EL ESPACIO AFÍN.

La recta y el plano.

Introducción histórica

Gaspard Monge (1746-1818), matemático francés, reintrodujo la

geometría proyectiva, preocupándose por sus aplicaciones a

la técnica y dando una fundamentación rigurosa a los métodos

de la geometría descriptiva. Estableció, desde el análisis y el

algebra, las relaciones existentes entre las propiedades de las

ecuaciones diferenciales y sus entidades geométricas

correspondientes.

Vectores en el espacio

Un vector esta determinado por dos puntos del espacio, el origen

A y el extremo B.

La distancia entre ambos puntos A y B se llama modulo del vector y

se designa por . Dirección de un vector es la de la recta en que se

encuentra N. la de todas sus paralelas.

Cada dirección admite dos sentidos opuestos: es opuesto a

Diremos que dos vectores son iguales cuando tienen el mismo

módulo, la misma direcci6n y el mismo sentido.

En tal caso, escribiremos: =

Cada una de las flechas , , se llama representante de

un mismo vector. 0 sea:

Vector es todo un conjunto de flechas con los mismos módulos,

dirección y sentido. Cual queramos usarlo, tomaremos alguno de

sus representantes.

Las operaciones entre vectores del espacio se definen de

forma totalmente análoga a la expuesta para vectores del plano

(Ver tema 8).

Al vector de m6dulo 0 cuyo origen y extremo coinciden -es un

punto- se le llama vector centro .

El conjunto de todos los vectores del espacio V, con la operación

interna definida en dicho conjunto (la suma de vectores) y con la

ley de composición externa sobre el cuerpo de los números

reales (el producto de un número por un vector), presenta las

mismas propiedades ya vistas para los vectores del plano. Por tener

estas propiedades, se dice que la terna (V3 + R) es un espacio

vectorial.

Combinación lineal

Dados tres vectores , y y tres números a, b y c el vector

se dice que es una combinación lineal de los vectores

, y .

Ejemplo

El vector de la figura es combinacion lineal de , y , por ser

Si a = 0 y h = 0, entonces , de donde deducimos

que el vector cero es combinación lineal de cualquier trío de vectores.

Dados tres vectores , y , no coplanarios -esto es, que no lo

sean sus representantes con origen común-, pretendemos expresar

otro vector como combinacion lineal de , y . Es decir,

pretendemos encontrar tres números m, n y p tales que:

Seguimos el proceso descrito en el grafico anterior:

I Colocamos , , , con el origen común.

2. Trazamos unas rectas que contengan a los vectores , y

3. Por el extremo de trazamos paralelas a las rectas anteriores. Los

puntos de corte determinan tres vectores ,, , y ,.

4. Como , tiene la misma dirección de , podemos escribir que

. De la misma forma se tiene que y . Por lo

tanto, podemos expresar de la forma

Además, sólo existe una única forma de expresar como

combinación lineal de , , .

Efectivamente es así, pues si ocurriese que:

entonces:

y el vector estaría en el plano determinado por y , en contra de

la hipótesis.

Por tanto, dados tres vectores no coplanarios , y , al vector le

corresponde una única terna de números (a, b, c) tal que

Coordenadas de un vector. Operaciones

En el conjunto de vectores del espacio, se llama base a tres de

ellos con distinta dirección. Si los tres vectores de la base son

perpendiculares y tienen el mismo modulo, la base se llama

ortonormal.

Dada una base B{ , , }, cualquier vector puede ponerse como

combinación lineal de los vectores de B:

A los números (a, b, c) se les llama coordenadas de respecto de B. Se

expresa habitualmente

=(a, b, c) o bien (a, b, c)

Estudiamos ahora cual es el comportamiento de las coordenadas

cuando multiplicamos un vector por un número o sumamos dos

vectores.

