Primera Prueba

1. CONCEPTOS BASICOS El origen de la Ingeniera Econmica: Se inici el inters en la ingeniera en las evaluaciones econmicas. Hace referencia a la determinacin de los factores y criterios econmicos utilizados cuando se considera una seleccin entre una o ms alternativas

1.1. Principios de la Ingeniera Econmica:

- Desarrollar las alternativas

- Enfocarse en las diferencias

- Utilizar un punto de vista consistente

- Utilizar una unidad de medicin comn

- Considerar los criterios relevantes

- Hacer implcita la incertidumbre

- Revisar sus decisiones

1.2. Definicin de proyecto

Es la bsqueda de una solucin inteligente al planteamiento de un problema que busca resolver

una necesidad humana

Objetivos:

- Viabilidad comercial

- Viabilidad tcnica

- Viabilidad Legal

- Viabilidad de Gestin

- Viabilidad Ambiental/ Comunidad

- Viabilidad Financiera/ Social

1.3. Por qu es tan importante la ingeniera econmica?

- Las decisiones que se toman cambian la vida de las personas - Existen factores econmicos y no econmicos al igual que factores tangibles e intangibles

que son importantes a la hora de tomar una decisin.

INGENIERIA ECONOMICA:

- Hace referencia a la determinacin de los factores y criterios econmicos utilizados cuando se considera una seleccin entre una o ms alternativas.

- Coleccin de tcnicas matemticas que simplifican las comparaciones econmicas. Con estas tcnicas es posible desarrollar un enfoque racional y significativo para evaluar aspectos econmicos de los diferentes mtodos ( alternativas) empleadas en el logro de un objetivo determinado

Preguntas que se realizan a la hora de evaluar una opcin

Individuos

- Debo pagar el saldo de mi tarjeta de crdito con dinero prestado? - Qu representan financieramente mis estudios universitarios en mi carrera profesional? - Las deducciones federales al impuesto sobre la renta son para la hipoteca de mi casa un

buen negocio o debo acelerar los pagos de mi hipoteca? - Exactamente que tasa de retorno obtuvimos en esta inversin en acciones? - Debo comprar o arrendar mi prximo automvil o conservar en que tengo ahora y

continuar pagando el prstamo?

Corporaciones y negocios

- Lograremos el retorno requerido si instalamos esta nueva tecnologa de fabricacin en la planta?

- Construimos o arrendamos las instalaciones para la nueva sucursal en Asia? - En trminos econmicos es mejor fabricar internamente o comprar por fuera una parte

componente de la nueva lnea del producto?

1.4. Papel de la Ingeniera Econmica en la toma de decisiones

Las tcnicas y los modelos de ingeniera econmica:

- Ayudan a la gente a tomar decisiones.

Esto es debido a que las decisiones afectan lo que se realizar, el marco de tiempo de la Ingeniera Econmica es generalmente el futuro. Por lo tanto los nmeros utilizados en un anlisis de ingeniera econmica son las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurra.

Tambin es frecuente incluir el anlisis de los hechos observados, en donde se analiza el pasado, puesto que no se toma una decisin de seleccionar una alternativa (futura) sobre otra. Explicando o caracterizando los resultados.

Un procedimiento muy popular utilizado para considerar el desarrollo y seleccin de alternativas es el denominado:

- Enfoque de solucin de problemas o proceso de tomas de decisiones

Para esto se tienen los sgtes pasos:

1. Entender el problema y la meta 2. Reunir informacin relevante. 3. Definir las soluciones alternativas 4. Evaluar cada una de las alternativas Utiliza uno o ms modelos de la ingeniera

econmica. 5. Seleccionar la mejor alternativa usando algunos de los criterios

Definicin del VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO:

El dinero hoy vale una suma diferente en el futuro.

Los valores numricos denominadas medias de calor que consideran inherentemente elvalor del dinero en el tiempo son por ejemplo:

- Valor presente (VP) - Valor anual (VA) - Valor futuro ( VF) - Tasa de retorno (TR) - Costo capitalizado (CC) - Razn beneficio/costo ( B/C)

En ocasiones se dice que el dinero hace dinero. Esta afirmacin es correcta, ya que si se elige invertir el dinero hoy (ya sea en un banco, negocio etc.), se espera tener ms dinero en el futuro por concepto de intereses. Es este cambio de dinero durante un periodo de tiempo dado el que denomina finalmente el valor del dinero en el tiempo. Tambin es importante tener en cuenta que si se pide un prstamo hoy, en el futuro se deber ms que el prstamo original.

1.5. Realizacin de una estudio de Ingeniera Econmica

1.3.1. Descripcin de la alternativa:

Paso 1: Entender el problema, el resultado del enfoque de solucin de problemas es una descripcin general de cmo puede abordarse la solucin. Se pueden presentar muchas alternativas pero solo algunas son viables para poder evaluarlas. Las alternativas son opciones conjuntas.

En general, las alternativas tienen informacin tal como

- Costo inicial: precio de compra, costo de mantencin, instalacin, despacho etc. - Vida esperada - Ingresos - Gastos anuales estimados: mantenimiento anual, tambin denominados costos anuales de

operacin (CAO). - Valor de salvamento proyectado - Tasa de retorno apropiada - Posibles efectos de impuestos sobre la renta.

