Prob y Est - Uni 4 Distribuciones de Probabilidad

Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística

Ing. Manuel Veyna LamasIng. Manuel Veyna Lamas

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1. Introducción

2. Estadística Descriptiva

3. Estadística Inductiva

4. Distribuciones de probabilidad

5. Estadística Inferencial

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4.4. Distribuciones Distribuciones de Probabilidadde Probabilidad

44


Objetivos de la Unidad

Distribuciones discretas

Distribuciones continuas

Aproximaciones de funciones

55


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Distribuciones de ProbabilidadDistribuciones de Probabilidad

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• Variables aleatorias– Variable – Son las características que podemos encontrar en

una población.

– El Dominio de una variable es el conjunto de las distintas modalidades o valores que puede tomar.


Vive bien el PRESENTE, para en el FUTURO, tener un bonito PASADO.Anónimo

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• Variables aleatorias– Variable – De acuerdo al tipo de datos que representan, se

utiliza el término “modalidad” cuando hablamos de caracteres cualitativos y el término “valor” cuando estudiamos caracteres cuantitativos.



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• Variables aleatorias– Variables cualitativas – Las que no aparecen en forma numérica, sino

como categorías o atributos(sexo, profesión, color). Es decir, describe una cualidad, no una cantidad numérica.

– Las variables cualitativas sólo pueden ser nominales u ordinales.



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• Variables aleatorias– Variables cualitativas– Variables nominales: Lo único que puede hacerse

es establecer frecuencias en cada atributo y la igualdad o desigualdad entre los diferentes casos, ver cuál es el grupo que tiene mayor frecuencia alcanzando el concepto de “moda” (y también obtener algunas medidas de asociación cuando se relacionan variables entre sí).



1010


• Variables aleatorias– Variables cualitativas– Variables ordinales: Recogen la idea de orden pero no

tiene sentido realizar operaciones aritméticas con ellas (Ej: acuerdo o desacuerdo con un proyecto de ley).

– Se puede establecer aquí igualdad y desigualdad, y relaciones como mayor que, y menor que. Puede establecerse orden, pero no medirse distancia dentro de ese orden. La medida estadística de tendencia central más apropiada para estas escalas es la "mediana".



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• Variables aleatorias– Variables cuantitativas– Las que pueden expresarse numéricamente

(temperatura, salario, número de goles en un partido, edad, etc).

– Se pueden cuantificar los resultados experimentales por medio de instrumentos adoptando unidades de medida para valorar los diferentes resultados.

– Pueden ser discretas o continuas.



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• Variables aleatorias– Variables discretas– Por ejemplo, en un grupo determinado de 5 niños,

el número de quienes recibieron cuando menos un juguete electrónico en Navidad sería 0, 1, 2, 3, 4 ó 5. No puede haber un número entre estos valores, como 2.338



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• Variables aleatorias– Variable continua– La temperatura exacta afuera del salón mientras se

desarrolla la clase puede ser: 3.114, 19.872, o 28.333 grados centígrados, o cualquiera de una infinidad de otros valores en el intervalo de temperaturas donde se ubica la escuela.



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• De los siguientes ejemplos, diga cuáles representan datos discretos y cuáles continuos:– El número de acciones vendidas por día en la bolsa

de valores.– Las velocidades del viento registradas cada media

hora en un observatorio.– El número de niños en una familia– La longitud de 1000 tornillos producidos en una

fábrica.



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• Diga el dominio de cada una de las variables siguientes y diga si son discretas o continuas– La cantidad L de litros de agua en una lavadora.– El número B de libros en el estante de la biblioteca.– La suma S de los puntos obtenidos al azar en un

par de dados.– El diámetro D de una esfera.– Los países C en Europa.



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• Funciones de probabilidad– Función– En matemáticas es el término usado para indicar la

relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

– Correspondencia o relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B;

– Los valores que tomará una variable dependiendo del valor de otra.


El sentido común es el menos común de los sentidosH. Greele

1818


• Funciones de probabilidad– Función– Ejemplo: la función f(x) = x2

(una parábola)

– Ejemplo: la función

(campana de Gauss)



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• Funciones de probabilidad– Cada probabilidad es un número entre 0 y 1, y la

suma de todas las probabilidades es 1.