Dada una base cualquiera, si las coordenadas de son (x1, x2, x3) y las

coordenadas de son (y1, y2, y3), se tiene que:

las coordenadas de + son (x1+ y1 ,x2+y2 ,x3+y3)

las coordenadas de k son (kx1,k x2,k x3)

las coordenadas de cualquier combinación lineal a +b son

(ax1+ by1 ,ax2+by2 ,ax3+by3)

Estos resultados nos permiten trabajar de forma cómoda y natural

con las coordenadas de los vectores en lugar de hacerlo gráficamente.

Sistema de referencia

Fijamos un punto 0 del espacio, que lo tomamos como centro de

referencia y, así, cada punto P del espacio determina un vector

= . Si, además de un punto fijo, O, tomamos una base

B{ de vectores del espacio, a cada vector, , le

corresponden unas coordenadas. Por tanto ocurre que:

Un punto cualquiera del espacio. P con el origen, O. determina un

vector, , que a su vez en In base B{ determina unas

coordenadas, , o bien, .

Se llama sistema de referencia del espacio al conjunto

R={ formado por:

• Un punto fijo, 0, llamado origen.

• Una base de los vectores del espacio

Con ellos cada punto P del espacio determina un vector cuyas

coordenadas respecto a la base se llaman las coordenadas

del punto P respecto a R.

Ejemplo

Tomamos un sistema de referencia del piano R={ Es

decir, situamos un punto 0 y, con origen en él, tres vectores no

coplanarios

Para facilitarnos la labor, trazamos tres ejes X, Y, Z que contengan a los

vectores de la base.

El punto señalado A(1,4,3) tiene esas coordenadas respecto al sistema

de referencia porque el vector tiene esas mismas coordenadas

respecto de la base .

Un sistema de referencia se llama ortonormal cuando los tres vectores

de la base tienen el mismo modulo y son perpendiculares entre sí. Es el

sistema de referencia habitual por ser el más cómodo de utilizar y

habitualmente lo notaremos por R = {O,{ }

En adelante siempre usaremos algún sistema de referencia formado por

un origen O y una base. Cuando no expresemos lo contrario,

supondremos que la base es ortonormal.

Ejemplo

Dibuja en un sistema de referencia ortonormal el vector

correspondiente al punto P(3,3,4).

Solución:

Problemas geométricos que se resuelven mediante vectores

VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS:

Dados los puntos (a1, a2, a3) y (b1, b2, b3), podemos escribir

; de ahí que las coordenadas del vector sean

(b1- a1 , b2 - a2, b3- a3)

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:

El punto medio de un segmento AB es M si ocurre que:

Por tanto, AB, es decir:

Luego el punto medio M de segmento AB es

SIMETRICO DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO:

El simétrico de A respecto a B es S si B es el punto medio del

segmento AS. Por tanto:

Como a1 y b1 son conocidas, se despeja s1 de la igualdad

. El procedimiento es análogo para s2 y s3.

Ecuaciones de la recta

Sea una recta r, de la que se conocen un punto A(a1,a2,a3)

y un vector de dirección (v1,v2, v3).

Para un punto cualquiera X (x, y,z) de la recta r se tiene que:

o bien

que, escrita en coordenadas es:

y recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta r.

Igualando componente a componente en la expresión anterior

obtenemos:

que son las ecuaciones paramétricas de la recta r.

Despejando el parámetro en las tres igualdades anteriores se tiene:

de donde

que es la ecuación continua de la recta r.

Ecuaciones del Plano

Sea un plano π del que se conocen un plano A(a1,a2,a3) y dos

vectores no paralelos (u1,u2, u3) y (v1,v2, v3). Para un

punto genérico X(x,y,z) del plano de la figura se tiene que:

es un vector del plano π luego y por tanto

Que escrito en coordenadas:

(a1,a2,a3) + λ (u1,u2, u3) + μ(v1,v2, v3)

Que es la ecuación vectorial del plano.

Igualando componente a componente se tiene:

Que son las ecuaciones paramétricas del plano.