1.3.2. Los flujos efectivos durante algn periodo de tiempo.

Se refiere a las entradas y salidas de dinero reales. Para realizar el anlisis econmico, es necesario:

- Estimaciones para la financiacin - Tasas de inters - Vida de los activos - Ingresos - Los costos - Efectos tributarios, etc.

1.3.3. Anlisis mediante un modelo de ingeniera econmica

Realizar clculos de este tipo sobre los flujos de efectivo de cada alternativa para obtener una o varias medidas de calor. Esta es la esencia de la ingeniera econmica. Estos procedimientos ayudan a tomar alguna decisin con respecto a las alternativas, pero lo logra identificar la alternativa o las anternativa.

1.3.4. Alternativa evaluada

Para cada alternativa se establece una medida de valor. Este es el resultado del anlisis de ingeniera econmica.

1.3.5. Factores no econmicos

Tales factores son por ejemplo

- Sociales del entorno - Politos - Personales, etc.

Los que pueden ser considerados a la hora de tomas una decisin.

1.3.6. Criterios de evaluacin o de seleccin

Se selecciona una alternativa combinando los criterios econmicos usando la medida de valor y los factores econmicos y no econmicos (tangibles y intangibles). Si solo se define una alternativa, siempre existe una segunda alternativa que se presenta en su forma negada llamada tambin como Statu Quo.

En el anlisis econmico, las unidades financieras (dlar) se utilizan generalmente como lavase tangible para la evaluacin. Cuando existen alternativas con elementos tangibles similares, la seleccin de una alternativa se puede hacer en base a los elementos no tangibles.

1.3.7. La alternativa seleccionada

Una vez que se ha realizado la seleccin de la alternativa, y se implementa, se le realiza un seguimiento continuo. Tal seguimiento origina nuevas alternativas a medida que cambian las tecnologas y los mercados, los activos se deterioran.

1.6. Calculo de intereses

Inters: Manifestacin del valor del dinero en el tiempo, y que corresponde al

- Incremento entre una suma original de dinero prestado y la suma final debida. - Suma original poseda o invertida y la suma final acumulada

Y hace referencia a la inversin original o al monto del prstamo como el principal.

Ejemplo 1.3

Si una persona invirti dinero en algn momento pasado, el inters ser:

Si el resultado es negativo, la perdona ha perdido dinero y no hay inters

Pero si p.e , la persona obtuvo en prstamo dinero en algn momento del pasado, el inters ser :

En tal caso, si hay un aumento en la cantidad de dinero que se invirti o se prest originalmente, el incremento por encima de la suma es el inters.

Si el inters es expresado como porcentaje de la suma original por unidad de tiempo, el resultado es una tasa de inters y se calcula como sgte:

En general el periodo de tiempo en el cual se expresa es de 1ao, sin embargo se puede dar en periodos menores.

Periodo de inters: Periodo de tiempo en el cual se expresa el inters.

P.e: La firma Inversiones el Oraculo invirti $100.000 el 1 de mayo y retiro un total de $106.00 exactamente un ao mas tarde.

Calcule

a. Inters obtenido

Aplicando la formula se tiene que

b. Tasa de inters sobre la inversin

Si el dinero hubiese sido prestado, el clculo del inters seria el sgte, considerando un prstamo de $100.000 ahora y un reembolso de $110.000 despus de un ao

Y la tasa de inters:

Ejemplo 1.4:

Una empresa planeo obtener un prstamo bancario de $20.000 durante 1 ao a un inters del 9% para adquirir un nuevo equipo de grabacin.

Calcule

a. El inters ( )

b. El valor total adeudado despus de 1 ao:

Que representa lo que inicialmente pidi ms lo que le cobrar por concepto de inters. Tambin se puede calcular de la sgte forma:

( ) ( )

Ejemplo 1.5

a. Calcule la suma de dinero que debe haber sido depositada hace un ao para tener ahora 1000 a una tasa de inters del 5% anual.

Lo que nos da un depsito igual a 952,38.

b. Calcule los intereses ganados durante ese periodo de tiempo

Lo que nos da un inters de 47,62

Cuando hay ms de un periodo de inters involucrado, es necesario establecer si el inters se causa sobre una base simple o compuesta.

1.7. La equivalencia

Equivalencia: Sumas diferentes de dinero en momentos diferentes son iguales en valor econmico. Por ejemplo, si la tasa de inters es de 6% anual, $100 hoy serian equivalente a $106 en un ao a partir de hoy.

Ejemplo 1.6

Haga los clculos necesarios a una tasa de inters del 5% anual para mostrar cuales de las sgtes afirmaciones son ciertas y cuales faltas

a. $98 hoy equivalen a $105,6 dentro de un ao

Inters es 4,9 por lo tanto lo que se tiene dentro de un ao es 4,9+98=102,9 por lo tanto la afirmacin es falsa

b. $200 hace un ao equivalen a $205 hoy

Inters= 10,25 entonces hace un ao es 205-10,25 = 194,75 por lo tanto es falso

1.8. Inters simple y compuesto

Inters simple:

Se calcula utilizando solo el principal, ignorando cualquier inters causado en los periodos de inters anteriores. Y si clculo se muestra a continuacin:

( )( )( )

Inters Compuesto:

El inters acumulado para cada cierto periodo de inters se calcula sobre el principal mas el monto total del inters acumulado en todos los periodos anteriores. Por lo tanto , el inters compuesto es un inters sobre el inters, es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo tambin sobre el inters:

( )( )

1.9. Los smbolos y su significado

P: Valor o suma de dinero en el momento denotado como el presente, denominado Valor Presente

