Universidad Mayor de San Andres

Facultad de Ciencias Puras y Naturales

Carrera de Matematicas

Semestre Invierno 2012

La Paz - Bolivia.

Dr. Mario os Chavez Gordillo PhD

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Sobre 30 puntos

Primer Examen Parcial de Calculo III Martes 17 de Julio del 2012

Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C.I. . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . Carrera . . . . . . . . . . . . . . . .....................

(5 puntos) Resolver la Ecuacion diferencial y = x + y + 4x y 6

SOLUCION.- Si se ve el numerador y el denominador como rectas, determinamos su in-terseccion, resolviendo {

x + y + 4 = 0

x y 6 = 0

{x = 1

y = 5

Planteamos u = x 1, v = y + 5, convirtiendo la ecuacion en

dv

du= v =

u + v

u v =1 + v

u

1 vu

Ecuacion de tipo homogeneo, que la resolvemos planteando z = v/u o uz = v, lo que da

uz + z =1 + z

1 zuz =

1 + z

1 z z =1 + z z(1 z)

1 zudz

du=

1 + z z + z21 z

1 z1 + z2

dz =1

udu

ecuacion separable, que la resolvemos integrando

z 11 + z2

dz =

1

udu

luego1

2ln(1 + z2) arctan z = ln |u|+ C

Reemplazando z = v/u, se obtiene

lnu2 + v2 ln |u| arctan

(vu

)= ln |u|+ C

de donde, la solucion general del problema es

ln

(x 1)2 + (y + 5)2 arctan(y + 5

x 1)

= C.

(5 puntos) Resolver la Ecuacion diferencial (x3/y + 5xy)y + (x2 + y2) = 0.SOLUCION.- La ecuacion diferencial es equivalente a la ecuacion

(x2 + y2) dx + (x3/y + 5xy) dy = 0.

En este caso M = x2 + y2 y N =x3

y+ 5xy, entonces

N

x M

y= 3

x2

y+ 5y 2y = 3x

2

y+ 3y =

3

y

(x2 + y2

)Por tanto

M

y N

x

M=

3

y

(x2 + y2

) 1x2 + y2

=3

y=

(y)

(y)

luego

ln() =

dy =

3

ydy = 2 ln y = ln y3 de aqu (y) = y3.

Multiplicando la ecuacion diferencial por y3 obtenemos la ecuacion diferencial exacta

(x2y3 + y5) dx + (x3y2 + 5xy4) dy = 0.

Usando el metodo descrito tenemos

f

x= x2y3 + y5,

entonces

f(x, y) =

(x2y3 + y5

)dx + C(y) =

x3y3

3+ xy5 + C(y)

f

y= x3y2 + 5xy4 + C (y) = x3y2 + 5xy4

de aqu C (y) = 0, C(y) = C y la solucion es, por tanto,

f(x, y) =x3y3

3+ xy5 + C = 0.

(5 puntos) Resolver la ecuacion diferencial x3yy + 2x2y2 1 = 0.Solucion. Ordenamos la ecuacion para poder identificarla

dy

dx+

2x2y2

x3y=

1

x3y,

dy

dx+

2

xy =

1

x3y1,

luego es una ecuacion de Bernoulli, hacemos el cambio de variable

u = y1(1) = y2 , 2ydy

dx=

du

dx

multiplicando por 2y a ambos de la ecuacion esta se reduce a

2ydy

dx+

4

xy2 =

2

x3,

du

dx+

4

xu =

2

x3

Ocupamos el factor integrante exp

(p(x) dx

)= exp

(4

1

xdx

)= e4 ln x = x4.

Multiplicando la ecuacion por x4, tenemos

x4du

dx+ 4x3 u = 2x

es decir,d

dx

[x4u

]= 2x

Integrando, obtenemosx4u = x2 + C

es decir, u =1

x2+

C

x4, donde C es una constante arbitraria. Ahora, volviendo a las variables

originales u = y2 obtenemos

y2 =1

x2+

C

x4

(5 puntos) Sea yp(x) una solucion particular de la la ecuacion de Riccati. Demuestre que elcambio directo y = yp +

1

ztransforma la ecuacion de Riccati en una lineal de un solo paso.

(10 puntos) Usted es un consultor que hace modelos para una corporacion grande. Una tardecalurosa de verano el presidente de la corporacion decide manejar fuera hacia un pueblo aorillas de un lago donde esta su cabana a recuperarse de un da de decisiones difciles. Loprimero en su mente, cuando el se acerca a la cabana, es la imagen de un vaso grande decerveza fra.

Cuando el va al refrigerador, se abastece bien con el jugo de naranja pero no encuentracerveza. El investiga la cocina y halla freneticamente una docena las cervezas calientes en unarmario. El pone seis de estas en la nevera y entonces le telefonea a usted. El le describela situacion brevemente pero de forma expresiva y el dice yo quiero saber que tan prontopuedo beber una cerveza! Haga lo que tenga que hacer y llameme dentro de los proximos 15minutos con una respuesta. Su tono de voz implica que su puesto en la compana dependede su sugerencia y de su respuesta fidedigna.

Es su oportunidad para dejar una buena impresion. Antes de que el pueda colgarlo pregunte,usted ha empaquetado las cervezas en el hielo del congelador?.

El no se impresiona

El congelador no esta trabajando. La nevera no esta trabajando del todo bien. Yo encon-tre un termometro, y la temperatura dentro la nevera es solo 10oC. Yo no necesito ningunasugerencia de un sabelotodo. Simplemente haga lo que le digo y dgame cuando puedo beberesa cerveza!

El cuelga.

Por favor, coloque el inicial del apellido paterno en el cuadro. Que tengas exito.