Capítulo 7. El Punto, la recta y el plano

1

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo 7. El punto, la recta y el plano

Estos conceptos, así como sus manifestaciones analíticas y

geométricas son esenciales en el estudio de diversas ramas de

las matemáticas y de la física, como es el caso de Álgebra

Lineal, Cálculo Vectorial, Estática, Cinemática y Dinámica. Y

también en diferentes temas de las ingenierías.

EL PUNTO

Su manifestación geométrica es a través de sus coordenadas

en un sistema de referencia o vectorialmente por un vector de

posición; no requiere propiamente de una definición y su

comprensión es básicamente intuitiva. Las coordenadas del

punto coinciden con las componentes del vector de posición

que lo representa.

Distancia entre dos puntos. Sean dos puntos

1 1 1 2 2 2, , , ,A x y z y B x y z en el espacio 3 . La distancia entre

ellos es igual al módulo o magnitud del vector AB que se

expresa analítica y gráficamente como:

A

z

x

b a

O

a

b y

B

2


2 2 2

1 2 1 2 1 2AB b a x x y y z z

b a a b

Ejemplo. Calcular la distancia entre los puntos

3,0,6 4, 5, 7A y B

Ejemplo. Dados los puntos 2, 4, 8 4,6,3A y B , calcular las

coordenadas del punto C si está en la dirección del vector AB ,

en el punto medio de la recta que une estos dos puntos.

3


LA RECTA

Tiene su conceptualización intuitiva y se manifiesta en el

espacio de alguna de las siguientes formas: uno de sus puntos y

su dirección con un vector; si se conocen dos de sus puntos; en

la intersección de dos planos no paralelos. Es una sucesión

infinita de puntos situados en una misma dirección.

Representación vectorial de la recta

Una ecuación vectorial que representa a una recta " "

considera un vector de posición cuyo extremo se mueve a lo

largo de la recta. Es necesario un punto de la recta o su vector

de posición y un vector conocido como vector director de " "

que es paralelo a ella.

Sea un punto 0 0 0 0

, ,P x y z , su vector de posición 0 0 0 0, ,P x y z y

un vector paralelo, que es su vector director , ,u a b c . Sea

otro punto , ,R x y z ; sus coordenadas pueden obtenerse

mediante la suma del vector de posición 0p , más otro vector

con la misma dirección del vector director u y con la magnitud

requerida para llegar al punto R que se expresa evidentemente

z

x

0P

u

y

0P

O

4


como un segmento del vector director, utilizando un escalar

llamado parámetro que afecta al vector director, aumentando

o disminuyendo su valor y puede cambiar su dirección.

Entonces, la ecuación vectorial de la recta " " está dada por:

0 0 0, , , , ;r x y z a b c

o bien,

0 0 0, , ;r x a y b z c

Representación paramétrica de la recta

En forma paramétrica se acude a la ecuación antes obtenida y

se hace uso de la igualdad de vectores. Así:

0 0 0 0 0 0, , , , , ,r x a y b z c x y z x a y b z c

de donde las ecuaciones paramétricas son:

0

0

0

;

x x a

y y b

z z c

No hay una sola ecuación vectorial para una recta ya que

depende de un punto 0P . Por ello la representación

paramétrica no es única.

z

x

0P

u

y

0p

O

r

u

R

5


Ejemplo. Obtener una ecuación vectorial, así como sus

correspondientes ecuaciones paramétricas, de la recta " " que

contiene al punto 3, 5, 8P y que es paralela al vector

5 6v i j k

. Graficar.

Ejemplo. Obtener una ecuación vectorial y las

correspondientes ecuaciones paramétricas de la recta " " que

pasa por los puntos 3, 4, 5 2, 8,7P y Q .

6


Representación cartesiana de la recta

Se utilizan dos formas: la simétrica y la general.

Forma simétrica. Si en las ecuaciones paramétricas se despeja

al parámetro y se realizan las igualdades correspondientes, se

obtiene la forma simétrica de las ecuaciones de la recta.