F: Valor o suma de dinero en algn tiempo futuro denominado Valor Futuro

A: Serie de sumas de dinero consecutivas, iguales de fin de periodo, denominado Valor equivalente por periodos o Valor anual

n: Numero de periodos de inters; aos, meses, das

i: Tasa de inters por periodo de inters; porcentaje anual, porcentaje mensual.

t: Tiempo expresado en periodos; aos mese, das

- P y F representan ocurrencias de una vez - A ocurre con el mismo valor una vez casa periodo de inters durante un numero especifico

de periodos - La tasa de inters compuesto es expresada en porcentajes por periodos de inters, por

ejemplo 12% anual. A menos que se indique lo contrario. - Cada problema debe tener al menos 3 de estas variables conocidas

1.10. Tasa Mnima Atractiva de Retorno

Para que cualquier inversin sea rentable, el inversionista debe esperar recibir ms dinero de la suma invertida. En otras palabras, debe ser posible obtener una tasa de retorno o un retorno sobre la inversin. Durante un determinado periodo de tiempo, la tasa de retorno se calcula como:

El numerador puede llamarse Utilidad, ingreso neto.

El termino tasa de retorno se utiliza comnmente cuando se estima la rentabilidad de una alternativa propuesta o cuando se evalan los resultados de un proyecto o inversin una vez terminados.

Las alternativas de inversin se evalan sobre el pronstico de que puede esperarse una TR razonable. sta deber ser:

- Establecida y utilizada en la fase de criterios de seleccin del enfoque de estudio de ingeniera econmica

La tasa razonable se denomina tasa mnima atractiva de retorno (TMAR) y es ms alta que la tasa esperada de un banco o alguna inversin segura que comprenda un riesgo mnimo de inversin.

Para considerar que un proyecto es financieramente viable TR TMAR.

Capital- fondos de capital-capital de inversin Fondos disponibles destinados a inversin para ayudar a la compaa a generar negocios e ingresos.

- El capital es un recurso limitante.

Si se comparan 2 alternativas se espera que se elija aquella alternativa que presenten

- TR>TMAR, - Un retorno por lo menos tan grande como el retorno de la otra alternativa.

P.e : Si la TMAR =12%

Propuesta 1 : TR =13%

Propuesta 2 : TR= 14,5%

Ambas propuestas poseen un TR>TMAR por lo que cumplen para el objetivo, pero si p.e la propuesta no puede ser llevada a cabo por falta de capital, se elige la Propuesta 2. Debido a que la Propuesta 1 no puede ser financiada, se hace referencia a su TR=13% como el costo de oportunidad, es decir, debe perderse la oportunidad de realizar un retorno adicional del 13%.--> El retorno sobre un proyecto rechazado representa una oportunidad que no ser realizada.

Puntos importantes

1. Para evaluar una propuesta nica o para comparar alternativas debe determinarse o establecerse una TMAR o tasa base

2. La TR del proyecto menos que la TMAR debe considerarse econmica inaceptable. En el caso de que todas las alternativas tengan una TR

Generalmente se realizan estimaciones puntales de los flujos, es decir, se obtiene la estimacin de un valor nico para cada elemento econmico de una alternativa.

Una vez que se desarrollan las estimaciones de las entradas y las salidas, se procede a realizar el flujo neto en el tiempo:

Debido a que los flujos tienen lugar naturalmente en intervalos de tiempo variable y frecuente dentro de un periodo de inters, se supone de manera simple que todo el flujo de efectivo ocurre al final del periodo de inters, lo que se conoce como la convencin de final del periodo.

Diagrama de flujo de efectivo Representacin grafica

El t=o es el presente y t=1 es el final del periodo 1

Las flechas verticales hacia arriba indican Flujo de efectivo positivo

Las flechas verticales hacia abajo indican Flujo de efectivo negativo

P.e si una persona obtiene un prstamo de $2500 de una entidad de crdito para comprar un automvil de $2000 en efectivo y utiliza los $500 restantes para un trabajo de pintura, pueden haberse tomado diferentes perspectivas:

1.12. Regla del 72: Estimaciones duplicando el tiempo y las tasa de interes

Algunas veces es importante estimar el nmero de aos n, o la tasa de retorno i, que se requiere para duplicar una suma de flujo de efectivo nica.

Para el caso del inters compuesto se puede aplicar la regla del 72 para estimar i o n, dado otro valor. Esta consiste en que el tiempo requerido para duplicar una suma inicial con inters compuesto es aproximadamente igual a 72 dividido por el valor de la tasa de retorno ( en %)

P.e: una tasa del 5% anual tardara 72/5= 14,4 aos en duplicar su suma actual.

Para el caso del inters, este se calcula como sigue :

P.e. con el fin de duplicar el dinero en un periodo de tiempo de 12 aos, se requerida una tasa de retorno compuesta de aproximadamente 72/12= 6% anual.

2. Los factores y su uso

2.1. Derivacin de factores de pago nico (F/P y P/F)

Frmulas que permiten determinar las cantidades futuras de dinero F, que se acumulan despus de n periodos a partir de una inversin nica P con inters compuesto una vez anualmente o por periodo.

