Principio de incertidumbre - FIUMSA

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● Principio de incertidumbre para ondas clásicas

● Relación de incertidumbre entre el el tiempo y la frecuencia

● Relaciones de incertidumbre de Heisenberg● Interpretación estadística del principio de incertidumbre

● Paquetes de onda

Principio de incertidumbre para ondas clásicas

De acuerdo a la interpretación de deBroglie la amplitud de una onda puede determinar su posición

En el caso de un tren de ondas esta posición adolece de una gran incertidumbre.

En el caso de un pulso, esta incertidumbre se reduce significativamente.


Por otro lado, la longitud de onda determina su momentum y por ende su velocidad

En el caso de un tren de ondas la longitud de onda puede determinarse sin ambigüedades

Mientras que en el caso del pulso la incertidumbre para conocer ha aumentado enormemente


Obviamente nos gustaría conocer ambas variables simultáneamente

Sin embargo, encontramos que se puede conocer una de las variables, pero a expensas de la otra.


Imaginemos ahora un pulso del cual deseamos conocer su longitud de onda

Reconocemos que al intentar determinarla habrá una dificultad (incertidumbre) del punto exacto donde inicia la onda y donde finaliza


Representemos la incertidumbre en función de la longitud de onda

~ Δλ ~ ελ ελ ~ ελ

Por otro lado, asumimos que la longitud de onda λ ~ ελ es aproximadamente Δx.


Nos interesa, evidentemente, la incertidumbre en conjunto de ambas variables

Así,

Δx ~ Δλ ~ ελ ελ ~ ελ2

Esta expresión pone de manifiesto la relación inversa entre el tamaño del paquete de ondas y la incertidumbre de su longitud de onda


¿Qué sucedería si incrementamos el paquete de ondas? No genera un impacto significativo

Imaginemos que el paquete de ondas ahora contiene N longitudes de onda, entonces

Δx = N λ ~ ελ


Por otro lado, tenemos que la incertidumbre de la longitud de onda será

~ /NNΔλ ~ ελ ελ ~ ελ

Al efectuar el producto obtenemos el mismo resultado


Incertidumbre entre el tiempo y la frecuencia

Si estudiamos el comportamiento temporal de la onda, estudiaremos la perturbación como una función del tiempo

Entonces la duración de la perturbación estará dada por el tiempo que dura

tΔ ≈ T


De la misma manera que antes tendremos una incertidumbre en el tiempo de inicio y final y lo representamos mediante

tΔ ≈ εT

Para examinar la competencia entre la duración del paquete de ondas y nuestra capacidad para medir su período, calculamos el producto de t y TΔ Δ

t T ~ TΔ Δ ε 2


Para una onda de un período dado, cuanto menor es la duración del paquete de ondas, mayor es la incertidumbre en nuestra medición del período

Si utilizamos la frecuencia en vez del periodo, ¿de qué manera Δν y T están Δrelacionados?


Para averiguar esto comenzamos con ν = 1/NT y la diferenciamos y tomamos los diferenciales como variaciaciones

Δ = ν T/NTΔ 2

Así

Δ ν T Δ ~ ε

Cuanto mayor es la duración del paquete de ondas, más precisamente podemos medir su frecuencia.

Relaciones de incertidumbre de Heisenberg

Las relaciones de incertidumbre deben ser cumplidas por todas las ondas

En particular las ondas de deBroglie

Partiendo de p = h /N , tomando λ ~ ελdiferenciales, obtenemos el resultado análogo

pΔ = h /Nλ ~ ελ2 Δλ ~ ελ


La incertidumbre en el impulso de la partícula está directamente relacionada con la incertidumbre en la longitud de onda asociada con el paquete de onda de Broglie de la partícula.

Recordemos que


Δx λ ~ ελ2 /N h p Δ ~ ελ ~ ελ2

Δx p Δ ~ hε


La mecánica cuántica establece que el menor valor del producto Δx p es h /N 4Δ π y la relación h /N 2 ocurre con πtanta frecuencia que se denomina , así cualquier ħ, así cualquier otro paquete de ondas tendrá un valor mayor, de esta manera

Δx pΔ x ≥ ½ ħ, así cualquier


Esta relación es la primera de las relaciones de incertidumbre de Heisenberg.

