ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DEL LITORAL

ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DEL LITORAL

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMTICAS

CURSO DE INVIERNO 2008-2009

ANLISIS NUMRICO

PRIMERA EVALUACIN - MARZO 26 DE 2009

NOMBRE_______SOLUCIN___________________FIRMA_____________________________

TEMA 1.- Se necesita calcular con cuatro decimales exactos la interseccin de la ecuacin

(y 1)2 + x3 = 6, con la recta que incluye a los puntos (-1, -1), (1, 1) en el plano. Use el mtodo de Newton y escriba el valor inicial y los valores calculados en cada iteracin.

Recta: y=x, Sustituyendo en la primera ecuacin: (x 1)2 + x3 = 6

( f(x) = (x 1)2 + x3 - 6 = 0

f(0) < 0

f(2) > 0,

f(x) >0, f'(x)>0, f''(x) > 0, para x > r, ( la frmula de Newton converge

TEMA 2.- La temperatura en los puntos indicados: x1, x2, x3, x4, es un promedio de las temperaturas en los puntos ubicados en sus cuatro lados. Por ejemplo: x1 debe ser el promedio de los cuatro valores 75, x2, x3, 84

7554

84x1x242

54x3x425

3845

a) Encuentre el modelo matemtico para resolver este problema

b) Determine si el mtodo de Jacobi ser convergente

c) Realice 4 iteraciones comenzando con valores iniciales iguales al promedio delos ocho nmeros dados

Solucin

a)

(

b) Matriz diagonal dominante ( el mtodo de Jacobi converge

c) Valor inicial:

Frmula iterativa de Jacobi:

x1(k+1) = 1/4 (159 + x2(k) + x3(k))

x2(k+1) = 1/4 (96 + x1(k) + x4(k))

x3(k+1) = 1/4 (92 + x3(k) + x4(k))

x4(k+1) = 1/4 (70 + x2(k) + 3x3(k))

k = 0, 1, 2, ...

Iteraciones:

x(1) = [91.8750 76.1250 75.1250 69.6250]

x(2) = [77.5625 64.3750 63.3750 55.3125]

x(3) = [71.6875 57.2188 56.2188 49.4375]

x(4) = [68.1094 54.2813 53.2813 45.8594]TEMA 3.- Se registraron los siguientes datos de la cantidad de producto obtenido experimentalmente en parcelas de cultivo en las que se suministraron tres cantidades diferentes de fertilizante tipo 1 y cuatro cantidades diferentes de fertilizante tipo 2:

Fertilizante 2

Fert. 11.21.41.61.8

1.07.27.87.57.3

1.58.28.69.29.0

2.09.59.69.38.6

Use todos los datos dados para determinar mediante una interpolacin polinomial, la cantidad de producto que se obtendra si se usaran 1.2 de fertilizante 1 y 1.5 de fertilizante 2.

Interpolaciones para el Fertilizante 1 con el polinomio de diferencias finitas

x=1.2, y=1.2

1.0000 7.2000 1.0000 0.3000

1.5000 8.2000 1.3000

2.0000 9.5000

p2(1.2) = 7.5640

x=1.2, y=1.4

1.0000 7.8000 0.8000 0.2000

1.5000 8.6000 1.0000

2.0000 9.6000

p2(1.2) = 8.0960

x=1.2, y=1.6

1.0000 7.5000 1.7000 -1.6000

1.5000 9.2000 0.1000

2.0000 9.3000

p2(1.2) = 8.3720

x=1.2, y=1.8

1.0000 7.3000 1.7000 -2.1000

1.5000 9.0000 -0.4000

2.0000 8.6000

p2(1.2) = 8.2320

Interpolacin final para el Fertilizante 2 con el polinomio de diferencias finitas

x=1.5, y=1.2

1.2000 7.5640 0.5320 -0.2560 -0.1600

1.4000 8.0960 0.2760 -0.4160

1.6000 8.3720 -0.1400

1.8000 8.2320

p3(1.5) = 8.2760

TEMA 4.- Se quiere sustituir la funcin f(x) = xex, 0x1 , mediante un polinomio de interpolacin construido con los puntos (x, f(x)), x = 0, 0.5, 1.

a) Encuentre el polinomio de interpolacin (Use aritmtica de cuatro decimales)

b) Encuentre el mayor error que se obtendra al usar el polinomio sustituyendo a la funcin

(Sugerencia: defina una funcin para el error y encuentre el mximo de esta funcin)

Solucin

a) Polinomio de diferencias finitas:

x f(x) (f(x) (2f(x)

0 0 0.8244 1.0696

0.5000 0.8244 1.8939

1.0000 2.7183

b)

Resolver la ecuacin:

Se obtiene:

x = 0.2199

El mayor error: e(0.2199) = 0.0432

_1299922414.unknown

_1299922816.unknown

_1299923934.unknown

_1299924001.unknown

_1299924249.unknown

_1299923751.unknown

_1299922703.unknown

_1299920749.unknown

_1299922131.unknown

_1299922138.unknown

_1299920805.unknown

_1299920568.unknown