Para el inters compuesto se tiene que:

( )

Al Final del segundo ao F2 que es: la cantidad acumulada despus del ao ms el inters desde el final del ao 1 hasta el final del ao 2:

( ) ( )

Lo que finalmente se puede escribir, para n periodos como :

( )

Donde

(1+i)n se denomina como factor de cantidad compuesta de pago nico, pero hace referencia generalmente a ste como el factor F/P ( futuro dado un presente ). Por lo que el factor multiplicado por P, produce la suma futura F de una inversin inicial P despus de n periodos, a la tasa de inters i.

Al despejar P de la ecuacin, queda la sgte expresin:

( )

Donde lo que est en corchetes se denomina Factor de valor presente, pago nico o factor P/F (presente dado un futuro) despus de n periodos a una tasa de inters i.

Es importante notar que las formulas anteriores son de PAGO UNICO, es decir que son utilizadas para encontrar la cantidad presente o futura cuando solamente hay un pago o recibo involucrado.

2.2. Derivacin del factor de valor presente, serie uniforme y el factor de recuperacin de capital (P/A y A/P)

El valor presente P puede ser determinado tanto dado A como F. Se utiliza la formula del factor P/F

[

( ) ] [

( ) ] [

( ) ] [

( ) ]

Cada anualidad se trata como futuro y se lleva al presente. Factorizando por A:

[

( )

( )

( )

( ) ]

Dividendo por 1/(1+i)

( ) [

( )

( )

( )

( ) ]

Al restar las anteriores ecuaciones queda:

( ) [

( )

( )

( )

( ) ]

[

( )

( )

( )

( ) ]

Y dividiendo a ambos lados por i/(1+i) queda finalmente ( i0)

[( )

( ) ]

El factor entre corchetes se denomina factor de valore presente, serie uniforme o el factor P/A. Esta ecuacin nos dar el valor presente de una serie anual equivalente A que empieza al final del ao 1 y se extiende durante n periodos a una tasa de inters i.

Si lo que se quieres es la anualidad a partir del valor presente solo se tiene que despejar A, quedando:

[ ( )

( ) ]

Y el factor que est entre corchetes se denomina como el factor de recuperacin del capital o factor A/P, produce el valor anual uniforme equivalente A durante n periodos de una inversin P cuando la tasa de inters es i.

IMPORTANTE: El valor presente P siempre est localizado un periodo antes de la primera A.

2.3. Derivacin del factor de fondo de amortiguacin y el factor de cantidad compuesta, serie uniforme (A/F y F/A).

Si a

( )

Se le sustituye:

[( )

( ) ]

Queda:

[

( ) ]

Donde la expresin que queda entre los corchetes se denomina como el factor de fondo de amortiguacin o A/F. Y se usa para determinar la serie de valor anual uniforme que sera equivalente a un valor fututo determinado F, lo que se muestra a continuacin:

De igual forma se obtiene F/A

[( )

]

En este caso la expresin entre corchetes se denomina como Factor de cantidad compuesta, serie uniforme o facto F/A.

2.4. Notacin estndar de factores y uso de las tablas de inters

Se a adoptado la notacin estndar ( X/Y, i,n) donde

- X/Y X: Lo que se desea encontrar Y: Valor dado

P.e: ( F/P,6%,20) = Encontrar F cuando P esta dado, con un inters de i% en 20 periodos

2.5. Definicin y derivacin de las frmulas de gradientes

Gradiente uniforme: serie de flujos de efectivos que aumenta o disminuye en forma uniforme.

Gradiente: Cantidad que aumenta o disminuye.

Para poder desarrollar una formula se debe suponer que el flujo de efectivo que ocurre al final del periodo 1 no hace parte de la serie del gradiente sino que es una cantidad base.

P.e: Si una persona compra un carro usando con una garanta de 1 ao o 12.000 millas, razonablemente se podra esperar que durante el primer amo de operacin solo se tuviera que pagar la gasolina. Suponiendo que dicho costo es de $900, es decir, $900 es la cantidad base. Despus del primer ao, sin embargo, la persona tendr que absorber el costo de las reparaciones o del reemplazo y razonablemente se esperara que estos costos aumentaran casa ao que se poseyera el auto. Entonces se estima que los costos de operacin y de reparacin aumentaran en $50 cada ao, la cantidad que se pagara despus del segundo ao sera $950, despus del tercero $1000 y as sucesivamente hasta el ao n cuando el costo total seria 900+(n-1)50.

Ntese que el gradiente $50 aparecer por primera vez entre el ao 1 y el ao 2 y la suma base $900 no es igual al gradiente

El valor de G puede ser positivo o negativo.

Los gradientes que empiezan dentro el ao 1 y ao 2 se denominan Gradientes convencionales.

Para obtener la frmula de gradiente uniforme, se sigue la siguiente formula

( ) ( ) (

) ( ) (

)

( ) ( )

Es decir, se toma cada gradiente como si fuera futuro en su respectivo periodo y le convierte a pasado. Luego realizando un par de operaciones matemticas se llega a

[( )

( )

( ) ]

Donde todo lo que est dentro del corchete por 1/i se denomina como factor del valor presenta, gradiente uniforme o factor P/G.

2.6. Derivacin Del valor presente de series geomtricas 2.7. Interpolacin en tablas de inters 2.8. Clculos de valor presente, futuro y anual uniforme equivalente

1. Lo ms importante es tener claro el diagrama de flujo de efectivo. 2. Ilustrar en forma clara la situacin del problema.