0

0

00

00

;

x x

ax x a

y yy y b

bz z c

z z

c

0 0 0:x x y y z z

a b c

Si se conoce un punto de la recta y un vector paralelo a ella, es

muy sencillo representar su ecuación en forma simétrica.

Como se verá más adelante, son dos planos que al cortarse,

definen a la recta cuya ecuación es la forma simétrica.

Ejemplo. Obtener las ecuaciones en forma simétrica de la recta

" " dada por las ecuaciones paramétricas siguientes:

7


2 3

: 5 ;

8 4

x t

y t t

z t

Cuando una de las componentes del vector director es cero

significa que es paralelo al plano coordenado en cuyo nombre

no aparece la variable correspondiente a la componente nula.

Ejemplo. Obtener las ecuaciones cartesianas en forma

simétrica de la recta que pasa por los puntos

3,2, 9 4,2,7y . Graficar la recta.

8


Nota. Si dos componentes del vector director son nulas,

entonces este vector es paralelo al eje de la componente no

nula.

Ejemplo. Determinar las ecuaciones paramétricas y las

cartesianas en forma simétrica de la recta " " que pasa por el

punto 0,4, 3P y que es paralela al eje de las abscisas.

9


Forma general. La forma general de las ecuaciones cartesianas

de una recta se expresa con dos siguientes ecuaciones que,

como se verá más adelante, son dos planos, cuya intersección

es la recta cuyos puntos satisfacen las dos ecuaciones:

1 1 1 1

2 2 2 2

0:

0

Ax By C z D

A x B y C z D

Si en ellas se obtienen dos puntos que las satisfagan, con ellos

se determina el vector y, con este y uno de los puntos se llega

a las ecuaciones cartesianas de la recta en forma simétrica.

Ejemplo. Sea la recta dada en forma general por las

ecuaciones:

9 3 1 0:

4 2 3 0

x y z

x y z

Obtener unas ecuaciones cartesianas de la recta " " en forma

simétrica.

10


RELACIONES ENTRE LA RECTA Y EL PUNTO

Distancia entre un punto y una recta

DEFINICIÓN. La distancia entre un punto y una recta es la

mínima distancia entre ambos y se mide sobre la perpendicular

a la recta desde el punto.

Para calcular la distancia se utiliza un punto cualquiera de la

recta, su distancia de este al punto en estudio y el vector

director de " " .

Q

d

P

q p

p

q

R u

x

z

y

Q

d

090

11


En el triángulo PQR, donde " "P es un punto de la recta, el

cateto QR es la distancia requerida. Los vectores de posición

de P y Q son, respectivamente, p y q. Su diferencia es el

vector q p es la hipotenusa del triángulo PQR. Con respecto al

ángulo " " :

d q p sen

Se multiplica y divide por el módulo del vector u y se llega a:

q p u send

u

Por una expresión que define al módulo del producto cruz:

q p u

q p u sen q p u du

Ejemplo. Calcular la distancia entre el punto 2, 3,7Q y la

recta " " de ecuaciones: 7 2

34 2

y zx

12


Nota. De la expresión paramétrica de la ecuación de la recta,

0

0

0

:

x x a

y y b

z z c

también se obtiene un punto y un vector director de la misma.

Con el vector paralelo 1, 4, 2u y el punto 3, 7, 2P , la

expresión paramétrica de la recta sería:

3

: 7 4

2 2

x

y

z

Ejemplo. Para el ejercicio anterior, determinar las coordenadas

del punto " "R en el cual toca a la recta la mínima distancia del

punto 2, 3,7Q .

Solución.

Las componentes del segmento dirigido que va desde un punto

cualquiera de la recta, en este caso, 3, 7, 2P y el punto del

cual se requería la distancia, es decir, 2, 3,7Q , se pueden

escribir como:

2, 3, 7 3 , 7 4 , 2 2 1 , 10 4 , 9 2PQ PQ

Este segmento debe ser perpendicular a la recta por lo que es

perpendicular al vector director u . Por lo que se debe cumplir

que su producto punto debe ser cero ya que involucra al

coseno. Entonces,

0PQ u PQ u

1 , 10 4 , 9 2 1, 4, 2 0 1 40 16 18 4 0

2321 23 0

21

13


Se sustituye este valor en la expresión paramétrica de la recta

y,

233

211.90

237 4 2.62 1.90, 2.62, 4.19

214.19

232 2

21

x

x

y y R

z

z

RELACIONES ENTRE RECTA Y RECTA

Ángulo entre dos rectas

DEFINICIÓN. El ángulo entre dos rectas equivale al ángulo entre

sus vectores directores, esto es:

cosu v

angu v

donde u y v son los vectores directores de las dos rectas.

