PROYECCION DE POLIEDROS

Basta con proyectar los puntos o vértices que lo forman. Si quiero proyectar la pirámide SABC, basta con proyectar cada punto y así se va formando la proyección de dicha pirámide en los respectivos planos de proyección

PROYECCION DE PRISMAS Y PIRAMIDES

Índices que nos permiten establecer si las proyecciones corresponden a un prisma o a una pirámide:

1. La presencia de solo segmentos rectilíneos como proyecciones de las aristas o de las caras.

2. Paralelogramos o rectángulos ( triángulos) como proyección de las caras laterales

3. Cualquier polígono como proyección de la base.

Puntos pertenecientes a un prisma

Lo que se hace es contener al punto en una recta que pertenezca a una de las caras del prisma.

En el caso del prisma, como las caras están formados por rectas paralelas, basta contener al punto en una recta paralela a éstas a fin de reducir el trabajo

Puntos pertenecientes a una pirámide

Igualmente, o que se hace es contener al punto en una recta que pertenezca a una de las caras del prisma.

En el caso de la pirámide se escoge cualquier recta

LINEAS CURVAS

Si queremos proyectar una línea curva, debemos proyectar de ella muchos puntos de manera que lo proyectado sea lo más aproximado a la verdadera forma y longitud de la línea en el espacio

Para hallar la verdadera magnitud de una línea curva podemos dividir la línea curva en muchos segmentos muy pequeños y aplicando el método de método de giro sin indicación de eje de giro podemos hallar la VM de cada segmento, pero poniéndolos uno consecutivo del otro que sumados dan la linea curva, hallamos la VM de la línea curva

Cómo hallar la VM de esta línea curva?

LINEAS HELICOIDALES

Se generan por la combinación de dos movimientos de un punto: un movimiento de traslación y un movimiento de rotación.

Se pueden generar en la superficie lateral de un cilindro o de un cono.

El punto se posesiona en una generatriz del elemento y se traslada saltando en cada posición que tome la generatriz y a la vez rota con ella.

Se eligen el número de posiciones que adoptará la generatriz del elemento, esto implicará la cantidad de saltos que dará el punto, así como la cantidad de rotaciones .También hay que definir el número de pasos o el número de vueltas completas que da una generatriz.Para esto se tienen que haber determinado primero las características del cilindro o cono en el cual se va a generar la línea helicoidal.

En el caso que el movimiento del punto no sea constante sino que posea una cierta aceleración en sus saltos, se tendrá el siguiente tipo de línea helicoidal

Si el movimiento del punto es en la superficie lateral de un cilindro, la línea helicoidal generada será de la forma que se muestra.En el caso de definir las proyecciones de los saltos es indiferente si se toman el número de saltos en el eje o en la generatriz, debido que la división es proporcional

Para hallar la VM de esta línea helicoidal, se procede de la misma manera que si se quiere hallar la VM de cualquier línea curva: usando el método de giro sin indicación de eje de giro, desarrollando primero la superficie lateral del cilindro.

Para hallar el desarrollo de la línea helicoidal cónica, se desarrollará primero la superficie lateral del cono y luego sobre cada posición de la generatriz, se va ubicando la posición del punto.

SUPERFICIES CURVASHay diversas formas de generar superficies curvas. Así

tenemos:

1. Conjunto de posiciones consecutivas de cierta línea que se mueve en el espacio, guiadas por otra líneaa) A la línea que engendra la superficie se le llama

GENERATRIZ y puede ser recta o curva.b) A la línea que dirige a la generatriz se le llama

DIRECTRIZ y puede ser recta o curva

Generatriz Directriz

Generatriz

Directriz

Generatriz recta - Directriz curva Generatriz curva – Directriz recta

2. Si la generatriz se deforma durante el movimiento entonces se llama “superficie con generatriz variable”

Ejemplo: la superficie lateral de un cono cuya generatriz es una circunferencia (curva) que al avanzar por un eje (directriz recta), va disminuyendo su diámetro.

Generatriz curva variable

Directriz recta

Cuando la superficie generada responde a una ley, se llama “regular”, caso contrario son “irregulares” o “aleatorias”

Cuando la superficie es generada por una recta se llama “reglada”

Cuando la generatriz solo puede ser una curva se llama “no reglada”

Cuando una superficie generada al ser desarrollada, todos sus puntos coinciden con un plano sin sufrir deformaciones y además cada punto, recta, segmento, ángulo, área de una zona, etc., de la superficie es igual a su correspondiente en el desarrollo, se llama “superficie desarrollable”.