2.9. Valor presente y valor anual uniforme equivalente de los gradientes equivalentes convencionales

Cuando se da un gradiente de la sgte forma:

El gradiente empieza entre los aos 1 y 2. En este caso, el valor presente PG o el valor anual uniforme equivalente AG se puede determinar solamente del gradiente mediante la frmula P/G o A/G respectivamente. El flujo de efectivo que forma la cantidad base del gradiente debe considerarse por separado. Por lo tanto, para situaciones de flujo de efectivo que contienen gradientes convencionales.

1. La cantidad bsica es la cantidad A de la serie uniforme que empieza en el ao 1 y se extiende al ao n.

2. Para un gradiente creciente, debe sumarse la cantidad del gradiente a la cantidad de la serie uniforme

3. Para un gradiente decreciente, debe restarse la cantidad del gradiente de la cantidad de la serie uniforme

En consecuencia:

PT: Valor presente total de los gradientes convencionales son

Y

2.10. Clculos que involucran series geomtricas 2.11. Clculo de tasas de inters desconocidas

En algunos casos se conoce la cantidad de dinero depositado y la cantidad de dinero recibida, el nmero de periodos pero se desconoce la tasa de inters. Cuando se tiene involucrado un pago nico y un recibo nico, una serie uniforme de pagos o recibos o un gradiente convencional uniforme de pagos, la tasa desconocido puede determinarse para i por una solucin directa de la ecuacin del valor del dinero en el tiempo. El problema se presenta cuando los pagos no son uniformes, y obtener el i se debe hacer mediante ensayo y error.

2.12. Clculo de aos desconocidos

Se trata de la determinacin de los periodos requeridos antes de que la inversin se pague o bien se desea saber cundo determinadas cantidades de dinero estarn disponibles a partir de una inversin propuesta.

3. Tasas de inters nominales y efectivas y capitalizacin continua

3.1. Tasas nominales y efectivas

Tasa de inters efectiva: Se utilizan cuando el periodo de capitalizacin (o periodo de inters) es menor de un ao.

En Usa = (

)

Donde

M: Numero de periodo de capitalizacin [ao]

r: Tasa de inters anual nominal (USA)

i: Inters anual real o efectiva (USA)

En Chile

Donde

Tasa de inters nominal, iN: Se expresa en unidades monetarias corrientes o pesos

Tasa de inters real, iR: Se expresa en unidades monetarias reales ( igual poder adquisitivo en el tiempo) por ejemplo U.F, UTM

Tasa nominal (r)

- No es una tasa correcta, real, genuina o efectiva. - Deben convertirse a tasas efectivas con el fin de reflejar, en forma precisa,

consideraciones del valor del tiempo

Se representa de la sgte forma:

Puede encontrarse una tasa de inters nominal para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo originalmente establecido. P.e:

Una tasa de inters de un periodo que aparece como 1,5% mensual puede expresarse como

- 4,5% nominal por trimestre ( es decir 1,5% mensual*3 meses) - 9% por periodo semestral - 18% anual - Etc.

La tasa de inters nominal obviamente ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual se capitaliza el inters.

Cuando se considera el valor del dinero en el tiempo al calcular las tasas de inters a partir de las tasa de inters del periodo, la tasa de denomina tasa de inters efectiva.

4. Uso de factores mltiples

Existen varios mtodos para el anlisis de alternativas, los cuales utilizan

- VP: Valor presente Criterios

1. Proyecto aceptable si el VP>0

2. Si varios proyectos mutuamente excluyentes: mx. VP

3. Si varios proyectos no mutuamente excluyentes: todos los con VP>0

- VAN: Valor actualizado neto

- BNA: Beneficio neto actualizado

- VAUE: Valor anual uniforme equivalenteCriterios

1. VAUE>0 : Aceptable

2. Significa rentabilidad positiva, pero ms que eso, significa que invertir en el proyecto

genera ms que el costo de oportunidades del capital.

3. VAUE=O; Indiferente

4. VAUR< O: Rechazo

5. Proyectos mutuamente excluyentes: Mx. VAUE : De entre todos aquellos con

VAUE>O elegir aquel con mayor valor

6. Proyecto no mutuamente excluyente: Elegir todos los proyectos con VAUE>0

- TIR: Tasa interna de retorno Rentabilidad del proyecto, es la tasa de descuento que

hace que el VP=0

Criterios de seleccin segn TIR:

1. Si existe un solo proyecto: TIR>TRMA OK

2. Concepto Extra Inversin

Para hacer compatible ambos mtodos (en el caso de evaluar mltiples proyectos)

el mtodo de la TIR debe utilizar el concepto de extra inversin

a. Evaluamos el proyecto que requiere menor inversin, en este caso B. Dado

que tiene TIRB= 45%>TRMA, el proyecto es aceptable transitoriamente

b. Evaluamos si conviene una extra-inversin

c. Dado que TIR= TIRA-B=30% >TRMA (10%), conviene A

- PRK: Periodo de recuperacin de capital

- Etc.

4.1. Localizacin del Valor presente y del valor futuro

Cuando una serie uniforme de pagos se inicia en un momento diferente del final de intereses del periodo 1, pueden utilizarse diversos mtodos para encontrar el valor presente.

Para esto se podran emplear los sgtes mtodos :

- Utilizar el factor P/F para encontrar el valor presente de cada desembolso en el ao 0 y sumarlos

- Utilizar el factor F/P para encontrar el valor futuro de cada desembolso en el ao 13, sumarlos y luego hallar el valor presente del total mediante: P=F(P/F,i,13).

