Primer Parcial
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Universidad Tecnol ´ ogica Nacional Facultad Regional Concepci ´ on del Uruguay An ´ alisis Matem ´ atico II 2 do Cuatr. Turno Ma ˜ nana. PRIMER PARCIAL - 11.09.2015 1) Sea f : R 2 → R definida por: f(x, y)= x 4x 2 + y 2 - 1 si 4x 2 + y 2 6= 1y (x, y) 6=(0, 0) 1 si 4x 2 + y 2 = 1o (x, y)=(0, 0) Probar que el conjunto de puntos de discontinuidad de la funci ´ on f es compacto. 2) Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en (0, 0) de: f(x, y)= x|y| p x 2 + y 2 si (x, y) 6=(0, 0) 0 si (x, y)=(0, 0) 3) (a) Determinar los valores de las constantes a, b y c tales que la derivada direccional de la funci ´ on f (x, y, z)= axy 2 + byz + cz 2 x 3 en el punto (1, 2, -1) tenga un valor m ´ aximo de 64 en una direcci ´ on paralela al eje z. (b) Con los valores obtenidos en (a), determinar el espacio af´ ın a f (x, y, z)= 0 en el punto (0, 0, 1). 4) La ecuaci ´ on unidimensional del calor es ∂u ∂t = c 2 ∂ 2 u ∂x 2 ; c ∈ R, donde u (x, t) representa la temperatura de una varilla delgada en un punto que ocupa la posici ´ on x en el instante t. (a) Demostrar que u (x, t)= e ax+bt , con a 6= 0 satisface dicha ecuaci ´ on para un valor apropiado de c que debe calcularse. (b) Demostrar que para c = 1, la funci ´ on u (x, t)= 4 + e -t sin x satisface la ecuaci ´ on del calor. 5) Definir l´ ımite de una funci ´ on vectorial de variable vectorial y de una funci ´ on campo escalar. Enunciar el teorema de reducci ´ on a campos escalares y ejemplificar. 6) Desarrollar en forma completa y ordenada: derivada direccional - derivadas parciales - interpreta- ciones geom ´ etricas. 7) Definir diferencial de una funci ´ on campo escalar y deducir las expresiones para los diferenciales de orden superior. Calificaci ´ on: ................................................................ Carreras de Ingenier´ ıa
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Universidad Tecnologica NacionalFacultad Regional Concepcion del Uruguay
Analisis Matematico II2do Cuatr.
Turno Manana.
PRIMER PARCIAL - 11.09.2015
1) Sea f : R2 → R definida por:
f(x, y) =
x
4x2 + y2 − 1si 4x2 + y2 6= 1 y (x, y) 6= (0,0)
1 si 4x2 + y2 = 1 o (x, y) = (0,0)
Probar que el conjunto de puntos de discontinuidad de la funcion f es compacto.
2) Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en (0,0) de:
f(x, y) =
x|y|√x2 + y2
si (x, y) 6= (0,0)
0 si (x, y) = (0,0)
3) (a) Determinar los valores de las constantes a, b y c tales que la derivada direccional de la funcionf (x, y, z) = axy2 + byz + cz2x3 en el punto (1, 2,−1) tenga un valor maximo de 64 en unadireccion paralela al eje z.
(b) Con los valores obtenidos en (a), determinar el espacio afın a f (x, y, z) = 0 en el punto (0,0, 1).
4) La ecuacion unidimensional del calor es ∂u
∂t= c2 ∂2u
∂x2 ; c ∈ R, donde u (x, t) representa latemperatura de una varilla delgada en un punto que ocupa la posicion x en el instante t.
(a) Demostrar que u (x, t) = eax+bt, con a 6= 0 satisface dicha ecuacion para un valor apropiadode c que debe calcularse.
(b) Demostrar que para c = 1, la funcion u (x, t) = 4 + e−t sin x satisface la ecuacion del calor.
5) Definir lımite de una funcion vectorial de variable vectorial y de una funcion campo escalar.Enunciar el teorema de reduccion a campos escalares y ejemplificar.
6) Desarrollar en forma completa y ordenada: derivada direccional - derivadas parciales - interpreta-ciones geometricas.
7) Definir diferencial de una funcion campo escalar y deducir las expresiones para los diferencialesde orden superior.
Calificacion: ................................................................
Carreras de Ingenierıa