Establece el límite de lo mejor que podemos hacer en un experimento para medir simultáneamente la ubicación y el momento de una partícula.

Cuanto más tratamos de limitar la posición de una partícula, menos sabemos sobre su momento.


Recordemos que

t ~ Δν Δ ε

Y que E = h , entoncesν

E = hΔ Δν

E t ~ hΔ Δ ε

Análogamente a la posición y momento

EΔ t Δ ≥ ½ ħ, así cualquier

Que también puede escribirse como

E t ~ Δ Δ ħ, así cualquier


Esta es la segunda de las relaciones de incertidumbre de Heisenberg.

Mientras más precisamente tratemos de determinar el tiempo de una partícula, menos precisamente conocemos su energía.

Por ejemplo, si una partícula tiene una vida media muy corta entre su creación y decaimiento (Δt 0), una medición de su energía → 0), una medición de su energía en reposo (y por lo tanto su masa) será muy imprecisa (ΔE ).→ 0), una medición de su energía ∞).

Por el contrario, la energía en reposo de una partícula estable (una con un tiempo de vida infinito, de modo que Δt = ) se puede ∞).medir en principio con una precisión ilimitada (ΔE = 0).


En resumen podemos enunciar el principio de incertidumbre de Heisenberg de las siguientes formas

No es posible hacer una determinación simultánea de la posición y el momento de una partícula con precisión ilimitada,

y

No es posible hacer una determinación simultánea de la energía y la coordenada de tiempo de una partícula con precisión ilimitada.

Interpretación estadística del principio de incertidumbre

Imaginemos un experimento en el que pasa una gran cantidad de partículas (una a la vez) a través de la rendija,

Y medimos la componente x del momentum de cada partícula luego de atravesar la rendija.

Se observará el patrón de difracción.


La escala vertical muestra el número de partículas con momento en cada intervalo correspondiente a diferentes ubicaciones del detector en la pantalla.

Los valores están dispuestos simétricamente alrededor de cero, lo que indica que el valor medio o medio de px es cero

El ancho de la distribución se caracteriza por Δpx.


De la misma manera podemos escribir para el momentum

σ x=√ x̄2– x̄2

Δ px=√ p̄x2 – p̄x

2

La cantidad Δpx, es la desviación estándar cuya definición es:


Recordemos que px promedio es cero, así:

Δ px=√ p̄x2

Paquetes de onda

Cuando revisamos las relaciones de incertidumbre para ondas clásicas, describimos medidas de la longitud de onda o frecuencia de un paquete de ondas, que consideramos que es un grupo finito de oscilaciones de una onda.

Es decir, la amplitud de onda es grande en una región finita de espacio o tiempo y es muy pequeña fuera de esa región.

Paquetes de onda

En esta sección, examinaremos cómo construir un paquete de ondas agregando ondas.

Una onda sinusoidal pura no sirve para representar una partícula: la onda se extiende desde - hasta + , por lo que la partícula podría encontrarse en cualquier parte.∞). ∞).

Sería preferible que la partícula sea representada por un paquete de ondas que describe cómo la partícula se localiza en una región del espacio, como un átomo o un núcleo.

Paquetes de onda

La clave del proceso de construcción de un paquete de ondas consiste en sumar ondas de diferentes longitudes de onda.

Representamos nuestras ondas como A cos kx, donde k es el número de onda (k = 2 /N ) y A es la amplitud. Por ejemplo, π λ ~ ελagreguemos dos ondas:

Paquetes de onda

Paquetes de onda

Imaginemos que A1 = A2 y λ ~ ελ1 = 9, λ ~ ελ2 = 11. Esta onda combinada muestra el fenómeno conocido como compás en el caso de las ondas de sonido.

Se puede ver que al sumar dos ondas diferentes, hemos reducido la amplitud del paquete de ondas en algunas ubicaciones. Este patrón se repite infinitamente desde - hasta + , por lo que la partícula∞). ∞). aún no está localizada.

Paquetes de onda

Si sumamos 5 ondas con longitudes de onda 9, 9.5, 10, 10.5, 11. Tendremos el siguiente resultado.