- Utilizar el factor P/A para calcular el valor presente ( que estar situado en el ao 3, no en el ao 0) y luego encontrar el valor presente en el ao 0 mediante el factor (P/F,i,3).

Si se utiliza el ltimo punto con el grafico anterior, al realiza P/A el presente estar en el ao 3 y no en el 4.

Esto se debe a que con P/A se obtiene P en el periodo de tiempo 0 y A empieza al final del periodo de inters 1, es decir que P siempre est un periodo de inters antes del primer valor de A.

Para el caso de utilizar el factor F/A, el valor de F se debe situar en el mismo periodo que el ltimo pago como se muestra a continuacin:

Tambin es importante recordar que cuando se ocupan los factores P/A o F/A, n es igual al nmero de pagos

4.2. Clculo para una serie uniforme que empieza despus del periodo 1

Para este tipo de problemas es ms conveniente emplear los factores de la serie uniforme que factores de cantidad nica.

Se debe seguir los sgtes pasos para no cometer errores:

1. Trazar un diagrama de flujo de efectivo de las entradas y desembolsos 2. Ubicar el valor presente o el valor futuro de cada serie en el diagrama 3. Determine n volviendo a enumerar el diagrama de flujo 4. Determine y resuelva las ecuaciones

4.3. Clculos que involucran series uniformes y cantidades colocadas aleatoriamente

Se aplica lo descrito en 4.2.

4.4. Valor anual uniforme equivalente (VAUE) de series uniformes de cantidades ubicadas aleatoriamente

Para calcular la serie VAUE de flujos de efectivo que incluye cantidades nicas ubicadas aleatoriamente y cantidades de series uniformes, el hecho ms importante para recordar es que todo debe convertirse primero a valor presente o a valor futuro. Luego se obtiene la serie uniforme equivalente con el factor apropiado de A/P o A/F.

4.5. Valor presente y series uniformes equivalente de gradiente diferidos

El valor presente de un gradiente uniforme siempre estar ubicado 2 periodo antes de que el gradiente empiece.

Gradiente convencional: Gradiente de una secuencia de flujo de efectivo que empieza entre los periodos 1 y 2.

Gradiente deferido: Gradiente que se inicia en algn momento antes o despus del periodo 2. Para este tipo de gradientes no es posible usar el factor A/G. Para hallar el desembolso del valor anual equivalente durante un periodo es necesario

- Encontrar primero el valor presente de un gradiente diferido, devolver este valor presente al ao 0 y luego analizar el valor presente del ao 0 con el factor A/P, o bien

- Mover todos los flujos efectivos al ao 7 y usar el factor A/F.

4.6. Gradientes que decrecen

Se desarrolla de igual forma que para gradientes crecientes, excepto que se debe cumplir lo sgte:

1. La cantidad base es igual a la cantidad mas grande alcanzada en la serie de gradientes 2. El termino gradiente se resta a la cantidad base en lugar de sumarse; por lo tanto, en los

clculos se utiliza el termino G(A/G,i,n) o G(P/G,i,n)

5. Evaluacin del valor presenten y del costo capitalizado

Una cantidad futura de dinero convertida a su equivalente en valor presente tiene un monto de valor presente siempre menor que el del flujo efectivo real, debido a que para cualquier tasa de inters mayor que cero, todo los factores P/F tiene un valor menor que 1. Es por esto que usualmente cuando se hacen clculos del valor presente se denominan como Flujo efectivo descontado.

5.1. Comparacin en valor presente de alternativas con vidas iguales

El mtodo del valor presente (VP) de evaluacin de alternativas es muy usado debido a que los gastos o ingresos futuros se trasforman en dlares equivalentes de ahora.

Ventajas:

- Fcil para aquellas personas no familiarizadas con el anlisis econmico - Es posible ver la ventaja econmica de una alternativa sobre otra

La comparacin de alternativas con vidas iguales mediante el mtodo del valor presente es directa

Se deben aplicar las sgtes guas para seleccionar una alternativa utilizando la medida del valor presente:

UNA ALTERNATIVA.

- Si VP0, la sata de retorno solicitada es lograda o excedida y la alternativa es financieramente viable DOS ALTERNATIVAS O MS: Cuando se debe escoger entre una alternativas que son mutuamente excluyentes, se debe seleccin aquella con el valor de VP que sea mayor en trminos numricos, es decir, el menos negativo o ms positivos.

5.2. Comparacin en valor presente de alternativas con vidas diferentes.

Se sigue el mismo procedimiento que para alternativas que tienen vidas iguales, solo que las alternativas deben compararse durante el mismo nmero de aos.

Para cumplir con que se comparen en el mismo numero de aos se pueden realizar 2 enfoques:

1. Comparar las alternativas durante un periodo de tiempo igual al mnimo comn mltiplo (MCM) de sus vidas.--> Los flujos se extienden al mismo periodo de tiempo. Para que esto se puede realizar se deben hacer cierto supuestos:

- Las alternativas bajo consideracin sern requeridas para el mnimo comn mltiplo de aos 0 ms.

- Los costos respecticos de las alternativas en todos los ciclos de vida posteriores sern los mismos que en el primero

2. Comparar las alternativas utilizando un periodo de estudio de longitud de n aos que no necesariamente considera las vidas de las alternativas. Este se denomina el enfoque de horizonte de planeacin. Para esto se selecciona un horizonte de tiempo sobre el cual debe efectuarse el anlisis econmico y solo aquellos flujos de efectivo que ocurren durante ese periodo de tiempo son considerados relevantes para el anlisis

6. Evaluacin del valor anual uniforme equivalente

6.1. El valor anual para un ciclo de vida 0 ms de 1

- El mtodo VA se utiliza comnmente para comparar alternativas - VA Todos los ingresos y desembolsos son convertidos a una cantidad anual uniforme

equivalente (fin de periodo), que es la misma cada periodo.