Esta definición parte del producto escalar o punto en términos

de los módulos y el coseno que forman las direcciones.

El ángulo entre dos rectas, con excepción de cuando su valor

es cero lo que quiere decir que son paralelas o cuando es 090

si son perpendiculares, tiene dos valores, agudo y obtuso,

ambos suplementarios. Cuando el valor de u v

u v

es positivo se

trata del ángulo agudo y cuando es negativo, corresponde al

ángulo obtuso.

14


Ejemplo. Calcular el ángulo obtuso entre las rectas dadas por:

1 2

2 3 0 3 2 5: :

1 1 22 4 0

x y z x y zy

x y

Intersección entre dos rectas y ángulo entre ellas

Otra forma de estudiar el ángulo entre dos rectas es imponer la

condición de que se corten y no como antes que sólo bastaba

con resolver la expresión dada, obtenida del producto escalar.

Ejemplo. Calcular el punto de intersección y, de cortarse,

graficar y obtener el ángulo agudo de intersección entre las

rectas dadas por:

15


1 2

2 36 6 1

: 3 2 :1 5 3

4 2

x sx y z

y s y

z s

Solución. Primero se verá si se cortan y para ello se determinan

los valores de los parámetros " " " "s y t . Se igualan los valores

de la abscisa y la ordenada en ambas rectas, como sigue:

2 3

2 3 6 3 4 16

x ss t s t

x t

3 2

3 2 6 5 2 5 3 26 5

y ss t s t

y t

Se resuelve el sistema y se llega a:

1 5 15 5 20 117 17

12 1 2 5 3

s t ss

ts t

Se sustituyen en la igualdad de las cotas y si resulta una

igualdad quiere decir que las rectas se cortan. Así,

4 2 1 3 4 2 1 1 3 1 2 2 sí se cortans t

El punto de intersección es: 2 3 5 6 5

3 2 1 o bien, 6 5 1

4 2 2 1 3 2

x s x x t x

y s y y t y

z s z z t z

Y entonces, el ángulo entre ellas es, considerando sus

respectivos vectores directores 1 23, 2, 2 1, 5, 3u y u ,

se calcula como:

1 2

1 2

3, 2, 2 1, 5, 3cos cos

17 35

u uang ang

u u

01cos cos 0.041 87.65

595ang ang

La gráfica es la siguiente:

16


Condiciones de perpendicularidad, paralelismo y coincidencia

Considérese el siguiente teorema cuya demostración se omite

por ser consecuencia de definiciones anteriores y propiedades

ya vistas de los vectores:

TEOREMA. Sean las rectas 1 2y cuyos vectores directores

son 1 2u y u respectivamente. Entonces se cumple que:

1 2)i y son perpendiculares sí y sólo si 1 2 0u u .

1 2)ii y son paralelas si 1 2 1 2; ; 0 o si 0u u u u

1 2)iii y son la misma recta expresada de dos maneras

diferentes.

También se dice que son coincidentes si son paralelas y

además un punto cualquiera de 1 pertenece también a

2.

1

2 3

: 3 2

4 2

x s

y s

z s

x

y

z

5,1, 2

6, 6, 1

2, 3, 4

2

6 6 1:

1 5 3

x y z

087.65

17


Ejemplo. Determinar si las siguientes rectas son

perpendiculares, paralelas o coincidentes:

1 2

1 4 7: : 5 4

1 2 34 3

xx y z

y y

z

Ejemplo. Determinar si las rectas 1 2y son perpendiculares,

paralelas o coincidentes:

1 2

1

: 5 3 ; : 2 3 , 4 9 , 2 6 ;

4 2

x

y y r

z

18


Distancia entre dos rectas

DEFINICIÓN. La distancia entre dos rectas equivale a la mínima

distancia entre ellas, medida sobre la perpendicular común a

ambas. Si se cortan, la distancia entre ellas es nula.