– Cuando tenemos un suceso, nos interesa saber si hay muchas o pocas posibilidades de que ocurra al realizar el experimento.

– A la representación de los valores y sus probabilidades la llamamos función de probabilidad o función de masa.



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• Funciones de probabilidad– Una variable aleatoria es una variable que recoge

todos los posibles valores de un experimento aleatorio.– Como todas las variables, las variables aleatorias

pueden resumirse por una distribución de frecuencias– Es decir, si x es una variable aleatoria discreta, y sus

valores son x1, x2 , x3, . . . xk, representamos como p1, p2,...pk las correspondientes probabilidades de que ocurran cada uno de los valores. Dicho de otro modo pi

= P{ xi } o f(xi)



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• Funciones de probabilidad– La función de probabilidad será, pues, una relación

entre el conjunto de los posibles resultados y el conjunto de números reales, que asignará a cada suceso la probabilidad de que se verifique.

– Es decir, la relación entre cada posible resultado, y la probabilidad que tiene cada uno.

– La notación: P(xi) significará: probabilidad de que se verifique el suceso xi.



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• Funciones de probabilidad– Otra notación utilizada es:

P(xi) = P[ w / X(w) = xi ] = f(xi)

– Por lo tanto, siempre que sea posible, expresaremos las distribuciones de probabilidad por medio de ecuaciones, de lo contrario, se dará una tabla (o un histograma) que muestre la correspondencia entre los valores de la variable aleatoria y las probabilidades asociadas.



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• Funciones de probabilidad– Ejemplo:

f(x) = 1 / 6, para x=1, 2, 3, 4, 5, 6

Nos da la probabilidad para los distintos puntos que se pueden obtener al lanzar un dado legal.

– NOTA: Puede utilizarse f(x), g(x), p(x), W(x), etc.



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• Funciones de probabilidad– Ejercicios:– Verifique si las siguientes funciones pueden emplearse

como distribuciones de probabilidad:

f(x) = (x-2) para x = 1, 2, 3, 4

2

h(x) = x2 para x = 0,1, 2, 3, 4

25



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• Distribuciones de probabilidad (v.a. discreta)– Una función de probabilidad será entonces una

distribución de probabilidad.

– Es decir, que para cada valor de xi (cada evento o posible resultado) se tiene una probabilidad de que ocurra.

– Ejemplo:– Realizar la distribución de probabilidades para

obtener puntos al lanzar dos dados.


Me interesa el futuro porque es el sitio donde voy a pasar el resto de mi vida.Woody Allen (1935-?). Actor, director y escritor estadounidense

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Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística• Distribuciones de probabilidad (v.a. discreta)

Recordemos el ejemplo de distribución de frecuencias con las que puede aparecer un resultado al lanzar 2 dados.


Puntos Frecuencia22 1133 2244 3355 4466 5577 6688 5599 44

1010 331111 221212 11Total: 36

2727


Ahora, en lugar de frecuencia lo veremos como probabilidad, es decir, será una distribución de probabilidades.


Puntos Probabilidad22 1 / 361 / 3633 2 / 362 / 3644 3 / 363 / 3655 4 / 364 / 3666 5 / 365 / 3677 6 / 366 / 3688 5 / 365 / 3699 4 / 364 / 36

1010 3 / 363 / 361111 2 / 362 / 361212 1 / 361 / 36Suma:36 / 36 = 1.00

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– Calcular la probabilidad de que caiga 5, 6 ó 7.

– Calcular la probabilidad de que caiga un número mayor a 9.



3030


– Ejemplo:– Realizar la distribución de probabilidades de que

caiga águila para el lanzamiento de 2 monedas.

– Sugerencia: Para reforzar la comprensión, puede ayudarse realizando la tabla o el conjunto con todos los posibles resultados.



3131


– Ejemplo:– Realizar la distribución de probabilidades de que

caiga águila para el lanzamiento de 2 monedas.


Num águilas Probabilidad

0 0.25

1 0.50

2 0.25

Suma: 1.00

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– Ejercicio:– Una asesora de finanzas imparte seminarios sobre

inversiones y limita cada uno de sus cursos a seis asistentes. Debido al tamaño reducido de los grupos y de la atención personalizada que reciben, algunos de los asistentes se vuelven clientes después del seminario. Para los 20 seminarios anteriores que ella ha ofrecido, x (donde x es el número de asistentes que se han convertido en clientes) ha tenido la distribución de la sig. gráfica:



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a) Determine la probabilidad de que ningún asistente a un curso se vuelva cliente.

b) Determine la probabilidad de que al menos 4 asistentes se vuelvan clientes.