Paquetes de onda

Si agregamos aún más ondas con un rango más amplio de longitudes de onda, podemos obtener regiones aún más estrechas de gran amplitud: por ejemplo si agregamos 9 ondas con longitudes de onda 8, 8.5, 9,. . . , 12

Paquetes de ondaDesafortunadamente, todos estos patrones (incluidas las regiones de gran amplitud) se repiten infinitamente desde - hasta + , así que aunque hemos obtenido regiones cada ∞). ∞).vez más grandes donde el paquete de onda tiene una amplitud pequeña, aún no hemos creado un paquete de onda que podría representar una partícula localizada en una región particular.

Si estos paquetes de ondas representaran partículas, entonces la partícula no estaría confinada a ninguna región finita.

Paquetes de onda

En resumen, el agregar más ondas de un rango mayor de longitudes de onda ayuda a restringir el tamaño del paquete de ondas. La región de gran amplitud reduce de aproximadamente x = -40 a +40, hasta aproximadamente x = -15 a +15.

Podemos apreciar la relación inversa entre Δx y Δλ ~ ελ a medida que el rango de longitudes de onda aumenta de 2 a 4 a 6, el tamaño de las regiones "permitidas" disminuye de aproximadamente 80 a 40 a 30.

Paquetes de onda

Ahora bien, también podemos notar a que grandes rasgos la longitud de onda es aproximadamente 10, entonces podemos reescribir la suma de ondas de la siguiente manera

y (x )=2 A cos( π xλ1

−π xλ2

)cos(π xλ1+

π xλ2

)

Si λ ~ ελ1 y λ ~ ελ

2 son muy próximas << Δλ ~ ελ λ ~ ελ

1, λ ~ ελ

2, entonces

Paquetes de onda

Donde λ ~ ελprom = (λ ~ ελ1 +λ ~ ελ2)/N2 ≈ λ λ ~ ελ1 (ó λ ~ ελ2) el primer coseno representa la envolvente y el segundo coseno es la composición de las ondas cuya es 10λ ~ ελ

y (x )=2 A cos(Δλ π x

λ prom2 )cos (

2 π xλ prom )

Paquetes de onda

La adición pura de funciones no llegará a producir el pulso requerido se requiere una función que tienda a cero cuando x tienda a infinito, ésta será 1/Nx

y (x )=2 Axsen (

Δ λπ x

λ02 )cos(

2 π xλ0 )

Paquetes de onda

Otra función que puede cumplir con el mismo requerimiento es

y (x )=A e−2(

Δλ π xλ0

2 )2

cos ( 2π xλ0 )

Paquetes de onda

Estos paquetes de ondas también pueden construirse sumando ondas de diferente amplitud y longitud de onda, pero las longitudes de onda forman un conjunto continuo en lugar de discreto.

Es un poco más fácil ilustrar esto si trabajamos con el número de onda k = 2 /N en lugar de la longitud de π λ ~ ελonda. Hasta ahora hemos estado agregando ondas en forma de A cos kx, de modo que

y (x )=∑i

A i cos k i x

Paquetes de onda

Que, en el caso continuo tendremos

y (x )=∫ A (k )cos kx dk

y (x )=2 A0

xsen(Δ k2 x )cos (k0 x )

Supongamos que k varía de k0 – k/N2 a kΔ 0 + k/N2Δ

Paquetes de onda

En esta ecuación k0 = 2 /Nπ λ ~ ελ0 y Δk = 2 /NπΔλ ~ ελ λ ~ ελ02 que

guarda mucha semejanza con la definición del número de onda k = 2 /N y su diferencial dk = –2 /Nπ λ ~ ελ π λ ~ ελ2 dλ ~ ελ

Como podremos suponer, un mejor ajuste se tendrá con la función exponencial

y (x )=A0 Δ k √2π e(Δ k x )

2

2 cos (k0 x )

Cinemática de un paquete de ondas

Volvemos a considerar un paquete de ondas, pero requerimos que éste se desplace, entonces trabajamos con y(x) = A cos (kx -ωt), así la onda combinada será

y(x) = A1 cos (k1x – ω1t) + A2 cos (k2x – ω2t)

Recordemos que v = λ ~ ελ = (2 /Nk) ( /N2 ) = /Nk denominada la ν π ω π ωvelocidad de fase.


Si elegimos velocidades diferentes (v1 = 6 u/Ns y v2 = 4 u/Ns) y analizamos el cambio para t = 1 s, notaremos que aparentemente la onda se ha desplazado 15 unidades (es decir la la onda combinada se mueve más rápido que sus componentes).