Ventajas:

- No requiere la comparacin sobre el mnimo comn mltiplo de los aos cuando las alternativas tiene vidas diferentes

P.e

Costo inicial de $20.000

Costo de operacin anual de $8000

Vida til de 3 aos

El VA para un ciclo de una vida (3 aos) se calcula de la sgte forma:

(

)

Si realizamos la misma operacin pero para 2 ciclos de vida:

(

) (

) (

)

Lo que nos da exactamente igual. Por lo tanto , en VA para un ciclo de vida de una alternativa representa el valor cual uniforme equivalente de esa alternativa cada vez que el ciclo se repita

7. Clculo de tasa de retorno para un proyecto nico

7.1. Generalidades sobre la tasa de retorno y su clculo

Si el dinero se obtiene en prstamos, la tasa de inters se aplica al saldo no pagado de manera que la cantidad y el inters total de prstamo se pagan en su totalidad con el ltimo pago del prstamo. Entonces, desde el punto del inversionista, cuando el dinero se invierte, hay un saldo no recupera en cada periodo de tiempo. La tasa de inters es el retorno sobre este saldo no recuperado, de manera que la cantidad total y el inters se recuperan en forma exacta con el ltimo pago o entrada.

Tasa de Retorno:

- Es la tasa de inters pagada sobre el saldo no pagado de dinero obtenido en prstamo, o - Es la tasa de inters ganada sobre el saldo no recuperado de una inversin.

Si valor numrico es positivo y va desde -100% hasta infinito

Para determinar la tasa de retorno i de los flujos efectivos de un proyecto, se debe definir la relacin TR. El valor presente de las inversiones, VPD se iguala al valor presente de los ingresos VPR:

Si se hace desde el enfoque del valor anual

7.2. Clculos de la tasa de retorno utilizando la ecuacin de valor presente

La ecuacin de valor presente es la base para calcular la tasa de retorno sobre una inversin cuando hay diversos factores involucrados. En los clculos de la tasa de retorno, el objetivo es encontrar la tasa de inters i* a la cual la cantidad presente y la cantidad futura son equivalentes.

P.e: Si alguien deposita $1000 ahora y le prometen un pago de $500 dentro de 3 aos y otro de $1500 en 5 aos a partir de ahora, la relacin de la tasa de retorno utilizado es VP:

(

) (

)

Donde debe calcularse i* para hacer la igualdad correcta

(

) (

)

En este caso la ecuacin se resuelve cuando i=16,9%

Para poder encontrar i se debe tantear con los datos dados.

7.3. Clculo de tasa de retorno utilizando una ecuacin de valor anual

De la misma forma como i* se puede calcular con el VP, tambin se puede hacer con VA.

El procedimiento es el sgte:

1. Dibuje el diagrama 2. Defina las relaciones para el VA de los desembolsos, VA entradas, VA con i* como variable

desconocida. 3. Defina la relacin de la tasa de retorno de la forma de igualar los VA 4. Selecciones valore de i por ensayo y error hasta que la ecuacin est equilibrada.

CUANDO HAY UN CAMBIO DE SIGNO DE LA IGUALDAD, ENTRE ESOS VALORES SE ENCUENTRA EL INTERS QUE SE BUSCA

7.4. Valores mltiples de tasas de retorno posibles

Esta es la situacin cuando en la bsqueda del inters hay ms de 1 cambio de signo. Cuando sucede esto, se dice que el flujo de efectivo neto es no convencional, por lo que hay valores mltiples de i* en el rango de menos 100% a mas infinito que equilibran la ecuacin de retorno. El nmero total de valores de i* de nmeros reales siempre es menor o igual al nmero de cambios de signos de la secuencia. Esto se llama Regla de Descartes.

7.5. Tasa de retorno compuesta: Eliminacin de valores mltiples de i*

Las tasa de retorno calculadas hasta ahora son tasas que equilibran exactamente los flujos de efectivo positivos y negativos considerando el valor del dinero en el tiempo y para secuencias convencionales de flujo de efectivo ( 1 solo cambio de signo).

Cuando la tasa de retorno obtenida por los mtodos anteriores se conoce como tasa interna de retorno (TIR) la cual representa la tasa de rendimiento del saldo no recuperado de una inversin.

El concepto de saldo no recuperado cobra importancia cuando se generan flujos de efectivo positivos antes del final de un proyecto. Un flujo de efectivo positivo, una vez generado, se libera o se convierte en el fondo externo al proyecto y no se considera ms en el clculo de la TIR. Tales flujos de efectivo netos positivos pueden ocasionar una secuencia de flujos de efectivo no convencional y por lo tanto arrojar ms de una i*.