X=num. de clientesMe interesa el futuro porque es el sitio donde voy a pasar el resto de mi vida.

Woody Allen (1935-?). Actor, director y escritor estadounidense

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• Distribuciones de probabilidad (v.a. discreta)– Ejercicio:– De una urna que contiene 4 esferas rojas y 6

blancas, se extraen al azar y sin reemplazo 3 de ellas. Si x es una variable aleatoria discreta (v.a.d.) que designa el total de esferas rojas extraídas, construir la tabla que muestra la distribución de probabilidades de la v.a.d. x.



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• Esperanza matemática (valor esperado)– La esperanza matemática o valor esperado de una

variable aleatoria es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicada por su valor.

– La esperanza matemática de una variable aleatoria discreta es simplemente la media ponderada de la variable, presentada en términos de probabilidad.


El mundo exige resultados. No le cuentes a otros tus dolores del parto. Muéstrales al niño.Indira Gandhi (1917-1984) Estadista y política hindú.

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• Esperanza matemática (valor esperado)– Por ejemplo en un juego de azar el valor esperado

es el beneficio medio.

– Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.



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• Esperanza matemática (valor esperado)

– Es decir, si X es una v.a.d. que toma valores son x1, x2 , x3, . . . xk, y sus probabilidades están representadas como p(x1), p(x2), p(x3), ... p(xk), la Esperanza matemática se define como:



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• Esperanza matemática (valor esperado)– Ejemplo:– Calcular la esperanza para la v.a.d. definida como la suma

de los números que resulten del lanzamiento de 2 dados. [Excel]


X23456789

101112

frec N1 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361 36

P(X)0.030.060.080.110.140.170.140.110.080.060.03

X * P(X)0.060.170.330.560.831.171.111.000.830.610.33

X * P(X)

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• Esperanza matemática (valor esperado)– Ejemplos:– Realizar el ejemplo anterior, pero para un solo dado.

– ¿Cuál será la esperanza para la v.a.d. definida como la media de las calificaciones de 2 estudiantes? [Excel]

– En un determinado negocio una persona puede tener una utilidad de $3,000,000 con una probabilidad del 60% o puede perder $1,000,000 con una probabilidad del 40%. ¿Cuál es la esperanza?



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• Esperanza matemática (valor esperado)– Ejemplos:

– Del ejemplo de la asesora de finanzas que imparte seminarios, ¿cuál será la esperanza?, es decir el número esperado de asistentes que se vuelven clientes.

– Calcule la esperanza, o sea, cuántas águilas podemos esperar en el lanzamiento de 2 monedas.



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4343


• Momentos con respecto al origen de una v.a.d.– Al momento de primer orden con respecto al

origen lo llamamos media de la v.a.d.

n = E[ (xi)n ] = (xi)n * f(xi)


Que algo no funcione como tú esperabas no quiere decir que sea inútil. Thomas Alva Edison (1847-1931) Físico e inventor estadounidense.

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• Momentos con respecto a la media de una v.a.d.– Al momento de segundo orden con respecto a la

media lo llamamos varianza de la v.a.d. y se representa por:

n = E[ (xi-)n ] = (xi-)n * f(xi)

– La desviación estándar será la raíz cuadrada positiva de la varianza (del momento de 2º orden), o sea: = √2



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• Momentos con respecto a la media de una v.a.d.– Ejercicio: Para el ejemplo de la consultora de

finanzas, calcular el momento de primer orden y el de segundo orden. O sea, el valor esperado y la desviación estándar.

– Lo mismo para el experimento de lanzar 2 monedas.



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Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística• Distribuciones de probabilidad (v.a. continua)

– La densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua (v.a.c.) está dada por una función f(x), con las siguientes condiciones:

1. f(x) ≥ 0, para todo x2. El área bajo la curva representada

gráficamente por la función f(x) y el eje x, es igual a uno, esto es:

[Gráfica]


Todo lo difícil debe intentarse mientras es fácil .Lao-tsé (570 aC-490 aC) Filósofo chino.