REPRESENTACION DE ALGUNAS SUPERFICIES CURVAS

I. SUPERFICIES REGLADAS DESARROLLABLES1. Cilíndricas2. Cónicas3. Con arista de retroceso

II. SUPERFICIES REGLADAS ALABEADAS1. Con plano de paralelismo

a) Cilindroideb) Conoidec) Paraboloide hiperbólico

2. Con tres directricesa) Hiperboloide de una hoja

III. SUPERFICIES CURVAS NO REGLADAS1. Elipsoide2. Paraboloide elíptico3. Hiperboloide de 2 hojas

PARA REPRESENTAR EN EL PLANO DEL DIBUJO UNA SUPERFICIE, SE DEBEN INDICAR LOS DATOS QUE PERMITAN SU CONSTRUCCION:

• GENERATRIZ

• DIRECTRIZ

• VARIAS POSICIONES DE LA GENERATRIZ

• PUNTOS Y LÍNEAS MAS IMPORTANTES

I. SUPERFICIES REGLADAS DESARROLLABLES

1. CILINDRICAS: se genera por una recta que mantiene en todas sus posiciones un paralelismo a cierta recta y que pasa por puntos de cierta curva directriz

Condición

Generatriz

Directriz

Traza de la superficie

2. CONICAS: se genera por una recta que pasa por un punto fijo y por varios puntos de una curva directriz. El punto fijo se llama vértice

Condición

Generatriz

Directriz

Traza de la superficie

QUE SUCEDE SI?????

1. En una superficie cónica, el punto S (vértice) se aleja al infinito?La superficie cónica sería una superficie cilíndrica

3. Quiero ubicar la proyección de un punto en una superficie?

2. Ambas superficies intersectan al plano de proyección??

4. Las directrices de ambas superficies: cilíndrica y cónica, se sustituyen por líneas quebradas?

Se obtienen las trazas de la superficie curva

Se hace pasar al punto en una generatriz

Se convierten en superficies en superficies prismáticas o piramidales, respectivamente.

3. CON ARISTA DE RETROCESO: se genera por el movimiento continuo de una recta que hace contacto en todas sus posiciones, con una curva directriz

Condición

Directriz

Generatriz

II. SUPERFICIES REGLADAS ALABEADAS

1. CON PLANO DE PARALELISMO

a) CILINDROIDE: se genera por le desplazamiento de una recta que conserva el paralelismo con cierto plano y corta a dos curvas directrices

Condición

Directriz 1

Directriz 2 Generatr

iz

b) CONOIDE: se genera por el movimiento de una recta que conserva un paralelismo con cierto plano y corta a dos directrices: una recta y una curva

Condición

Condición

Directriz 1

Directriz 2

Generatriz

C) PARABOLOIDE HIPERBOLICO: se genera por el movimiento de una recta que conserva el paralelismo a cierto plano y se desplaza por 2 directrices: rectas que se cruzan

Condición

Condición

Directriz 1

Generatriz

Directriz 1

Traza de la superficie

Pv

Ph

En Geometría Analítica se puede generar el paraboloide hiperbólico así:Por el movimiento de una generatriz curva que se deforma, que se mantiene paralela a cierto plano y cuyo vértice se desplaza por otra parábola directriz

Directriz

Generatriz

2. CON 3 DIRECTRICESa) HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA: se genera por el

movimiento de una recta que corta simultáneamente a 3 rectas que se cruzan.}

También podemos generarla por el movimiento de una elipse deformable cuyo plano permanece paralelo a otro y los extremos de sus ejes se deslizan por hipérbolas

Directriz

Generatriz

III. SUPERFICIES CURVAS NO REGLADAS

1. ELIPSOIDE: se genera por el movimiento de una elipse que se deforma, que se mantiene paralela a un plano y los extremos de sus ejes se deslizan por elipses

Directriz

Generatriz

2. PARABOLOIDE ELIPTICO: se genera por el movimiento de una elipse que se deforma, que se mantiene paralela a un plano y los extremos de sus ejes se deslizan por parábolas

Directriz

Generatriz

1. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS: cada hoja se genera por el movimiento de una elipse que se deforma, cuyo plano es paralelo al eje de la superficie y los extremos de sus ejes se deslizan por hipérbolas

Generatriz

Directriz

SUPERFICIES DE REVOLUCIONGenerada por cualquier línea que gira alrededor de una

recta fija llamada eje de la superficie

Generatriz

Eje de la superficie

Paralelos

Ecuador

Cuello

Paralelo