Universidad Tecnologica NacionalFacultad Regional Concepcion del Uruguay

Analisis Matematico II2do Cuatr.

Turno Manana.

PRIMER PARCIAL - 11.09.2015

1) Sea f : R2 → R definida por:

f(x, y) =

x

4x2 + y2 − 1si 4x2 + y2 6= 1 y (x, y) 6= (0,0)

1 si 4x2 + y2 = 1 o (x, y) = (0,0)

Probar que el conjunto de puntos de discontinuidad de la funcion f es compacto.

2) Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad en (0,0) de:

f(x, y) =

x|y|√x2 + y2

si (x, y) 6= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0)

3) (a) Determinar los valores de las constantes a, b y c tales que la derivada direccional de la funcionf (x, y, z) = axy2 + byz + cz2x3 en el punto (1, 2,−1) tenga un valor maximo de 64 en unadireccion paralela al eje z.

(b) Con los valores obtenidos en (a), determinar el espacio afın a f (x, y, z) = 0 en el punto (0,0, 1).

4) La ecuacion unidimensional del calor es ∂u

∂t= c2 ∂2u

∂x2 ; c ∈ R, donde u (x, t) representa latemperatura de una varilla delgada en un punto que ocupa la posicion x en el instante t.

(a) Demostrar que u (x, t) = eax+bt, con a 6= 0 satisface dicha ecuacion para un valor apropiadode c que debe calcularse.

(b) Demostrar que para c = 1, la funcion u (x, t) = 4 + e−t sin x satisface la ecuacion del calor.

5) Definir lımite de una funcion vectorial de variable vectorial y de una funcion campo escalar.Enunciar el teorema de reduccion a campos escalares y ejemplificar.

6) Desarrollar en forma completa y ordenada: derivada direccional - derivadas parciales - interpreta-ciones geometricas.

7) Definir diferencial de una funcion campo escalar y deducir las expresiones para los diferencialesde orden superior.

Calificacion: ................................................................

Carreras de Ingenierıa