La distancia " "d entre las rectas

1 2y se muestra como la

mínima distancia entre ellas medida sobre la dirección

perpendicular a ambas, que puede obtenerse del vector 1 2u u .

Se consideran dos puntos " " " "P y Q en las rectas. Entonces

la distancia requerida es igual al módulo de la proyección del

vector q p en la dirección del vector 1 2u u . Dicho de otra

forma, la distancia pedida es igual al valor absoluto de la

componente escalar del vector q p en la dirección del vector

1 2u u . Esto es,

1u

P

q p

2u

1

2

Q

q

O

p

090

090

1 2u u

d

x

z

y

19


1 2

1 2

q p u ud

u u

Si las rectas son paralelas esta expresión conduce a una

indeterminación y, en este caso es mejor obtener la distancia

entre un punto de una recta y la otra recta.

Ejemplo. Calcular la distancia entre las rectas L y M y hacer

una gráfica que incluya esa distancia. Obtener las

coordenadas de los puntos de las rectas donde se presenta la

distancia entre ellas, así como las componentes del segmento

que define la distancia y verificar que es igual a la distancia

mínima entre ellas:

32 2 3

: : 2 27 9 2

5

x tx y z

L y M y t

z t

Solución. Las ecuaciones de las rectas se pueden escribir

como:

2 2 3 3 2 5: :

7 9 2 1 2 1

x y z x y zL y M

de donde:

vector de posición de un punto de la recta : 2, 2, 3

vector de posición de un punto de la recta : 3, 2, 5

vector paralelo a la recta : 7, 9, 2

vector paralelo a la recta : 1, 2,1

p L p

q M q

u L u

v M v

Para calcular la distancia entre las rectas se utiliza la expresión:

20


q p u vd

u v

Entonces:

3, 2, 5 2, 2, 3 5, 0, 8q p

7 9 2 13 5 23

1 2 1

i j k

u v i j k

2 2 2

13 5 23 26.89u v

5, 0, 8 13, 5, 23 119q p u v q p u v

Luego,

1194.43 unidades de longitud

26.89d d

Para calcular la dirección de la perpendicular a ambas y cuyas

componentes se denotan con , ,a b c , se parte del hecho de

que esta dirección es perpendicular a ellas y entonces, para

obtener dichas componentes, se resuelve el siguiente sistema:

, , 7, 9, 2 0 7 9 2 0 1a b c a b c

, , 1, 2,1 0 2 0 2a b c a b c

2 2 2 2 2 24.425 19.58 3a b c a b c

De 2 se tiene que 2a b c y este resultado se sustituye en

1 3y , de donde:

7 2 9 2 0 14 7 9 2 0b c b c b c b c

21


2323 5 0

5b c c b

2 2 2 2 2 2 22 19.58 4 4 19.58b c b c b bc c b c

2 25 4 2 19.58b bc c

Se sustituye en esta expresión el valor de 23

5c b y se llega a:

2

2 223 23 7235 4 2 19.58 19.58 0.823

5 5 25b b b b b b

23

0.823 3.79 2 0.823 3.79 2.145

c c y a a

El módulo de esta dirección 2.14, 0.823, 3.79 equivale a la

distancia mínima entre las rectas. Así, se obtiene:

2 2 22 2 2 2.14 0.823 3.79 4.43d a b c d d

Si 1 1 1 2 2 2, , , ,A x y z y B x y z son los puntos donde el segmento

de la distancia mínima entre las rectas L y M las corta, para

calcularlos se considera que el segmento AB es perpendicular

a los vectores directores u y v de las rectas. Entonces,

2 1 2 1 2 1, , ; 7, 9, 2 ; 1, 2,1AB x x y y z z u v

2 1 2 1 2 10 7 9 2 0AB u x x y y z z

2 1 2 1 2 17 7 9 9 2 2 0 1x x y y z z

2 1 2 1 2 10 2 2 0 2AB v x x y y z z

Se sustituyen en 1 2y las ecuaciones paramétricas

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

2 7 3

: 2 9 : 2 2

3 2 5

x t x t

L y t y M y t

z t z t

22


y se llega a:

2 1 2 1 2 17 3 7 2 7 9 2 2 9 2 9 2 5 2 3 2 0t t t t t t

2 1 2 1 2 121 7 14 49 18 18 18 81 10 2 6 4 0t t t t t t

2 19 134 51 0 3t t

2 1 2 1 2 13 2 7 2 2 2 2 2 9 5 3 2 0t t t t t t

2 1 2 1 2 13 2 7 4 4 4 18 5 3 2 0t t t t t t

2 16 9 13 0 4t t

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones 3 4y :

2 1 2 1

1

2 1 2 1

9 134 51 0 54 804 306 0723 423

6 9 13 0 54 81 117 0

t t t tt

t t t t

1 2

1

1 2

2

1 2

2.095 0.0440.585

: 3.265 : 4.0883.044

1.83 1.956

x xt

A y y A yt

z z

2.095, 3.265, 1.83

0.044, 4.088,1.956

A

B

El módulo de AB equivale a la distancia mínima entre las

rectas:

2 2 2

0.044 2.095 4.088 3.265 1.956 1.83d

2 2 2

2.139 0.823 3.786 4.43d d

La gráfica de este problema se presenta en la siguiente figura:

23


Ejemplo. Calcular la distancia entre las rectas:

5 3 4 01 2 4: :

1 3 5 4 2 6 0

x y zx y zL y M

x y z

z

x

y

3, 2, 5

1, 6,1

5, 7, 1

2, 2, 3

7, 9, 2u

1, 2,1v

4.43d

M

L

A

B

24


EL PLANO

Un plano es un elemento que solamente cuenta con dos

dimensiones y que contiene un número infinito de puntos y

rectas. Es interesante cómo puede quedar definido un plano,

geométrica y vectorialmente, a través de:

- Un punto del plano y dos vectores directores de dos rectas

pertenecientes a él.

- Tres puntos no alineados del plano.

- Una recta contenida en el plano y un punto del mismo que

no pertenezca a la recta.

- Dos rectas que se cortan y que pertenecen al plano.

- Dos rectas paralelas que pertenecen al plano.

- Un punto del plano y un vector perpendicular al plano.

Representación vectorial del plano

La ecuación vectorial se relaciona con el movimiento del

vector de posición de un punto cuyo extremo lo traza. Para

establecerla es necesario partir del vector de posición y

expresarlo en términos de la suma de dos vectores cuyas

direcciones sean paralelas a dos determinados vectores

directores paralelos al plano, pero no paralelos entre sí, cuya

25


adición inicia en el extremo del vector de posición de un

determinado punto del plano. Considérese la siguiente figura:

De acuerdo con los datos de la figura, la ecuación vectorial del

plano es entonces:

r p u v

Dado que se pueden considerar diferentes vectores directores

y cualquier punto de apoyo del plano, son infinidad de

ecuaciones vectoriales las que pueden representar un plano en

el espacio 3. El plano tiene extensión infinita y en su ecuación

vectorial intervienen dos parámetros a diferencia de la

ecuación de la recta en la que hay uno solo.

Ejemplo. Determinar la ecuación vectorial del plano que

contiene a los siguientes puntos:

2, 4, 5 ; 5, 2, 4 ; 1,6, 3P Q R

O

z

y

x

v

u

R

Q

P

v

u

r p

26


REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DEL PLANO

Así como en la recta se utiliza la igualdad entre vectores para

obtener sus ecuaciones paramétricas, lo mismo sucede en el

caso del plano. Véase esto en el siguiente ejercicio que

establece la representación vectorial y paramétrica del plano

si se considera que el plano contiene a una recta y a un punto

dados:

Ejemplo. Obtener las ecuaciones vectorial y paramétricas del

plano que contiene al punto 2, 6, 3P y a la recta de

ecuaciones:

5 4: 2

2 3

y zx

27


REPRESENTACIÓN CARTESIANA DEL PLANO

La ecuación cartesiana del plano se puede obtener eliminando

los parámetros en las ecuaciones paramétricas. Pero resulta

más conveniente acudir a una de las formas para establecer su

ecuación que es la de utilizar un punto del plano y un vector

perpendicular a él. Cabe decir que al vector perpendicular se

le denomina también vector normal al plano.

