica.b) Hallar el precio por unidad cuando se requieren 30 unidades.

Resolución:a) la pendiente de la recta que pasa por P1(40,12) y P2(25,18) es:

La ecuación de demanda es :p=mx+p0

reemplazando en ella, el valor obtenido para la pendiente y las coordenadas de un punto perteneciente a la recta, obtenemos p0 :

12=

p0 = 28

Luego: Ecuación Lineal de Demanda

Gráficamente:

b) Cuando x=30

Rta: Cuando se requieren 30 unidades, el precio es 16$ por unidad.

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5.2 Ecuación lineal de oferta

r) p=mx+p0 es una ecuación lineal de oferta (caso normal), si se cumplen las siguentes condiciones:

x 0 ; p 0m > 0

Observación : Sólo se considera ecuación de oferta la parte de la recta que se encuentra en el 1° cuadrante.

Casos considerados no normal:

SíntesisLa ecuación lineal de oferta es:

p=mx +p0 Siendo x 0 ; p 0 m > 0

Ejemplo

Un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50 (cientos de pares) cuando el precio es de $50 el par y 100 (cientos de pares) cuando el precio es $75 el par.a) Encontrar la ecuación lineal de oferta, en forma analítica y gráfica.

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No varía la cantidad ofrecida, cualquiera sea el precio.

No varía el precio cualquiera sea la cantidad ofrecida

0

00


b) Hallar el precio de cada par de zapatos, cuando se ofrecen al mercado 80 (cientos de pares).

Resolucióna) la pendiente de la recta que pasa por P1(50,50) y P2(100,75) es:

La ecuación de oferta es : p=mx+p0

reemplazando en ella, el valor obtenido para la pendiente y las coordenadas de un punto de paso de la recta, obtenemos p0:

75=

p0 = 25

Luego : Ecuación Lineal de Oferta

Gráficamente

5.3 Punto de equilibrio de mercado

Observación :el punto de equilibrio debe pertenecer al primer cuadrante.

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Se dice que existe equilibrio de mercado cuando a un mismo precio unitario la cantidad demandada por el mercado coincide con la cantidad ofrecida en el mismo.

b) Cuando x=80

p=

p=65

Rta: El precio de cada par de zapatos es de $65, cuando son ofrecidos 80 (cientos de pares)


Síntesis

Dadas r1) (Ecuación de Oferta)

r2) (Ecuación de Demanda)

El punto de equilibrio de mercado se obtiene resolviendo el sistema:

S 1° Cuadrante

Ejemplo:Las ecuaciones de demanda y de oferta de un producto son respectivamente:

; p=2x+1

a) Encontrar en forma analítica las coordenadas del punto de equilibrio de mercado.

b) Verificar gráficamente la solución obtenida en a).

Resolucióna) El punto de equilibrio, , tal que se obtiene resolviendo el sistema:

Elegimos el método de sustitución para resolverlo:

Sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones:

El punto de equilibrio de mercado es PE( )

b)

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5.4 Otras aplicaciones:

Ejemplo:Una compañía fabrica dos productos diferentes, A y B. La elaboración de cada

unidad del producto A cuesta 6 $ y la elaboración de cada unidad del producto B cuesta 4$. La compañía insiste en que los costos totales de los dos productos deben ser de 300$.

a) Hallar la ecuación lineal que exprese la siguiente relación: el costo total de fabricar x unidades del producto A e y unidades del producto B sea igual a 300$.

b) Si la compañía aceptó producir un pedido de 40 unidades del producto A:¿Cuántas unidades del producto B deberán fabricarse si los costos totales se mantienen en 300$?

Resolucióna) El costo total para fabricar “x” unidades de A más el costo total para fabricar “y”

unidades de B es igual a 300, se expresa mediante la siguiente ecuación:

6 x+ 4y = 300

b) Si aceptó producir 40 unidades de A, vale decir x=40, obtenemos:

6 (40) + 4y = 300

y = 15

Rta.: Manteniendo los costos totales en 300$, deberán fabricarse 15 unidades del producto B.

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ACTIVIDADES DE APLICACIÓN

1- Decir cuales de los siguientes puntos pertenecen a la recta de ecuación 2x-3y-3=0 : M1(3,1); M2(2,3); M3(6,3); M4(-3,3); M5(3,-1); M6(-2,1)

2- Los puntos P1, P2 y P3 pertenecen a la recta r) 3x-2y-6=0. Sus abscisas son respectivamente 4; 0 y 2.¿ Cuáles son las ordenadas de los mismos ?

3- Dados los puntos P (2,3) y Q(-1,0), hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q y es perpendicular al vector .

4- Encontrar la ecuación de la recta que verifica las condiciones que se establecen en cada uno de los siguientes casos:

a) Pasa por el punto P(-1,4) y es paralela al vector =(2,-1)b) Pasa por el punto B(-2,5) y es paralela al eje x.c) Forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las x y corta al de ordenadas en el punto M(0,-1).d) Pasa por los puntos A(3,-3) y B(3,4).e) Intercepta a los ejes coordenados en los puntos P(3,0) y Q(0,7).

5- Determinar la ecuación de la recta que tiene pendiente m=5 y pasa por el punto P(-2,4). Graficarla y si es posible remarcar la parte que corresponde a oferta o demanda.

6- Dadas las rectas r1) 2x-3y+1=0 y r2) y=3/4 x + 1/2 , hallar el ángulo que forman r1 y r2.