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– La densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua (v.a.c.) está dada por una función f(x), con las siguientes condiciones:

3. La probabilidad P(a ≤ x ≤ b) está dada por el área que limita la curva f(x) en el intervalo:x=a y x=b y el eje x.

[Gráfica]



4949


– La densidad de probabilidad más conocida es la camapana de Gauss:


5050


– Ejemplo: Sea un disco cuya circunferencia tiene una escala con números del 0 al 1 igualmente espaciados. Una manecilla está apoyada en el centro del disco y cuando se le hace girar finalmente se detiene señalando algún número de la escala. Si se considera como un experimento el hacer girar la manecilla, se tendrá una variable aleatoria x del tipo continuo.

– ¿Cuál será la media, la varianza y la desviación estándar de la variable?



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Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística• Distribuciones de probabilidad

– Ejemplo: Una moneda cargada tal que la probabilidad de que caiga águila es de 2/3 y de que caiga sello es de 1/3. Se lanza una moneda 3 veces.

– Sea x una v.a. que designa el total de águilas que se obtienen.

– Construir una tabla que muestre la distribución de probabilidad de x, y calcular la desviación estándar.


x 0 1 2 3

f(X)


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– Ejemplo: Una caja contiene 8 artículos de los cuales 2 son defectuosos. Una persona selecciona al azar 3 artículos de la caja. Hallar el número esperado de artículos defectuosos que saca, y la desviación estándar de la variable aleatoria.


x 0 1 2

f(X)


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– Ejemplo: Sea x una variable aleatoria continua tal que:

½ x si 0 ≤ x ≤ 2 f(x) =

0 en otra parte



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Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística• Distribución Binomial (Distribución de Bernoulli)

– Las características de los ensayos o pruebas de Bernoulli tienen las siguientes características:

– Son eventos independientes y repetidos a los cuales se les asignan las propiedades siguientesa) Sólo hay 2 resultados posibles:

e = éxitof = fracaso

b) Las probabilidades de éxito y fracaso permanecen iguales en todos los ensayos.P(e) = p P(f) = 1 - p


No Estudio Por Saber Mas, Sino Por Ignorar Menos. Sor Juana Inés de la Cruz (1651–1695) religiosa católica, poeta y dramaturga novohispana

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– Ejemplo: Se tiene una urna con 4 esferas rojas y 6 verdes. Se elige al azar una esfera con reemplazo.

éxito = rojafracaso = verde

P(e) = 4/10 = 0.4P(f) = 1-0.4 = 0.6



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– Si relacionamos “n” ensayos de Bernoulli, designaremos “x” el número de éxitos que resulten, entonces la expresión nCx *px * qn-x nos da la probabilidad de cualquier punto muestral de un espacio de eventos.

Número de formas que puede aparecer un resultado

– Es decir: p(x) = nCx *px * qn-x



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– Ejemplo: Se lanza una moneda 2 veces. Calcular la probabilidad de obtener:a) 2 águilasb) 1 águila

– Ejemplo: Se lanza una moneda 3 veces. Calcular la probabilidad de obtener:a) 0 águilasb) 1 águilasc) 2 águilasd) 3 águilas



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– Ejemplo: Si el 20% de los remaches producidos por una máquina son defectuosos, encontrar la probabilidad de que en 4 remaches tomados al azar:a) Uno salga defectuosob) Ninguno sea defectuosoc) Cuando más dos sean defectuosos



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– Ejemplo: Calcular la probabilidad de que en 5 lanzamientos de un dado:a) el 3 caiga 2 vecesb) el 5 caiga 4 vecesc) el 6 caiga 3 veces

– Ejemplo: Una familia tiene 6 hijos. Si se considera igual probabilidad el nacimiento de un hijo o de una hija, hallar la probabilidad de que sean:a) 3 niños y 3 niñasb) menos niños que niñas



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– Ejemplo: Se asegura que el 60% de las instalaciones generadoras de electricidad mediante energía solar, los gastos de servicio se reducen al menos en una tercera parte. De acuerdo con esto, ¿cuáles son las probabilidades que se reduzcan al menos en una tercera parte en:a) cuatro de cinco instalaciones?b) en al menos cuatro de cinco instalaciones?