Considérese el plano de la siguiente figura:

28


Sea el punto P del plano, cuyo vector de posición es

0 0 0, ,p x y z , el cual, junto con , ,r x y z que es el vector de

posición de un punto cualquiera R del plano, definen al vector

r p del plano. Es evidente que este vector r p es

perpendicular al vector N que es normal al plano, lo que

significa que el producto escalar de ambos es nulo, es decir,

que:

0r p N

Esta es la ecuación normal del plano y si se sustituyen los

vectores que en ella aparecen con sus respectivas

componentes y se realiza el producto escalar o punto, se

obtiene:

0 0 00 , , , , , , 0r p N x y z x y z A B C

0 0 0, , , , 0x x y y z z A B C

0 0 00A x x B y y C z z

O

z

y

x

N

R P

r

p

090

r p

0 0 0

, ,

, ,

, ,

r x y z

p x y z

N A B C

29


0 0 00Ax Ax By By Cz Cz

0 0 00Ax By Cz Ax By Cz

Se hace 0 0 0

D Ax By Cz y se llega la ecuación cartesiana

del plano que es: 0Ax By Cz D

Cuando la recta está en su forma cartesiana, los coeficientes

de , ,x y z son las componentes del vector normal al plano.

Ejemplo. Determinar la ecuación cartesiana del plano de dos

formas: eliminando los parámetros y a través de la ecuación

normal.

2 2

: 2 2 3 ; ,

1 4

x

y

z

30


Cuando en la ecuación cartesiana del plano

0Ax By Cz D , 0D , esto significa que el plano pasa por

el origen.

y

x

z

31


Si uno de los coeficientes , ,A B C es nulo el plano es a un

plano coordenado y su vector normal es a un plano

coordenado.

Si dos de los coeficientes , ,A B C son nulos, el plano es a un

plano coordenado y su vector normal es a un eje

coordenado.

y

x

z

y

z

x

32


Si los tres coeficientes , ,A B C son nulos, no hay vector normal y

en consecuencia no existe plano.

RELACIONES ENTRE EL PLANO Y EL PUNTO

Distancia de un punto a un plano

Esta distancia es la menor y se mide en la recta perpendicular

al plano que pasa por el punto.

P pertenece al plano y R es del cual se desea calcular su

distancia al plano. De ambos puntos sus vectores de posición

con un determinado sistema son p y r y definen al vector

r p .

La distancia " "d de R al plano es igual al módulo de la

proyección del vector r p en la dirección del vector N .

También esta distancia " "d equivale al valor absoluto de la

y

N

R

x

P

p

r

r p

090

O

d

y

33


componente escalar de r p en la dirección de N . Esto se

expresa como:

r p Nd

N

Ejemplo. Obtener la distancia entre el punto 2, 3, 5R y el

plano de ecuación : 4 6 12 0x y z .

RELACIONES ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA

Plano y recta pueden ser paralelos, puede estar la recta

contenida en el plano o tienen un solo punto de corte. Las

siguientes condiciones definen la perpendicularidad, el

paralelismo y la continencia entre plano y recta.

34


Condiciones de perpendicularidad, paralelismo y continencia

TEOREMA. Sean N un vector normal al plano y u un vector

director de la recta . Entonces:

) ; 0 o bien 0i N u N u

) 0ii N u s

) 0 y un punto de pertenece a está contenida en iii N u

Intersección entre un plano y una recta

Recta y plano tienen diferentes formas de expresión; luego hay

diferentes caminos para resolver el sistema de sus ecuaciones

y determinar el punto de corte. Resulta más conveniente

trabajar con la ecuación cartesiana del plano y las ecuaciones

paramétricas de la recta pues al sustituir esta en aquellas se

llega a una ecuación con una incógnita.