7- Calcular la distancia solicitada en cada uno de los siguientes casos: a) Entre las rectas r1) 3x-4y-10=0 y r2) 6x-8y=-5.b) Entre el punto P(1,3) y la recta de ecuación 5x-12y+26=0

8- Sean las rectas r1) y= 1/2 x +1 ; r2) 2x+y=2 : a) Graficarlas.b) Remarcar si es posible la parte de las mismas correspondientes a oferta o demanda.c) Si r1 y r2 determinan un punto de equilibrio de mercado, hallar analíticamente sus coordenadas.

9- Un fabricante entrega 5000 unidades de un artículo por mes cuando el precio unitario es 50$. Si el precio baja a 35$ solo se entregan 2000 unidades.

a) Hallar la ecuación lineal de oferta y graficarla.b) Indicar el precio P0 a partir del cual la empresa ofrece el artículo.c) Si el fabricante ofrece 3000 unidades ¿ cuál es el precio unitario del artículo en el mercado?

10- Colocar VERDADERO O FALSO según corresponda:a) El punto P(2,-1) pertenece a la recta de ecuación y=3x+1

b) La distancia del origen de coordenadas a la recta de ecuación 2x-y+3 = 0 es = .

c) La ecuación 2x+8y+1=0 es una ecuación de oferta.d) El punto E(-1,5) puede considerarse de equilibrio de mercado.e) Las rectas r1)2x+3y=0 y r2) y=-2/3x son perpendiculares.

AUTO EVALUACIÓN

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1)Completar:a)La recta r)2x-3y = 9 corta al eje x en el punto A(...,...) y al eje y en el punto B(...,...)b)La ecuación explícita de la recta 3x = -1/2 y+3 es ....c)La ecuación de la recta paralela a r)0.5x+3y = 7 y que pasa por el origen de coordenadas es....d) La ecuación de la recta perpendicular a r)-x+2y-4 = 0 y que pasa por el origen de coordenadas es....

2) Coloque una cruz en la casilla correspondiente a la respuesta que Ud. considere correcta:2.1 El punto que pertenece a la recta de ecuación 2x-y = 0 y dista del origen unidades es:

a) A(-5/3, -10/3) b) B(-2,-1) c) C(-1,-2) d) ninguno de los anteriores

2.2 La recta perpendicular a r)2x-3y=5 que pasa por el punto P(2,-1) tiene por ecuación: a) 3x+2y = 4 b)3x+2y = 8 c) 3x-2y = -4 d) ninguno de los

anteriores 2.3 La pendiente de la recta que pasa por el punto P(-2,1) y es perpendicular a la recta de ecuación

5x-3y+2 = 0 es: a) 5/3 b) -3/5 c) 2 d ) ninguno de los anteriores

2.4 Las rectas r1) 3x =2y-4 y r2) 3x+2y+4 = 0 son : a) coincidentes b) paralelas no coincidentes c) perpendiculares d) ninguno de las anteriores

2.5 El valor del coseno del ángulo que forman entre sí las rectas r1)y = 2x+4 y r2) x-y+1=0 es:

a) b) c) d) ninguno de los anteriores

2.6 La ecuación 3x+4y-12=0 representa :a) una ecuación de oferta b) una ecuación de demanda c) una ecuación de oferta o demanda (caso no normal) d) ninguno de los anteriores

2.7 El punto de equilibrio de mercado determinado por las rectas r1) x+y=5 y r2) 4x- 2y =11 es:

a) A(1,4) b) B(1, 3.5) c) C(3.5, 1.5) d) ninguno de los anteriores

2.8 La distancia entre las rectas r1) 2x-y+5 = 0 y r2) y = 2x+1/2 es :

a) b) c)

d) ninguno de los anteriores 2.9 Las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P1(1,2) son :

a) y= m(x-1) + 2 b) y-1= m(x-2) c) y-2= m(x-1) ; x =1 y

d) ninguno de los anteriores

3) La pendiente de la recta que pasa por los puntos P1(2, 5) y P2(3, k) es 4 . Encontrar el valor de k.

4) Dada la ecuacón lineal en las variables x e y : , hallar la pendiente y la

ordenada al origen de la recta que dicha ecuación representa . Decir además si puede ser considerada una ecuación de oferta o de demanda.

Respuestas a las actividades de aplicaciónRespuestas a las actividades de aplicación

1 M1 r ; M3 r ; los demás puntos no pertenecen a r 2 P1(4,3) ; P2 (0,-3) ; P3 (2,0) 3 y=-x-1

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4 a) x+2y-7=0 b) y=5 ; x c) y=x-1 d) x=3 ; y e) 7x+3y=215 y=5x+66 3º 8’ 19’’7 a) 5/2

b)5/138 a) queda para el alumno

b) r1 es de oferta ; r2 es de demanda ( sólo en el primer cuadrante)c) E ( 0.4 , 1.2 )

9 a) p= (1/200)x + 25b) p0 =25c) 40$

10 a) F b)V c)F d)F e)F

Respuestas a las actividades de la autoevaluaciónRespuestas a las actividades de la autoevaluación

Ej. 1 a) A(4.5 , 0) ; B( 0 ; -3)b) y = - 6x +6c) 0.5x + 3y = 0d) 2x + y = 0

Ej. 2 2.1 C( -1 ,-2)2.2 3x+2y=42.3 m=-3/52.4 ninguna de las anteriores2.5 –3/ 102.6 ecuación de demanda2.7 C(3.5 , 1.5)2.8 =(920) /202.9 y-2=m(x-1)

x = 1 ; y Ej. 3 k = 9 Ej. 4 m = 7/3 ; h= -20

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