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Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística• Distribución de Poisson

– Si el número de ensayos de Bernoulli es relativamente grande y la probabilidad de éxito es relativamente pequeña, el cálculo de probabilidades binomiales puede resultar bastante laborioso.

– Existe una forma límite de la distribución binomial que nos permite calcular la probabilidad de tener “x” éxitos en “n” ensayos cuando “n” es grande y “p” es pequeño. Esta forma límite de la distribución binomial se conoce como “Distribución de Poisson”.


Si sientes que los golpes de la vida te debilitan, come frutas y verdurasAnónimo

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– Está dada por la siguiente expresión:

– donde:• = media aritmética de acuerdo con las

propiedades de la distribución binomial, o sea ó x.Si todos los eventos tienen la misma probabilidad, se deduce que = N*p = N*p

• e = corresponde a un valor = 2.718281828• x = número de eventos esperados



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– Ejemplo: Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por la aplicación de un determinado suero es de 0.001, determinar la probabilidad de que en 2000 individuos a los que se les aplique el mismo suero, tres sufran reacción.

[Barnoulli luego Poisson]



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– Ejemplo: En determinada región donde existe una sola toma de agua, por cada 100 habitantes que consumen el agua, uno es afectado en sus órganos digestivos. Calcular la probabilidad de que de 1200 consumidores:a) 5 resulten afectadosb) 6 resulten afectadosc) 7 resulten afectados



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– Ejemplo: Supóngase que 300 errores están distribuidos al azar a lo largo de un libro de 500 páginas. Hallar la probabilidad de que una página contenga:a) 2 errores exactamenteb) 2 o más errores



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– Ejemplo: Supóngase El número promedio de demandas presentadas a una compañía de seguros es de 2 demandas/día (=2), determine la probabilidad de que en un día cualquiera:a) Se presente exactamente una demanda.b) No se presente ninguna demanda.c) Se presenten exactamente 3 demandas.



6969


– Ejemplo: Supóngase que una población de 50,000 habitantes hay un promedio anual de 2 suicidas. Para una población de 100,000 hallar la probabilidad de que en un año haya:a) 0 suicidasb) 1 suicidac) 2 suicidasd) 2 o más suicidas



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– Ejemplo: Supóngase que el 2% de la población en promedio sean zurdos. Hallar la probabilidad de que en 100 personas:a) 0 sean zurdosb) 1 sean zurdosc) 2 sean zurdosd) 3 o más sean zurdos



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– Ejemplo: Una distribución de Poisson está dada por la ecuación:

P(x) = [ 0.72x e-0.72 ] / x!

–Calcular:a) P(0)b) P(1)c) P(2)



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Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística• Distribución de Normal

– La distribución normal es una distribución de frecuencias que tiene muchas observaciones cercanas al centro de la distribución y luego disminuye gradual y simétricamente a los lados.

– La curva normal puede considerarse como un modelo teórico para analizar situaciones reales.

– Propiedades:• Es simétrica y tiene forma de campana.• La media está al centro de la distribución y divide el

área bajo la curva en 2 partes iguales.• La curva se extiende en ambas direcciones, sin

embargo es asintótica en el eje x.


Fíjate muy bien en lo que te fijasAnónimo

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– La distribución normal está dada por la función


Área = 1Área = 1

0.50.5 0.50.5

Fíjate muy bien en lo que te fijasAnónimo

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– Independientemente de cuáles sean los valores de y , el área total bajo la curva es de 1, estas áreas se pueden tomar como probabilidades.

– a) Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población distribuída normalmente caen dentro de una desviación estándar (mas y menos) a partir de la media.



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– b) Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población distribuída normalmente caen dentro de dos desviaciones estándar (mas y menos) a partir de la media.

– c) Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población distribuída normalmente caen dentro de tres desviaciones estándar (mas y menos) a partir de la media.



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Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y EstadísticaDistribuciones de ProbabilidadDistribuciones de Probabilidad

7878

Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística• Aproximaciones de funciones

– En una población se pueden tomar en cuenta no solamente un factor de estudio, sino que se pueden considerar dos o más.

– Por lo tanto se pueden relacionar dos o más variables mediante una función conocida o desconocida, pero que podemos aproximar para que sea cercana a todos los valores experimentales que se obtienen.