C

z

x

y

35


Plano y recta paralelos

Plano y recta perpendiculares

C

z

x

y

N u 0N u

N

u

090

0N u s z

x

y

u

N 090

36


El plano contiene a la recta

Ejemplo. Determinar, si se cortan, el punto de intersección del

plano y la recta cuyas ecuaciones son, respectivamente:

3

: 2 2 4 8 0 : 7 6 ;

5 2

x

x y z y y

z

0 contiene a N u

z

x

y

u

N

090

37


Ejemplo. Determinar, si se cortan, las coordenadas del punto de

intersección del plano y la recta cuyas ecuaciones son,

respectivamente:

3 2 3: 2 3 4 12 0 :

13 2 8

x y zx y z y

Solución. Primero se obtienen las ecuaciones paramétricas de

la recta y se llega a:

3 13

2 2 ;

3 8

x

y

z

Se sustituyen estas ecuaciones en la ecuación cartesiana del

plano y se obtiene:

2 3 13 3 2 2 4 3 8 12 0

6 26 6 6 12 32 12 0 0 0

No se genera una ecuación que conduzca a un valor del

parámetro por lo que esto significa que la recta está contenida

en el plano y por ello todos los puntos de la recta constituyen su

intersección con el plano.

Para verificar esto bastaría con ver que el punto de la recta

3, 2, 3P pertenece al plano y que el vector paralelo a la

recta, esto es, 13, 2, 8u y el vector 2, 3, 4N , normal al

plano, son perpendiculares.

2 3 3 2 4 3 12 0 0 0

0

13, 2, 8 2, 3, 4cos cos

237 29

cos 0 90

u Nang ang

u N

ang u N

Luego la intersección entre la recta y el plano es la recta

misma.

38


Ejemplo. Determinar, si existe, el punto de intersección entre el

plano de ecuación : 2 5 10 0x y z y la recta cuyas

ecuaciones paramétricas son:

1 3

6 2 ;

7 4

x

y

z

Solución. Se sustituyen los valores de las variables , ,x y z de las

ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación

cartesiana del plano y,

2 1 3 5 6 2 7 4 10 0

2 6 30 10 7 4 10 0 0 49 0 49

Pero 0 49 que es una incongruencia y por lo tanto plano y

recta no se cortan, no tienen puntos en común, luego son

paralelos.

Esto se comprueba verificando que, el producto escalar del

vector 2, 5,1N normal al plano y el vector 3, 2, 4u

paralelo a la recta, es nulo. Así,

2, 5,1 3, 2, 4 0 0N u N u

Y efectivamente, el plano y la recta son paralelos.

Ejemplo. Determinar si son perpendiculares el plano y la recta

cuyas ecuaciones son, respectivamente:

2 8 0 110 10: 6 8 0 :

3 3 4 3 12 0 2

x y zx y z y

x y z

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ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

En términos generales, salvo que sean paralelos, dadas sus

dimensiones infinitas, invariablemente habrá un punto donde la

recta corte al plano y es por ello que resulta conveniente

evaluar tanto el punto donde se cortan como el ángulo bajo el

cual lo hacen, que se definirá enseguida, utilizando para ello el

vector director de la recta y el vector normal al plano dado.

Para ello, considérese la siguiente definición:

DEFINICIÓN. El ángulo que forman una recta " " y un plano " "

es el ángulo formado por la recta y su proyección ortogonal

sobre el plano.

Al respecto, se tiene la siguiente gráfica:

40


Este ángulo es el complemento del ángulo agudo que forman

el vector u director de la recta con el vector N normal del

plano. Por la trigonometría se tiene que: 090 cossen

Por lo que el ángulo requerido se obtiene a partir de:

N uangsen

N u

Ejemplo. Determinar el ángulo que forman el plano

: 2 3 1 0x y z y la recta dada por:

3 3 0:

2 1 0

x y z

x y z

N

u

41


Ejemplo. Determinar el ángulo formado por el plano : 1x y

la recta de ecuaciones:

2:

3 3 0

y

x z

Hacer una gráfica aproximada señalando el ángulo requerido.