En realidad los perfiles no corresponden a los mismos máximos, la combinación de las ondas da origen a un patrón similar al de t = 0 pero desplazado


Podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:


Podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:

Nuevamente el segundo coseno representa la variación de la onda bajo la envolvente dada por el primer coseno.

Su velocidad estará dada por /Nk, pero esto dará por ωresultado ( /N2) /N ( k/N2) = /N k denominada Δω Δ Δω Δvelocidad de grupo.

vgrupo = d /Ndk ω

Velocidad de grupo de ondas de deBroglie

vgrupo = d /Ndk = (dE/N ) /N (dp/N ) = dE/Ndpω ħ, así cualquier ħ, así cualquier

Para una partícula clásica K = p2/N2m

Entonces,

dE/Ndp = d/Ndp (p2/N2m ) = p/Nm = v

vgrupo = vpartícula

La velocidad de la partícula es igual a la velocidad de grupo del paquete de ondas correspondiente

Propagación de un paquete de ondas

Supongamos que tenemos un paquete de ondas que representa una partícula confinada en t = 0. Su incertidumbre inicial en la posición es Δx0 y su incertidumbre inicial del momentum es Δpx0.

El paquete de ondas se mueve en la dirección x con velocidad vx, (esa velocidad no se conoce con precisión). La incertidumbre en momentum genera una incertidumbre en la velocidad: Δvx0 = Δpx0 /N m.


No podemos estar seguros dónde estará en el instante t.

Su posición en t es x = vx t, con velocidad vx = vx0 ± Δvx0.

Entonces tenemos dos contribuciones a la incertidumbre en su ubicación en el tiempo t: la incertidumbre inicial Δx0 y una cantidad adicional igual a Δvx0 t que representa la dispersión del paquete de ondas.


Asumiremos que estas dos contribuciones se suman cuadráticamente, al igual que las incertidumbres experimentales, de modo que la incertidumbre total en la ubicación de la partícula es

Δ x=√(Δ x0)2+(Δ vx 0 t)

2=√(Δ x0)

2+(

Δ px0 t

m )2


Si utilizamos el principio de incertidumbre pΔ x0 = /N ħ, así cualquier Δx0 tendremos

Δ x=√(Δ x0)2+(

ℏ tΔ x0m )

2

que representa la imposibilidad de reducir un factor sin que el otro crezca desmedidamente

Probabilidad y aleatoriedad

Bajo el principio de incertidumbre, uno de los pilares básicos de la física experimental se ha roto

Dos experimentos idénticos no proporcionan resultados idénticos

La solución, nuevemente está en la teoría de errores para experimentos clásicos. La herramienta fundamental es la probabilidad.

No es posible predecir un resultado en particular, pero sí es posible predecir cuál será su distribución.


En otras palabras, no hay una teoría matemática que prediga un resultado particular, pero sí hay una teoría matemática que predice el comportamiento estadístico de un conjunto de medidas

La teoría cuántica se provee de este aparato matemático para su descripción.


La probabilidad de encontrar la partícula en cualquier punto depende de la amplitud de su onda de deBroglie en ese punto.

De manera análoga a la física clásica, en la que la intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitudProbabilidad de observar partículas | Amplitud de onda de deBroglie |∝ | Amplitud de onda de deBroglie | 2

Ejemplo

En la desintegración nuclear beta, se observa que los electrones se expulsan del núcleo atómico. Supongamos que los electrones están atrapados de alguna manera dentro del núcleo, y que ocasionalmente uno escapa. Asuma el diámetro de un núcleo típico para que sea de 1.0 × 10-14 m, y use el principio de incertidumbre para estimar el rango de energías cinéticas que dicho electrón debe tener.

Ejemplo

(a) Un mesón π cargado tiene una energía de reposo de 140 MeV y una vida útil de 26 ns. Encuentre la incertidumbre energética del mesón π, expresada en MeV y también como una fracción de su energía en reposo. (b) Repita para el mesón π descargado, con una energía en reposo de 135 MeV y una vida útil de 8.3×10–17 s. (c) Repita para el mesón ρ, con una energía de reposo de 765 MeV y una vida útil de 4.4×10–24 s.

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