– Si se tiene un grupo de datos para un determinado rango, se puede predecir aproximadamente el valor de una variable dependiente.


7979

Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística• Método de mínimos cuadrados

– Se trata de encontrar la ecuación de una curva que, aunque no pase por todos los puntos, tenga pocas variaciones (sea suave) y pase lo más cerca posible de todos ellos.

– Generalmente lo más cerca posible se obtiene imponiendo el método de mínimos cuadrados.


Siempre hay alguien que sabe más que tú, aprende de él. Siempre hay alguien que sabe menos que tú, enseñale Anónimo

8080


– En la realidad siempre existen errores en las mediciones ya sea por calibración incorrecta del instrumento, falta de habilidad para hacer la medición, resolución insuficiente del instrumento, etc.

– Los datos pueden diferir un poco de un modelo teórico por estas causas.



8181



f(x) = ax + b


8282



f(x) = ax2 + bx + c


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– Antes de imponer este criterio, debe escogerse la forma de la curva suave que se va a ajustar al conjunto de puntos dados.

– La ecuación de esta curva puede obtenerse por conocimiento previo del problema, es decir, por la interpretación física del fenómeno, o en forma arbitraria observando qué ecuación conocida describe aproximadamente a esta curva, que puede ser una recta, una parábola, etc. En general será un polinomio de grado m.



8484


– Dada la función tabular (conjunto de parejas ordenadas de datos), se trata de obtener los valores de los coeficientes de la función:

y = f(x) = ay = f(x) = a00 + a + a11x + ax + a22xx22 + ….. a + ….. ammxxmm

Cuya gráfica es la curva suave que se acerca a la mayoría de los puntos.



8585



Ri

f(xi) = yi + Ri

y = f(x)

8686


– Se llama residuo a la diferencia de ordenadas de la curva para x=xi menos la del punto (xi , yi)

– Representando con Ri al residuo, se obtiene:

RRii = f(x = f(xii) – y) – yii

– Es decir:

RRii= (a= (a00 + a + a11xxii + a + a22xxii22 + . . . a + . . . ammxxii

mm) –y) –yii



8787


– Este método consiste en determinar los valores de los parámetros a0, a1, a2, ... am, de manera que se haga mínima la suma de los cuadrados de sus residuos.

RRii= a= a00 + a + a11xxii + a + a22xxii22 + . . . a + . . . ammxxii

mm –y –yii

– Esta suma vale:

RRii2 2 = (a= (a00 + a + a11xxii + a + a22xxii

22 + . . . a + . . . ammxxiimm –y –yii ) )22



8888


– Se obtiene el mínimo de esta igualando a cero sus primeras derivadas parciales con respecto a todos y cada uno de los parámetros:

RRii2 2 = (a= (a00 + a + a11xxii + a + a22xxii

22 + . . . a + . . . ammxxiimm –y –yii ) )22

= (a= (a00 + a + a11xxii + a + a22xxii22 + . . . a + . . . ammxxii

mm –y –yii ) )22

= = 22(a(a00 + a + a11xxii + a + a22xxii22 + . . . a + . . . ammxxii

mm –y –yii ) )*x*xiijj


8989


– Igualando con cero esta derivada se llega a:

aa0 0 xxiij j + a+ a1 1 xxii

j+1j+1 + a + a2 2 xxiij+2j+2 + ... a + ... ammxxii

j+mj+m =x =xiijj**yyii

– Finalmente, considerando j = 1, 2, 3, … m, se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones normales:



9090


– Llegamos al siguiente conjunto de ecuaciones:


a0n + a1x + a2x2 + . . . amxm = y

a0x + a1x2 + a2x3 + . . . amxm = xy

a0x2 + a1x3 + a2x4 + . . . amxm = x2y

. . . .

a0xm + a1xm+1 + a2xm+2 + . . amxm+m = xmySiempre hay alguien que sabe más que tú, aprende de él. Siempre hay alguien que sabe menos que tú, enseñale

Anónimo

9191


– En el caso específico de una recta, que se conoce como regresión lineal, el sistema de ecuaciones a resolver será el siguiente:

a0n + a1x = ya0x + a1x2 = xy

– Para encontrar los valores de a0 y a1 se tienen 2 opciones:

a)Resolver el sistema de ecuaciones.b)


a0 = (y)(x2) – (x)(xy)

N(x2) – (x)2

a1 = N(xy) – (x)(y)

N(x2) – (x)2

9292


– En el caso específico de una parábola, que ya se conoce como regresión no lineal, el sistema de ecuaciones a resolver será el siguiente:

a0n + a1x + a2x2 = y

a0x + a1x2 + a2x3 = xy

a0x2 + a1x3 + a2x4 = x2y

– Para encontrar los valores de a0, a1 y a2 la opción más viable es resolver el sistema de ecuaciones.