1. Se examinan los clculos de TIR para los sgtes flujos de efectivo Inversin: 10.000 en t=0 Se reciben 8.000 en el ao 2 Se reciben 9.000 en el ao 5 Mediante la ecuacin de VP:

(

) (

)

Donde i= 16,815% Si se utiliza esta tasa para los saldos no recuperado, la inversin ser recuperada exactamente al final del ao 5: Saldo no recuperado al final del ao 2 inmediatamente antes de recibir 8.000

(

) ( )

Saldo no recuperado al final del ao 2 :

Etc quedando un saldo no recuperado de 0 al final del ao 5

8. Evaluacin de la tasa de retorno para alternativas mltiples

8.1. Compresin del anlisis incremental

Al presentarse 2 alternativas, se debe identificar la alternativa considerada econmicamente mejor. Para esto se utiliza las tcnicas de VP y VA.

Suponga que una compaa utiliza una TMAR de 16%anual, que la compaa tiene $90.000 disponibles para inversin y que se estn evaluando 2 alternativas

ALTERNATIVA A

Inversin: %50.000.

TIR: 35% anual

ALTERNATIVA B

Inversin: %85.000.

TIR: 29% anual

Por intuicin se puede concluir que la mejor alternativa es aquella que produce un TIR ms alto, A en este caso. Pero esto no es necesariamente correcto. Aunque A tiene el retorno proyectado ms alto, requiere tambin de una inversin inicial que es mucho menor que el dinero disponible. Qu sucede con el capital que queda? Por lo general se supone que los fondos en exceso sern invertidos en la TMAR de la compaa. Utilizando este supuesto es posible determinar las consecuencias de las inversiones alternativas. Si se selecciona la alternativa A, se invertirn 50.000 a una tasa anual del 35%. Los 40.000 que quedan sern invertidos a la TMAR del 16% anual. La tasa de retorno sobre el capital total disponible, entonces, ser el promedio ponderado de estos valores

Por lo tanto para A:

Si se lleva a cabo la alternativa B :

Suponiendo que se obtiene la TMAR, estos clculos muestran que, aunque la TIR para la alternativa A es ms alta, la alternativa B presenta la mejor TRGLOBAL para la inversin total del 90.000. Si se realiza una comparacin VP o VA utilizando i=16% anual, debera escoger la alternativa B.

Bajo algunas circunstancias, los valores TR del proyecto global no proporcionan el mismo ordenamiento de alternativas que los anlisis de VP o de VA. Esta situacin no ocurre si se fuera a realiza un Anlisis incremental de tasa de retorno de inversin.

Todos los anlisis realizados anteriormente se desarrollan para alternativas mutuamente excluyentes es decir, que solo se selecciona la mejor alternativa del grupo completo de alternativas disponibles.

Cuando se puede seleccionar mas de una alternativa entre las disponibles, y cada alternativa es independiente y se debe comparar con la alternativa que no se elige.

8.2. Tabulacin del flujo de efectivo incremental para 2 alternativas

Se realiza una tabulacin del flujo de efectivo incrementeal entre 2 alternativas, la cual permita

realizar un anlisis incremental TR con el fin de seleccionar una de ellas.

Si las alternativas tienen vidas iguales, la columna del ao ira de 0 a n

Si las alternativas tiene vidas desiguales la columna del ao ira de 0 a MCM de las los vidas cuando

se utiliza una ecuacin VP o VA. Es uso del MCM es debido a que el anlisis debe hacerse durante

el mismo nmero de periodos para cada alternativa.

La alternativa con una inversin inicial ms grande siempre ser considerada como alternativa B,

es decir

Si la columna incremental del flujo de efectivo tiene ms de un cambio de signo, puede haber

mltiples valores de tasa de retorno.

8.3. Interpretacin de la tasa de retorno sobre la inversin adicional

El valor en la columna refleja la inversin adicional requerida que debe ser presupuestada si se

selecciona la alternativa con el costo inicial ms alto, lo que es importante en un anlisis TR a fin

de determinar una TIR de los fondos adicionales gastados por la alternativa de inversin ms

grande. Si los flujos efectivos incrementales de la inversin ms grande no la justifican se debe

seleccionar la alternativa ms barata.

Ejemplo

Se observa que se requiere una inversin adicional de $6000 cuando se compra una prensa nueva.

Si se compra la maquina nueva habr ahorros anuales de $1200 por ao durante 25 aos, $300

en el aos 25 como resultado de la diferencia de los valores residuales.

La decisin de comprar la maquina nueva o la usada debe hacerse en base en la rentabilidad de

invertir los $6000 adicionales en la nueva mquina. Si el valor equivalente del ahorro es mayor que

el valor equivalente de la inversin adicional utilizando la TMAR de la compaa, dicha inversin

debe hacerse, es decir, debe aceptarse la propuesta del costo inicial mas alto. Por otra parte, si la

inversin adicional no est justificada por el ahorro, debe aceptarse la propuesta del costo inicial

ms bajo

8.4. Evaluacin de la tasa de retorno utilizando una ecuacin VP

Objetivo:

Seleccionar alternativas mediante el mtodo TR.

Se parte con alternativas que tienen flujos de efectivo negativos (excepto por algn valor residual).

Como se quiere que tofos los flujos de efectivos sean costo, no es posible calcular una tasa de

retorno para alternativas individuales. De manera que la serie incremental de flujo de efectivo se

analiza mediante la ecuacin VP. El mtodo comprende alternativas con flujos de efecto positivo.

En la formulacin de la ecuacin VP debe utilizarse el MCM de las vidas, Debido al requisito de

reinversin para el anlisis VP relacionado con acticos de vidas diferenres, la serie incremental del

flujo efecto fcilmente puede involucrar el dilema de diversos cambios de signos, indicando

valores mltiples de i*, el que puede ignorarse en la practica real.