Solución. El plano 1x es paralelo al plano coordenado Y Z y la

recta está definida por la intersección de dos planos

expresados en su forma general cartesiana, de los cuales es

necesario definir sus vectores normales, cuyo producto

vectorial es un vector paralelo a la recta, esto es, un vector

director de la misma. Entonces, un vector normal al plano dado

está dado por 1, 0, 0N y un vector paralelo a la recta dada

se calcula de la siguiente forma:

0,1, 00 1 0 3 3

3, 0, 33 0 3

i j kvu v w i k

w

1, 0, 0 3, 0, 3

1 12

N uangsen angsen

N u

03 130

212angsen angsen

En la gráfica es fácil observar la intersección de la recta dada

con el plano que es paralelo al plano coordenado Y Z .

42


Ejemplo. Determinar si el plano y la recta cuyas ecuaciones son

las siguientes se cortan, el plano contiene a la recta o son

perpendiculares. De cortarse, determinar el punto en el que lo

hacen y el ángulo que forman.

5 2

: 4 2 8 0 ; : 4 3

6 4

x t

x y z y t

z t

z

y

x

2:

3 3 0

y

x z

: 1x

030

43


RELACIONES ENTRE PLANO Y PLANO

Dos planos son paralelos o se cortan. Se habla de coincidentes

si son dos planos paralelos y un punto de uno de ellos satisface

la ecuación del otro, pero en realidad se trata del mismo plano.

Ángulo entre dos planos

Sean dos planos y . El ángulo entre los planos es el

mismo que el que forman sus respectivos vectores normales.

N

N

44


De acuerdo con la geometría, existe un teorema que establece

el ángulo entre dos vectores mediante la expresión siguiente:

cosN N

angN N

Esta fórmula conduce a establecer las siguientes condiciones

entre planos:

Condiciones de perpendicularidad, paralelismo

y coincidencia entre planos

TEOREMA. Sean los planos y y sean sus vectores

normales N N respectivamente. Entonces se cumple que:

) 0

0) ; ó 0

0; ó 0

) son coincidentes

Y un punto de también pertenece a

i N N

ii N N N N s

N N N Niii y

N

N

45


Perpendicularidad: 0N N

Paralelismo: 0

; ó 0N N N N s

N

N

090

N

N

46


Ejemplo. Obtener la ecuación en forma cartesiana del plano

que es paralelo al plano : 2 3 7 9 0x y z y que contiene

al punto de intersección de las rectas dadas por:

1 2

2 5 14 2

: 3 3 : 1 4

4 2 8

x x

y y y

z z

47


Ahora se verá cómo determinar las ecuaciones de la recta de

intersección entre dos planos dados, en sus diferentes

manifestaciones.

Recta intersección entre planos

Dos planos que no son paralelos o coincidentes (mismo plano)

es evidente que se cortan en una recta.

Ejemplo. Dadas las siguientes ecuaciones de dos planos,

obtener las ecuaciones de la recta de su intersección en

forma general, simétrica, vectorial y paramétrica:

1 2: 2 0 : 2 3 3 0x y z y x y z

1

2

recta de intersección

48


Distancia entre dos planos paralelos

Dos planos se cortan o son paralelos (o son coincidentes como

algunos expresan). Si son paralelos la distancia entre ellos es

siempre la misma ya que se mide sobre la perpendicular

común. Para calcularla se toma un punto de uno de los planos

y se utiliza la expresión para la distancia de un punto a un

plano, esto es,

r p Nd

N

donde vector P p pertenece al plano, vector R r es del cual

se desea calcular su distancia al plano y N es normal al plano.

49


Ejemplo. Calcular la distancia entre los planos:

1 2

1 2 3

: 2 ; , : 6 12 2 8 0

2 3

x

y y x y z

z

Capítulo 7. El Punto, la recta y el plano

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