9393


– Ejemplo: Calcule la ecuación que se aproxime a los datos de la siguiente tabla:

a0n + a1x = ya0x + a1x2 = xy

a08 + a156 = 40a056 + a1524 = 364

– Solución:


X 1 3 4 6 8 9 11 14Y 1 2 4 4 5 7 8 9


9494


– Ejemplo: Calcule la ecuación que se aproxime a los datos de la siguiente tabla:


y = 0.545 + 0.636x

X Y

1 1

3 2

4 4

6 4

8 5

9 7

11 8

14 9

Finalmente:Predecir el valor de y, si x=5

9595


– Ejemplo: En el estudio de una población infantil, se obtuvieron los siguientes datos:

a0n + a1x = ya0x + a1x2 = xy

– Solución:a0___ + a1___ = ___a0___ + a1___ = ___


x Edad (meses) 2 6 1 3 12 7 5 1 3 16 10

y Peso (Kg) 8 9 5 7 10 8 7 4 6 10 9

9696


– Ejemplo: De acuerdo con las horas por semana de estudio dedicadas a cierta materia, se obtuvieron las siguientes calificaciones:

a0n + a1x = ya0x + a1x2 = xy

a0___ + a1___ = ___a0___ + a1___ = ___

– Solución:


x hrs 10 12 8 6 4 5 7 6 3 4 6 9 6 5 9

y calif 9 9 10 7 6 5 8 7 5 6 8 10 7 7 8


9797




9898

Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y Estadística• Correlación

– Es el grado de relación que hay entre las variables.


Correlación Lineal Positiva

Correlación Lineal Negativa

Sin Correlación

9999


– Coeficiente de Correlación de Pearson (r):– Indica tanto la dirección como la fuerza o la

medida de la relación entre las 2 variables.

-1 ≤ r ≤ +1-1 ≤ r ≤ +1

– Si r es positivo, x y y tienen una relación directa, es decir, si x aumenta, entonces y aumenta.

– Si r es negativo, x y y tienen una relación inversa, es decir, si x aumenta, entonces y disminuye.


Si quieres aprender, enseña Marco Tulio Cicerón (106 AC - 43 AC ) político, filósofo, escritor y orador romano

100100


– Coeficiente de Correlación de Pearson (r):– Es una prueba estadística para analizar la relación entre

dos variables medidas en un nivel por intervalos o de razón, el coeficiente de Pearson puede variar de -1.00 a +1.00 donde:



101101


– Coeficiente de Correlación de Pearson (r):+1.00 = Correlación positiva perfecta: (A mayor X mayor Y, o a menor X menor Y)+0.90 = Correlación positiva muy fuerte+0.75 = Correlación positiva considerable+0.50 = Correlación positiva media+0.10 = Correlación positiva débil 0.00 = No existe ninguna correlación entre las variables-0.10 = Correlación negativa débil-0.50 = Correlación negativa media-0.75 = Correlación negativa considerable-0.90 = Correlación negativa muy fuerte-1.00 = Correlación negativa perfecta: (A mayor X menor Y, o a menor X mayor Y)



102102


– Coeficiente de Correlación de Pearson (r):

– Ejercicio: Calcular el coeficiente de correlación para los ejemplos anteriores.



103103


– Coeficiente de Correlación de Pearson (r):

– Ejercicio: Calcular el coeficiente de correlación para los ejemplos anteriores. Compruebe que da el mismo resultado que con la primer fórmula.


donde:y = observacióny’ = y calculada aplicando la ecuación de la rectaym = media de las observaciones


104104

Probabilidad y EstadísticaProbabilidad y EstadísticaDistribuciones de ProbabilidadDistribuciones de Probabilidad

Fin de la UnidadFin de la Unidad

Prob y Est - Uni 4 Distribuciones de Probabilidad

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